SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,5 điểm).
1
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − ( m − 1) x 2 − ( m − 3) x + 8m 2
3
đồng biến trên khoảng ( 0;3) .
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = − x3 + 3mx 2 − 3m − 1 có điểm
cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó đối xứng với nhau qua đường thẳng x + 2 y + 1 = 0 .
Câu 2 (2,0 điểm).
cos 2 x − cos3 x − 1
a) Giải phương trình: cos 2 x − tan x =
.
cos 2 x
b) Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của
đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác được chọn
là một tam giác cân nhưng không phải tam giác đều.
Câu 3 (1,5 điểm).
x −1
+ x +1 ( x ∈ ¡ ) .
Giải phương trình: ( x − 2 ) ( 4 − x ) + x − 2 + 4 − x =
2
Câu 4 (2,0 điểm).
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = b ( a, b > 0 ) , SA
2


(Hướng dẫn chấm có 05 trang)

I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học
sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần
đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu Ý
Nội dung trình bày
Điểm
1
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
1
y = x 3 − ( m − 1) x 2 − ( m − 3) x + 8m 2 đồng biến trên khoảng ( 0;3) .
3
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 2,5

a

y = − x3 + 3mx 2 − 3m − 1 có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó đối
xứng với nhau qua đường thẳng x + 2 y + 1 = 0 .
TXĐ: ¡

y ' = x 2 − 2 ( m − 1) x − ( m − 3)
Do phương trình y ' = 0 có nhiều nhất hai nghiệm trên ¡ , nên để hàm số đã

0,5


+
0
3
g ( x)
2
Xét hàm số g ( x ) =

0,5

3
18
7

0,5

Từ BBT, g ( x ) ≥ m, ∀x ∈ ( 0;3) ⇔ m ≤ 2
Vậy, m ≤ 2 thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 0;3) .
b

TXĐ: ¡
x = 0
y ' = −3 x 2 + 6mx; y ' = 0 ⇔ 
. Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu ⇔
 x = 2m
phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0
uuu
r
3
3
Tọa độ hai điểm cực trị A ( 0; − 3m − 1) , B ( 2m;4m − 3m − 1) ⇒ AB ( 2m;4m )

π
Điều kiện: x ≠ + lπ ( l ∈ ¢ )

2

Suy ra (1) ⇔ cos 2 x − tan x = 1 − cos x − (1 + tan x)
2

2,0

0,25

2

cos x = −1
⇔ cos 2 x = − cos x ⇔ 2cos x + cos x − 1 = 0 ⇔ 
cos x = 1
2

+) cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π ( k ∈ ¢ )
2

1
π
⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ )
2
3
Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x = −π + k 2π ,
π
x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ )


0,25

0,25

0,25

90 18
= .
455 91

Giải phương trình:

( x − 2) ( 4 − x ) +

x −2 + 4− x =

Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 4

x −1
+ x + 1 ( 1)
2

1,5
0,5

3


( 1) ⇔ 2 ( x − 2 ) ( 4 − x ) + 2 (

)

x−2 + 4− x = f

(

0,5

)

x +1 ⇔ x − 2 + 4 − x = x +1

11
. Nghiệm tìm được thỏa mãn.
5
11
Vậy phương trình có nghiệm: x = 3; x =
5
S
.
ABCD
Cho hình chóp
có đáy ABCD là hình chữ nhật,
⇔2

4

( x − 2) ( 4 − x )

= x − 1 ⇔ x = 3; x =


 b ( 2a − x )  2
a + x2
b +

2a
b ( 4a − x ) a 2 + x 2


=
=
2
4a

Kẻ AH ⊥ BM tại H, suy ra AH ⊥ ( BCNM ) , AH =

4

a +x

0,5

0,5

ax
2

0,5

2


(
(

5

)
)

 x = 3 + 5 a (lo¹i)
2
2
⇔ x − 6ax + 4 a = 0 ⇔ 
Vậy x = 3 − 5 a .
x = 3 − 5 a

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E, H lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của

(

0,5

)

đường thẳng AB và đường thẳng CD. Biết điểm D ( −1; − 1) , đường thẳng IG có

1,0

phương trình 6 x − 3 y − 7 = 0 và điểm E có hoành độ bằng 1. Tìm tọa độ các


x + 2 y − 7 = 0

7 7
3
⇔
⇒ G  ; ÷ ⇒ C ( 5;1)
hệ phương trình 
3 3
6 x − 3 y − 7 = 0
y = 7

3
uuur 5 uuur
DG = AG ⇒ A ( 1;1) ⇒ B ( 1;5 ) . Vậy, A ( 1;1) , B ( 1;5 ) và C ( 5;1) .
2
Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [ 1;9] và x ≥ y , x ≥ z . Tìm giá trị nhỏ nhất

1,0

y
1 y
z 
+ 
+
của biểu thức P =
÷.
10 y − x 2  y + z z + x 
Với a, b dương thỏa mãn ab ≥ 1 ta có bất đẳng thức


1
1 1
1 ÷
1
1
÷≥
+ 
+
+
Áp dụng bất đẳng thức trên: P =
x 2
z
x
x
x
10 −
1+
1+ ÷
10 −
1+

÷
y
y
z
y
y


Đặt

2

3

3

− 24t − 50 < 0 ∀t ∈ [ 1;3] .
0,25

BBT
t
f '( t )
f ( t)

1

2

−

3
+

11
18

5
4
1
2