PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích toán học còn gọi đơn giản là Giải tích. Giải tích là ngành toán học
nghiên cứu về các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép
toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn"; Các yếu tố được nghiên cứu
trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn là tính chất "tĩnh" như trong
Đại số. Chính vì vậy mà phần lớn học sinh THPT rất lúng túng và gặp khó khăn
khi học Giải tích nói chung và Nguyên hàm, Tích phân nói riêng. Bên cạnh đó,
trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN và đề thi HSG tỉnh
Thanh Hóa của các năm qua, bài toán liên quan đến tích phân hầu như không thể
thiếu và là bài toán không thuộc loại khó. Tuy nhiên đối với học sinh thì vẫn coi
tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của
định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân.
Trong thực tế nhiều học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là:
Tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân bằng dùng công thức cơ bản
hoặc phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp tích phân từng phần ngay mà
rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm
của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong
phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương
không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai
lầm dẫn đến lời giải sai. Qua thực tế giảng dạy và ôn thi nhiều năm tôi nhận thấy
rất rõ yếu điểm này của học sinh. Vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: ‘‘Giúp
học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân’’
2. Phạm vi nghiên cứu
Các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong
quá trình tính toán trong chương III – Giải tích 12.
1
3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh lớp 12A1 và 12A6 ôn thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng,
THCN và thi HSG tỉnh Thanh Hóa.

∫
ta cần tìm một hàm số sao cho đạo hàm của nó bằng f(x)”
Tính chất: Các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa
a)
( ( ) )' ( )f x dx f x=
∫
b)
( ) ( )kf x dx k f x dx=
∫ ∫
c)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
2. Tích phân
Định nghĩa: Ta có công thức Niu tơn – Laipnitz

b
b
a
a
f (x)dx F(x ) F(b) F(a)
= = −
∫
Tính chất
Tính chất 1:
b a
a b
f (x)dx f (x)dx
=−
∫ ∫

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản
- Phương pháp đổi biến số
- Phương pháp tính Tích phân từng phần.
III. NỘI DUNG CỤ THỂ
Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân
1. Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản
Bằng việc sử dụng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. chúng ta có thể xác
định được các nguyên hàm từ đó tính được các giá trị các tích phân.
* Bảng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp
1
x
x dx C
1
α+
α
= +
α +
∫
(
α
≠
-1)
1
1 (ax b)
(ax b) dx C
a 1
α+
α
+
+ = +

a
a dx C
lna
= +
∫
mx n
mx n
1 a
a dx C
m lna
+
+
= +
∫
cosx.dx sin x C= +
∫
1
cos(ax b)dx sin(ax b) C
a
+ = + +
∫
sin x.dx cosx C= − +
∫
1
sin(ax b)dx cos(ax b) C
a
+ = − + +
∫
2
1

0
4
)4(x
dx
Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau:
I =
∫
−
5
0
4
)4(x
dx
=
5
2
0
( 4)
( 4)
d x
x
−
−
∫
= -
3
1
3( 4)x −
5
0

0
s 2
2cos2
n
in nx
I dx
a x
π
=
−
∫
,
∀
n∈
*
N
. Tìm
a
sao cho
2006 2007 2008
, , I I I

theo thứ tự ấy lập thành cấp số cộng
Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau:
Ta có:
2008 2006
0
s 2.2008 s 2.2006
2cos2
in x in x

2cos2 4014
in x x
in xdx a dx aI
a x
aI
π
π π
= − + = +
−
=
∫ ∫
5
Thoả mãn yêu cầu bài toán khi
2a =
Nguyên nhân sai lầm: Vì hàm số f(x) =
s 2
2cos2
in nx
a x−
không liên tục tại a = 2
trên
[ ]
0;Π
nên tích phân không tồn tại
Lời giải đúng:
Điều kiện tồn tại
n
I
: Phương trình
2 2 0cosa x− =

I dt dt dx I
a t a t a x
π π
π
= = − = − = −
− − −
∫ ∫ ∫
sin sin sin
cos cos cos0
n
I⇔ =
,
∀
n∈
*
N
Suy ra: Thoả mãn yêu cầu bài toán khi
2a >
.
Chú ý đối với học sinh:
Khi tính
( )
b
a
f x dx
∫
cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên

.
3/ I
3
=
dx
x
∫
2
0
4
cos
1
π
4/ I
4
=
2 3
1
3
1
x
x x e
dx
x
−
−
∫
Chú ý: Trong dạng toán này có những bài toán khó. Các bạn thường phải áp
dụng phương pháp hệ số bất đinh để làm. Xét dạng như sau
6

P x
Q x x x x
α α α
= + + +
− − −
.
+ Khi
( )
( )
2 2
( ) , 4 0Q x x x px q p q
α
= − + + ∆ = − <
thì đặt
2
( )
.
( )
P x A Bx C
Q x x x px q
α
+
= +
− + +
+ Khi
( ) ( )
2
( )Q x x x
α β
= − −

