Mục lục
0.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ở trong và ngoài nước: .

4

0.2. Tính cấp thiết của đề tài: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.3. Mục tiêu của đề tài: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.4. Cách tiếp cận: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.5. Phương pháp nghiên cứu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.7. Nội dung nghiên cứu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp
hai tự tham chiếu

t = 0, A và B là các toán tử vi phân hoặc tích phân. Chẳng hạn,
t

Bu(x, t) =

u(x, τ )dτ,

(0.2)

0

và B trong phương trình (0.1) được gọi là toán tử di truyền. Phương trình (0.1) có thể được
xem là phương trình trong di truyền học.
Một vài trường hợp đặc biệt của (0.1) được nghiên cứu đầu tiên bởi Volterra vào đầu thế
kỷ XX (xem [9] và các tài liệu tham khảo trong đó). Trong trường hợp đơn giản, khi B là
toán tử đồng nhất, Eder trong [2] đã chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài
toán
u (t) = u(u(t)).

(0.3)

Sau đó, Si và Cheng trong [8], [10] và [11] đã thu được các định lí tồn tại nghiệm cho các
phương trình tổng quát hơn
u (t) = u(at + bu(t)),

(0.4)

và phương trình
αt + βu (t) = u(at + bu (t)),




 ∂ u(x, 0) = β(x),
∂t
trong đó, ki ≡ ki (x, t), i = 1, 2, là các số thực cho trước, α(x) và β(x) là các hàm bị chặn và
liên tục Lipschitz.
Kết quả nghiên cứu trong đề tài này được xem là tổng quát hơn kết quả nghiên cứu trong
[4].

0.2.

Tính cấp thiết của đề tài:

Di truyền học là một bộ môn của sinh học, nghiên cứu về tính di truyền và biến dị của sinh
vật, nó có vị trí và vai trò đặc biệt đối với con người. Các nhà khoa học trên thế giới cũng
đã đưa ra mô hình di truyền học và nghiên cứu hiện tượng này dưới những dạng khác nhau.
Một trong những mô hình thú vị đó là phương trình vi phân đạo hàm riêng ứng dụng trong
di truyền học thuộc dạng tự tham chiếu đã và đang nhận được sự quan tâm của nhiều nhà
toán học trên thế giới.

0.3.

Mục tiêu của đề tài:

Nghiên cứu mô hình toán học trong di truyền học thuộc dạng tự tham chiếu, có định hướng
ứng dụng trong thực tiễn.

0.4.

Cách tiếp cận:



Chương 1
Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm
riêng cấp hai tự tham chiếu

Trong đề tài này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương của bài toán
 2
2
2

 ∂ u(x, t) = µ1 u ∂ u(x, t) + µ2 u ∂ u(x, t) + µ3 u(x, t), t , t ,


 ∂t2
∂t2
∂t2
(1.1)
u(x, 0) = p(x)




 ∂ u(x, 0) = q(x),
∂t
trong đó, p và q là các hàm cho trước, và µi , i = 1, 2, 3, là các số thực cho trước, x ∈ R và
t ∈ [0, T ], T > 0.
Để nghiên cứu bài toán (1.1), ta xét bài toán

t

0





u (x, t) = p(x) + tq(x),
0

+ µ3 u(x, s), s , s dsdτ,

(1.2)

trong đó x ∈ R và t ∈ [0, T ].
Ta có định lí sau:
Định lí 1. Nếu u là nghiệm liên tục của bài toán (1.2), thì nó cũng là nghiệm của bài
toán (1.1).
Vì vậy, ta sẽ nghiên cứu bài toán (1.2). Để đơn giản, ta giả sử |µ1 | = |µ2 | = |µ3 | = 1. Ta
thu được kết quả sau:
Định lí 2. Giả sử p and q là các hàm bị chặn và liên tục Lipschitz trên R. Cho σ là
hằng số Lipschitz của p và σ < 1. Khi đó, tồn tại một số dương T0 sao cho bài toán (1.2) có
duy nhất nghiệm, ký hiệu là u∞ (x, t), trên R × [0, T0 ]. Hơn nữa, hàm u∞ (x, t) cũng liên tục
Lipschitz và bị chặn lần lượt theo từng biến x ∈ R và t ∈ [0, T0 ].
Chứng minh.
Để chứng minh định lí này, ta sử dụng phương pháp lặp. Phép chứng minh bao gồm các
bước sau
7


Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu8


µ1 u n

un+1 (x, t) = u0 (x, t) +
0

0

(1.3)

+ µ3 un (x, s), s , s dsdτ.
• Bước 2: Chứng minh tính bị chặn của (un )
Từ tính bị chặn của p, q và bằng qui nạp ta có
|un (x, t)| ≤ eT

p

L∞

+ q

L∞

, n ∈ N, t ∈ [0, T ].

(1.4)

• Bước 3: Chứng minh un Lipschitz theo biến thứ nhất.
Do p và q liên tục Lipschitz nên ta có
|p(x) − p(y)| ≤ σ|x − y|, ∀ x, y ∈ R,

L30 (s)dsdτ

L0 (t) +
0

|x − y|

0

:= L1 (t)|x − y|,
trong đó L1 (t) := L0 (t) +

t
0

τ
0

C0 (s)dsdτ, với C0 (t) := L30 (t).

(1.7)


Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu9
Hơn nữa
∂2
∂2
u
(x,
t)


Cn−1 (s)dsdτ, n ≥ 1.

Ln (t) := L0 (t) +
0

0

Ta định nghĩa: Dãy (vn ) là dãy dừng theo biến x nếu
|vn+1 (x, t) − vn (x, t)| ≤ fn (t),
trong đó (fn ) là dãy các hàm thực không âm, xác định trên [0, T ]. Nếu fn = f với mọi
n, thì ta nói (vn ) là dãy dừng đều theo x.
2

∂
• Bước 4: (un ) và ( ∂t
2 un ) là dãy dừng theo x. Thật vậy, ta có
t

τ

|u1 (x, t) − u0 (x, t)| =

µ1 u0 µ2 u0 (µ3 u0 (x, s), s), s
0
t

τ

≤

t3
q
6

L∞

:= A1 (t),

∂2
∂2
u
(x,
t)
−
u0 (x, t) = µ1 u0 µ2 u0 (µ3 u0 (x, s), s), s
1
∂t2
∂t2
≤ p L∞ + t q L∞ := B1 (t).

(1.11)

Từ (1.10) và (1.11), ta suy ra
t

τ

A1 (t) :=

B1 (s)dsdτ.

t

Bn+1 (s)dsdτ,

An+1 (t) :=
0

0

(1.15)

Bn+1 (t) := 1 + Ln−1 (t) + L2n−1 (t) An (t)
+ Ln−1 (t) + L2n−1 (t) Bn (t), n ≥ 1.
2

∂
Trong bước sau, ta chọn T0 sao cho (un ) và ( ∂t
2 un ) là các dãy dừng đều.

• Bước 5: Sự tồn tại nghiệm địa phương. Vì σ < 1, ta có thể tìm được T0 > 0, 0

1 + 2M + 2M
2
≤ B1 L∞ h.

L∞ (M

+ M 2)

(1.18)

Từ (1.18) ta suy ra
B2

L∞

≤ B1

L∞ h.

(1.19)


Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu11
Tương tự, ta có
t2
1 + M + M 2 + B2 L∞ (M + M 2 )
2
t2
≤ B2 L∞
1 + 2M + 2M ≤ B2 L∞ h.

Hơn nữa, từ (1.15) ta suy ra
An+1

L∞

≤ Bn+1

L∞

T02
.
2

Từ kết quả (1.22), ta thấy dãy
suy ra tồn tại φ∞ sao cho
∂2
un → φ∞
∂t2
đều trên R × [0, T0 ].

(1.23)
Bn+1 (t) hội tụ tuyệt đối và đều, khi đó từ (1.14) ta
(1.24)

Tương tự, từ (1.13)) và (1.23), ta kết luận
u∞ sao cho

An+1 (t) hội tụ tuyệt đối, đều và tồn tại

un → u∞

∂t2

+M

∂2
un (x, t) + µ3 un (x, t), t − µ2 u∞ φ∞ (x, t)
∂t2

+ µ3 u∞ (x, t), t
≤ un − u∞
+

L∞

1 + M + M2

∂2
un − φ∞
∂t2

L∞

M + M 2 → 0 khi n → ∞.

