Phương pháp
tọa độ trong mặt phẳng.
Phương trình đường thẳng
Mục lục
1 Lập phương trình đường thẳng 1
1.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 5
2.1 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 7
3.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Góc giữa hai đường thẳng 9
4.1 Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 Lập phương trình đường thẳng
1.1 Phương pháp giải
1. Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ ta cần xác định một
điểm M
0
(x
0
; y
0
) và một véc tơ chỉ phương

u = (u
1

t
; PTCT ∆ :
x − x
0
u
1
=
y −y
0
u
2
(u
1
 0, u
2
 0)
2. Để lập phương trình tổng quát ta cần xác định một điểm M
0
(x
0
; y
0
) ∈ ∆ và véc tơ pháp tuyến

n = (a; b) của ∆.
∆
M
0
(x
0

A
x
B
− x
A
=
y −y
A
y
B
− y
A
• Phương trình theo đoạn chắn: ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0)
∆ :
x
a
+
y
b
= 1
• Phương trình theo hệ số góc: ∆ đi qua M
0
(x
0
; y
0
) có hệ số góc k.
y −y
0
= k(x − x

⊥

u
d
I ∈ d
5. Viết phương trình đường thẳng d

đối xứng với d qua I.
• Chọn A ∈ d, tìm A

đối xứng với A qua I
• Viết phương trình d

song song với d qua I.
6. Viết phương trình đường thẳng d

đối xứng với d qua ∆.
A
I
d
d

∆
∆
d
d

A

A


u(−2; −5)
(d) M(1; 2),

u(5; 0)
(e) M(7; −3),

u(0; 3)
(f) M ≡ O(0; 0),

u(2; 5)
2. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có), phương trình tổng quát của đường
thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ pháp tuyến

n.
2
(a) M(−2; 3),

n(5; −1)
(b) M(−1; 2),

n(−2; 3)
(c) M(3; −1),

n(−2; −5)
(d) M(1; 2),

n(5; 0)
(e) M(7; −3),






x = 1 − 2t
y = 3 + 4t
(e) M(0; 3), d :
x −1
3
=
y + 4
−2
6. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có), phương trình tổng quát của đường
thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
(a) M(2; 3), d : 4x − 10y + 1 = 0
(b) M(−1; 2), d ≡ Ox
(c) M(4; 3), d ≡ Oy
3
(d) M(2; −3), d :







x = 1 − 2t
y = 3 + 4t
(e) M(0; 3), d :
x −1


, P(2; −4)
(c) M

2; −
3
2

, N

1; −
1
2

, P(1; −2)
(d) M

3
2
; 2

, N

7
2
; 3

, P(1; 4)
10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn bằng nhau.
(a) M(−4; 10)

(d) d : 2x − 3y + 1 = 0, I(0; 0)
2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
2.1 Lý thuyết
Cho hai đường thẳng d
1
: a
1
x + b
1
y + c
1
= 0, d
2
: a
2
x + b
2
y + c
2
= 0
Tọa độ giao điểm của d
1
, d
2
là nghiệm của hệ:






(nếu a
2
, b
2
, c
2
 0)
• d
1
//d
2
⇔ hệ vô nghiệm ⇔
a
1
a
2
=
b
1
b
2

c
1
c
2
(nếu a
2
, b
2

• Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng.
• Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm trên.
2.2 Bài tập
1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng, nếu chúng giao nhau hãy tìm giao điểm.
(a) 2 x + 3y + 1 = 0, 4x + 5y −6 = 0
(b) 4 x − y + 2 = 0, −8x + 2y + 1 = 0
(c)







x = 5 + t
y = −3 + 2t
,







x = 4 + 2t
y = −7 + 3t
5
(d)



(a) d : mx − 5y + 1 = 0, ∆ : 2x + y − 3 = 0
(b) d : 2mx + (m − 1)y − 2 = 0, ∆ : (m + 2)x + (2m + 1)y − m − 2 = 0
(c) d : (m − 2)x + (m − 6)y + m − 1 = 0, ∆ : (m − 4)x + (2m − 3)y + m − 5 = 0
(d) d : (m + 3)x + 2y + 6 = 0, ∆ : mx + y + 2 − m = 0
3. Tìm m để ba đường thẳng đồng qui.
(a) y = 2x −1, 3x + 5y −8 = 0, (m + 8)x − 2my = 3m
(b) y = 2m −m, y = −x + 2m, mx − (m − 1)y = 2m − 1
(c) 5 x + 11y = 8, 10x −7y = 74, 4mx + (2m − 1)y + m + 2 = 0
(d) 3 x − 4y + 15 = 0, 5x + 2y −1 = 0, mx − (2m − 1)y + 9m − 13 = 0
4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của d
1
, d
2
và thỏa mãn:
(a) d
1
: 3x − 2y + 10 = 0, d
2
: 4x + 3y − 7 = 0, d qua A(2; 1)
(b) d
1
: 3x − 5y + 2 = 0, d
2
: 5x − 2y + 4 = 0, d song song d
3
: 2x − y + 4 = 0
(c) d
1
: 3x − 2y + 5 = 0, d
2