đưa về việc tìm
( ( )) '( )f u x u x dx
∫
một cách đơn giản hơn.
Bài tập 1. Tính tích phân
1
2
0
I 1 x dx
= −
∫
Sai lầm thường gặp:
7
Đặt x = sint
⇒
dx = costdt

1
1 1 1
2 2
0
0 0 0
1 os2 sin2 1 1
1 sin .cos . os . . ( ) sin 2
2 2 4 2 4
c t t t
I t t dt c t dt dt
+
⇒ = − = = = + = +
∫ ∫ ∫

dx
Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan
2
x
thì dx =
2
1
2
t
dt
+
;
xsin1
1
+
=
2
2
)1(
1
t
t
+
+

⇒
∫
+ x
dx
sin1

tan 1
2
x
−
+
π
0
=
2
tan 1
2
π
−
+
-
2
tan 0 1+
do tan
2
π
không xác định nên tích phân trên không tồn tại

Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t = tan
2
x
, với x
[ ]
π
;0∈







−
=






−+
π
π
π
π
π
π
π
0
0
2
0
42
42
cos
42

* Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
1/ I
1
=
2
0
sin 2
dx
x
Π
∫
2/ I
2
=
∫
+
π
0
cos1 x
dx
Bài tập 3: Tính tích phân: I =
8
2
0
12 36x x− +
∫
dx
Sai lầm thường gặp:
I =

0;8∈
là không tương đương.
Lời giải đúng:
I =
8
2
0
12 36x x− +
∫
dx
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 8 6 8
2
0 0 0 6
6 6 6 6 6 6 6x dx x d x x d x x d x
 
− = − − = − − − + − −
 ∫ ∫ ∫ ∫
= -
( ) ( )
2 2
6 8
0 6
6 6
18 2 20
2 2
x x− −
+ = + =
* Chú ý đối với học sinh:

ba;
rồi dùng tính chất
tích phân tách I thành tổng các phần không chứa dấu giá trị tuyệt đối rồi mới tính
Một số bài tập tương tự:
1/ I
1
=
100
0
1 os2c x
π
−
∫
dx ; 2/ I
2
=
4
3 2
0
4 4x x x− +
∫
dx
3/ I
3
=
∫





dx
x x
−
−
+ +
∫
Sai lầm thường gặp:
I =
( )
( )
( )
1
1
2
2
2
2
arctan 2 arctan0 arctan1
4
2 1
d x
x
x
π
−
−
−
−
+
= + = − =

= = =
+
∫ ∫
* Chú ý đối với học sinh:
Các khái niệm arcsinx, arctanx không trình bày trong sách giáo khoa. Học sinh
có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo,
vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến
10
nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không
được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng
2 2
1
b
a
dx
a x
+
∫

ta thường dùng phương pháp đổi biến số đặt t = atanx hoặc t = acotx

2 2
1
b
a
dx
a x
−
∫
thì đặt x = asint hoặc x = acost

8
3
1 x
dxx
Bài tập 4: Tính: I =
∫
−
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
Sai lầm thường gặp: Đặt x= sint, dx = costdt
I =
∫ ∫
=
−
dt
t
t
dx
x
x
cos
sin
1

−
2
1
Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =
4
1
thì t =
4
15
11
I =
∫
−
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
=
( )
( )
∫ ∫
−=−




192
1533
3
2
192
1515
4
15
3
1
1 t
tdtt
t
tdtt
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa
2 2
a x−
thì
thường đặt x = asint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa a
2
+ x
2
thì đặt
x = atant nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác
của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải
nghĩ đến phương pháp khác.
* Một số bài tập tương tự:
1/ I =
dx
x

Sai lầm thường mắc: I =
∫ ∫
− −
−






+






−
=
+
−
1
1
1
1
2
2
2
2
2

Đổi cận với x = -1 thì t = -2; với x=1 thì t=2
I =
∫
−
−
2
2
2
2t
dt
=
dt
tt
)
2
1
2
1
(
2
2
−
−
+
∫
−
=
1
2 2
−

− − −
 
 
=
1
ln(3 2 2)
2
−
12
Nguyên nhân sai lầm:
2
2
2
4
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−

+ +
+
− + + +
=
2 2
1 2 1 2 1
2
2 1 2 1
x x
x x x x
 
− +
+
 
− + + +
 
Khi đó I =
∫
−
+
−
1
1
4
2
1
1
dx
x
x

* Một số bài tập tương tự:
1)
1
4
0
1
1
dx
x +
∫
(Viết:
( )
2 2 2 2
4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
1 2 1 2 1 1 2
x x x x
f x J K
x x x x
   
