SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG
GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN’’
1
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích toán học còn gọi đơn giản là Giải tích. Giải tích là ngành toán học nghiên
cứu về các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép toán cơ bản của
giải tích là "phép lấy giới hạn"; Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang
tính chất "động" hơn là tính chất "tĩnh" như trong Đại số. Chính vì vậy mà phần lớn học
sinh THPT rất lúng túng và gặp khó khăn khi học Giải tích nói chung và Nguyên hàm,
Tích phân nói riêng. Bên cạnh đó, trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng,
THCN và đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa của các năm qua, bài toán liên quan đến tích phân
hầu như không thể thiếu và là bài toán không thuộc loại khó. Tuy nhiên đối với học sinh
thì vẫn coi tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt
của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân.
Trong thực tế nhiều học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: Tìm một
nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân bằng dùng công thức cơ bản hoặc phương
pháp đổi biến số hoặc phương pháp tích phân từng phần ngay mà rất ít học sinh để ý đến
nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy
tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không?
Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học
sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai. Qua thực tế giảng dạy và ôn thi
nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh. Vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất
sáng kiến: ‘‘Giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân’’
2. Phạm vi nghiên cứu
Các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình
tính toán trong chương III – Giải tích 12.
2

Nhận xét: Khi bắt đầu học về nguyên hàm các em học sinh thường hay lúng túng và
hay bị nhầm với đạo hàm. Để tránh bị nhầm các em nên chú ý: “Để tính
( )f x dx
∫
ta cần
tìm một hàm số sao cho đạo hàm của nó bằng f(x)”
Tính chất: Các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa
a)
( ( ) )' ( )f x dx f x=
∫
b)
( ) ( )kf x dx k f x dx
=
∫ ∫
c)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
2. Tích phân
Định nghĩa: Ta có công thức Niu tơn – Laipnitz

b
b
a
a
f (x)dx F(x ) F(b) F(a)
= = −
∫
Tính chất
Tính chất 1:

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
Việc tính nguyên hàm của một hàm số là là một quá trình ngược lại của đạo hàm. Do
vậy mà ở đây tôi sẽ đưa ra 3 phương pháp có tính đường lối. Nó được dẫn dắt từ đạo
hàm của hàm hợp và đạo hàm của hai hàm.
Đó là các phương pháp:
- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản
- Phương pháp đổi biến số
- Phương pháp tính Tích phân từng phần.
III. NỘI DUNG CỤ THỂ
Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân
1. Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản
Bằng việc sử dụng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp. chúng ta có thể xác định
được các nguyên hàm từ đó tính được các giá trị các tích phân.
* Bảng các nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp
1
x
x dx C
1
α+
α
= +
α +
∫
(
α
≠
-1)
1
1 (ax b)
(ax b) dx C

a
+ +
= +
∫
x
x
a
a dx C
lna
= +
∫
mx n
mx n
1 a
a dx C
m lna
+
+
= +
∫
cosx.dx sin x C= +
∫
1
cos(ax b)dx sin(ax b) C
a
+ = + +
∫
sin x.dx cosx C= − +
∫
1

* Bài tập minh họa
Bài tập 1: Tính tích phân sau: I =
∫
−
5
0
4
)4(x
dx
Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau:
I =
∫
−
5
0
4
)4(x
dx
=
5
2
0
( 4)
( 4)
d x
x
−
−
∫
= -

[ ]
0;5
do đó tích phân trên không tồn tại.
Bài tập 2.(Đề thi HSG tỉnh Thanh hóa năm 2006-2007)
6
Cho tích phân
0
s 2
2cos2
n
in nx
I dx
a x
π
=
−
∫
,
∀
n∈
*
N
. Tìm
a
sao cho
2006 2007 2008
, , I I I
theo thứ tự
ấy lập thành cấp số cộng
Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau:

2007
0
0 0
2007
s 2.2007 cos4014
s 4014
2cos2 4014
in x x
in xdx a dx aI
a x
aI
π
π π
= − + = +
−
=
∫ ∫
Thoả mãn yêu cầu bài toán khi
2a =
Nguyên nhân sai lầm: Vì hàm số f(x) =
s 2
2cos2
in nx
a x−
không liên tục tại a = 2 trên
[ ]
0;Π
nên tích phân không tồn tại
Lời giải đúng:
Điều kiện tồn tại

2 2 2
2 2 2
n n
nt nt nx
I dt dt dx I
a t a t a x
π π
π
= = − = − = −
− − −
∫ ∫ ∫
sin sin sin
cos cos cos0
n
I⇔ =
,
∀
n∈
*
N
Suy ra: Thoả mãn yêu cầu bài toán khi
2a >
.
7
Chú ý đối với học sinh:
Khi tính
( )