(1.26)


Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu12
Từ (1.26), ta suy ra
t

u∞ (x, t)
∞
∞
n
n
∂t2
∂t2
∂t2
∂t2
L∞
∂2
∂2
+ un−1 − u∞ L∞ + M
un−1 (x, t)
≤ φ∞ − 2 un
∂t
∂t2
L∞
∂2
∂2
− 2 u∞ (x, t) + µ2 un−1
un−1 (x, t) + µ3 un−1 (x, t), t
∂t
∂t2
(1.28)
∂2
u∞ (x, t) + µ3 u∞ (x, t), t
− µ2 u ∞
∂t2
∂2


(1.29)

với mọi x ∈ R, t ∈ [0, T0 ].
Vậy u∞ là một nghiệm của (1.2) trong R × [0, T0 ].
Bước 6: Tính duy nhất của nghiệm địa phương u∞ . Ta giả sử tồn tại một nghiệm


Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu13
Lipschitz khác u (x, t) của (1.2). Khi đó,
|u (x, t) − u∞ (x, t)|
τ

t

≤

u
0

0

− u∞
+ u∞
− u∞

∂2
u (x, s) + u
∂t2


∂t2
∂t2
τ

t

u − u∞

≤
0

L∞

+M

0

dsdτ

∂2
∂2
u
(x,
s)
−
u∞ (x, s)
∂s2
∂s2

∂2

0

dsdτ
(1.30)

∂2
∂2
u (x, s) − 2 u∞ (x, s)
∂s2
∂s

∂2
∂2
u
(x,
s)
+
u
(x,
s),
s
−
u
u (x, s) + u (x, s), s
∞
∂t2
∂t2

+ u
+ u∞


0

∂2
∂2
u
−
u∞
∂s2
∂s2

+M
t

∂2
∂2
u
−
u∞
∂s2
∂s2

+ u − u∞

L∞

L∞

τ


L∞

dsdτ

dsdτ

L∞


Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu14
Thêm vào đó,
∂2
∂2
u
(x,
t)
−
u∞ (x, t)
∂t2
∂t2
∂2
∂2
= u
u
(x,
t)
+
u
u (x, t) + u (x, t), t , t
∂t2

∂t2

∂2
u (x, t) + u (x, t), t , t
∂t2

+ u∞
− u∞

∂2
u (x, t) + u
∂t2

∂2
u (x, t) + u (x, t), t , t
∂t2

∂2
∂2
u
(x,
t)
+
u
u∞ (x, t) + u∞ (x, t), t , t
∞
∞
∂t2
∂t2


∂t2
∂t2

+ u

≤ u − u∞

L∞

+M

∂2
∂2
u
−
u∞
∂t2
∂t2

L∞

∂2
∂2
u
(x,
t)
+
u
(x,
t),

L∞

+M

∂2
∂2
u
−
u∞
∂t2
∂t2

+ u − u∞
L∞

∂2
∂2
u
(x,
t)
−
u∞ (x, t) + |u (x, t) − u∞ (x, t)|
∂t2
∂t2

+M

≤ u − u∞
+



L∞

.

L∞

(1.31)


Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu15
Từ (1.31), ta suy ra
∂2
∂2
u
−
u∞
∂t2
∂t2

L∞

≤

1 + 2M
u − u∞
1 − 2M

L∞ .



τ

u1 (x, t) = u0 (x, t) +

u0 (u0 (u0 (x, s), s), s)dsdτ
0

0
t

τ

= u0 (x, t) +

u0 (u0 (p0 + sq0 , s), s)dsdτ
0

0
t

τ

= p0 + tq0 +

(2.2)

(p0 + sq0 )dsdτ
0


0

0

∂2
∂2
u
(x,
s)
+
u
u1 (x, s)
1
1
∂s2
∂s2

+ u1 (x, s), s , s dsdτ
t

(2.4)

τ

s3
s2
= u0 (x, t) +
p0 1 +
+ q0 s +
2!


t2i
+ q0
(2i)!

k

i=0

t2i+1
.
(2i + 1)!

