Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan
Mở đầu

1. lí do chọn đề tàI
Năm 1791 Gavanđi phát minh ra dòng điện, đây là một bước ngoặt quan
trọng đánh giá một sự phát triển mới của khoa học, một môn học mới ra đời
đó là môn điện học. Từ đây, điện học được ứng dụng mạnh mẽ, mở ra một
tương lai sáng lạng trong rất nhiều lĩnh vực của kinh tế, sản xuất cũng như
nghiên cứu khoa học.
Hiện nay, loài người đã bước sang thế kỷ XXI, thế kỷ của đỉnh cao trí tuệ,
khi mà hàng loạt nguyên liệu mới được khám phá phục vụ cho nhu cầu sinh
hoạt và sản xuất thì điện học vẫn giữ một vị trí vô cùng quan trọng trong đời
sống và khoa học.
Trong tự nhiên có nhiều hiện tượng: Các vật sau khi cọ sát có thể hút được
các vật nhẹ, sấm hay chớp tưởng chừng rất thần bí nhưng khi môn khoa học
là điện học ra đời thì con người có thể lí giải một cách rõ ràng các hiện tượng
đó.
Sét là một tia lửa điện khổng lồ. Bản chất của sét đã được chứng thực bởi
các thí nghiệm của Frank-lin, Lomônôsov và Richman, sét gây nguy hiểm cho
con người; để chống sét, người ta dùng cột thu lôi.Vậy cột thu lôi được cấu tạo
như thế nào? cấu tạo đó được xây dựng lên từ cơ sở nào?...
Với rất nhiều lí do đó, tôi mong muốn được nghiên cứu phần Điện học
và tôi đã chọn đề tài Tìm hiểu một số dạng bài tập về vật dẫn cân bằng tĩnh
điện làm khoá luận tốt nghiệp. Với đề tài này nó giúp tôi hiểu sâu hơn về các
hiện tượng trong tự nhiên cũng như sản xuất. Đồng thời, đề tài này cũng giúp
tôi có một số kỹ năng giải bài tập, góp phần củng cố kiến thức đã được học

2. mục đích nghiên cứu




Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan
Nội dung
Chương 1: cơ sở lí thuyết

1.1 Định luật bảo toàn điện tích:
- Nội dung: Trong một hệ cô lập, tổng đại số các điện tích luôn luôn là một
hằng số.
- Định luật bảo toàn điện tích đã được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm, nó là
một trong những định luật chính xác nhất của vật lý đúng cho cả hệ vĩ mô và
hệ vi mô.
1.2. Định luật Culông: (Định luật Coulomb):
1.2.1. Lực tương tác giữa hai điện tích điểm đặt trong chân không:
- Nhận xét: Không thể tìm được biểu thức định lượng tổng quát để xác
định lực tương tác giữa hai vật mang điện bất kì mà chỉ có thể tìm được biểu
thức định lượng xác định lực tương tác giữa hai vật mang điện là điện tích
điểm.
+ Điện tích điểm là phần tử vật chất mang điện có kích thước rất nhỏ so
với khoảng cách từ đó đến vật mang điện khác.
- Định luật Culông: Lực tương tác điện giữa hai điện tích điểm đứng yên
tỷ lệ thuận với tích độ lớn các điện tích và tỷ lệ nghịch với bình
phương khoảng cánh giữa chúng.
- Biểu thức (dạng vectơ)

q q
F12 = k 1 3 2 r12
r12

F21

+
q1 -

+

F12
+q


F21


F12
2

1.2.2. Hệ quả của định luật Culông.
1.2.2.1. Nguyên lý chồng chất các lực điện.
Theo nguyên lý này lực tác dụng của một hệ nhiều điện tích lên điện tích q
được xác định bằng tổng hình học các lực riêng biệt do từng điện tích của hệ
tác dụng lên q:

n
F12 F1 F2 .......... Fn Fi
i 1

Khi tính lực tác dụng của một vật mang điện bất kì lên một điện tích điểm q
ta chia vật mang điện tích đó ra thành các phần tử rất nhỏ riêng biệt sao cho
mỗi phần tử này được xem như một điện tích điểm dq . Dựa vào định luật

Nếu q=+1 đơn vị điện tích thì E F .


