1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ THỊ THANH TÚ

TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP
IĐÊAN
ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH – 2011


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGÔ THỊ THANH TÚ

TÍNH CHẤT MỞ RỘNG VÀ THU HẸP
IĐÊAN
ĐỐI VỚI CÁC t – NỬA NHÓM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
MÃ SỐ: 60.46.05



2.1. Tính chất mở rộng iđêan và mở rộng tương đẳng đối với
các t – nửa nhóm.

18

2.2. Tính chất mở rộng và thu hẹp Iđêan đối với các t – nửa
nhóm

29

2.3. Tính chất thu hẹp iđêan đối với các nửa nhóm tách được

33

Kết luận

36

TÀI LIỆU THAM KHẢO

38

MỞ ĐẦU
Hai khái niệm sau đây đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu
vào cuối thế kỷ 20 và đầu thế kỷ 21.
Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng iđêan nếu đối với
mỗi nửa nhóm con T của S và mỗi iđêan I của T có một iđêan J của S sao
cho J ∩ T = I .


5

đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành chương trình học tập cũng như bản
luận văn này.
Mặc dù đã hết sức cố gắng song luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô bạn be
để luận văn được hoàn thành tốt hơn.
Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả
Ngô Thị Thanh Tú

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. IĐÊAN VÀ CÁC QUAN HỆ GRIN TRÊN NỬA NHÓM.
1.1.1. Định nghĩa. Giả sử I là một tập con không rỗng của nửa nhóm S.
Khi đó:
i)

I được gọi là iđêan trái (tương ứng, phải) của nửa nhóm S nếu
(tương ứng, IS

.

ii) I được gọi là iđêan của S nếu I vừa là idêan trái, vừa là iđêan phải.


6

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra
1.1.2.


Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.3 hợp lý, ta cần chứng minh rằng ρ I là
một tương đẳng, nhưng điều đó được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Nửa nhóm thương S ρ I sẽ được ký hiệu là
Rixơ của iđêan I.

S

I

S

I

, và được gọi là thương

có một phần tử là I và các phần tử khác {x}, với

x ∈ S . Để đơn giản ký hiệu, chúng ta đồng nhất phần tử {x} = x ρ I với
I

phần tử

. Tích các phần tử trong

Ix = I = xI với mọi

như sau x.y =xy với x, y

. Do đó I là phần tử không (zero) của



.

là iđêan của S, nên từ tính tối tiểu

và do đó

Từ bổ đề 1.1.5 trực tiếp suy ra
1.1.6.

Hệ quả. Nếu một nửa nhóm S có iđêan tối tiểu, thì iđêan tối

tiểu của S là duy nhất.
Chú ý rằng một nửa nhóm có thể có hoặc không có iđêan tối tiểu. Xét
nửa nhóm ( , +). Các iđêan của nhóm ( , +) thực chất là các tập con
n+

=

. Hơn nữa

nếu và chỉ nếu m ≥ n.

Do đó, ( , +) không có iđêan tối tiểu. Tuy nhiên, mọi nửa nhóm hữu hạn S
đều có một iđêan tối tiểu, đó chính là iđêan có số phần tử ít nhất (iđêan như
vậy tồn tại vì S là một iđêan của S và S chỉ có hữu hạn phần tử).
1.1.7.

Định nghĩa. Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm đơn, nếu


tương đương trên S. Thực ra,

là các quan hệ

là một tương đẳng phải và

là một tương

đẳng trái trên S.
Với mỗi x

, ta ký hiệu Lx là L - lớp tương đương chứa x:
x

={y

S / xL y}

Tương tự, Rx và Jx là ký hiệu lớp tương đương theo

và

tương ứng

chứa x.
1.1.10.

Ví du (1) Xét nửa nhóm S ={a, b, c} với phép nhân được xác

định ở bảng dưới. Thế thì


Lc = {c}, và theo quan hệ

là Ra = {a},{ b} = Rb, Rc = {c}.

(2) Giả sử TX là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên tập X. Thế
thì đối với α, β

TX :

α
Do đó
định

kéo theo α(X) = β(X). Mặt khác, nếu α(X) = β(X) thì xác
bởi:

Thế thì ký hiệu trên, có
nên α

, và do đó

.

1.1.11.

Định lý. Các quan hệ L

giao hoán : L o



=

oL.

là các quan hệ tương đương đã được

xác định theo Định nghĩa 1.1.9. Ta xác định các quan hệ trên S bởi:


10

D =Lo

=

oL

và H =

L

Khi đó H là quan hệ tương đương lớn nhất của S được chứa trong L
và

theo lý thuyết tập hợp. Ta chứng minh D là quan hệ tương đương bé

nhất chứa cả L và

.

x

= Hx

1.1.13. Bổ đề. Đối với mỗi nửa nhóm S, ta có


11

xD y ⇔ Lx ∩ Ry ≠ ∅ ⇔ Ly ∩ Rx ≠ ∅
Ly = U Ry
Hơn nữa, Dy = yU
∈D
y∈D
x

x

Chứng minh. Theo định nghĩa của D, ta có
xDy ⇔ ∃ z ∈ S; xLz và z y ⇔ ∃ z∈S: x s và sLy.
Từ đó suy ra khẳng định thứ nhất của Bổ đề. Khẳng định thứ hai
được suy ra từ L ⊆ D và

⊆ D.

