LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Việc giải một bài toán hình học phẳng lớp 10 bằng phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng không phải lúc nào cũng thuận lợi. Có một số bài toán chỉ
cần dựa vào lý thuyết là có thể làm được, xong cũng có một số bài toán đòi
hỏi phải tư duy vận dụng một cách linh hoạt kết hợp với những kiến thức cũ.
Chính vì thế cần phải tư duy xác định mối liên hệ giữa chúng để làm sao giải
được bài toán một cách thuận lợi hơn.
Sau mỗi bài lý thuyết mới chúng ta cần vận dụng để làm bài tập đúc kết
ra các dạng toán rồi hệ thống lại các dạng bài tập trong bài học. Đây coi như
là củng cố bài học để nắm kiến thức dễ dàng hơn. Đó chính là một cách học
hiệu quả đặc biệt đối với môn toán rất hữu dụng.
Với những lý do trên em đã lựa chọn đề tài: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN”
2. Mục đích nghiên cứu
Cung cấp cho học sinh lớp 10 (lớp đầu cấp) một phương pháp hiệu quả
đối với việc học toán. Bên cạnh giúp cho học sinh tiếp cận với toán học hiện
đại thì đây còn là bước nền giúp học sinh tiến đến việc giải những bài tập hình
học không gian theo phương pháp khoa học.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Khách thể: Học sinh lớp 10 trường THPT Trần Quốc Tuấn
- Đối tượng: Các dạng bài toán về phương trình đường tròn trong
chương trình lớp 10.
- Phạm vi nghiên cứu: Phương trình đường tròn
4.Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống lại kiến thức


- Xác định được các dạng bài tập và hướng dẫn học sinh giải một số bài
toán mẫu.
- Bài tập toán mẫu

b) Phương trình tổng quát của đường tròn
Trong mặt phẳng Oxy, đường cong (C) có phương trình
(C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với a 2 + b 2 − c > 0

(2)

Là phương trình của đường tròn tâm I (a;b) và bán kính R = a 2 + b 2 − c
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
a. Định nghĩa tiếp tuyến đường tròn
Đường thẳng đi qua tiếp điểm của đường tròn và vuôn góc với bán kính
tại tiếp điểm đó thì đường thẳng có được gọi là tiếp tuyến của đường tròn
b. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
2
2
2
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − a) + ( y − b) = R .

Khi đó, tiếp tuyến (d) tại điểm M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) có phương trình:
(d ) : ( x0 − a )( x − a) + ( y0 − b) = 0
Chú ý: Trong trường hợp tổng quát, Đường thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp
tuyến) với đường tròn có tâm I bán kính R khi và chỉ khi: d ( I ,(d ) ) = R


CHƯƠNG II: HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG TRÒN
DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Phương pháp chung: Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu về dạng:
(C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0


luôn là phương trình của một đường tròn khi x < 0
b. Ta có a 2 + b 2 − c = 4 + 9 − 14 − m 2 = −1 − m 2 < 0 do đó phương trình đã
cho không phải là phương trình đường tròn.
2
2
c. Viết lại phương trình dưới dạng: x + y + 2 x + y + 1 = 0

Ta có: a 2 + b 2 − c = 1 +

1
1
− 1 = > 0 . Do đó phương trình đã cho là phương
4
4

1
1

trình đường tròn có tâm I  −1; − ÷, bán kính R =
2
2

2
d. Ta có hệ số của x 2 và y khác nhau do đó phương trình đã cho không

phải là phương trình đường tròn.


