GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU.....................................................................2
I. Lý do chọn đề tài.......................................................................................................................2
II. Mục đích nghiên cứu................................................................................................................3
III. Nhiệm vụ nghiên cứu..............................................................................................................3
IV. Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu.........................................................................3
V. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................................................3

PHẦN II: NỘI DUNG................................................................4
I. Cơ sở lý luận của vấn đề...........................................................................................................4
II. Thực trạng vấn đề....................................................................................................................8
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề....................................................................8
IV. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa..................................................10
V. Hiệu quả từ sáng kiến đem lại...............................................................................................17

PHẦN III: KẾT LUẬN............................................................19

1


GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các

giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toán
Nguyên hàm – Tích phân nói riêng , đạt kết quả cao trong quá trình học tập môn
Toán nói chung, và học sinh phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát
hóa qua các bài tập nhỏ, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số sai
lầm thường gặp khi giải toán Nguyên hàm – Tích phân”.
II. Mục đích nghiên cứu
- Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh
hiểu đúng bản chất của vấn đề.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập tích phân (Chương trình
Giải tích 12 – Ban cơ bản) để có được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác.
IV. Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu
- Các bài toán tính tích phân chương III, giải tích lớp 12 .
- Học sinh 02 lớp phụ trách 12A1, 2 trường THPT số 1 Mường Khương và
kinh nghiệm của một số năm học trước.
V. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

3


GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

PHẦN II: NỘI DUNG

∫ dx = x + C

∫ du = u + C

x α +1
α
x
dx
=
+C
∫
α +1

1 ( ax + b) α +1
∫ (ax + b) dx = a α + 1 + C

1
∫ x dx = ln x + C

∫ (ax + b) dx = a ln ax + b + C

∫e

∫x

ax + b

∫a

px + q

p ln a
1

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C
4

α
∫ u du =

u α +1
+C
α +1

1

∫ u du = ln u + C
∫e

u

du = e u + C

u
∫ a du =

au
+C
ln a

∫ cos udu = sin u + C


dx = − cot gx + C

∫ sin

1
1
dx = tg (ax + b) + C
a
(ax + b)

2

2

1
1
dx = − cot g (ax + b) + C
a
(ax + b)

∫ sin udu = − cos u + C
1

∫ cos

2

u


b, Phương pháp đổi biến:
a. Đổi biến dạng 1: x = ϕ(t), a = ϕ(α), b = ϕ(β),
β

b

∫ f ( x)dx = α∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt
a

* Lưu ý: Đặt x là một hàm theo biến t, đổi dấu nhớ đổi cận
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
1

1.

∫

1 − x 2 dx

0

Giải:

π
2

Đặt x = sint ⇒ dx = cost.dt. Với x ∈ [0;1] ta có t ∈ [0; ]
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0
1




GV: Vũ Thị Hiền
2

Trường: THPT số 1 Mường Khương

dx

2. I= ∫ 4 + x 2
0
Giải :
Đặt x= 2 tan t
Đổi cận :
x= 0 ⇒ t = 0
x=2 ⇒ t =

π
4

π
4

π

π
4

1 4 π
2dt

ö
sin x + cosx
sin x
cosx ÷
sin x
3
÷
dx = ò 3 ç
+
dx
=
dx
+
ç
ò0 cosx
ò03 1.dx
ècosx
ø
0 ç
cosx
cosx ÷

I = ò3
0

p

.
. Þ sin xdx
. = - dt

1 ç

I1 = ò

 Với

p

1 dt

ò

1
2

t

= ln t
p

I 2 = ò 3 1.dx = x 03 =

 Vậy,

0

I = I 1 + I 2 = ln2 +

1
1


Bài làm: : Đặt t =

5
dx
x

KQ : 38/15
3. Phương pháp tích phân từng phần:
b

b

∫ udv = [ uv] − ∫ vdu
b
a

a

a

* Lưu ý: Thường ưu tiên đặt u theo thứ tự: Lôgarit, lũy thừa, mũ, lượng giác
π

Ví dụ 1: Tính tích phân sau:

∫( e

cos x



0

I = ∫ ecos x sin xdx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x

π
1
= − ( e cosπ − e cos 0 ) = e − .
0
e

π

u = x
du = dx
J = ∫ x.sin xdx Đặt 
⇒
 dv = sin xdx v = − cos x
0

π π
π
J = ∫ x.sin xdx = ( − x cos x ) + ∫ cos xdx = − ( π cos π − 0.cos 0 ) + sin x = π
0 0
0
0
π

π



2
Vậy ∫ x ln( x − 1)dx =
2

5

5 1
x3
x3
dx
ln( x − 1) - ∫
2
3 2 x −1
3
5

1
1
125
8
)dx
ln 4 − ln1 − ∫ ( x 2 + x + 1 +
=
32
x −1
3
3
7


∫
1

π
2

3. e x cos xdx
∫
1

4.

