MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
MỘT SỐ BÀI PHƯƠNG TRÌNH HAY VÀ ĐẶC SẮC
Bài 1:
Giải phương trình
2
2 1 3 1 0
x x x
− + − + =

Bài 2:
Giải phương trình
2
2 1 ( 1) 0
x x x x x x
− − − − + − =

Bài 3:
Giải phương trình
2
4 2 3 8 1
x x x
+ + = +

Bài 4:
Giải phương trình
2 2
( 1) 2 3 1
x x x x
+ − + = +


= − − − +
 
 


− + = + −


.
nên ta có
( )
(
)
( )
3
2
3 3
1 3 2 3 1 3 0
pt x x x x x x
⇔ − − − + + − − − + = ∗

Đặ
t:
3
3
1
3
a x
b x


x x x
S
x x

− = − + = −

↔ ⇔


= ∅
− = +




V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
1
x
= −Bài 7:
Gi
ả

≥

+ + − ≥ ⇔

− ≤ ≤ −


Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho
( )
(
)
2 2
4
2 3 1 2 0
3
x x x x x
⇔ + − − − + − =

(
)
( ) ( )
(
)
( )
2 2
4

ng trình:
2 2
2 4 2
1 0
1 1
3
x x x x
x x
+ − + −
⇔ − + =
+ +

Đặ
t
( )
( )
2
2
3
2 4 3
0 1 0 3 0
3
1 3
3
3
t
x x
t t pt t t t t
x
t

x x
t x x
x
x

= +
+ −

= → = ⇔ − − = ⇔

+
= −



•

V
ớ
i
2
2
3 2 3
3 2 7 0 22 1
3 1 3
x x
t x x x
x
+ −
= → = ⇔ + − = ⇔ = −

1 0 2
2 6 0
x x
x x
x x

+ − ≥

− ≥ ⇔ ≥


− + ≥


Phương trình đã cho
2 2
6 3 1 2 2 6
x x x x x
⇔ + − + − = − +

(
)
( ) ( )
2 2 2
6 6 6 1 9 1 4 8 24
x x x x x x x x
⇔ + − + + − − + − = − +

( )( )( ) ( )
(

2
2 2 2
2 3
2 2 3 0
2
x x
t x x t t
x
+ −
= ⇔ + − + − =
−
.
Điều kiện của
t
là
4 2
0
6 20
12 16 0
0 6 20
x
t
t
t t
t

≥

≥ +


= +
+ −
= → = ⇔ − + = ⇔

−
= −



Vậy phương trình có hai nghiệm:
{
}
7 20 7 20
;− +

Bài 9: Giải phương trình
( )
2
4 3 2 3
1
2 2 2 1
x
x x x x x x
x
−
− + + + = +

Lời giải:
Ta có phương trình
( ) ( )

x
x
x
>


⇔ ⇔ >

−
>


.
V
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n này ta có
( ) ( )
(
)
( )( ) ( )
2 2
2 2
1 1 1 1 1pt x x x x x x x
⇔ − + + = + − + ∗

( )
2
2 2
1
a a a a
a b a b ab
b
b b b
 
+ = + ⇔ + = +
 
 

Đặ
t:
( )
0
a
t t
b
= >

( )
(
)
2
4 3 2
1 1 1 0 1
pt t t t t t t t
⇒ ⇔ + = + ⇔ − + + = ⇔ =

m:
1 2
x = +

MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
Bài 10: Giải phương trình:
(
)
2 4 3 2
8 25 18 3 16 96 218 216 81
x x x x x x− + = − + − +

Lời giải:
Nhận xét:
( )
( )
4
4 3 2 4 3 2 2 2
2
2
16 96 218 216 81 16 96 216 216 81 2 2 3 2
8 25 18 2 2 3
x x x x x x x x x x x
x x x x

− + − + = − + − + + = − +


− + = − −

 
− = + ⇔ ⇔
 
 
+ − =
− − =



•
V
ớ
i
( )
2
2 3a x x x S
= − → − = − ⇔ = ∅

•
V
ớ
i
( )
2
2
17 145
5 2 3 5 4 17 9 0
8
a x x x x x x
±

ề
u ki
ệ
n:
2
3
2 3 0
2
x x− ≥ ⇔ ≥

Ph
ươ
ng trình
(
)
( )
2 2 2
5
2 2 3 9 4 2 3 1 2 3
2
x x x x x
⇔ − + + − = + −

Đặ
t:
( )
2
2 3 0
x t t
− = ≥

2
2
4
7 8 28 0
2 2 3 4
2
5 2
17 20 16 0
2 2 3 5 2
2
x
t
x x
x x
x
x x
x x
t
+

=



− − =
− = +

⇒ ⇒ ⇔

−

2 2
5 39
17 20 16 4 0
2 4
VT x x x x
 
= − + = + − + >
 
 
. V
ậ
y
(
)
∗
vô nghi
ệ
m.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m là:
4 2 53
7
x
±
=

