A. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Theo A.A.Stoliar: Dạy toán là dạy hoạt động toán học(A.A.Stoliar 1969
tr.5). Ở trường phổ thông, đối với học sinh có thể giải toán là hình thức chủ yếu
của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất
có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri
thức, phát triển tư duy, hoàn thành kĩ năng, kĩ xảo. Hoạt động giải toán là điều
kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông.
Toán học là môn học nghiên cứu về “ hình và số”. Môn toán được chia
thành nhiều phân môn nhỏ : đại số, hình học, giải tích… Trong đó giải tích là
ngành toán học nghiên cứu về khái niệm, tính chất của giới h¹n, đạo hàm,
nguyên hàm, tích phân. Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường là
mang tính chất “động” hơn là “tĩnh”. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải
các bài toán giải tích trong trường THPT là rất khó khăn.
Qua các tài liệu về giáo dục toán học, qua thực tiễn sư phạm, qua các quá
trình quan sát có thể nhận thấy rằng : học sinh rất lúng túng, gặp nhiều khó khăn
và sai lầm khi đứng trước những bài toán giải tích nói chung và các bài toán
nguyên hàm, tích phân và ứng dụng nói riêng. Trên thực tế khi dạy toán giải tích
lớp 12, chương : Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng, tôi phát hiện ra những
lúng túng, sai lầm của học sinh khi giải những bài toán liên quan đến tích phân.
Những khó khăn, sai lầm của học sinh được thể hiện trong quá trình
làm bài tập, làm bài kiểm tra, các bài thi. Tôi nhận thấy rằng để các em tự tin khi
gặp các bài toán liên quan đến tích phân, để các em có hứng thú giải các bài
toán về tích phân, thì tôi phải giúp các em tháo gỡ những khó khăn, sai lầm trên.
Bên cạnh đó, trong đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi đại học – cao đẳng hàng năm
thì bài toán liên quan đến tích phân là không thể thiếu.
Với những lý do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu là : “Một số sai lầm
thường gặp khi giải các bài toán liên quan đến tích phân”.
Đúng như Polya đã viết : “Con người phải biết học những sai lầm và những
thiếu sót của mình.”
1
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

nhận thức.
- Đánh giá: Giáo viên đánh giá học sinh, học sinh đánh giá học sinh.
5. Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Phân bài tập và phương pháp giải theo chủ đề : bài toán tính tích phân (Tích
phân hàm số đa thức, tích phân hàm phân thức hữu tỷ, tích phân hàm vô tỷ,
hàm số siêu việt, hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, hàm số lượng
giác…).Bài toán tính diện tích( Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 đồ thị,
hình phẳng giới hạn bởi 3 đồ thị, hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị, hình
phẳng giới hạn bởi 1 đồ thị). Bài toán tính thể tích khối tròn xoay( quay
quanh Ox, quay quanh Oy).
- Mỗi dạng bài tập đưa ra phương pháp giải, hệ thống ví dụ, bài tập tương tự,
bài tập nâng cao.
- Sau mỗi ví dụ minh họa có nhận xét, củng cố và khái quát( phát triển ) bài
toán.
III. Những khó khăn, sai lầm phổ biến của học sinh THPT trong quá trình
giải toán về tích phân.
Học sinh thường gặp những khó khăn, sai lầm sau đây khi giải những bài toán
liên quan đến tích phân và ứng dụng.
1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân.
Ví dụ 1: Tính tích phân I =
( )
dx
x
∫
−
2
0
2
1
1

xd
dx
x
*Nguyên nhân của sai lầm trên là :
Hàm số
( )
2
1
1
−
=
x
y
không xác định tại x = 1
∈
[0 ;2] nên hàm số không liên tục
trên [0 ;2].Do đó không tồn tại tích phân trên.
*Như vậy cần ghi nhớ :
3
Tích phân I =
( )
dxxf
b
a
∫
chỉ tồn tại khi hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b]. Khi hàm
số liên tục thì ta mới có thể vận dụng các phương pháp đã học dể tính tích phân
trên. Còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại.
Đa số học sinh cho rằng đề bài yêu cầu tính tích phân thì mặc định tồn tại phép
tính tích phân đó.

