SKKN: : Hướng dẫn học sinh sửa một số sai lầm thường gặp khi giải các bài
toán liên quan đến tiếp tuyến đường cong
Tên SKKN: : Hướng dẫn học sinh sửa một số sai lầm thường gặp
khi giải các bài toán liên quan đến tiếp tuyến đường cong
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Đặt vấn đề
Như chúng ta đều biết các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một trong
những bài toán không thể thiếu trong các kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại
học.Trong đó thường gặp nhiều bài toán “tiếp tuyến của đường cong”. Trong
chương trình giải tích lớp 11, kiến thức về tiếp tuyến với đường cong các em đã
học áp dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm cấp 1, dạng toán này thì đơn giản hơn ít
có dạng đòi hỏi tư duy cao.Trong chương trình 12, kiến thức về tiếp tuyến với
đường cong các em gặp lại nhưng dưới dạng định nghĩa tổng quát hơn.Ta thấy
dạng toán này các em gặp hai lần trong hai năm học, nhưng thực tế các em vẫn còn
một số sai sót khi giải các bài toán liên quan đến tiếp tuyến.
Vì vậy Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc
phải để từ đó có thể đưa ra hướng giúp các em khắc phục được những yếu từ đó
đạt được kết quả cao khi giải bài toán liên quan đến tiếp tuyến nói riêng và đạt kết
quả cao trong quá trình học tập nói chung.
Vì lí do trên tôi chọn đề tài : “Hướng dẫn học sinh sửa một số sai lầm
thường gặp khi giải các bài toán liên quan đến tiếp tuyến đường cong”
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.
1. Thuận lợi:
Đa số học sinh đều thích học môn Toán, các em học Toán để chuẩn bị cho các
kì thi Tốt Nghiệp Phổ Thông, Đại học,Cao đẳng và thi Học Sinh Giỏi. Ngoài ra,
được sự động viên, quan tâm và giúp đỡ của Ban Giám Hiệu cũng như của đồng
nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đề tài này.
2. Khó khăn:
Học sinh chủ yếu là con em nông thôn, gia đình ở xa trường, điều kiện kinh tế
khó khăn, ngoài thời gian học ở trường các em còn phải phụ giúp gia đình. Đa số
Người viết: Lương Thị Phương Thảo Trang

M x y
là tiếp điểm
Ta có
2
( ) 6 6y f x x x= = −
′ ′
Tiếp tuyến tại
0
( ; )
o
M x y
song song với đường thẳng
∆

⇔

2
1
2
( ) 12 6 6 12 0
o
o o o
o
x
f x x x
x
= −


=

12 11y x= +
Nguyên nhân sai lầm của học sinh: học sinh thường nghĩ: hai đường thẳng song
song với nhau thì hai hệ số góc của chúng bằng nhau mà không thấy được với hai
đường thẳng bất kì có hệ số góc bằng nhau thì chưa chắc song song với nhau
(có thể chúng trùng nhau). Do đó bài giải của học sinh ở dạng này thường sai ở hai
chỗ:
+ Tiếp tuyến tại
0
( ; )
o
M x y
song song với đường thẳng
∆

⇔

( ) 12
o
f x =
′

+ Học sinh khi tính không thử lại kết quả ( kiểm tra lại kết quả)
Lời giải đúng gọi
0
( ; )
o
M x y
là tiếp điểm
Ta có
2

Với
1 1
o o
x y= − ⇒ = −

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1;-1)là
12 11y x= +
Với
2 8
o o
x y= ⇒ =

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2;8) là
12 16y x= −
(loại vì trùng
∆
)
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm :
12 11y x= +
.
Ví dụ 2: ( ĐH KD-2005)Cho (C
m
) :
3 2
1 1
3 2 3
y
m
x x= − +
. Gọi M là điểm thuộc (C

y y x y m x
+
′
∆ + = − + ⇔ = + +
∆
song song với đường thẳng d: 5x-y=0 ( hay d:y=5x) khi và chỉ khi:

1 5 4m m
+ = ⇔ =
(*)
Người viết: Lương Thị Phương Thảo Trang
3
SKKN: : Hướng dẫn học sinh sửa một số sai lầm thường gặp khi giải các bài
toán liên quan đến tiếp tuyến đường cong
vậy m=4
Thực ra lời giải trên chưa chặt chẽ ở (*) vì với m=4 biết đâu tiếp tuyến tại M
trùng với đường thẳng d thì sao !
Do đó ở (*) phải được viết lại
1 5
4
2 0
m
m
m
+ =

⇔ =

+ ≠


f x
x m
−
′
=
+
Tiếp tuyến với ( C
m
) tại điểm trên (C
m
) có hoành độ bằng 1song song đường
thẳng d:
3y x= − +
nên ta có :
(1) 1
m
f
′
= −