+ + − + −
= = = + = +
 ÷  ÷
+ + + +
   
)
2)
2
0

∫
(đặt x = acost) (a > 0)
13
5)
2 2
0
a
a x dx+
∫
(đặt x = atant) (a > 0)
6)
4
2
0
1 sin2
os
x
dx
c x
π
+
∫
(đặt t = 1+sin2x )
3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Từ đẳng thức: (uv)’= uv’+u’v
Ta có:
' 'uv dx uv u vdx
= −
∫ ∫
đó là công thức tính tích phân từng phần

=



∫
Bước 3: Khi đó
b
b
,
a
a
I uv u vdx= −
∫
Chú ý: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng
ta cần tuân thủ theo các nguyên tắc sau :
1. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
2. Tích phân
'
b
a
vu dx
∫
được xác định một cách dễ dàng hơn so với I
3. Chúng ta cần nhớ các dạng cơ bản sau :
Dạng 1:
I =
lnx dxx
α
∫
Khi đó cần đặt u = lnx

(hoặc I
ax
sine xdx
α
=
∫
). Khi đó đặt u = cosax
(hoặc u= sinax)
Bài tập 1: Tính I =
cot xdx
∫
Sai lầm thường mắc: I
cos
cot
sin
x
xdx dx
x
= =
∫ ∫
.
Đặt
2
1 cos
sinx sin
cos sinx
x
u du dx
x
dv xdx v

= = = = +
∫ ∫ ∫
Bài tập 2: Tính tích phân
2
x
0
I xe dx
=
∫
Sai lầm thường mắc: Đặt
x x
u x u' 1
v' e v e
= =
 
⇒
 
= =
 

( ) ( )
2
2 2
x x 2 x 2 2 2
0 0
0
I xe e dx 2e e 2e e 1 e 1
⇒ = − = − = − + = +
∫
15

* Sai lầm thường mắc:

( )
1
1 1 1
2
1
x x x
0
0 0 0
0
x 1 1 e 1
I xe dx xdx. e dx . e . 1
2 2 e 2e
− − −
− −
 
= = = − = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm
của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần
* Lời giải đúng:
( )
1
1
1
x x x
0

u e
sin3x
dv cos3xdx
v
3
=

=


⇒
 
=
=



I
2
2
2x 2x
0
0
sin3x 2 e 2
e e sin3x dx=
3 3 3 3
π
π
π
 

I
1
2 2
2
2x 2x 2x
0
0 0
cos3x 2
e sin3x dx e e cos3x dx
3 3
π π
π
 
= = − +
 
 
∫ ∫
1
3
= +
I
Do đó:
e 2 1 e 2 4
I I I
3 3 3 3 9 9
π π
 
=− − + =− − −
 ÷
 

3
=
/4
2
2
4
0 0
osx sin dx d) I (1 sin2 )xc x x x dx
π
π
= +
∫ ∫
Phần III: KẾT QUẢ
1. Kết quả nghiên cứu
17
Tích phân là loại toán đa phần có phương pháp tính khá cụ thể nên dễ hiểu,
đơn giản, dễ trình bày, dễ dàng trong tính toán, thực hiện các phép toán đơn giản.
Giúp học sinh cảm thấy hứng thú khi giải các bài toán tích phân.
Vì vậy, nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có
ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh
nhìn thấy được nhhững điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình
về vấn đề, từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực,
chủ động, củng cố trau rồi thêm kiến thức về tính tích phân. Từ đó làm chủ được
kiến thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và thi tuyển vào các
trường Đại học, cao đẳng, THCN cũng như thi HSG cấp tỉnh
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết
quả đạt được khả quan hơn nhiều. Cụ thể thực nghiệm sư phạm được tiến hành
tại hai lớp có trình độ tương đương nhau. Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho học
sinh làm bài kiểm tra như sau:
Bài tập: Tính các tích phân sau

dx
x x
π
+
∫
(Đề thi HSG Thanh Hóa 2010-2011)

Số liệu thống kê kết quả được thể hiện qua bảng sau đây:
Bảng: Kết quả các bài kiểm tra cụ thể như sau:
18
Điểm
Lớp
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Số
lượng
bài
TN (12A
6
) 0 0 0 1 3 10 13 6 7 5 45
ĐC (12A
1
) 0 0 2 7 15 8 10 3 3 0 48
Lớp TN có 97,8% điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 68,9% khá giỏi.
Có 5 em đạt điểm tuyệt đối.
Lớp ĐC có 81,3% điểm trung bình trở lên, trong đó có 33,3% điểm khá
giỏi, không có HS đạt điểm tuyệt đối.
Kết quả của các bài kiểm tra cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm cao
hơn lớp đối chứng nhất là bài đạt khá và giỏi. Một nguyên nhân không thể phủ
định là lớp thực nghiệm HS thường xuyên được thực hiện phương pháp (như đã
sử dụng ở trên) và cách thức tìm tòi lời giải của bài toán…

20
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM
THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN
Người thực hiện: Trịnh Duy Văn
Chức vụ: TTCM
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2013
21