Cx
n
dxx
nn
+
+
=
+
∫
1
1
1

Mà lẽ ra phải vận dụng công thức :
Cu
n
dxuu
nn
+
+
=
+
∫
1'
1
1
.
*Lời giải đúng :
Ta có : I =
( ) ( )

Ví dụ 3 : Tính tích phân I =
dxxx
∫
+−
3
0
2
44
*Học sinh đã trình bày như sau :
I =
( ) ( )
2
3
2
2
2244
3
0
2
3
0
3
0
2
3
0
2
−=



2
2
22
22222
3
0
2
2
0
2
3
2
2
0
3
0
3
0
2
=+=
=








−+

b
a
∫∫
=
2
2
, ta xét dấu f(x) trên [a;b]
Ví dụ 4 : Tính tích phân I =
dxx
∫
+
π
0
2sin1
*Học sinh đã trình bày như sau :
( ) ( )
( )
211cossin
sincossincoscossin212sin1
0
00
2
00
=+=−
=+=+=+=+=
∫∫∫∫
π
ππππ
xx
dxxxdxxxdxxxdxxI

∫∫∫∫
π
π
π
π
π
π
ππ
xxxx
dxxxdxxxdxxxdxxxI
4. Sai lầm khi dùng công thức không có trong SGK hiện hành.
Ví dụ 5 : Tính tích phân I =
dx
xx
∫
+−
2
1
2
54
1
5
*Học sinh đã trình bày như sau :

( )
( )
44
02arctan
12
1

2
*Lời giải đúng :
Đặt
( )
dttdxtx
2
tan1tan2 +=⇒=−
Đổi cận :
02
4
1
=⇒=
−=⇒=
tx
tx
π
Khi đó :
( )
4
1tan
tan1
0
4
0
4
0
4
2
2
π

dx
x
x
∫
+
+
6
2
41
23
*Học sinh đã trình bày như sau :
Đặt
2
4141
2
udu
dxxuxu =⇒+=⇒+=

3
67
124
5
4
5
6
2
3
6
2
2

=⇒=
=⇒=
ux
ux
Khi đó :
12
128
124
5
4
5
5
3
3
5
3
2
=








+=
+
=
∫

tx
Khi đó :
( )
4
1
sin
0
3
4
1
arcsin
0
2
4
1
arcsin
0
3
cos
3
cos
cos1cossin
ar
t
t
tdtdttI





ux
Khi đó :
( )
192
1533
3
2
3
1
4
15
1
3
4
15
1
2
−=








−=−=
∫
u
u

'
'

1coscos
2
0
2
0
=+−=
∫
dxxxxI
π
π
*Nguyên nhân của sai lầm :
Học sinh hiểu sai bản chất phép đặt trong công thức lấy tích phân từng phần
*Lời giải đúng :
Đặt



−=
=
⇒



=
=
xv
dxdu

1
2
0
2
0
3
2
=








−=−=
∫
x
x
dxxS
(đvdt)
*Nguyên nhân của sai lầm :
8
Công thức tính diện tích giới hạn y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a ;
x = b là :
( )
∫
=
b


−+








−=−+−=−=
∫ ∫∫
x
xx
xdxxdxxdxxS
(đvdt)
8. Sai lầm khi xác định sai miền hình phẳng cần tính diện tích .
Ví dụ 10 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
xy =
; y = x – 6
và trục hoành.
*Học sinh đã trình bày như sau :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị :
( )