Tình huống này có thể được hình dung bằng bức tranh “hộp trứng”
– lớp và các cột là L – lớp, giao của

dưới đây, ở đây các dòng là các


ρ s : S → S , ρ s ( z ) = sz,∀z ∈ S
1.1.14. Bổ đề. Giả sử S là một nửa nhóm, xLy
1

1

1

và giả sử s,s’ ∈ S1 sao cho sx = y và s’y = x. Thế thì
i)

R x∩ L y

Ly

ρ s : Rx→ Ry và ρ s, : Ry→ Rx là các song ánh;

ii) ρ s, = ρ s−1 là hàm ngược của ρ s hạn chế trên Rx,
iii) ρ s bảo toàn các H - lớp, nghĩa là đối với mọi u,v ∈

x

:

uHv ⇔ ρ s (u)H ρ s (v).
Chứng minh. Trước hết, phải chứng minh ρ s ánh xạ Rx vào
giả sử z ∈

x


của Rx.
Tương tự, ρ s ρ s, là ánh xạ của Ry. Từ đó suy ra tính đúng đắn của các
khẳng định i) và ii).
Đối với iii), giả sử z ∈

x

. Theo (1.1), các phần tử z và ρ s (z) = sz ở

trong cùng một L - lớp.
Để chứng minh iii), chúng ta chú ý rằng u H v nếu và chỉ nếu uLv và
u v do đó uHv ⇔ ρ s (u)L ρ s ( v ) và ρ s (u)
do ii) và vì

(v) ⇔ ρ s (u)H ρ s (v) ρ s (v)

là một tương đẳng trái (và ρ s (u) = su, ρ s (v) = sv). Mặt khác,

nếu ρ s (u)H ρ s (v), nghĩa là suH sv thì uHv, vì do (1.1), u = s’su và
v = s’sv (và do

là một tương đẳng trái và ρ s giữ nguyên các L - lớp).

Nói riêng, ρ s ánh xạ mỗi H - lớp H2 (với z ∈

x

) song ánh vào

H –lớp H ρ s ( x ) 

ii) Giả sử e, f ∈ ES và eHf. Khi đó L và

nên

e (vì

đối

xứng). Do đó i) có ef = e và ef = f .
1.1.17. Hệ quả. Các H – lớp nằm trong một D – lớp có cùng lực lượng,
nghĩa là tồn tại một song ánh giữa Hx và Hy nếu xDy.
Chứng minh. Thật vậy, nếu x, z ∈ S nằm trong cùng một lớp D – sao cho
xLy, y z Với sx = y, s’y = x, yr = z, zr’ = y thì theo các bổ đề trên,

ρ s : Hx → Hy và

λr :

Hy → Hz là các song ánh, do đó λr o ρ s :HS → HZ là

một song ánh.
Kết quả sau đây là định lý định vị của Miller và Clifford (1956).
1.1.18. Định lý. Giả sử x, y ∈ S, thế thì xy ∈

x

∩ Ly ⇔ R y ∩ Lx chứa một

lũy đẳng duy nhất.
Chứng minh. Trước hết ta giả sử rằng xy ∈

Từ e y chúng ta nhận được xe xy, và do đó x xy. Từ eLx có eyLxy
nên yLxy. Do đó xy ∈

x

∩

L y.

Cuối cùng, nếu Rx ∩ Ly chứa lũy đẳng thì nó là lũy đẳng duy nhất vì
Rx ∩ Ly là một H – lớp. 
Trong Định lý Grin sau đây, G được gọi là một nhóm con nửa nhóm
S nếu G là một nửa nhóm con mà bản thân G là một nhóm.
1.1.19. Bổ đề. Giả sử e, f ∈ ES. Thế thì với mọi x ∈ Re
y∈

f

∩

∩

Lf, tồn tại

Le sao cho xy = e và yx = f.

Chứng minh. Giả sử x ∈ Re

∩


đề 1.1.19 với e = f. Điều này suy ra H là một nhóm.
i): Vì phần tử đơn vị của một nhóm con H là một lũy đẳng của
S. 
1.2.