2

1

Vậy tâm Im của họ (Cm) đường tròn (C0 có bán kính nhỏ nhất bằng

2

Ví dụ 3:
2
2
Cho họ đường con: (Cm ) : x + y − 2(m + 2) x − 2(m + 4) y + 4m + 2 = 0

a. CMR: với mọi m luôn có (Cm) là phương trình đường tròn.
b. Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm)
c. Tìm đường tròn có bán kính nhỏ nhất trong họ (Cm)
Giải:
a. ∀m (Cm ) là đường tròn
b. Tâm Im của họ (Cm) thuộc đường thẳng (d): x − y + 2 = 0
c. Trong họ (Cm) đường tròn (C-2) có bán kính nhỏ nhất bằng 10


DẠNG 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp chung:
Gọi (C) là đường tròn thỏa mãn điều kiện đầu bài. Chúng ta lựa chọn
phương trình dạng tổng quát haowtj dạng chính tắc.
* Muốn có phương trình dạng tổng quát, ta lập hệ 3 phương trình với
ba ẩn a, b, c điều kiện a 2 + b 2 − c < 0
* Muốn có phương trình dạng chính tắc, ta lập ba phương trình với 3 ẩn
a, b, R, điều kiện R > 0
Chú ý: 1. cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kĩ càng để lựa
chọn dạng phương trình thích hợp.

x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với

a 2 + b2 − c > 0
Điểm A(1,2) ∈ (C ) nên 5 − 2a − 4b + c = 0

(1)

Điểm B (3,1) ∈ (C ) nên 10 − 6a − 2b + c = 0

(2)

Tâm I (a, b) ∈ ( d ) nên 7a + 3b + 1 = 0

(3)

Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2), (3), ta được:
1
3
a = , b = − , c = −10
2
2
2
2
Vậy phương trình đường tròn (C ) : x + y − x + 3 y − 1 = 0

Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M(1,2); N (5,2); P(1,-3)
Giải
Cách 1:Phương trình đường tròn (C) có dạng:
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 , điều kiện: a 2 + b 2 − c > 0
M (1;2) ∈ (C ) ⇒ 1 + 4 − 2a − 4b + c = 0

⇔
1
2
2
2
2
(1 − a) + (2 − b) = (1 − a ) + ( −3 − b)
b = − 2
2

41
1
41
⇒ phương trình của đường tròn: ( x − 3) 2 +  y + ÷ =
R − IM =
4
2
4

2

2

Cách 3: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của hai đường
trung trực. (học sinh tự làm)
Ví dụ 3: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có phương trình ba
cạnh sau:
( AB ) : x − 5 y − 2 = 0,

( BC ) : x − y + 2 = 0,


Tương tự như cách 1 ta có: A(7,1) và B (−3, −1)


a(2,0
(
C
)
⇔ (C ) :( x − 2) 2 + y 2 = 26
Vậy ta được:

 R = 26
Ví dụ 4: Cho hai điểm: A(4,0); B(0;3) . Lập phương trình đường tròn nội tiếp
∆OAB
Giải
Cách 1: Tâm I là giao của hai đường phân giác trong của góc AOB và
góc BAO.
+) Phương trình phân giác trong của góc AOB là: x-y =0
x y
PT (AB) được cho bởi: ( AB ) : + = 1 ⇔ 3 x + 4 y − 12 = 0
4 3
+) Phương trình các đường phân giác của góc BAO được cho bởi:
(∆ ) : 3 x − y − 12 = 0
3 x + 4 y − 12
y
=±
⇔ 1
9 + 16
1
(∆ 2 ) : 3x + 9 y − 12 = 0


2
2
Vậy phương trình đường tròn (C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = 1

 Nhận xét: Để lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác, ta cần lựa
chọn 1 trong 2 hướng sau:
Hướng 1: Tổng quát, ta có thể lựa chọn một trong hai cách để thể hiện:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bước
Bước 1: Viết phương trình hai phân giác trong của góc A và góc B
Bước 2: Tâm I là tọa độ giao điểm của hai đường phân giác trên
Bước 3: Tính khoảng cách từ I tới một cạnh của tam giac, ta được bán kính
Bước 4: Thiết lập phương trình đường tròn.
Cách 2: Ta thực hiện theo các bước sau
Bước 2: Tính diện tích S của ∆ABC và các cạnh; từ đó suy ra bán kính r
bới công thức: r =