Từ đó, ta cớ
p0

uk+1 (x, t) = u0 (x, t) +
0
k

= p0 1 +
i=0

k

τ

t
0


un (x, t) = p0
i=0

t2i
+ q0
2i!

n

i=0

t2i+1
,
(2i + 1)!

(2.6)

∂2
un+1 (x, t) = un (x, t).
∂t2

(2.7)

Cho n → ∞, với mọi t ∈ [0, T ], T > 0, ta có
u (x, t) =

Cet , p0 = q0 = C
t2n
p0 ∞
n=0 2n! + q0

[5] M. Miranda, E. Pascali: On a type of evolution of self-referred and hereditary phenomena,
Aequationes Math. 71, 253–268 (2006).
[6] E. Pascali: Existence of solutions to a self-referred and hereditary system of differential
equations, Electron. J. Diff. Eqns. Vol. 2006 No. 07, pp. 1–7 (2006).
[7] N. M. Tuan, N.T.T. Lan: On solutions of a system of hereditary and self-referred partialdifferential equations, Numer. Algorithms 55, no. 1, 101-Ờ113 (2010).
[8] J. G. Si, S. S. Cheng: Analytic solutions of a functional-differential equation with state
dependent argument, Taiwanese J. Math. 4, 471–480 (1997).
[9] V. Volterra: Opere Matematiche: Memorie e note, Vol. V, 1926-1940, Accad. Naz. Lincei.
Roma (1962).
[10] X. P. Wang, J. G. Si: Smooth solutions of a nonhomogeneous iterative functional differential equation with variable coefficients, J. Math. Anal. Appl. 226, 377–392 (1998).
[11] X. Wang, J. G. Si, S. S. Cheng: Analytic solutions of a functional differential equation
with state derivative dependent delay, Aequationes Math. 1, 75–86 (1999).

19


Phụ lục

20


Note di Matematica, manuscript, pages 1–18.

On an initial-value problem for second order
partial differential equations with
self-reference
Nguyen T.T. Lan
Faculty of Mathematics and Applications, Saigon University, 273 An Duong Vuong Str.,
Ward 3, district 5, Ho Chi Minh City, Viet Nam.
;



2
where α and β are complex numbers. Existence theorems are established for
the analytic solutions, and systematic methods for deriving explicit solutions
are also given.
In [11], Stanek studied maximal solutions of the functional-differential equation
u(t)u (t) = ku (u(t))
(1.3)
with 0 < |k| < 1. Here u : I ⊂ R → R is a real unknown. This author showed
that properties of maximal solutions depend on the sign of the parameter k for
two separate cases k ∈ (−1, 0) and k ∈ (0, 1). For earlier work of Stanek than
(1.3), see [16]–[21].
For a more general model than the above, in [6], Miranda and Pascali studied
the existence and uniqueness of a local solution to the following initial-valued
problem for a partial differential equation with self-reference and heredity

t
 ∂ u(x, t) = u
u(x, s)ds, t , x ∈ R, a.e. t > 0,
∂t
0

u(x, 0) = u0 (x), x ∈ R,

(1.4)

by assuming that u0 is a bounded, Lipschitz continuous function. With suitable
weaker conditions on u0 , namely u0 is a non-negative, non-decreasing, bounded,
lower semi-continuous real function, in [3], Pascali and Le obtained the existence


3
In [5], Pascali and Miranda considered an initial-valued problem for a secondorder partial differential equation with self-reference as follows:
 2
∂2
∂



u(x,
t)
=
k
u
u(x, t) + k2 u(x, t), t ,
1

 ∂t2
∂t2
(1.7)
u(x, 0) = α(x),




 ∂ u(x, 0) = β(x).
∂t
These authors proved that if α(x) and β(x) are bounded and Lipschitz continuous functions, k1 and k2 are given real numbers, this problem has a unique local
solution. It is noted that this result still holds when ki ≡ ki (x, t), i = 1, 2, are
real functions satisfying some technical conditions.




