Chuyên đề:
MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ CHIẾT SUẤT BIẾN
ĐỔI
Đặt vấn đề:

Trong các đề thi học sinh cấp thành phố, cấp quốc

gia và quốc tế những năm gần đây xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến
phần quang hình có chiết suất môi trường biến đổi. Những bài toán này là
thường khá hay và gây ra khó khăn cho học sinh vì nó đòi hỏi học sinh khả
năng phân tích và kiến thức tổng hợp. Nhằm giúp các em giải quyết
những bài toán này tôi đã biên soạn chuyên đề “MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ
BẢN VỀ CHIẾT SUẤT BIẾN ĐỔI”. Vậy hướng giải quyết những bài toán này
như thế nào?
B1: Chia khối trong suốt thành các lớp mỏng trong suốt sao cho chiết
suất trong những lớp ấy gần như không đổi.
B2: Dùng các định luật truyền thẳng, định luật phản xạ, định luật
khúc xạ ánh sáng và hiện tượng phản xạ toàn phần áp dụng cho các lớp
mỏng trong suốt.
B3: Kết hợp kiến thức toán học: tích phân, các phép tính gần đúng…..
để tính toán.
Chuyên đề được chia làm hai phần:
Phần 1: Ôn tập những kiến thức cơ bản về các định luật truyền thẳng
ánh sáng, định luật phản xạ ánh sáng, định luật khúc xạ ánh sáng và hiện
tượng phản xạ toàn phần.
Phần 2:Phân chia dạng bài tập và một số bài tập minh họa và vận
dụng.

Trang 1



trường 1 và 2. Tỉ số

gọi là chiết suất tỉ đối của hai môi

trường.
• Hiện tượng phản xạ toàn phần
2.

Môi trường có chiết suất thay đổi
Trang 2


• Trên thực tế rất khó có một môi trường trong suốt đồng nhất

và có chiết suất không thay đổi theo vị trí mà luôn tồn lại môi trường
có chiết suất thay đổi theo từng vị trí khác nhau.
• Ví dụ
 Chiết suất của các bản mỏng .
 Chiết suất của lớp không khí thay đổi theo độ cao.
 Chiết suất của lớp không khí trên khí quyển trái đất.

II.

MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

DẠNG 1:Biết phương trình đường truyền tìm chiết
suất n.
Giả sử chiết suất môi trường n = n(y) . Biết đường truyền tia
sáng y = y(X) . Tia sáng bay vào môi trường nói trên tại điểm x 0 với
góc tới i0 biết chiết suất môi trường ngoài là n 0 .Hãy tìm qui luật


phương

trình:

y

=

ax 2

2. Đường truyền là một đoạn phương trình : y = AsinBx

3. Đường truyền là cung tròn :

lấy đạo hàm hai vế

Bài 1: Trong một môi trường trong suốt có chiết suất biến đổi theo
biến số y. Một tia sáng đơn sắc được chiếu vuông góc với mặt phẳng giới
hạn môi trường tại điểm y=0. Chiết suất của môi trường tại đó có giá trị
n0. Xác định biểu thức của chiết suất để ánh sáng truyền trong môi trường
theo một parabol.
Hướng dẫn:
Chia môi trường thành những lớp vô cùng mỏng sao cho trong mỗi lớp
chiết suất coi như không đổi.
Trang 4


Định luật khúc xạ cho



x


Mặc khác

Từ :

,tìm được y’ lấy nguyên hàm ta tìm được

y
Phương pháp: Ta chia thành các mặt phẳng có chiết suất gần như
không đổi .
Bài 1: Một bản song song có chiết suất biến đổi theo quy luật

bề dày của bản là b=1m. Một tia sang chiếu tới
trên mặt AB dưới một góc .
a. Xác định điều kiện  để tia sang không xuyên qua bản mỏng đó.
b. Tia sang đơn sắc SI chiếu vuông góc tới mặt giới hạn tại O có chiết suất

n0=1. Sau khi ra khỏi bản mỏng một góc 
- Xác định góc lệch của tia sang so với phương ban đầu.
- Xác định phương trình đường cong tia sang truyền trong bản

Hướng dẫn:
a. Điều kiện 

Trang 7




Tại x=0 suy ra y=0 suy ra c = 0.

Vậy

hay

Bài 2: Chiết suất của không khí tại một sân bay phụ thuộc vào độ
cao y theo công thức

trong đó hằng số

, n0 là

chiết suất không khí tại mặt đất. Một người đứng trên đường bang, độ cao
mặt của anh ta so với mặt đất là 1,7 m. TÍnh độ dài d mà anh ta nhìn rõ
trên đường bang?