1 1 1 1
1 .
1 1
x x x x x x x x
x x x x
− + − + + + + +
⇔ − + =
+ +

MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
Ta đặt:
2 2
1 1
, ,( , 0)
1
x x x x
a b a b
x x
− + + +
= = ≥
+
ta có:
2
1 ( 1)( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) 0 1
a ab b a a b a a a b a
− + = ⇔ − + + − = ⇔ − + + = ⇔ =

Với a = 1 ta có:
2

5 4 22 18 10 3 18,(2)
x x x
x x x x x
x x x x x x x

− − + ≥

⇔ + = − − + ⇔

+ = + − + − −



Gi
ả
i (2) ta có (2)
4 2 4 2 4 2 2 2
2 9 9 5 3 18 2 9 9 5 ( 3)( 6)
x x x x x x x x x x
⇔ − + = − − ⇔ − + = + −

2 2 2 2 2
2 ( 6) 3( 3) 5 ( 3)( 6)
x x x x x x
⇔ − + + = + −

Đặ
t:
2 2
6, 3


+
− = + ⇔ ⇒ =

− − =


+V
ớ
i 2a = 3b ta có:
2 2
4 2
0,( (1))
2 6 3 3 3
33 27 0
x tm
x x x x
x x
≥

− = + ⇔ ⇔ =

− − =


K
ế
t lu
ậ
n: V

6 2 (3 1) (3 1) 6 2 0
t x x t t x t x
⇒ + − = + ⇔ − + + − =

2 2 2
(3 1) 4(6 2) 9 18 9 (3 3)
x
x x x x x
∆ = + − − = − + = −

3 1 3 3
3 1
2
3 1 3 3
2
2
x x
t x
x x
t
+ + −

= = −

⇒

+ − +

= =


t x x= ⇔ − = ⇔ = ±

Bài 15:
Gi
ả
i PT :
2 2 2
( 2 ) ( 1) 2( 2 1) 13
x x x x x
+ + + + − =

MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
Lời giải:
Đk:
2
2 1
x x
+ ≥

Nhận xét:
2 2 2 2 2 2
( 2 ) 1 ( 2 1)( 2 1) ( 2 1)( 1)
x x x x x x x x x
+ − = + − + + = + − +

PT
2 2 2
( 2 1)( 1) ( 1) 2( 2 1) 12
x x x x x x

2 2
1
( 1) 2( 2 1) 4
( 1) ( 2 1) 8
x
x x x
x x x
≥ −

+ + − = ⇔

+ + − =


4 2 2
1 1
1
( 1) 2( 1) 8 0 ( 1) 4
x x
x
x x x
≥ − ≥ −
 
⇔ ⇒ ⇔ =
 
+ − + − = + =
 

+ Với
6

≤ −
≤ −



⇔ ⇔ ⇒ = − − +
 
+ − + − =
+ = +




BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:

Giải các phương trình sau.
a)
2
4 1 5 14
x x x
+ = − +
Đ/s: Nhóm bình phương, x = 3
b)
4 3 2 3 2 11
x x x
+ + + − =
Đ/s: Nhóm bình phương,
5
4

PT x x x x x
 
⇔ + − + + + − + = ⇒ =
 

Bài 2:

Giải các phương trình sau.
a)
2 2
24 15 3 2
x x x
+ − + = −
Đ/s: Liên hợp, x = 1
b)
2
5( 3)
1 2 4
2 18
x
x x
x
−
+ − − =
+
Đ/s: Liên hợp,
3
3; 1;
2
x = −

b)
2 2
3
(3 1) 2 1 5 3
2
x x x x
+ − = + −

Đ/s: Đặt ẩn không hoàn toàn,
1; 5
x x
= ± =

MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
c)
2 2
6 10 5 (4 1) 6 6 5
x x x x x
− + = − − +

Đ/s: Đặt ẩn không hoàn toàn,
59 3
10
x
−
=

Bài 4:
Gi

− − = +

Đ/s: Đặ
t
ẩ
n
đư
a v
ề
h
ệ

đ
x lo
ạ
i 2,
7 3 5 5 41
;
2 2
x x
+ −
= =