2
2
)1( −
∫
−
.
3/ I
3
=
dx
x
∫
2
0
4
cos
1
π
4/ I
4
=
2 3
1
3
1
x
x x e
dx
x
−

n
A
A A
P x
Q x x x x
α α α
= + + +
− − −
.
+ Khi
( )
( )
2 2
( ) , 4 0Q x x x px q p q
α
= − + + ∆ = − <
thì đặt
2
( )
.
( )
P x A Bx C
Q x x x px q
α
+
= +
− + +
8
+ Khi
( ) ( )

như một hàm liên tục và có đạo hàm theo một biến mới là x. Như vậy việc tìm
( )f u du
∫
đưa về việc tìm
( ( )) '( )f u x u x dx
∫
một cách đơn giản hơn.
Bài tập 1. Tính tích phân
1
2
0
I 1 x dx
= −
∫
Sai lầm thường gặp:
Đặt x = sint
⇒
dx = costdt

1
1 1 1
2 2
0
0 0 0
1 os2 sin 2 1 1
1 sin .cos . os . . ( ) sin2
2 2 4 2 4
c t t t
I t t dt c t dt dt
+

0
sin1 x
dx
9
Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan
2
x
thì dx =
2
1
2
t
dt
+
;
xsin1
1
+
=
2
2
)1(
1
t
t
+
+

⇒
∫

dx
=
2
tan 1
2
x
−
+
π
0
=
2
tan 1
2
π
−
+
-
2
tan 0 1+
do tan
2
π
không xác định nên tích phân trên không tồn tại

Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t = tan
2
x
, với x



−






−
=






−+
π
π
π
π
π
π
π
0
0
2
0
42

ba;
.
* Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
1/ I
1
=
2
0
sin 2
dx
x
Π
∫
2/ I
2
=
∫
+
π
0
cos1 x
dx
Bài tập 3: Tính tích phân: I =
8
2
0
12 36x x− +
∫
dx

6 6x x− = −
với x
[ ]
0;8∈
là không tương đương.
Lời giải đúng:
I =
8
2
0
12 36x x− +
∫
dx
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 8 6 8
2
0 0 0 6
6 6 6 6 6 6 6x dx x d x x d x x d x
 
− = − − = − − − + − −
 ∫ ∫ ∫ ∫
= -
( ) ( )
2 2
6 8
0 6
6 6
18 2 20
2 2

ta phải xét dấu hàm số f(x) trên
[ ]
ba;
rồi dùng tính chất tích phân
tách I thành tổng các phần không chứa dấu giá trị tuyệt đối rồi mới tính
Một số bài tập tương tự:
1/ I
1
=
100
0
1 os2c x
π
−
∫
dx ; 2/ I
2
=
4
3 2
0
4 4x x x− +
∫
dx
3/ I
3
=
∫



2
2
4 5
dx
x x
−
−
+ +
∫
Sai lầm thường gặp:
I =
( )
( )
( )
1
1
2
2
2
2
arctan 2 arctan0 arctan1
4
2 1
d x
x
x
π
−
−
−

π
π
+
= = =
+
∫ ∫
* Chú ý đối với học sinh:
Các khái niệm arcsinx, arctanx không trình bày trong sách giáo khoa. Học sinh có thể đọc
thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết
theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này
không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa.
Vì vậy khi gặp tích phân dạng
2 2
1
b
a
dx
a x
+
∫
ta thường dùng phương pháp đổi biến số đặt t
= atanx hoặc t = acotx

2 2
1
b
a
dx
a x
−

3
1
0
8
3
1 x
dxx
Bài tập 4: Tính: I =
∫
−
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
Sai lầm thường gặp: Đặt x= sint, dx = costdt
I =
∫ ∫
=
−
dt
t
t
dx
x
x

x
x
=⇒
−
2
1
Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x =
4
1
thì t =
4
15
I =
∫
−
4
1
0
2
3
1
dx
x
x
=
( )
( )
∫ ∫
−=−


3
2
192
1533
3
2
192
1515
4
15
3
1
1 t
tdtt
t
tdtt
13
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa
2 2
a x−
thì thường đặt
x = asint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa a
2
+ x
2
thì đặt
x = atant nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc
đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương
pháp khác.
* Một số bài tập tương tự:

dx
x
x
Sai lầm thường mắc: I =
∫ ∫
− −
−






+






−
=
+
−
1
1
1
1
2
2

1
1
1
Đổi cận với x = -1 thì t = -2; với x=1 thì t=2
I =
∫
−
−
2
2
2
2t
dt
=
dt
tt
)
2
1
2
1
(
2
2
−
−
+
∫
−
=

+ − +
−
 
− − −
 
 
=
1
ln(3 2 2)
2
−
Nguyên nhân sai lầm:
2
2
2
4
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
+
−
=