S
p

Bước 2: Gọi I(a,b) là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC ; khi đó từ điều
kiện khoảng cách từ I tới ba canh bằng, r, ta có được hệ theo hai ẩn a, b ⇒ tọa
dộ của I.
Bước 3: Thiết lập phương trình đường tròn.
Hướng 2: Dựa trên dạng đặc biệt của ∆ABC , tức là:
1. Nếu ∆ABC đều, canh bằng a thì (C) có tâm I là trọng tâm ∆ABC ,
bán kính R =

a 3
6

(C) tiếp xúc với (d) ⇔ phương trình (2) có nghiệm kép
6
⇔ ∆ = 0 ⇔ R 2 = 9 (khi đó ta được t = )
5
2
2
Vậy phương trình đường tròn (C ) : ( x − 5) + ( y − 6) = 9

Cách 2:: Chuyển phương trình (d) về dạng tổng quát ta được:
(d ) : 3 x − 4 y − 6) = 0
Gọi R là bán kính đường tròn (C)
3.5 − 4.6 − 6

(C) tiếp xúc với (d) ⇔ R = d ( I ,(d ) ) =

9 + 16

=3

2
2
Vậy phương trình đường tròn (C ) : ( x − 5) + ( y − 6) = 9

Ví dụ: Cho hai đường thẳng có phương trình:
(d1 ) : 2 x + y − 1 = 0,

(d 2 ) : 2 x − y + 2 = 0

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng (d1 ) , (d 2 ) .
Suy ra tâm I thuộc đường phân giác của của góc tạo bởi (d1). (d2).

5 
3  121

Vậy phương trình đường tròn (C1 ) :  x − ÷ +  y − ÷ =
2 
2
20

Tương tự với I (a, b) ∈ ( ∆ 2 ) ta được phương trình đường tròn
2

2

1 
5  121

(C2 ) :  x + ÷ +  y + ÷ =
Vậy tồn tại hai đường tròn (C 1) và (C2) thỏa
4 
4
80

mãn điều kiện đầu bài.
DẠNG 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
Phương pháp chung
Ta thực hiện theo các bước
Bước 1: Xác định định phương tính của M đối với đường tròn (C) là PM /( C ) .
Bước 2: Kết luận:
 Nếu PM /( C ) < 0 ⇔ M nằm trong đường tròn
 Nếu PM /( C ) < 0 ⇔ M nằm trên đường tròn

uuur
(d1 ) : 
⇔ ( d1 ) :1.( x − 5) − 1( y − 2) = 0 ⇒ ( d1 ) : x − y − 3 = 0
vtpt
IM
(1;
−
1)

c. Vì (d2) qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm AB sao cho AB = 4 = 2R
qua M (5;2)
x −5 y −2
⇔ (d 2 ) : 
⇔ (d2 ) :
=
⇔ (d 2 ) : x + y − 7 = 0
4−2 3−2
qua I (4;3)
DẠNG 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Phương pháp chung:
Ta lựa chọn một trong ba cách sau:
Cách 1: Tính khoảng cách h từ I tới (d), rồi so sánh với bán kính R của
đường tròn, ta được:
 Nếu h > R ⇔ (d ) ∩ (C ) = φ
 Nếu h > R ⇔ (d ) tiếp xúc với (C)
 Nếu h < R ⇔ (d ) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B
Cách 2: Xét hệ phương trình tạo bởi (C) và (d), khi đó số nghiệm của
phương trình bằng số giao điểm của (d) và (C)
Cách 3: Sử dụng phương pháp tham số của đường tròn


Điểm A(0,1) ∈ ( S ) nên 1 - 2a + c = 0
Tâm I(1,b) ∈ (∆) nên 2a - b – 2 = 0
Giải hệ phương trình tạo bởi (1),(2), (3) ta được: a= b = 2, c = 3.
2
2
Vậy phương trình đường tròn ( S ) : x + y − 4 x − 4 y + 3 = 0

Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi đường thẳng (d m ) : mx + 2 y − m = 0
2
2
luôn cắt đường tròn (C ) : x + y − 2 x − y − 8 = 0 tại hai điểm phân biệt

Giải
Ta nhận rằng


(d m ) luôn đi qua điểm cố định M (1,0)



Pm /( C ) = 9 < 0 ⇒ M ở trong (C)
Vậy họ (dm) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

DẠNG 5. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN


Phương pháp chung:
I. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Để lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tâm I(a,b), bán kính


k1 = k2
với k1, k2 lần lượt là hệ số góc của (d), ( ∆)
1 + k1.k2

Các ví dụ.
Ví

dụ.