 ∂ u(x, 0) = q(x),
∂t
where p and q are given functions, µi , i = 1, 2, 3, given real numbers x ∈ R
and t ∈ [0, T ] for some T > 0. It is clear that this problem is a non-trivial
generalization of (1.7). Let us specify some reasons as follows:
• The operator
∂2
u(x, t) + µ2 u
∂t2

∂2
u(x, t) + µ3 u(x, t), t
∂t2

is actually a doubly self-reference form, which is more complicated than
that of (1.7);
• If k2 = µ2 = 0, problem (1.8) coincides with problem (1.7). This is the
only coincidence of these two problems. This means that the problem we
study in this paper is not a “natural” generalization of (1.7), not including
(1.7) as a special case.
Finally we present the problem (1.8) in the case that p(x) = p0 and q(x) =
q0 , where p0 and q0 are two given constants and we remark a particular strange
situation.


4


paper. For simplicity, we assume that |µ1 | = |µ2 | = |µ3 | = 1. Now we state our
main result.
Theorem 2.2. Assume that p and q are bounded and Lipschitz continuous on
R. Let σ be the lipschitz constant of p and assume that σ < 1. Then there exists
a positive constant T0 such that problem (2.1) has a unique solution, denoted
by u∞ (x, t), in R × [0, T0 ]. Moreover, the function u∞ (x, t) is also bounded and
Lipschitz continuous with respect to each of variables x ∈ R and t ∈ [0, T0 ].
Proof. To prove this theorem, we use an iterative algorithm. The proof includes
some steps as below.
Step 1:An iterate sequence of functions. We define the following sequence of real
functions (un )n defined for x ∈ R, t ∈ [0.T ] for T > 0 :
u0 (x, t) = p(x) + tq(x),
t

τ

u1 (x, t) = u0 (x, t) +

µ1 u0 µ2 u0 (µ3 u0 (x, s), s), s dsdτ,
0
t

0
τ

un+1 (x, t) = u0 (x, t) +

µ1 un
0



µ1 u0 (µ2 u0 (µ3 u0 (x, s), s), s) dsdτ
0

0
t

≤ p

+t q

L∞

L∞

p
0

= 1+

t2
2!

p

t

τ

L∞


0

∂2
∂2
u
(x,
s)
+
µ
u
u1 (x, s)
1
2
1
∂s2
∂s2

+ µ3 u1 (x, s), s , s dsdτ
t

≤ p

L∞

= 1+

+t q

t2 t4

By induction on n we find
|un (x, t)| ≤ eT

p

L∞

+ q

L∞

, n ∈ N, t ∈ [0, T ].

(2.3)

Step 3: Every un is lipschitz with respect to the first variable. From the Lipschitz
continuity of p and q
|p(x) − p(y)| ≤ σ|x − y|, ∀ x, y ∈ R,
|q(x) − q(y)| ≤ ω|x − y|, ∀ x, y ∈ R.

(2.4)

where 0 < σ, ω are real numbers (with σ < 1 as in the hypotheses).
Using (2.4), we derive
|u0 (x, t) − u0 (y, t)| ≤ |p(x) − p(y)| + t|q(x) − q(y)|
≤ σ + tω |x − y| := L0 (t)|x − y|,
where L0 (t) := σ + tω.

(2.5)


0

:= L1 (t)|x − y|,
t τ
0 0

where L1 (t) := L0 (t) +
Moreover

C0 (s)dsdτ, with C0 (t) := L30 (t).

∂2
∂2
u
(x,
t)
−
u1 (y, t) ≤ L0 (t) µ2 u0 (µ3 u0 (x, t), t) − µ2 u0 (µ3 u0 (y, t), t)
1
∂t2
∂t2
≤ L20 (t) µ3 u0 (x, t) − µ3 u0 (y, t)
≤ L30 (t)|x − y| := C0 (t)|x − y|.
Similarly, we have
|u2 (x, t) − u2 (y, t)|
t

τ

≤ L0 (t)|x − y| +

− y|

0

+ L1 (s) L30 (s)|x − y| + L1 (s)|x − y|
t

≤

L1 (s) + L21 (s) C0 (s) + L31 (s) dsdτ
0
t

:=

dsdτ

τ

L0 (t) +
0

τ

L0 (t) +

C1 (s)dsdτ
0

dsdτ