Kinh nghiệm :
Hớng dẫn HS vận dụng linh hoạt các
phơng pháp giải phơng trình vô tỉ
A- Đặt vấn đề
1- Lí do chọn đề tài
Trong chơng trình toán học phổ thông, kiến thức về phơng trình là một kho báu
vô tận. Càng đi sâu vào nghiên cứu chúng ta càng thấy đợc cái khó, cái hay vô
cùng của nó .
Trong kho báu vô tận đó thì phơng trình vô tỉ chiếm một phần không nhỏ. Mặc
dù trong chơng trình cơ bản của toán 9, PT vô tỉ chỉ chiếm phần khá ''khiêm tốn
'' chủ yếu tập trung ở chơng I: '' Căn bậc hai - căn bậc ba ''. Với hệ thống bài tập
còn ít ỏi, tơng đối đơn giản mà HS có thể áp dụng một vài phơng pháp nh nâng lên
luỹ thừa, hay đa PT về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối...là có thể
giải đợc .
Song thực tế trong các đề thi HS giỏi, đề thi chuyển cấp vào THPT và trờng
chuyên của tỉnh của mấy năm gần đây thì các bài toán về ''PT vô tỉ'' lại xuất hiện
khá nhiều và rất đa dạng. Chúng đòi hỏi HS phải nắm chắc các phơng pháp giải về
phơng trình vô tỉ, từ đó biết vận dụng linh hoạt các phơng pháp giải phù hợp với
bài toán của mình. Thực tế HS lại rất hay lúng túng và gặp nhiều khó khăn trớc
điều này .
Vì thế với kinh nghiệm bản thân đã từng gặp phải vấn đề này trong quá trình
giảng dạy của mình, bản thân tôi cố gắng tìm cách tháo gỡ điều này bằng cách
tham khảo các tài liệu và rút ra kinh nghiệm hớng dẫn, cung cấp cho HS các phơng pháp giải thật đa dạng về phơng trình vô tỉ; Phân tích ra các sai lầm mà các em
có thể gặp phải trong quá trình tìm tòi và trình bày lời giải. Nhằm để các em nắm
thật chắc mỗi phơng pháp giải, chú ý tránh các sai lầm có thể xảy ra.
Từ đó hớng dẫn các em biết vận dụng thật linh hoạt các phơng pháp đã biết.
Tìm ra phơng pháp giải phù hợp cho mỗi bái toán về ''phơng trình vô tỉ'' của
mình -đáp ứng với sự mong mỏi đợc khám phá; tự tin chiếm lĩnh tri thức; làm
cấp và thi vào cấp 3.
4. Các phơng pháp nghiên cứu và tiến hành :
*Tham khảo thu thập tài liệu : SGK Đại số 9-Nhà xuất bản GD,Một số vấn đề
phát triển Đại số 9-, Toán bồi dỡng Đại số 9 ,Toán nâng cao và các chuyên đề Đại
số 9,Để học tốt Đại số 9 ,Phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực ,
23chuyên đề bài toán sơ cấp- Nhà xuất bản GD , Những đề thi và những tài liệu
khác có liên quan .
*Phân tích,tổng kết kinh nghiệm .
*Kiểm tra kết quả chất lợng học sinh .
*Thông qua các dạng phơng trình vô tỉ cơ bản đa ra phơng pháp giải và khắc
phục những sai lầm hay gặp , các dạng bài tập tự giải .