=
=
⇔=+−⇔−=⇔−=





−+=−+=−+=
∫ ∫
x
x
xdxxxdxxxS
(đvdt)
*Nguyên nhân của sai lầm :
- Phép biến đổi
( )
2
66 xxxx −=⇔−=
là không tương đương.
- Hình phẳng mà học sinh xác định là giới hạn bởi hai đồ thị
xy =
; y = x – 6
(miền AOB) trong khi miền cần tính là miền AOC.
*Lời giải đúng :
Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị :
+
( )
4
6
06
6
2
=⇔

4
=








+−+=−+=
∫ ∫
x
x
xdxxdxxS
(đvdt)
9. Sai lầm khi vận dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.
Ví dụ 11 : Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng sau quay quanh Oy : y =
lnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2.
*Học sinh đã trình bày như sau :
Ta có :
y
exxy =⇒= ln

( )
24
2
1
2
1

*Lời giải đúng :
Ta có :
y
exxy =⇒= ln
Đổi cận :
2ln2
01
=⇒=
=⇒=
yx
yx
y
y=lnx
ln2

o 1 2 x

( )






−=−=−=⇒
∫
2
3
2ln4)
2

−+
3
6
22
2cottan
π
π
c,
dxx
∫
−
π
0
2sin1
d,
dx
x
x
∫
+
7
0
2
3
1
2.: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số :
11
a,
1;103;
2

1
1
.
Với lớp 12C8: Sau khi học xong định nghĩa tích phân tôi đưa ra ví dụ trên để
học sinh tự làm. Rồi từ kết quả của bài toán tôi phân tích tỉ mỉ, cho học sinh
nhận xét để đưa ra ghi nhớ cuối cùng.
Với lớp 12C10: Tôi hướng dẫn, phân tích những sai lầm thường gặp khi làm
các bài tập tích phân, sau đó tôi đưa ra các ví dụ trên để học sinh áp dụng.
Kết quả thu được như sau :
Lớp Sĩ số HS giải đúng HS giải sai HS không giải được
12C8 40 8(20%) 25(62,5%) 7(17,5%)
12C10 42 35(83,3%) 5(12%) 2(4,7%)
Kết quả cho thấy điểm của lớp thực nghiệm 12C10 cao hơn so với lớp đối
chứng 12C8.
Qua nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào thực tiễn giảng dạy
tôi thấy kết quả đạt được là rất khả quan.
Thời gian cuối năm khi dạy ôn tập, tôi hệ thống lại kiến thức cơ bản cũng như
nghiên cứu những sai lầm thường mắc phải trong kiến thức, kĩ năng, tư duy làm
bài và cho học sinh một số bài tập ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học – cao đẳng thì
kết quả thu được rất khả quan.
12
Chẳng hạn :
Bài 1 : Tính tích phân I =
( )
dxxx
∫
+
π
0
cos1

tham khảo còn rất hạn chế. Kính mong ban giám hiệu quan tâm nhiều hơn đến
tài liệu học tập và ôn thi cho các em, cũng như quan tâm hơn đến công tác
nghiên cứu khoa học của giáo viên để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học
của nhà trường.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Đình Thị Mai
14
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK giải tích 12 nâng cao.
2. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán (Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn – NXB
Hà Nội - 2004).
3. Sai lầm phổ biến khi giải toán (Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – Phan Thanh Quang –
NXB giáo dục).
4. Các đề thi tốt nghiệp, đại học – cao đẳng hàng năm (Sưu tầm)
15
MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ……………………………………………………………….1
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ…………………………………………………….2
I. Thực trạng……………………………………………………………………2
II. Các giải pháp của sáng kiến……………………………………………… 2
1. Hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh chưa nắm vững……… 2
2. Rèn luyện kĩ năng, tư duy, phương pháp……………………………… 2
3. Đổi mới phương pháp dạy học…………………………………………….2
4. Đổi mới kiểm tra, đánh giá……………………………………………… 3
5. Phân dạng bài tập và phương pháp giải………… …………………… 3