NỬA NHÓM XYCLIC
Ta nhắc lại rằng, tập hợp con A khác rỗng của nửa nhóm S được gọi là

một nửa nhóm con của S nếu A khép kín dưới phép lấy tích, nghĩa là với
mọi x, y ∈ A có xy ∈ A.
Bổ đề. Giả sử {Ai / i

∈

I} là một họ tùy ý của nửa nhóm con của S

1.2.1.
sao cho A =

I

i∈I

Ai không rỗng. Khi đó, A là nửa nhóm con của S.

Chứng minh. Thật vậy, giả sử x, y ∈ A thì x, y ∈ Ai với mọi i ∈ I. Vì Ai là
nửa nhóm con của S với mọi i ∈ I nên xy ∈

Ai hay xy ∈ A. Vậy A là nửa
i∈I

1.2.3.

Mệnh đề. Giả sử α : S → P là một đồng cấu của nhóm và X ⊆ S.

Khi đó α ([X]S) = [ α (X)]P.
Chứng minh. Nếu y ∈ α ([X]S) thì có x ∈ ([X]S) sao cho y = α (x). Khi đó
tồn tại x1, x2,…,xn ∈ X sao cho x = x1x2…xn. Vì α là đồng cấu nên
y = α (x) = α ( x1x2…xn) = α (x1) α (x2)… α (xn) ∈ [ α (X)]P (Vì

α (xi) ∈ α (X) với mọi i = 1, 2..n). Do đó α ([X]S) ⊆ [ α (X)]P. Đảo lại, nếu
y ∈ [ α (X)]P thì tồn tại y1, y2, …,ym∈ α [X] sao cho y= y1y2…ym. Với mỗi
j = 1,2,…, m có xj ∈ X sao cho α (xj) = yj. Khi đó x = x1x2…xm∈ [X]S và
y = α (x1) α (x2)… α (xm) = α (x1x2…xm) = α (x) ∈ α ([X]S) nên [ α (X)]P ⊆

α ([X]s) và do đó α ([X]S) = [ α (X)]P.
Từ Bổ đề 1.2.1, trực tiếp suy ra.
1.2.4. Hệ quả. Nếu A là nửa nhóm con của S và α :S → P là một đồng cấu
nửa nhóm thì α (A) là một nửa nhóm con của P.


17

Bây giờ, ta xét trường hợp đặc biệt X chỉ gồm một phần tử a. Khi đó
[X]s được gọi là nửa nhóm con xyclic sinh bởi a.
Theo Mệnh đề 1.2.2, nửa nhóm con [a] của S gồm các lũy thừa
nguyên dương của a
[a] = {a, a2, a3…}
Hai khả năng xảy ra:
i) Hoặc mỗi lũy thừa a điều khác nhau, khi đó [a] có vô hạn đếm
được phần tử, hơn nữa ánh xạ ϕ :

{ ar, ar + 1,…, am + r – 1}. là nhóm con xyclic cấp

m của nửa nhóm S.
Chứng minh.Ta chỉ cần phải chứng minh Ka là nhóm con xyclic cấp m của
S. Thật vậy, dễ thấy Ka là nửa nhóm con của S. Đặt an ∈ Ka
(r ≤ n ≤ r + m – 1 ) và xét ánh xạ ϕ : an → (m) + n trong đó (m) + n là lớp


18

thặng dư theo mod m. Khi đó

ϕ

là một đẳng cấu từ Ka lên

tất cả các

lớp thặng dư theo mod m. Từ đó Ka là nhóm con xyclic cấp m của S.



1.2.6. Chú ý. Ta thấy, ϕ (an) = (m) khi và chỉ khi n chia hết cho m. Do đó,
đơn vị của Ka là phần tử an thỏa mãn r ≤ n ≤ m + r – 1 sao cho n

≡

0 (mod

)

ϕ(1) = y. Khi đó,

ϕ (k ) = g ⇒ g = yk nên G là một


19

Mặt khác, nếu ρ là tương đẳng hạt nhân cảm sinh bởi ϕ (nghĩa là a

ρ

ϕ (a) = ϕ (b)

b nếu và chỉ nếu
+) Hoặc ρ =

thì G

thì

hay

. Do đó:

mâu thuẫn vì G là một nhóm mà

là nửa

nhóm.


dương cho trước r và m, có thể xây dựng nửa nhóm xyclic [a] mà chỉ số
bằng r và chu kỳ bằng m. Chẳng hạn, nếu:
X = {0, 1, 2,…, r, r +1, …, r + m – 1} và A là nửa nhóm con của nửa
nhóm

đầy

đủ

các

phép

biến

đổi

TX

sinh

bởi

phần

tử

 0 1 2... r − 1 r... r + m − 2 r + m − 1
 thì A là nửa nhóm xyclic hữu
α = 

2.1.2. Mệnh đề.
i) Ảnh đồng cấu của một t – nửa nhóm là một t – nửa nhóm;
ii) Tích trực tiếp tuỳ ý của các t – nửa nhóm là một t – nửa nhóm.
Chứng minh.
i) Giả sử ϕ : S →T là một đồng cấu từ t – nửa nhóm S lên nửa nhóm
T. Giả sử J1 là một iđêan của T và I1 là một iđêan của J1. Vì ϕ là toàn cấu
nên J 2 = ϕ − 1 ( J1 ) là iđêan của S và I 2 = ϕ − 1 ( I1 ) là iđêan của J2. Khi đó I2 là


21

iđêan của S vì S là t – nửa nhóm. Vì ϕ là toàn cấu nên
của

T = ϕ( S ) .