Lập

phương

trình

tiếp

tuyến

của

đường

tròn

(C ) : ( x − 1) 2 + ( y − 4) 2 = 25 đi qua điểm M(5,1); N(-4,-6)
Giải:
Nhận xét rằng: PM /( C ) = 0 ⇔ M ∈ (C ) ⇒ (C ) có duy nhất 1 tiếp tuyến tại
M.

ta được tiếp tuyến
3

(d 2 ) : A( x + 4) −

4A
( y + 6) = 0 ⇔ (d 2 ) : 3 x − 4 y − 12 = 0
3

Vậy qua Ma kẻ được hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới đường tròn (C)


Ví

dụ

2:

Lập

phương

trình

(C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 9 = 0 vuông

tiếp
góc

tuyến


của

(d)

(C ) ⇔ d ( I ,(d ) ) = R

c = −18
=1⇔ 
c = −18

• Với c= - 18 ta được tiếp tuyến (d1 ) : 4 x + 3 y − 18 = 0
• Với c = -18 ta được tiếp tuyến (d 2 ) : 4 x + 3 y − 8 = 0
Vậy tồn tại hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới (C) thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Ví

dụ

3:

Lập

phương

trình

tiếp

tuyến


Lập phương trình

(C ) : ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 = 10

( ∆ ) : 2x + y − 4 = 0

tiếp

tuyến

của

đường tròn

biết tiết tiếp tuyến tạo với đường thẳng

một gics bằng 450.
Giải:

Đường tròn (C) có tâm I(1;-1) và bán kính R = 10
Cách 1: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến (d) và đường
thẳng ( ∆ )
Ta có: k2 = −2 theo giả thiết:
 k1 = 3
k
−
k
−
k
−

⇔ d ( I ,(d 2 ) ) = R ⇔

a − 3 − 3n
1+ 9

 n = −4
= 10 ⇔ 3n + 2 = 10 ⇔ 
8
n =
3


 Với n = - 4, thay vào (2) được tiếp tuyến (d 2.1 ) : x + 3 y + 12 = 0
8
 Với n = , thay vào (2) được tiếp tuyến (d 2.1 ) : x + 3 y − 8 = 0
3


Vậy tồn tại bốn tiếp tuyến (d1.1 ),( d1.2 ),(d 2.1 ),(d 2.2 ) tới (C) thỏa mãn điều
kiện đầu bài.
Cách 2: Giả sử tiếp tuyến (d) có phương trình: Ax + By + C = 0
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C)
⇔ d ( I ,(d ) ) = R ⇔

A− B+C
A2 + B 2

= 10

(2)

4
B
=
10
B
⇔
C = −6 B
2

( −3B ) + B 2

−3B − B + C

+)

Với

C = 14 B

thay

vào

(1)

ta

được

tiếp


Bước 1: Giả sử đường thẳng (d ) : Ax + By + C = 0 với A2 + B 2 > 0 là
tiếp tuyến chung của đường tròn (C1 ) và (C2)
d ( I1 ,(d ) ) = R1
Bước 2: Thiết lập điều kiện tiế xúc của (d) với (C1) và (C2): 
d ( I 2 ,(d ) ) = R2
Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến chung (d)
Ví

dụ:

Cho

hai

đường

tròn

(C1 ) : ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = 1 và

(C1 ) L( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 = 4
Lập phương trình tiếp tuyến chúng của hai đường tròn trên
Giải
• Đường tròn (C1) có tâm I1(1,1) và bán kính R1 = 1
Đường tròn (C2) có tâm I2 (2,-1) và bán kính R2 = 2
• Giả sử tiếp tuyến chung (d) có phương trìnhL Ax + By + C = 0 với
A2 + B 2 > 0
d ( I1 (d ) ) = R1
⇔


 A + B − 3B = A + B
C = −3B & B = 0

1
⇔  C = − (4 A + B )
⇔
3B
C = −3B & A =
 
3

4

1
  A + B − 4 A + B = A2 + B 2
3
 
Khi đó ta được hai tiếp tuyến chung:
(d1 ) : Ax = 0 ⇔ (d1 ) : x = 0


(d 2 ) :

3B
x + By − 3B = 0 ⇔ ( d 2 ) : 3 x + 4 y − 12 = 0
4

Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến chung (d1 ),(d 2 ) của (C1 ) và (C2 ) .


Bài 2: Cho họ đường cong: (Cm ) : x + y − 2(m + 2) x − 2(m + 4) y + 4m + 2 = 0

a. Tìm m để (Cm) là phương trình đường tròn.
b. Tìm tập hợp tâm các đường tròn.
c. Tìm các điểm cố định mà mọi đường tròn của họ (Cm) đều đi qua
Bài 3: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau
a. Tâm I(2;1), bán kính R = 5
b. Đường kính AB với A(1;2), B(2:- 1)
c. Đi qua điểm A(3;1), B (5;5) và tâm nằm trên trục tung.
Bài 4. Hai đường thẳng (d1 ) : x + 2 y + 3 = 0 và (d 2 ) : x + 2 y + 9 = 0
Lập phương trình đường tròn có tâm I thuộc đường thẳng
(d ) : x + y + 1 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng (d1 ),(d 2 ) .
2
ĐS: (C ) : ( x − 4) + ( y + 5) =
2

9
5

Bài 5. Lập phương trình đường tròn đi qua A(2:-1) và tiếp xúc với OX, OY.
Bài 6: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A (-1;-2) và tiếp xúc với
đường thẳng (d): 7x – y – 5 = 0 tại điểm M(;1;2)
2
2
Bài 7: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) : x + y − 4 x − 2 y = 0


Biết tiếp tuyến đi qua A(3,2)
2
2

giải các bài toán.
Một số quan điểm quan trọng khi giải bài tập về phương trình đường tròn:
- Định hướng cho học sinh làm bài tập
- Hướng dẫn học sinh biết cách phân tích đề
- Xác định các dạng toán của phương trình đường tròn
- Sử dụng các điều kiện liên qua đến đường tròn như: Điều kiện tiếp
xúc, xác định được vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong các trường hợp:
Vuông góc, song song, tạo bởi góc α ...
Do vậy, cần tạo điều kiện và thường xuyên nhắc nhở để học sinh tạo
được cơ hội củng cố kiến thức và ôn tập tốt hơn.
Vì là sinh viên thực tập lần đầu tiên đứng trên bục giảng vốn kinh
nghiệm chưa có nhiều nên em không có tham vọng gì hơn ngoài việc giới
thiệu cho học sinh các hệ thống kiến thức bài học.


Do điều kiện thời gian còn hạn hẹp nên đề tài nghiên cứu chắc chắn
không tránh những thiếu xót, bản thân em rất mong sự đóng góp của các thầy
cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Ngọc Hóa và các thầy cô giáo
trong tổ chuyên môn của nhà trường đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành đề tài
nghiên cứu khoa học này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK hình học + BT hình học lớp 10
2. Hướng dẫn giải bài tập hình học 10, Phan Thanh Quang (Chủ biên)
3. Hình học giải tích trong mặt phẳng, Lê Hồng Đức (Chủ biên)
4. Tuyển tập bài tập toán lớp 10, Đậu Thế Cấp, Nguyễn Việt Dũng
5. Toán bồi dưỡng học sinh PTTH: Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải.


MỤC LỤC