+ Ta thấy: q>0 thì E F .


q
điểm được thì ta coi điện tích phân bố liên tục trong vật và cần xét sự
phân bố điện tích đó.
- Khi đã biết được sự phân bố điện tích ở trên các vật, ta chia vật (hoặc
các vật ) ra thành những phần nhỏ sao cho mỗi phần mang điện tích dq
có thể coi như một điện tích điểm. Cường độ điện trường do điện tích
này gây ra tại một điểm P nào đó là:


1 dq r
dE
4 0 r 2 r

Cường độ điện trường của cả hệ vật tích điện gây ra:




1 dq r
E Ei d E
4 0 r 2 r
i

(toàn các (toàn bộ các
vật mang điện) vật mang điện)

1.2.2.3. Định lý Ostrogradski-Gauss ( Định lý O-G):
Định lý O-G: Điện thông qua một mặt kín có giá trị bằng tổng đại số
các điện tích có mặt bên trong mặt đó chia cho 0 .
1
Ed S

điện trường thực hiện công
AAB







Fdl qEdl q Edl
AB

AB

AB

dl là nguyên tố độ dài trên đường đi L.

A
AB
gọi
là
lưu
thông
của
vectơ
E dọc theo đường cong từ điểm A đến
Edl




trong đó là góc giữa vectơ E và vectơ dl .
dA



H F
A

M q
dl
rA r
M

r dr

Q
O

rB

B


dr dl cos MH là hình chiếu của vectơ dịch chuyển dl lên phương

vectơ bán kính r .

- Từ đó, công của lực điện trường khi q dịch chuyển từ A đến B là:



Như vậy, công của lực điện trường khi dịch chuyển điện tích q theo
một đường cong bất kì chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu ( rA ) và điểm cuối
( rB ) của đường đi mà không phụ thuộc vào hình dạng của đường đi.
- Công mà lực điện trường thực hiện khi một điện tích q dịch chuyển từ
điểm A đến điểm B chính bằng hiệu thế năng của điện tích đó ở A và
B.
AAB WA WB

Với WA , WB là thế năng của q tại Avà B,
WA

qQ
qQ
C ,WB
C'
4 0 rA
4 0 rB

1.3.2. Điện thế và hiệu điện thế:
- Ta thấy, tỷ số giữa công của lực điện trường và do đó, tỷ số giữa hiệu thế
năng WA - WB giữa điểm đầu và điểm cuối đường đi với độ lớn của điện tích q
không phụ thuộc vào q. Đại lượng này chỉ phụ thuộc vào điện trường trong đó
q dịch chuyển và vị trí các điểm A,B, nó có thể dùng để đặc trưng cho điện
trường. Ta gọi tỷ số đó là hiệu điện thế giữa hai điểm A, B, kí hiệu:
U AB VA VB
U AB VA VB

WA WB AAB



C

riA là khoảng cách từ điểm đặt Qi tới điểm A.

- Đối với một hệ, điện tích phân bố liên tục, ta chia hệ điện tích thành các
phần tử đủ nhỏ mang điện tích dq sao cho có thể coi là những điện tích điểm.
Ta có điện thế gây bởi hệ:
V

1
4 0



dq
C
r

(toàn hệ)
r là khoảng cách từ điểm đặt dq tới điểm ta xét.
1.4. Thế năng của hệ các điện tích:
- Với hệ có n điện tích điểm thì thế năng của hệ là:
W

với

1 n
qiVi
2 i 1

một điện tích điểm. Gọi U là điện thế gây bởi các điện tích khối và các điện
tích mặt tại điểm đặt các điện tích dV,dS:
W


1
UdV UdS
2 V
S


1.5. Vật dẫn cân bằng tĩnh điện
Vật dẫn điện là những vật có chứa những điện tích tự do. Các điện tích đó
có thể chuyển động tự do trong vật nhưng không thể thoát ra ngoài vật được.
Nhiều lọai vật dẫn (lỏng , rắn ) nhưng ở đây ta chủ yếu khảo sát vật dẫn
kim loại .Trong vật dẫn kim loại có nhiều electron tự do, khi trong vật có điện
trường , các electron đó sẽ dịch chuyển.
Ta xét vật dẫn trong trạng thái cân bằng điện, tức là trạng thái mà vật dẫn
không có dòng điện tích chuyển động .
1.5.1. Điều kiện tổng quát để vật dẫn ở trạng thái cân bằng điện


1.5.1.1. Vectơ cường độ điện trường Ebt tại mọi điểm trong vật dẫn phải


bằng 0: Ebt =0
Thoả mãn điều kiện này thì bên trong vật dẫn sẽ không có dòng hạt mang
điện chuyển dời có hướng.



