Sỏng kin kinh nghim
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~
~~~~
Khai thác và phát triển một số
bài toán từ một bài toán cơ bản về diện tích các hình tam giác góp phần bồi d-
ỡng học sinh khá - giỏi lớp 5
I - Đặt vấn đề
Những bài tập về hình học, đặc biệt là những bài tập có liên quan
đến diện tích hình tam giác là một trong những bài tập khó đối với học
sinh Tiểu học nhng lại là một mảng kiến thức cần thiết đối với học sinh
Tiểu học. Đây chính là cơ sở ban đầu để hình thành cho các em những
kiến thức cơ bản về hình học, giúp các em học tốt hơn các lớp trên.
Bên cạnh đó, tôi thấy một số giáo viên cha khai thác hết phơng pháp
dạy học "lấy học sinh làm trung tâm". Thực tế, nhiều giáo viên cũng đã
chú ý đến mảng kiến thức này song cha "bài bản", giải nhiều bài tập nhng
cha có tính hệ thống. Giáo viên chỉ đơn thuần giải quyết theo yêu cầu của
đề bài nêu ra là xong. Để phát triển khả năng t duy, phát huy tính sáng tạo
của học sinh thì phơng pháp dạy học đó cha đạt hiệu quả cao. Với thực
trạng nh thế, theo tôi vai trò của ngời thầy giáo là hết sức quan trọng. Làm
thế nào để học sinh tiếp thu bài không nhàm chán, để học sinh vẫn thấy
mình đợc "lớn lên" qua các bài giảng, bài thiết kế của thầy? Đó là vấn đề
đặt ra của mỗi thầy cô giáo. Trong phạm vi bài viết của mình, với vốn
kiến thức còn ít ỏi, tôi muốn đa ra một số vấn đề xây dựng một chuỗi bài
tập về diện tích và các yếu tố có liên quan đến diện tích của hình tam giác
trên cơ sở của một bài toán cơ bản từ đó nhằm khai thác và phát triển tối
đa thành một hệ thống các bài toán khác từ dễ đến khó, từ đơn giản đến
Ngời Viết: Hoàng Đức Củ TH H ng Thuỷ
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
Trang 1
Sỏng kin kinh nghim

~~~~
- Hai hình có diện tích bằng nhau mà cùng có phần chung hoặc có
phần bằng nhau thì phần còn lại tơng ứng cũng bằng nhau.
ở hệ thống các bài tập sau đây, tôi đa ra 2 ví dụ cơ bản từ đó phát
triển thành các mẫu bài tập:
+ Tính và so sánh diện tích các hình tam giác.
+ Tính và so sánh độ dài các cạnh đáy.
+ Tính và so sánh độ dài các đờng cao.
+ Các bài tập về chứng minh (hay chứng tỏ).
Chúng ta bắt đầu từ một bài toán đơn giản đợc đa ra trong sách giáo
khoa nh sau:
Ví dụ 1:
Cho hình tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của cạnh
BC. Hãy so sánh diện tích của 2 hình tam giác ABM và AMC.
Giải:
Ta có hình vẽ bên.
Kí hiệu S là diện tích.
Hai tam giác ABM và AMC
có chung chiều cao hạ từ A và có
đáy BM = MC nên: S
ABM
= S
AMC
.
Từ ví dụ trên ta có thể phát triển bằng cách
kẻ thêm 2 đờng cao của hai tam giác AMB và AMC và yêu cầu so sánh 2
đờng cao đó, ta sẽ đợc bài tập 1 nh sau:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC.
HB và CK tơng ứng là hai đờng cao của 2 tam giác ABM và ACM.
Ngời Viết: Hoàng Đức Củ TH H ng Thuỷ

AMBH ì
=
2
AMCK ì
Hay
22
CKBH
=
. Vậy BH = CK. (đ.p.c.m)
Từ bài tập 1 ta có thể phát triển bằng cách thêm một vài yếu tố mới
và yêu cầu tính và so sánh diện tích các hình tam giác ta sẽ đợc các bài tập
sau:
Bài tập 2: Cho hình tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của
BC và N là điểm chính giữa của AC. Tính diện tích tam giác ABC. Biết
diện tích tam giác MNC là 2 cm
2
.
Giải:
Ta có hình vẽ bên.
Theo ví dụ 1 ta có:
S
ABM
= S
AMC
=
2
1
S
ABC
.