π
4

x.

∫ cos

2

1

x

dx

II. Thực trạng vấn đề
Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” thường
gặp phải những khó khăn sau:

giảng. (ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang cong)
4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 6 mức độ nhận thức:
nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá.
- Giáo viên đánh giá học sinh .
- Học sinh đánh giá học sinh.
5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với
từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải
khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự
làm bài tập.
6. Phân dạng bài tập và phương pháp giải
- Hệ thống kiến thức cơ bản.
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết
quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.

9


GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

IV. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa
1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm
a, Ví dụ 1: chứng minh rằng F ( x) = −(1 + x)e − x là một nguyên hàm của hàm
f ( x) = xe − x trên R. Từ đó hãy tìm nguyên hàm của hàm g ( x ) = ( x − 1)e − x .

*Một học sinh đã giải như sau:


− cos x
1


dx
u =
du =
⇒
sinx
sin 2 x
Đặt 


dv = cos xdx
v = sinx

1
sinx.cos x
.sinx + ∫
dx = 1 + I ⇒ 0 = 1???
sinx
sin 2 x

* Phân tích: học sinh viết chung hằng số c cho mọi phép tính nguyên hàm
* Lời giải đúng:
I = ∫ cot xdx = ∫

d ( sinx )
cos x

x n +1
+ c với n ≠ – 1
n +1

* Lời giải đúng:
4
2x + 1)
Đặt 2x + 1 = t ⇒ dt = 2dx ⇒ dx = dt ⇒ ∫ ( 2x + 1) 3 dx = ∫ t 3 dt = t + c = (
+c
4

2

2

8

8

3. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân
2

Ví dụ 4: Tính tích phân I =

dx

∫ ( x + 1)

2



2

=
−2

−1
−4
−1 =
3
3

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: hàm số y =

1

( x + 1)

2

không xác định tại

x = −1 ∈ [ −2;2]

* Lời giải đúng: Hàm số y =

1

( x + 1)


3/

1

∫ cos
0

1
2

4

x

dx

1

− x 3 .e x + x 2
dx
4/ ∫
x3
−1

2/ ∫ x( x − 1) dx .
2

π
2


∫ 1 + sin x ∫ (1 + t ) 2 = ∫ 2(t + 1) d(t+1) = −

−2
dx
⇒ I= ∫
x
=
tan + 1
1 + sin x
0
2
π

π
0

2
+c
t +1

−2
2
π
=
tan + 1 tan 0 + 1
2

π
2


x π
d − 
π
x π
−π 
2 4
=∫
= tan  −  π0 = tan − tan
=2
4
π
 4 
2 4
2 x
0
cos  − 
2 4
π

4. Sai lầm khi biến đổi hàm số
4

2
Ví dụ 6: Tính tích phân I = ∫ x − 6x + 9dx
0

12


GV: Vũ Thị Hiền

2 2

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Phép biến đổi (x − 3) 2 = x − 3; x ∈ [0, 4] là không tương đương
* Lời giải đúng:
4

4

0

0

I = ∫ x 2 − 6x + 9dx = ∫ (x − 3) 2 dx

( x − 3)
−(x − 3) 2
= ∫ x − 3d(x − 3) = ∫ (3 − x)d(x − 3) + ∫ (x − 3)d(x − 3) =
+
2
2
0
0
3
0
4

3

* Chú ý đối với học sinh:

b

f ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx , ta phải xét dấu hàm số f(x) trên đoan [a, b] rồi dùng
2n

a

tính chất để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
5. Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến
1