AB


El là hình chiếu của E trên phương chuyển dời dl

VA - VB =


E

++

+
+

+


E

A

+
E +

B
+
+ +

+


o

Điều đó cho thấy tổng đại số điện tích bên trong vật dẫn bằng 0.


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

Nếu vật dẫn mang điện thì các điện tích sẽ nằm ở một lớp mỏng trên mặt
vật dẫn, có chiều dày khoảng một vài nguyên tử.
Do đó nếu ta khoét rỗng một vật dẫn đặc thì sự phân bố điện tích trên bề
mặt vật dẫn không hề bị thay đổi. Có nghĩa: đối với vật dẫn rỗng đã ở trạng
thái cân bằng tĩnh điện, điện trường ở phần rỗng và trên thành trong của vật
dẫn cũng luôn bằng không.
1.5.2.3. Sự phân bố điện tích trên bề mặt vật dẫn chỉ phụ thuộc vào hình dạng
của mặt đó.
Nếu vật dẫn có dạng hình cầu hoặc mặt phẳng thì điện tích phân bố đều
Nếu vật dẫn phân bố bất kỳ thì các điện tích chủ yếu phân bố ở chỗ lồi
nhất đặc biệt là ở mũi nhọn.
Tại sát các mũi nhọn, điện trường rất mạnh nó chỉ có tác dụng làm iôn
hoá không khí và mũi nhọn sẽ hút các hạt mang điện tích trái dấu, đồng thời
đẩy các iôn cùng dấu tạo nên một luồng gió gọi là gió điện đồng thời điện tích
các mũi nhọn giảm, hiện tượng này gọi là hiện tượng rò điện.
Hiện tượng rò điện có nhiều ứng dụng quan trọng.
1.5.2.4. Điện trường trên mặt vật dẫn tích điện :
Vì mặt của vật dẫn là một mặt đẳng thế nên vectơ cương độ điện trường
trên và sát mặt vật dẫn phải vuông góc với mặt vật dẫn.
Điều này dễ hiểu vì nếu có một thành phần của điện trường hướng theo


+ Điện thông qua mặt ACB phải bằng không vì mặt đáy nằm bên trong


vật dẫn Ebt =0 do đó điện thông toàn phần qua mặt S bằng điện thông qua mặt
AB
Vì mặt AB là nhỏ nên trên mặt AB, điện trường coi như đều và điện
thông qua nó là :
E.S với S là diện tích của mặt AB

Trong mặt S có chứa phần của mặt vật dẫn là AB. Nếu gọi mật độ điện
tích ở đó là thì điện tích trên AB là : q .S .
Theo O-G:
E.S

q

o



.S

E
o
o

E là cường độ điện trường ở sát mặt vật dẫn
Ta thấy kết quả tính cường độ điện trường ở sát mặt một vật dẫn mang điện
so với kết quả tính cường độ điện trường của mặt mang điện lớn hơn gấp hai


2 2 O

Có nghĩa các điện tích trên diện tích còn lại của bề mặt vật dẫn đã
tạo ra một điện trường có giá trị


làm triệt tiêu điện trường của S bên
2 o

trong vật, nhưng nó lại làm cho cường độ điện trường ở bên ngoài vật dẫn tăng
thêm một lượng



tức bằng .
2 o
o

Vì các hạt tích điện trên diện tích ngoài S tạo ra tại S một điện trường


nên chúng tác dụng lên diện tích S một lực đẩy tĩnh
E2 có cường độ
2 o

điện :
F E2 .q
q .S
2 S với

hai bản bằng một đơn vị điện thế.
C

q
V1 V2

Với q: điện tích của tụ điện
V1 ,V2 : là điện thế của hai bản tụ

C: đặc trưng cho khả năng tích điện của tụ
- Ghép các tụ điện:
+ Ghép song song các tụ điện:
Có n tụ điện C1 , C2 ,..., Cn ghép song song