MNC
. Biết
Ngời Viết: Hoàng Đức Củ TH H ng Thuỷ
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
Trang 4
(2)
A
B
M
C
N
A
B
H
K
M
C
Sỏng kin kinh nghim
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~
S
ABC
= 24 cm
2
.
Giải:
Ta có hình vẽ bên.
Vì MN // AB (gt) nên ABMN
là hình thang. Suy ra các đờng

Nên S
MNC
=
4
1
S
ABC
Hay S
MNC
= 24 : 4 = 6 (cm
2
)
Từ bài tập này ta có thể phát triển bằng cách thêm một vài yếu tố
mới và yêu cầu tính và so sánh độ dài các đờng cao; tính và so sánh độ dài
các cạnh đáy của hình tam giác ta sẽ đợc các bài tập sau:
Bài tập 4: Cho tam giác ABC có AB = 4cm. Điểm M và N lần lợt là
điểm chính giữa của BC và AC. Tính đờng cao MK của tam giác MAB.
Biết S
ANC
= 4cm
2
.
Giải:
Ta có hình vẽ bên.
Ngời Viết: Hoàng Đức Củ TH H ng Thuỷ
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
Trang 5
A
B

4 = 8 (cm
2
)
Vậy độ dài đờng giao MK của MAN là:
).(4
4
82
mc=
ì
Bài tập 5: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC.
Nối AM, trên AM lấy điểm N sao cho AN = NM. Tính đờng cao NQ
của tam giác NAC. Biết đờng cao BK của tam giác BAC là 8 cm .
Giải:
Ta có hình vẽ bên.
Ta thấy: S
CNA
=
2
1
S
CMA
(chung
đờng cao hạ từ đỉnh C và AN =
2
1
AM)
S
AMC
=
2

M
C
N
K
Q
Sỏng kin kinh nghim
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~
Tính S
ABC
biết S
BMN
= 24cm
2
.
Giải:
Ta có hình vẽ bên.
Từ A ta kẻ đờng cao AH của
ANC. Từ M ta kẻ đờng cao
MK của MIC. Ta thấy:
S
CMI
=
2
1
S
CIA
*(chung đờng cao hạ từ C, MI =
2
1

BMN
Vậy S
ABC
= 4 ì 24 = 96 (cm
2
).
Bài tập 7: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC.
Trên MA lấy điểm I sao cho IM =
2
1
AI. Kéo dài CI cắt AB tại N.
a/ Chứng tỏ N là điểm chính giữa của cạnh AB.
b/ Tính S
ABC
. Biết S
AIN
= 4cm
2
.
Giải:
Ta có hình vẽ bên
a/ Kẻ đờng cao AP của ANC
và đờng cao BH của BNC.
Ngời Viết: Hoàng Đức Củ TH H ng Thuỷ
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
Trang 7
A
B
M

Mà S
CIM
=
2
1
S
CIA
(chung đờng cao hạ từ C và MI =
2
1
IA).
Nên theo (1) thì S
BIC
= S
AIC
(2)
Mặt khác BIC và AIC có chung đáy IC nên theo (2)
Ta có: AP = BH.
Do đó S
ANC
= S
BNC
(chung đáy NC và AP = BH) (3)
Lại có, ANC và BNC có chung đờng cao hạ từ C nên theo (3) thì
AN = BN. Hay N là điểm chính giữa của cạnh của cạnh AB (đ.p.c.m)
b/ Ta thấy: S
IAN
= S
IBN
(chung đờng cao hạ từ I và AM = BN).

(4)(chung đờng cao hạ từ B, IM =
3
1
AM).
Và S
ABM
=
2
1
S
ABC
(theo ví dụ 1)
Nên theo (4) ta có: S
IAN
=
6
1
S
ABC
. Hay S
ABC
= 6S
IAN
Vậy S
ABC
= 6 ì 4 = 24 (cm
2
)
Ngời Viết: Hoàng Đức Củ TH H ng Thuỷ
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~

đờng cao hạ từ K và BM = MC).
Mà S
KBM
= S
KNB
+ S
NBM
S
KMC
= S
KNC
+ S
NMC
Ta suy ra S
KNB
+ S
NBM
= S
KNC
+ S
NMC
Nên theo (1) ta có: S
KNB
= S
KNC
.
Mà S
KAN
=
3

(chung đờng cao hạ từ B và AN =
4
1
AC).
S
ABC
= 4S
BAN.
Vậy S
ABC
= 4 ì 100 = 400(cm
2
)
b/ Theo a/ ta có: S
NBC
= S
ABC
- S
ANB
= 400 - 100 = 300(cm
2
).
Suy ra: S
NMC
= 300 : 2 = 150(cm
2
) (1).
Ngời Viết: Hoàng Đức Củ TH H ng Thuỷ
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~