2 1 2 1
ax b cx d
x x x x
+ +
+
− + + +
=
2 2
1 2 1 2 1
2
2 1 2 1
x x
x x x x
 
− +
+
 
− + + +
 
Khi đó I =
∫
−
+
−
1
1
4
2
1
1

−
* Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần
để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 .
* Một số bài tập tương tự:
1)
1
4
0
1
1
dx
x +
∫
(Viết:
( )
2 2 2 2
4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
1 2 1 2 1 1 2
x x x x
f x J K
x x x x
   
+ + − + −
= = = + = +
 ÷  ÷
+ + + +
   
)

0
a
a x dx−
∫
(đặt x = acost) (a > 0)
5)
2 2
0
a
a x dx+
∫
(đặt x = atant) (a > 0)
6)
4
2
0
1 sin 2
os
x
dx
c x
π
+
∫
(đặt t = 1+sin2x )
3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Từ đẳng thức: (uv)’= uv’+u’v
15
Ta có:
' 'uv dx uv u vdx= −

⇒
 
=



∫
Bước 3: Khi đó
b
b
,
a
a
I uv u vdx= −
∫
Chú ý: Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần
tuân thủ theo các nguyên tắc sau :
1. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
2. Tích phân
'
b
a
vu dx
∫
được xác định một cách dễ dàng hơn so với I
3. Chúng ta cần nhớ các dạng cơ bản sau :
Dạng 1:
I =
lnx dxx
α

=
∫
(hoặc I
ax
sine xdx
α
=
∫
). Khi đó đặt u = cosax
(hoặc u= sinax)
Bài tập 1: Tính I =
cot xdx
∫
Sai lầm thường mắc: I
cos
cot
sin
x
xdx dx
x
= =
∫ ∫
.
Đặt
2
1 cos
sinx sin
cos sinx
x
u du dx

xdx dx c
x
= = = = +
∫ ∫ ∫
Bài tập 2: Tính tích phân
2
x
0
I xe dx
=
∫
Sai lầm thường mắc: Đặt
x x
u x u ' 1
v' e v e
= =
 
⇒
 
= =
 

( ) ( )
2
2 2
x x 2 x 2 2 2
0 0
0
I xe e dx 2e e 2e e 1 e 1
⇒ = − = − = − + = +

=
∫
* Sai lầm thường mắc:

( )
1
1 1 1
2
1
x x x
0
0 0 0
0
x 1 1 e 1
I xe dx xdx. e dx . e . 1
2 2 e 2e
− − −
− −
 
= = = − = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm của một
tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần
* Lời giải đúng:
( )
1
1
1

du 2e dx
u e
sin3x
dv cos3xdx
v
3
=

=


⇒
 
=
=



I
2
2
2x 2x
0
0
sin3x 2 e 2
e e sin3x dx=
3 3 3 3
π
π
π



I
1
2 2
2
2x 2x 2x
0
0 0
cos3x 2
e sin3x dx e e cos3x dx
3 3
π π
π
 
= = − +
 
 
∫ ∫
1
3
= +
I
Do đó:
e 2 1 e 2 4
I I I
3 3 3 3 9 9
π π
 
=− − + =− − −


c) I
3
=
/4
2
2
4
0 0
osx sin dx d) I (1 sin 2 )xc x x x dx
π
π
= +
∫ ∫
19
PHẦN III: KẾT QUẢ
1. Kết quả nghiên cứu
Tích phân là loại toán đa phần có phương pháp tính khá cụ thể nên dễ hiểu, đơn giản,
dễ trình bày, dễ dàng trong tính toán, thực hiện các phép toán đơn giản. Giúp học sinh
cảm thấy hứng thú khi giải các bài toán tích phân.
Vì vậy, nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý nghĩa
rất lớn trong quá trình dạy vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được
nhhững điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề, từ đó phát
huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực, chủ động, củng cố trau rồi
thêm kiến thức về tính tích phân. Từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết quả cao
trong quá trình học tập và thi tuyển vào các trường Đại học, cao đẳng, THCN cũng như
thi HSG cấp tỉnh
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt
được khả quan hơn nhiều. Cụ thể thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại hai lớp có
trình độ tương đương nhau. Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra

(sin 3cos )
x
dx
x x
π
+
∫
(Đề thi HSG Thanh Hóa 2010-2011)

20
Số liệu thống kê kết quả được thể hiện qua bảng sau đây:
Bảng: Kết quả các bài kiểm tra cụ thể như sau:
Điểm
Lớp
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Số
lượng
bài
TN (12A
6
) 0 0 0 1 3 10 13 6 7 5 45
ĐC (12A
1
) 0 0 2 7 15 8 10 3 3 0 48
Lớp TN có 97,8% điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 68,9% khá giỏi. Có 5 em
đạt điểm tuyệt đối.
Lớp ĐC có 81,3% điểm trung bình trở lên, trong đó có 33,3% điểm khá giỏi, không
có HS đạt điểm tuyệt đối.
Kết quả của các bài kiểm tra cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối
chứng nhất là bài đạt khá và giỏi. Một nguyên nhân không thể phủ định là lớp thực