V1

C1
C2
Cn

Điện dung tương ứng của bộ:
C

n
q
C1 C2 ... Cn Ci
V1 V2
i 1

V2

1.5.5. Năng lượng điện trường.
1.5.5.1. Năng lượng của một tụ điện đã tích điện:
- Khi tích điện cho một tụ điện ta nối hai bản của tụ với một nguồn điện. Nếu
ngắt tụ ra khỏi nguồn và nối hai bản của nó bằng một dây dẫn, tụ điện sẽ
phóng điện. Trong dây dẫn có một dòng điện chạy qua, dòng điện làm toả ra
một nhiệt lượng trên dây dẫn. Tụ điện đã giải phóng năng lượng mà nó dự trữ
khi được tích điện.
- Ta tính năng lượng của tụ điện có điện dung C
Khi tích điện cho tụ điện thì nguồn điện đã thực hiện một công để đưa các
điện tích về các bản tụ. ở một lúc nào đó, hiệu điện thế giữa hai bản tụ là u
nếu nguồn đưa thêm đến các bản một điện lượng nhỏ dq thì công thực hiện để
thắng lực tĩnh điện là:
dA u.dq u.C.du

Công toàn phần của một nguồn điện để thiết lập lên trạng thái điện tích
trên các bản với hiệu điện thế U giữa hai bản là:


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan
U

1
A dA C.udu C.U 2
2
0

Theo định luật bảo toàn năng lượng thì công này được chuyển thành năng
lượng của tụ điện.


Mật độ thể tích we của năng lượng điện trường:
we

We 1
0E2.
V
2

-Với điện trường không đều ta chia khoảng không gian nơi có điện trường
ra thành các vi phân thể tích V sao cho trong các vi phân thể tích này thì
điện trường là đều, mỗi vi phân thể tích V có một năng lượng điện trường
W, mật độ năng lượng trung bình điện trường là:

we

We
V

Khi V 0 ta có mật độ năng lượng tại mỗi điểm của điện trường:
We dWe

dWe we dV
V 0 V
dV

we lim

We we dV
v

1
4 0

(quả cầu đặt trong chân không )

+ Thế năng của quả cầu: áp dụng công thức:
W

1
Vdq
2

do quả cầu dẫn nên V=const do đó:
1
1
W V dq Vq
2
2

q là điện tích của quả cầu.
Bài 1. Hai quả cầu kim loại 1 và 2 bán kính R1=2,5cm, R2=7,5cm và có điện
tích q1=3. 108 C, q2= 108 C đặt cách xa nhau (coi như hai quả cầu cô lập)
Nối hai quả cầu đó bằng một dây dẫn mảnh
1, Hỏi electron sẽ dịch chuyển từ quả cầu nào sang quả cầu nào
2, Tính điện tích của mỗi quả cầu và số(e) đã di chuyển qua dây nối sau đó?
Bài giải:
1, Quả cầu kim loại cô lập là một vật đẳng thế, điện tích chỉ phân bố ở mặt
ngoài quả cầu, trên một lớp mỏng cỡ một vài nguyên tử




Với q là điện tích của quả cầu dẫn tích điện.
Điện thế tại tâm của quả cầu bằng điện thế tại mọi điểm trên mặt quả cầu
Như vậy điện thế của quả cầu bằng điện thế gây bởi một điện tích điểm có
điện tích bằng điện tích của quả cầu đặt tại tâm của nó
- áp dụng công thức (1) ta có điện thế của quả cầu 1 và 2
V1 k

Ta thấy:

q1
q
;V2 k 2
R1
R2

q1
3.108
q2
108



R1 2,5.102 R2 7,5.102

(a)
(b)

Từ (a) và (b) suy ra V1 V2
Vì điện thế hai quả cầu khác nhau, nên khi nối chúng bằng dây dẫn, các điện

Hệ hai quả cầu dẫn là hệ cô lập về điện nên điện tích của hệ trước và sau khi
nối dây dẫn được bảo toàn. áp dụng định luật bảo toàn điện tích cho hệ vật
dẫn là hai quả cầu trên trước và sau khi (e) ngừng di chuyển từ quả cầu 2 sang
quả cầu 1:
q1 q2 q1' q2'

q1 3.108 C q1' q2' 3.108 108 4.108 (C ) (3)

q2 10 8 C


Từ (2) và (3) ta có: q1` 108 (C ); q2` 3.108 (C )
- Điện lượng sẽ di chuyển qua dây dẫn là: q q1` q1 q2` q2 2.108 (C ) .
Mỗi (e) mang điện tích có độ lớn là e 1, 6.1019 (C )
Nên số (e) đã di chuyển qua dây dẫn là: N =

q
2.108

1, 25.1011 (e)
e 1, 6.1019

Bài 2: Một quả cầu kim loại có bán kính R1 được tích điện đến điện thế V rồi
được bao bằng một vỏ cầu đồng tâm bán kính R2
1. Điện thế của quả cầu thay đổi ra sao nếu nó được nối với vỏ cầu bằng một
dây dẫn?
2. Tính điện thế của quả cầu khi nó được nối với đất.
3.Tính điện dung của tụ điện do quả cầu và vỏ cầu gây ra
Bài giải:



R1
1)
R2

2. Khi vỏ cầu nối với đất (có thể coi đất là một vật dẫn có kích thước rất lớn và
ở rất xa hệ mà ta khảo sát), các điện tích hưởng ứng cùng dấu với điện tích của
quả cầu bị đẩy ra xa. Khi đó trên vỏ cầu chỉ còn điện tích q ` bằng q về độ lớn
nhưng trái dấu: q ` q

VR1
k

Điện thế của quả cầu lúc này bằng điện thế do q và q ` gây ra. Điện thế do
q ` gây ra tại tâm của vỏ cầu (cũng là tâm của quả cầu) bằng:
V2 k

R
q
V 1
R2
R2

Vật dẫn là khối đẳng thế, nên điện thế trên mặt quả cầu và tại tâm của nó bằng
nhau, do đó điện thế của quả cầu bây giờ là:
V ` V V2 V V

R1
R
1 1

Do vật dẫn (quả cầu) là đẳng thế nên:
2

1
1
W .V dq Vq
2
2

Gọi Q1 , Q2 là điện tích mỗi quả cầu khi thế năng của hệ đạt cực tiểu.
Vì hai quả cầu ở xa nhau nên có thể bỏ qua hiện tượng điện hưởng của chúng
Thế năng của hệ lúc này là: (chọn gốc thế năng tại vô cùng)
1
1
Q12
Q22
W V1Q1 V2Q2

(1)
2
2
8 0 R1 8 0 R2
Q Q1 Q2 W

Q12
8 0 R1



(Q Q1 )

R1
R2
Q R2 Q
2 R1 R2

Từ đây, ta thấy:

Q1 Q2
Q


(2)
R1 R2 R1 R2

- Điện thế của mỗi quả cầu V1

Q1
4 0 R1

;V2

Q2
4 0 R2

- Theo (2) ta suy ra V1 V2
- Xét mật độ điện tích trên mỗi quả cầu:
1

Q
Q1

2
2

Q


2 W0

W 2.

8 0 R
2


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

Nhận xét: Như vậy là một nửa năng lượng của hệ đã bị tổn hao dưới dạng
nhiệt lượng trong dây dẫn. Có điều là sự tổn hao này không phụ thuộc vào
điện trở của dây nối. Điều này có thể thấy rõ, nếu như ta xét nhiệt lượng toả ra
trong thời gian t ở một điện trở r có dòng điện i chạy qua.
W ri 2 t ri (it ) u q

Với u là hiệu điện thế giữa hai quả cầu, q là lượng điện tích chạy qua trong
thời gian t . Như vậy có nghĩa sự tiêu hao năng lượng có thể biểu thị như là
hàm của Q và u mà thôi.
2.2. Dạng 2. áp dụng nguyên lý chồng chất.
- Phương pháp chung:
+ Nếu hệ gồm những vật mang điện có kích thước nhỏ so với khoảng cách


F dF

(vật dẫn)
+ Còn cường độ điện trường tại một điểm ở sát vật dẫn được tính theo công
thức :


E
n
0



với n là pháp tuyến của mặt vật dẫn


Khoá luận tốt nghiệp

Hoàng Thu Loan

0 : hằng số điện, 0 =8,85. 10 12 (C2/Nm2)

: hằng số điện môi, đối với chân không =1 thì E n
0

Bài 1. Một viên bi kim loại bán kính R=1,5 cm, mang điện tích q=10 C .
Tính lực tác dụng lên nửa mặt ngoài của viên bi.
Bài giải:
- Xét lực tác dụng lên nửa mặt cầu trên của viên bi, viên bi kim loại

dFx
ds

x

O R

- Chia mặt cầu trên thành các phần tử có diện tích là dS, dS mang điện
tích .dS , khi đó ta đã biết (theo phần lý thuyết), mỗi phần tử dS của


mặt ngoài bán cầu chịu lực đẩy tĩnh điện là dF có độ lớn:
dF

2 dS
(coi viên bi đặt trong chân không)
20

- Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