1
KM
Bài tập 9: Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm K sao cho
KB = KC. Trên AK lấy điểm H sao cho HA = HK. Nối BH kéo dài cắt AC
tại Q. Nối H với C.
a/ Tính S
ABC
. Biết S
BHK
= 100cm
2
b/ Hãy so sánh AQ với QC.
c/ Hãy so sánh S
AHQ
với S
ABC
?
Giải:
Ta có hình vẽ bên
a/ Ta thấy S
BHK
=
2
1
S
BAK
(chung
đờng cao hạ từ B và HK = AK (gt)).
Mà S
ABK

~~~~ ~
Trang
10
A
B
K
C
H
E
Q
I
Sỏng kin kinh nghim
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~
Ta thấy: S
BHA
= S
BHK
S
HBK
= S
HKC
suy ra S
AHB
=
2
1
S
CHB
(1)

S
HAC
(3)
Mà S
CHA
=
2
1
S
CKA
S
AKC
=
2
1
S
ABC
suy ra S
CHA
=
4
1
S
ABC
nên từ (3) ta có
S
AHQ
=
12
1

Sỏng kin kinh nghim
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~
cao hạ từ B và AM =
3
1
AC).
Suy ra: S
ABC
= 3S
AMB
= 3 ì 2 = 6(cm
2
.
)
Từ ví dụ 2 ta phát triển bằng cách thêm một vài yếu tố mới ta sẽ đợc
các bài tập sau:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC và BC = 3cm. Trên AC lấy M sao cho
AM =
3
1
AC. Tính đờng cao AH của ABC. Biết S
AMB
là 2cm
2
.
Giải:
Ta có hình vẽ bên
Ta có: S
ABC

BF =
3
1
BC. Trên AB lấy điểm E sao cho AE =
3
1
AB. Nối A với F và C với
E cắt nhau tại H. Biết S
AEH
= 3cm
2
.
Tính:
a/ S
ACH
b/ S
ABC
?
Giải:
Ta có hình vẽ bên
Ngời Viết: Hoàng Đức Củ TH H ng Thuỷ
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
Trang
12
A
B
C
M
H

Mà BAH và CAH chung đáy nên từ (2) ta có: S
BAH
=
2
1
S
CAH
.
Hay S
CAH
= 2S
BAH
.
Mặt khác, S
HAB
= 3S
HAE
(chung đờng cao hạ từ H và AB = 3AE (gt)).
Suy ra: S
HAB
= 3 ì 3 = 9(cm
2
)
Vậy: S
AHC
= 2 ì 9 = 18(cm
2
)
b/ Ta có: S
CAE

3
1
BC. Nối AN và BN cắt
nhau tại E.
a/ Chứng tỏ rằng S
AEM
= S
BEN
b/ Kẻ đờng cao MK của
Ngời Viết: Hoàng Đức Củ TH H ng Thuỷ
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
Trang
13
Sỏng kin kinh nghim
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~
MEC và đờng cao NH của NEC. Chứng tỏ rằng NH = MK.
Giải:
Ta có hình vẽ bên
a/ Xét 2 ABM và ABN. Ta có:
S
BAM
=
3
1
S
BAC
(chung đờng cao
hạ từ B và AM =

Mà S
EAM
=
2
1
S
EMC
(chung đờng cao hạ từ E và AM =
2
1
MC).
S
EBN
=
2
1
S
BNC
(chung đờng cao hạ từ E và BN =
2
1
NC).
Suy ra S
MEC
= S
NEC
. (1)
Mặt khác 2 tam giác MEC và NEC có chung đáy EC nên từ (1)
ta có: NH = MK (đ.p.c.m).
Bài tập 4: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm H sao cho

~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
Trang
14
A
B
C
K
H
N
E
M
A
B
C
O
H
F
E
M
Sỏng kin kinh nghim
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~
tích không đổi thì đờng cao và đáy
là 2 đại lợng tỷ lệ nghịch với nhau thành ra:
3
4
=
CE
CE

Từ (2) và (3) suy ra S
BOA
= S
COA
.
Mà S
OAC
= 3S
OAP
(chung đờng cao hạ từ O và CA = 3AP).
Ngời Viết: Hoàng Đức Củ TH H ng Thuỷ
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
Trang
15
A
B
C
O
D
N
E
M
Sỏng kin kinh nghim
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~