1
3 1
2
(1 )
m
m
= −
−
⇔
+

⇒
+
= =
,khi đó phương trình tiếp tuyến là
3y x= − +
(trùng d)
Với
5m = −
thì
4 36
(1)
5
8
x
y y
x
⇒
− +
= =
−
−
,khi đó phương trình tiếp tuyến y=-x-7
Do đó chỉ chọn m= -5
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
(3 1)m x m m
y
x m
+ − +
=

;0)
Tiếp tuyến với (C
m
) tại A song song với đường thẳng d: y=x+1
Người viết: Lương Thị Phương Thảo Trang
4
SKKN: : Hướng dẫn học sinh sửa một số sai lầm thường gặp khi giải các bài
toán liên quan đến tiếp tuyến đường cong
2
1
3 1
m m
y
m
−
′
⇔ =
+
 
 ÷
 ÷
 

(
)
2
0
2 2
2
5 6 1 0 1

1;
5
m m
−
= − =
là các giá trị cần tìm.
Nguyên nhân sai lầm: Ở bài toán dạng này học sinh thường gặp các sai
lầm như:
- Nếu không đặt điều kiện
0m ≠
để tồn tại (C
m
) là hàm hữu tỉ . Thì ắt hẳn
nhận m=0 làm nghiệm kết quả sai.
- Cách lí luận Tiếp tuyến với (C
m
) tại A song song với đường thẳng d: y=x+1
2
1
3 1
m m
y
m
−
′
⇔ =
+
 
 ÷
 ÷

5
m
−
=
.
Do đó ta có thể sửa lại sửa dấu “
⇔
” bởi dấu “
⇒
”. Sau đó thử các kết quả
tìm được của m
Hoặc ta phải lí luận như sau:
Tiếp tuyến với (C
m
) tại A song song với đường thẳng
1y x= +
0
2
1
3 1
2
1
3 1
m
m m
y
m
m m
m


2
2 1 0
m
m
m
m
m m

≠


 

 ÷
⇔ =

 ÷
+

 



⇔
+ + ≠
(
)
2
2
5 6 1 0

) là d
1
:
0 0 0
( )( )y f x x x y
′
= − +
Tại điểm M
1
(x
1
;y
1
) là d
2
:
1 1 1
( )( )y f x x x y
′
= − +
Vậy nếu
0 1
x x≠
mà
0 1
( ) ( )f x f x
′ ′
=
và
0 0 0 1 1 1

hoặc
0
2x = −
hoặc
0
2x =
( loại)
Vậy B
1
(0;3) và B
2
(-2;-1)
Thực chất tiếp tuyến tại B
1
(0;3) có phương trình là y=3; tiếp tuyến tại
B
2
(-2;-1) là y=-1, tiếp tuyến tại điểm A(2;-1) là y=-1. Do đó chọn B
1
(0;3)
Ví dụ 2: Cho hàm số
2 4
( ) 2 4y f x x x= = − +
(1).Tìm trên đường thẳng
5y =
những điểm mà qua đó ta có thể kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị ( C)
của hàm số (1).
Học sinh giải : gọi M(a;5)là điểm thuộc đường thẳng
5y =


x x x
ax a
+
− + =
+ −
(3)

2 2
( 1) 3 4 1 0x x ax⇔ − − + − =
 
 
1
2
( ) 3 4 1 0
x
g x x ax
= ±
⇔
= − + − =





Qua M
( ;5)a
kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với (C)
⇔
phương trình (3) có 4
nghiệm phân biệt


   
∈ −∞ − ∪ +∞

 ÷  ÷
 ÷  ÷

− >

   

 
⇒ − − ≠ ⇔ ≠−
 
 
− ≠ ≠





′
∆ >
− ≠ ⇔
≠






2 1
5 (1)
2
5
5 (2)
2
x
x m
x
x
−

= +

+



=
+


Giải (2):
1x
= −
hoặc
3x
= −
Với
1x = −

(m là tham số).Hãy xác
định các giá trị m để (C
m
) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt và hai tiếp tuyến tại
hai điểmđó vuông góc với nhau.
Giải: TXĐ
{ }
\ 2D = −¡
( )
2
2
4
( )
2
x x m
y f x
x
+ +
′ ′
= =
+
(C
m
) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt
⇔
phương trình
2
0x mx m+ + =
(1)
có 2 nghiệm phân biệt khác -2

) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt
( ) ( )
1 2
;0 , ;0M x N x
với
1 2
;x x
là 2 nghiệm của pt(1). Khi đó ta có:
1 2
x x m+ =
và
1 2
x x m= −
Tiếp tuyến tại M, N vuông góc nhau
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
1 2
4 4
1 1
2 2
x x m x x m
f x f x
x x
  