2
Ví dụ 7: Tính tích phân I = ∫ 1 − x dx
0

*Một học sinh đã giải như sau:
Đặt x = sint suy ra dx = costdt
1

⇒I=∫
0

1

1

1

1 + cos2t
t sin 2t

π

1 + cos2t
t sin 2t 2 π
1 − sin 2 t .cos t.dt = ∫ cos 2 t.dt = ∫
.dt = ( +
) =
2
2
4
4
0
0
0
13


GV: Vũ Thị Hiền
* Chú ý đối với học sinh:

Trường: THPT số 1 Mường Khương
b

2
2
Khi gặp tích phân dạng I = ∫ c − x dx , nếu tích phân tồn tại thì thông thường
a

ta tính tích phân bằng cách đặt x = c.sint( hoặc x = c.cost) đổi cận, chuyển về tính
tích phân theo t

arcsin

3

sin t
1 − cos t
2

0

∫

cos t.dt =

0

1
4

3

sin t
cos t.dt =
cos t

arcsin

∫

1


(1 − t )( − tdt)
=−
t
2

15
4

∫
1

15
4
15

 t3
 4 15 15
15 2 −33 15 2
2
(1 − t )dt =  − t ÷ =
−
+ =
+
192
4
3
192
3
3

dx = ∫
dx = arctan(x + 1) −1 = arctan 0 − arctan( − 1) =
2
4
x + 2x + 2
(x + 1) + 1
−1
−1

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: SGK hiện hành không cung cấp công thức
1

∫ 1+ x

2

dx = arctan x + c

* Lời giải đúng:
0

0

1
1
I= ∫ 2
dx = ∫
dx
2
− 1 x + 2x + 2

0
4
0 1 + tan t
0

⇒ I= ∫

b

1
dx , thì ta tính tích phân
2
a c + x

* Chú ý đối với học sinh: khi gặp tích phân dạng I = ∫

2

bằng cách đặt x = c.tant (hoặc x = c.cott). Chú ý công thức
1 + tan 2 t =

1
1
;1 + cot 2 t = 2
2
cos t
sin t

7. Hiểu sai bản chất công thức
2


2

0

0

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: học sinh hiểu sai bản chất công thức lấy tích phân
từng phần
u = x

 du = dx
⇒

x
x
 dv = e dx  v = e

* Lời giải đúng: Đặt 
2

⇒ I = ( xe x ) − ∫ e x dx = 2e 2 − ( e x ) = 2e 2 − e 2 + 1 = e 2 + 1
2

0

2

0


3 3
1
1
3
1
3
4

3

4

3

4

2.Một số bài tập tương tự: Tính các tích phân
5

1/ ∫
0

dx

( x − 4)

5

1
2


6 / ∫ 1 − sin 2xdx
0

16


GV: Vũ Thị Hiền
2

7 / ∫ x2 +
1
2

π
3

Trường: THPT số 1 Mường Khương

1
− 2.dx
x2

3

8 / ∫ x 3 − 2x 2 + x.dx
0

8



10 / ∫

2

3

12 /

∫
0

2

x 3dx

14 / ∫

1+ x2

1

x 3dx
1 − x8
dx

x 1+ x2

V. Hiệu quả từ sáng kiến đem lại
1. Kết quả từ thực tiễn:

15%
25%

36%
45%

45%
15%

17


GV: Vũ Thị Hiền
Trường: THPT số 1 Mường Khương
Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập tích cực và hứng thú đặc biệt là
giải bài toán tích phân các em rất thận trọng và hiểu bản chất của vấn đè chứ không
rập khuôn máy móc như trước, đó là việc thể hiện phát huy tính tích cực và chủ
động của học sinh.

18


GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

PHẦN III: KẾT LUẬN
Bài viết SKKN này của tôi nhằm cung cấp tới các thầy cô giáo và các em
học sinh như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về nguyên
hàm, tích phân và những kiến thức liên quan, học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 12 ( Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) –
Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất)
2. Phương pháp giải toán Tích phân ( Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXB Giáo
dục)
3. Sách giáo khoa giải tích 12 Nâng cao ( Đoàn Quỳnh( Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy
Đoan (Chủ biên) – Trần Phương Dung – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng)
4. Phương pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội –
2005)
5. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán ( Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn
– NXB Hà Nội – 2004)
8. Sai lầm phổ biến khi giải toán (Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – Phan Thanh
Quang – NXB Giáo dục)

20


GV: Vũ Thị Hiền

Trường: THPT số 1 Mường Khương

21