Nên S
OAC
= 3 ì a và S
OBA

1
AC. Nối AN, BE và CM
cắt nhau lần lợt tại các điểm K, F, H (hình vẽ).
a/ Chứng tỏ rằng S
MAH
= S
NBC
= S
ECF
.
b/ Biết S
AMH
= 3cm2. Tính S
HKF
?
Giải:
a/ Ta có: S
HAM
=
3
1
S
HAB
(chung
đờng cao hạ từ H và AM =
3
1
AB).
Ta có: S
ABN

M
A
H
E
F
C
N
K
Sỏng kin kinh nghim
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~
Suy ra S
CHA
= 2S
BHA
= 2 ì 3S
AMH
= 6S
AMH
.
Suy ra S
CMA
= 7S
AMH
Mặt khác S
CMA
= S
CAB
(chung đờng cao hạ từ C và AM =
3

1
S
ABC
(3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra: S
MAH
= S
NBK
= S
ECF
(đ.p.c.m)
b/ Theo a/ thì S
MAC
= 7S
MAH
= 7 ì 3 = 21(cm
2
)
Suy ra S
ABC
= 21 ì 3 = 63(cm
2
)
Mà S
HKF
= S
ABC
- (S
ABK
+ S

Trang
17
A
B
C
O
H
N
M
K
Sỏng kin kinh nghim
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~
Ta có hình vẽ bên
a/ Theo bài tập 3 ta có:
S
BON
= S
AOM
; S
ONC
= S
OMC
Mà S
AOC
= S
AOM
+ S
OMC
S

AM =
3
1
AC. Trên phần kéo dài BA (về phía A) lấy điểm D sao cho AD =
AB. Nối D với M kéo dài cắt BC tại E.
a/ Tính S
ABC
biết S
ADM
= 60cm
2
b/ Chứng tỏ EB = EC.
Giải:
Ngời Viết: Hoàng Đức Củ TH H ng Thuỷ
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
Trang
18
A
D
B
E
C
M
Sỏng kin kinh nghim
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~
Ta có hình vẽ bên
a/ Ta có: S
MDA

(1) (chung đờng cao hạ từ D và AM =
2
1
MC)
S
MAD
= S
MAB
(theo a/) (2)
Mà S
MDA
+ S
MAB
= S
BDM
(3)
Từ (1); (2) và (3)và suy ra S
BDM
= S
CDM
(4)
Mặt khác 2 BDM và CDM có chung đáy DM nên từ (4) ta có đờng
cao hạ từ B của BDM và đờng cao hạ từ C của CDM phải bằng nhau.
Hai đờng cao này đồng thời cũng là hai đờng cao của 2 BME và CME
(5).
Mà BME và CME có chung ME nên từ (5) ta có S

BME
= S


Ta có hình vẽ bên.
Ta có: S
BMC
=
3
2
S
BAC
(chung
đờng cao hạ từ B và MC =
3
2
AC)
suy ra S
BMC
=
3
2
a
Mà S
CME
=
3
2
S
CMB
(chung đờng cao hạ từ C và ME =
3
2
MB)

3
2
=ì
Nh vậy, từ một bài toán hình học đơn giản ở trong sách giáo khoa
chúng ta cố gắng khám khá, tìm tòi, nghiên cứu tài liệu và thêm một số
yếu tố thì ta có thể phát triển thành một chuỗi bài tập đi từ đơn giản đến
phức tạp. Với phơng pháp dạy học này làm cho học sinh tích cực suy nghĩ,
tìm tòi để phát triển năng lực trí tuệ.
III - Kết luận
Qua kinh nghiệm này tôi hy vọng rằng nó sẽ là cơ sở, là động lực
giúp cho bản thân có thêm hiểu biết mới. Đồng thời góp phần giúp cho
Ngời Viết: Hoàng Đức Củ TH H ng Thuỷ
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~ ~
Trang
20
B
A
C
M
E
F
Sỏng kin kinh nghim
~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
~~~~
đồng nghiệp cũng nh học sinh khá, giỏi lớp 5 có thêm tự tin khi gặp các
bài tập liên quan đến diện tích hình tam giác.
Tuy nhiên, trên đây chỉ là một ý tởng nhỏ bé của bản thân. Trong
quá trình thực hiện mặc dù tôi đã cố gắng nhiều nhng chắc chắn là không
tránh khỏi thiếu sót. Rất mong đợc sự góp ý của bạn bè đồng nghiệp cũng