Hướng dẫn:
Chia không khi trên sân bay thành các lớp n 1, n2, …. Song song với
mặt đất.
Trang 9


Ta có:
Từ hình vẽ ta có:

Vì a nhỏ, y hữu hạn nên bỏ qua (ay) 2 nên

hay chuyển sang

(1)

Tiếp đó

Nhân các biểu thức với nhau, ta nhận được

(2)

Nghĩa là có thể viết đối với một điểm bất kỳ của quỹ đạo:

(3)
Ta nhận thấy rằng α là góc giữa tiếp tuyến của quỹ đạo tia sáng và
phương đứng.Nếu khảo sát quỹ đạo của tia sáng như một hàm dịch
chuyển theo độ sâu thì: f '(x) tgα.(hệ số góc của tiếp tuyến)

Từ (3) suy ra:

Trang 11


(→ Xây dựng ra được:

)

(4)
Thay các giá trị đã cho vào phương trình (4), ta nhận được:

(5)

Từ hệ tọa độ đã cho, ta chỉ lấy nghiệm:

quang và xác định biểu thức tọa độ x của giao điểm đường đi tia sáng với
trục Ox.
2. Tìm góc tới cực đại α max , dưới đó ánh sáng vẫn có thể lan truyền
bên trong lõi của sợi quang.

Trang 13


Hướng dẫn:
- Vì môi trường chiết suất biến đổi liên tục nên ánh sáng sẽ truyền
theo đường cong. Chia môi trường thành nhiều lớp mỏng song song mặt
phẳng Ox. Gọi α là góc phụ với góc tới của tia sáng tại M(x,y)

π

π

n ( y ) sin  − α ÷ = const = n1 sin  − α1 ÷
2

2

Theo định luật khúc xạ:

⇔ n1 1 − γ 2 y 2 cosα = n1cosα1 ⇒ 1 − γ 2 y 2 cosα = cosα1
Với

góc

α1

ta tìm được

hàm biểu diễn của dx theo f(y)dy. Tích phân 2 vế bằng cách đặt ẩn phụ
dạng cy = sint ta tìm được quỹ đạo tia sáng có dạng hình sin với

 ω
 sin α 0
 γ

y = Asin 
x÷ =
sin 
x÷
γ n1
 cosα1 
 v0cosα1 
⇔y=


sin α 0
nγ
sin  2 1 2
 n − sin α
γ n1
0
 1

- Độ cao cực đại mà tia
sáng đạt được chính bằng biên




n12 − sin 2 α 0
n1γ
.

⇒ x = kπ

Vị trí đầu tiên có k =1

→ x =π

n12 − sin 2 α 0
n1γ

2. Để ánh sáng vẫn có thể lan truyền bên trong lõi của sợi quang thì

ymax ≤ a ⇔

Chú

sin α 0
≤ a ⇒ sin α 0 ≤ γ a n1 = sin α max ; α max = arcsin γ a n1
γ n1

ý

rằng

từ

(sinα ≈ 1) như hình 3.
1. Viết phương trình quỹ đạo biểu diễn đường truyền của tia sáng
trong sợi quang.

Trang 15


2. Tìm điều kiện của R để tia sáng truyền trong sợi quang mà không
bị ló ra ngoài thành sợi quang.

Hướng dẫn:
1. Chia sợi quang thành

y

nhiều lớp mỏng hình trụ đồng
β i

tâm. Xét trong mặt phẳng
O

xOy, các lớp đó có tọa độ y

x

dày dy và có chiết suất là

với
+ Tại O: sin= n0sinβ (với n0 = 2/


xạ toàn phần của tia sáng phải cách trục ox một

khoảng nhỏ hơn R

=>

Bài 6 : Xác định sự sai lệch khi định vị góc nhìn một ngôi sao từ mặt
đất dưới góc 450 áp suất khỉ quyển tại sát mặt đất là n=1,00003.
Hướng dẫn
Càng lên cao, không khí càng loãng, nhiệt độ càng lạnh. Do đó chiết
suất của khí cũng giảm. Sự thay đổi của chiết suất cũng làm cho tia sáng
từ ngôi sao phát ra khi tới mặt đất không đi theo đường thẳn mà lại theo
một đường vòng. Vị trí của các ngôi sao nhìn từ Trái Đất bị sai lệch ít nhiều
vì sự khúc xạ tia sáng trong khí quyển.
Để giải quyết bài toán này, ta cần phải chia khí quyển thành các lớp
vô cùng mỏng, và coi rằng trong các lớp đấy, môi trường là đồng nhất
(chiết suất không đổi) và ánh sáng đi theo đường thẳng.
Gọi là chiết suất của lớp thứ p.
Là góc tới mặt phân cách của lớp thứ p và p+1.
Áp dụng định luật khúc xạ ta có:

Trang 17


Trong đó:

Vì δ rất nhỏ nên
Thay vào (2) ta được:
Kết luận: Trong những bài toán dạng môi trường có chiết suất thay
đổi, ta nên chia môi trường thành những lớp đẳng chiết để áp dụng định

phải có mật độ lớn hơn bao nhiêu lần để ánh sáng bị cuốn theo mặt cong
của quả đất tại mực nước biển? (về nguyên tắc khi bầu trời quang mây có
thể ngắm mặt trời lặn cả đêm, tuy rằng ảnh của mặt trời khi đó bị nén
mạnh theo phương thẳng đứng). Giả thiết rẳng chiết suất n có tính chất là
n-1 tỷ lệ với mật độ . (Gợi ý: dùng nguyên lí Fermat). Độ cao 1/e. của khí
quyển đẳng nhiệt này là 8700m.
Lời giải:

Theo đề bài
Trong đó R

m là bán kính quả đất và

Khi đó

Trang 19

là mật độ không khí.


Cũng theo đề bài không khí có mật độ đủ lớn để làm cho ánh sáng bị
cong theo mặt cong của trái đất ở mức nước biển như trên hình vẽ sau:

Độ lớn quang trình từ A đến B là
Theo nguyên lí Ferman, độ dài quang trình từ A đến B phải đạt cực trị,

tức là

Tức là


1/ Chiết suất của không khí phụ thuộc cả vào nhiệt độ
áp suất. Nhưng trong bài toán này ta sẽ coi rằng chiết
Trang 20

và


suất chỉ phụ thuộc nhiệt độ và sự phụ thuộc đó có dạng

. Đối với

không khí ở áp suất tiêu chuẩn thì hằng số
Không khí bên trên mặt đường dưới tác dụng của ảnh nắng mặt trời bị
nóng lên, và vì thế mặt đường khô mà nhìn như bị “ướt”. Giả sử trong một
lớp đủ mỏng bên trên mặt đường nhiệt độ cao hơn nhiệt độ trung bình
một lượng
. Một người quan sát sẽ thấy ở cách mình một
khoảng cực tiểu s một “vũng nước” trên đường.
- Hãy giải thích sự xuất hiện “vũng nước”.
- Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc
Biết rằng mắt người ở cách mặt đường một khoảng h =1,0m.
Để mô hình hóa ảo ảnh này, kích thước của phòng thí nghiệm rõ ràng là
không đủ, bởi vậy có thể khôn ngoan thay không khí bằng một mẩu thủy
tinh hữu cơ, có chiết suất phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ. Để làm nguồn
sáng ta sử dụng một sợi dây mảnh phát sáng S. Dưới đây hãy xem xét các
tia:
a) Truyền dưới một góc ngỏ so với trục của quang hệ và các trục đó một
khoảng cách nhỏ (gần đúng cận trục)
b) Các tia ở trong mặt phẳng chứa trục của hệ và vuông góc với dây phát
sáng.

khối thủy tinh? Biết độ dày của khối thủy tinh d=4,0cm.

a

n1

F

n0
l
Hướng dẫn:

1/ Không khí bên trên mặt đường dưới tác dụng của ánh nắng Mặt trời bị
nóng lên, càng lớp phía dưới nhiệt độ càng tăng, tức chiết suất càng giảm.
Các tia sáng từ Mặt trời qua các đám mây chứa các giọt nước, từ lớp nóng
nao đó thỏa mẫn điều kiện phản xạ toàn phần và đi tới mắt người qua sát
làm cho có cảm giác mặt đường bị ướt.

n(T)

n(T0)

α

h

s
Chia không khí thành các lớp đủ mỏng, áp dụng định luật khúc xạ và phản
xạ toàn phần ta tìm được



Bài 10: Giả sử chiết suất n của không khí giảm dần theo độ cao r theo
quy luật
đúng trong khoảng R
Hướng dẫn:
Gọi chiết suất của đĩa là n và sự phân bố theo bán kính của chiết suất của
đĩa lẫn tạp chất biểu diễn bằng hàm số n(r) với n(0)=n0. Các sóng phẳng
tới thấu kính, khúc xạ và hội tụ tại tiêu điểm F như hình vẽ. Ta có

Khi f>>r ta thu được

Trong chân không có một quả cầu nhỏ đồng chất bán kính r, chiết suất n
như hình vẽ. Một chùm sáng hẹp tần số f trong chân không truyền theo
đường thẳng BC. Đường thẳng BC cách tâm cầu O bằng L (L