x = 0
y = 3
(b) m x − y + 2m + 1 = 0
(c) m x − y − 2m −1 = 0
(d) (m + 2)x −y + 1 = 0
6. Cho ∆ABC có A(0; −1), B(2; −3), C(2; 0)
(a) Viết phương trình các đường trung tuyến, đường cao, đường trung trực của tam giác.
(b) Chứng minh các đường trung tuyến đồng qui, các đường cao đồng qui, các đường trung
trực đồng qui.
6
7. Hai cạnh của hình bình hành ABCD có phương trình x −3y = 0, 2x + 5y + 6 = 0, đỉnh
C(4; −1). Viết phương trình hai cạnh còn lại.
8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q.
(a) M(2; 5), P(−1; 2), Q(5; 4)
(b) M(1; 5), P(−2; 9), Q(3; −2)
3 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
3.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho ∆ : ax + by + c = 0 và điểm M(x
0
; y
0
)
d(M, ∆) =
|ax
0

M
+ c)(ax
N
+ by
N
+ c) < 0
3.3 Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
: a
1
x + b
1
y + c
1
= 0, ∆
2
: a
2
x + b
2
y + c
2
= 0 cắt nhau.
Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng là:
a
1
x + b
1
y + c

−−→
BD =
AB
AC
−−→
DC,
−−→
EB =
AB
AC
−−→
EC
• Viết phương trình đi qua hai điểm.
7
Cách 2:
• Viết phương trình các đường phân giác d
1
, d
2
của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC.
• Kiểm tra vị trí của B, C đối với d
1
hoặc d
2
– Nếu B, C cùng phía thì d
1
là phân giác ngoài.
– Nếu B, C khác phía thì d
1
là phân giác trong.

(a) A(−1; −1), B(2; −4), C(4; 3)
(b) A(−2; 14), B(4; −2), C(5; −4)
6. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ và cách A một khoảng k:
(a) ∆ : 3x −4y + 12 = 0, A(2; 3), k = 2
(b) ∆ : x + 4y − 2 = 0, A(−2; 3), k = 3
(c) ∆ : y −3 = 0, A(3; −5), k = 5
(d) ∆ : x − 2 = 0, A(3; 1), k = 4
7. Viết phương trình đường thẳng d song song và cách ∆ một khoảng k:
(a) ∆ : 2x −y + 3 = 0, k =
√
5
(b) ∆ :







x = 3t
y = 2 + 4t
, k = 3
(c) ∆ : y −3 = 0, k = 5
(d) ∆ : x − 2 = 0, k = 4
8. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng d:
(a) A(−1; 2), B(3; 5), d = 3.
8
(b) A(−1; 3), B(4; 2), d = 5.
(c) A(5; 1), B(2; −3), d = 5.
(d) A(3; 0), B(0; 4), d = 4.

(c) Cách đều hai đường thẳng d
1
: 4x − 3y + 2 = 0, d
2
: y −3 = 0.
(d) Có tỉ số khoảng cách đến hai đường thẳng là
5
13
d
1
: 5x − 12y + 4 = 0, d
2
: 4x − 3y − 10 = 0
13. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
(a) 3 x − 4y + 12 = 0, 12x + 5y −20 = 0
(b) 3 x − 4y −9 = 0, 8x −6y + 1 = 0
(c) x + 3y −6 = 0, 3x + y + 2 = 0
(d) x + 2y −11 = 0, 3x − 6y − 5 = 0
14. Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
(a) A(−3; −5), B(4; −6), C(3; 1)
(b) AB : 2x −3y + 21 = 0, AC : 3x −2y −6 = 0, BC : 2x + 3y + 9 = 0
4 Góc giữa hai đường thẳng
4.1 Lý thuyết
Cho hai đường thẳng
d
1
: a
1
x + b
1

(d
1
, d
2
) =













(

n
1
,

n
2
) (

n
1

, d
2
) = cos

(

n
1
,

n
2
) =




n
1
·

n
2








2
1

a
2
2
+ b
2
2
∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗
• 0
o
≤

(d
1
, d
2
) ≤ 90
o
• d
1
⊥d
2
⇔ a
1
a
2
+ b
1

2
= −1
• Để tính góc A trong ∆ABC
cos A = cos

−−→
AB,
−−→
AC

=
−−→
AB
−−→
AC




−−→
AB








−−→

10