+ + + +
′ ′

Nhận xét: ở bài toán này học sinh hay mắc phải những sai lầm sau
Học sinh thường không nói rõ (C
m
) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt khi pt(1)có 2
nghiệm khác mẫu số ( nghĩa là
4m
≠
)
Thông thường học sinh hay quen dùng Viet cho
y
′
. Nhưng yêu cầu bài toán
không đề cập
y
′
để
( ) ( )
1 2
1f x f x
′ ′
= −
trong Viet của phương trình bậc hai.
Người viết: Lương Thị Phương Thảo Trang
8
SKKN: : Hướng dẫn học sinh sửa một số sai lầm thường gặp khi giải các bài
toán liên quan đến tiếp tuyến đường cong
Ví dụ 3: Cho đường cong (C):
4 2
1 3
3

3
2
y =
Vậy k=0
Nhận xét: trong trường hợp này học sinh nhầm lẫn với một điểm cho trước ta có
thể kẻ được duy nhất một đường thẳng và đường thẳng đó là tiếp tuyến của một đồ
thị cho trước thì điểm mà tiếp tuyến đi qua phải là tiếp điểm của đồ thị đó. Thực ra
có thể có nhiều đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và d là tiếp tuyến của ( C)
(chỉ cần đường thẳng d tiếp xúc với đường cong ( C) là đủ, điểm A này không nhất
thiết phải là tiếp điểm).
Lời giải đúng
Cách 1:
3
2 6y x x
′
= −

Gọi
0
( ; )
o
M x y
là tiếp điểm với
4 2
0 0 0
1 3
3
2 2
y x x= − +
d là tiếp tuyến của ( C) tại M có dạng:

0 0 0 0 0
0
2 2
0 0
0
3 1 3
3 2 6 (0 )
2 2 2
0
3
3 0
2
2
x x x x x
x
x x
x
 
− − + = − −
 ÷
 
=

 
⇔ − = ⇔

 ÷
= ±
 


3
0;
2
A
 
 ÷
 
có hệ số góc k. Khi đó phương trình đường
thẳng d có dạng:
3
2
y kx= +
Đường thẳng d là tiếp tuyến của ( C ) khi hệ phương trình sau có nghiệm
4 2
3
1 3 3
3 (1)
2 2 2
2 6 (2)
x x kx
x x k

− + = +



− =

Từ (1) và (2)
⇒

3 2
4 6 1y x x= − +
. Viết phương trình
tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua M(-1;-9)
Lời giải của học sinh:
M(-1;-9) thuộc (C)
2
12 12y x x
′
= −
( )
1 24y
′
− =
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
( )
24 1 9 24 15y x y x= + − ⇔ = +
Nhận xét: Đối với bài toán này học sinh đã nhầm lẫn hai khái niệm tiếp tuyến đi
qua và tiếp tuyến tại điểm Nên dẫn đến xác định thiếu một trường hợp. Vì vậy qua
bài toán này cho ta thấy đây là hai bài toán khác nhau rõ rệt.
Lời giải đúng:
Đường thẳng
∆
với hệ số góc k và đi qua M(-1;-9) có phương trình:
y=kx+k-9
∆
là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
Người viết: Lương Thị Phương Thảo Trang
10
SKKN: : Hướng dẫn học sinh sửa một số sai lầm thường gặp khi giải các bài


=

Với x=-1 thì k=24, phương trình tiếp tuyến là: y=24x+15
Với
5
4
x =
thì
15
4
k =
, phương trình tiếp tuyến là:
15 21
4 4
y x= −
III. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
1. Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng bài toán
tiếp tuyến như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân
tích đề bài của bài toán tiếp tuyến để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở
giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy
luận,trong các bước giải toán dạng này rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập
viết phương trình tiếp tuyến trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 11,12 và một số
bài tập trong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên
nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời
giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó.
Trên cơ sở đó tôi luôn tích luỹ kinh nghiệm sau mỗi tiết dạy ,tìm tòi đổi mới
và đưa các bài tập áp dụng vào một tiết học giải bài tập,luyện tập hoặc ôn tập

sách tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán. Vì vậy nhà trường
cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh
được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi giải toán để các em có thể tránh
được những sai lầm đó trong khi làm bài tập .
3. Khả năng áp dụng: Đề tài áp dụng có hiệu quả đối với đối tượng học sinh lớp
11 ,12 và luyện thi đại học
Tân Phú, ngày 10 tháng 04 năm 2014
Người viết
Lương Thị Phương Thảo
Người viết: Lương Thị Phương Thảo Trang
12
SKKN: : Hướng dẫn học sinh sửa một số sai lầm thường gặp khi giải các bài
toán liên quan đến tiếp tuyến đường cong
Người viết: Lương Thị Phương Thảo Trang
13
SKKN: : Hướng dẫn học sinh sửa một số sai lầm thường gặp khi giải các bài
toán liên quan đến tiếp tuyến đường cong
Người viết: Lương Thị Phương Thảo Trang
14