Vậy T là t – nửa nhóm.
ii) Giả sử S là tích trực tiếp của các t – nửa nhóm

I1 =ϕ( I 2 )

Sα , α ∈Λ;

của S và I là iđêan của J. Khi đó J là tích trực tiếp của các

là iđêan

J là iđêan

Jα, α∈Λ;

1

1

2

1

1

1

2

1

3

1

2

3

1

1

4



22

Thật vậy, xét nửa nhóm cộng các số tự nhiên khác không
*

J = {3, 4, 5,…} là một iđêan của
nhưng I không phải là iđêan của
1∈

*

*

. Khi đó

và I = {3, 6, 7,…} là iđêan của J,

, vì chẳng hạn 3 + 1 = 4 ∉ I với 3 ∈ I và

*.

Vậy

*

không phải là t – nửa nhóm.

2.1.5. Định nghĩa. Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng
iđêan (ideal extension property – IEP) nếu đối với mỗi nửa nhóm con T của


3

4

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

3

1

1

là nửa nhóm con của S sinh bởi a. Khi đó a được gọi là nửa nhóm con
xyclic sinh bởi a. Nếu S = a với a ∈ S nào đó thì S được gọi là nửa
nhóm xyclic với phần tử sinh a.
(ii) Giả sử S là một nửa nhóm và a ∈ S . Nếu am = an với m > n nào
đó, thế thì chỉ số của a được xác định là số nguyên dương nhỏ nhất n thỏa
mãn điều kiện như vậy. Nếu a m ≠ a n với mọi cặp số nguyên dương m, n


24

khác nhau thì ta nói rằng a có chỉ số vô hạn. Chỉ số của a được ký hiệu bởi
index(a).
(iii) Đối với một phần tử a của nửa nhóm S, index(a) là số nguyên
dương n nhỏ nhất sao cho a n = M ( a ) nếu M ( a ) ≠ ∅ và index(a) = ∞
nếu M ( a ) = ∅ (chú ý: nếu S là một nửa nhóm thì M(S) là ký hiệu iđêan
tối tiểu của S nếu iđêan đó tồn tại).
(iv) Ta định nghĩa index(S) là giá trị cực đại (maximum) của index(a)
khi a chạy khắp S, nếu giá trị này tồn tại. Trong trường hợp ngược lại, ta
định nghĩa index(a) = ∞.
2.1.9. Bổ đề. Nếu S là một t – nửa nhóm xyclic thì index(S) ≤ 3.
Chứng minh. Giả sử S là một t – nửa nhóm xyclic. Giả thiết rằng
index(S) = n + 1 ≥ 4.
Chúng ta viết S = {a, a 2 , a3 , . . ., a n } ∪ M ( S ) .
Giả sử I = {a 2 , a 3 , . . ., a n} ∪ M ( S ) và K = {a 2 , a 4 , . . ., a n } ∪ M ( S ) .
Thế thì I là một iđêan của S và K là một iđêan của I nhưng K không phải là
iđêan của S. Thật vậy, a 3 = a. a 2 ∈ SK nhưng a3 ∉ K . Điều này mâu thuẫn
với giả thiết S là một t – nửa nhóm. Do đó index(S) ≤ 3. 
2.1.10. Định nghĩa. Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng
tương đẳng (congruaence extension property – CEP) nếu đối với mỗi nửa
nhóm con T của S và mỗi tương đẳng σ , σ có một mở rộng trên S.

3

5

5

không phải là mở rộng của

σ và từ đó a không có tính chất mở rộng tương đẳng.
• Đảo lại, giả thiết rằng index(a) ≤ 3. Ta chứng minh

a có tính

chất mở rộng tương đẳng. Đặt i = index(a ) . Xét các khả năng xảy ra:
(1) Nếu i = 1 thì

a là một nhóm xyclic hữu hạn và do đó a có

tính chất mở rộng tương đẳng.
(2) Nếu i = 2 thì a = a ∪ M ( a ) ,trong đó M ( a
xyclic và mỗi nửa nhóm con thực sự T của
(3) Nếu i = 3 thì

)

là một nhóm

a là một nhóm con của M.

a = {a, a2} ∪ M và mỗi nữa nhóm con thực sự T