B- Giải quyết vấn đề :
I- Cơ sở khoa học
1- Cơ sở lí thuyết :
Khái niệm :Phơng trình vô tỉ là phơng trình chứa ẩn trong dấu căn
2
Để giải PT vô tỉ tức là ta cần tìm cách biến đổi nhằm '' Hữu tỉ hoá '' các PT đó và
các phơng pháp để giải quyết vấn đề đó là:
1- Phơng pháp nâng lên luỹ thừa
2- PP đa PT vô tỉ về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
3- PP đặt ẩn phụ
4- PP hệ PT
5- PP bất đẳng thức
6- PP nhân với lợng liên hợp
7- PP đa về dạng tích
Bài 2:
x 1 5 x 1 = 3 x 2 (1)
Bài 3: a, 3x2 +21 x +18 +2 x 2 + 7 x + 7 =2
b. 3 2 x + 1 + 3 x = 1
Kết quả cụ thể :
Bài 1: Đa số các em biết cách giải và giải khá tốt vì các em đã đợc luyện nhiều
dạng này trong chơng trình
Bài 2: Một số ít các em khá giải tốt ; còn đa số giải nh sau :
Lời giải sai: Chuyển vế : x 1 = 5 x 1 + 3x 2 (2)
Bình phơng hai vế ta đợc :
x- 1 = 5x -1 +3x -2 +2 15 x 2 13x + 2 (3)
2-7x = 2 15 x 2 13x + 2 (4)
Bình phơng 2 vế ta đợc :
4 - 28 x + 49x2 = 4( 15x2 -13x +2 ) (5)
Rút gọn : 11 x2 - 24 x + 4 =0
Giải ra: x1 = 2/11; x2 = 2
Sai lầm của các em là :
1- Bỏ qua một bớc rất quan trọng là không đặt điều kiện đễ các căn thức có
nghĩa ( ĐK : x 1) nên không loại bỏ nghiệm x1 =2/11
2- Không đặt điều kiện để biến đổi tơng đơng các PT (4) và (5) . Đáng ra PT (4)
2 7 x 0
tơng đơng với hệ :
2
VD1-Giải PT: a, 3x 2 = 2 3 (BT77 Toán 9-SBT trang15)
b; x 1 5 x 1 = 3x 2
c; 3 2 x + 1 + 3 x = 1 ( Đề thi chọn HS giỏi tỉnh 2004-2005)
H dẫn HS tìm tòi lời giải:
Đối với PT vô tỉ thì đầu tiên phải chú
ý là phải đặt điều kiện của ẩn để PT có
nghĩa .
ĐK của x ở bài a, là gì ?
Lời giải:
a,
ĐK: 3x -2 0 x 2/3
Vì hai vế của PT đều không âm nên
Bình phơng hai vế của PT ta có:
3x - 2 = 7 -4 3
Hãy tìm cách làm mất dấu căn của
PT ? Từ đó hãy tìm nghiệm ?
3
x= 3 - 4 .
( thoã mãn x 2/3)
3
GV lu ý :
Đối với PT trên bình phơng hai vế ta
đợc PT tơng đơng vì hai vế đều không
âm .
Còn đối với VD b;
*Ta đã phân tích sai lầm trên là từ
PT(4) để tơng đơng với (5) cần có thêm
ĐK để cả hai vế không âm là x 2/7 Giải xong cần đối chiếu với cả hai đkiện
Rút gọn: 11 x2 -24 x +4 =0
Giải ra: x1 = 2/11 ; x2 = 2 (loại vì
không thoã mãn (*) và(**) vậy PT(1) vô
nghiệm
Đặt ĐK tồn tại của (1) là: x 1 Do
đó x
2- Phơng pháp đa về PT chứa ẩn trong dấu giá trị
tuyệt đối
Bớc 1:Tìm cách đa các biểu thức chứa ẩn trong căn về dang bình phơng để
đa ra khỏi căn có mang theo giá trị tuyệt đối .
6
Bớc 2: Giải PT chứa dấu giá trị tuyêt đối đó ; Kiểm nghiệm lại tính phù
hợp của nghiệm và trả lời kết quả
VD2: Giải các phơng trình :
a, x 2 2 x + 1 = 2
b, x + 2 x 1 + x 2 x 1 = 2
c, x + 2 x 1 + x 2 x 1 = 2
H.Dẫn HS tìm tòi lời giải:
a, Ta sẽ sử dụng kiến thức nào để có
thể giải đợc các PT dạng này ?
Sử dụng hằng đẳng thức:
A nếu A 0
A2 = A =
A nếu A < 0
Hãy trình bày lời giải của câu a, ?
b, Các em hãy tìm cách đa các căn
thức về dạng bình phơng một tổng hoặc
một hiệu ?
Bây giờ hãy vận dụng phơng pháp
trên giải tiếp ?
Ta sẻ giải PT (*) nh thế nào để tìm
b, không ?
Làm thế nào để đa đợc các biểu thức
dới dấu căn về dạng Hằng đẳng thức ?
Bây giờ các em hãy giải tiếp nhPT
b,và cho biết kết quả về nghiệmcủaPT ?
0x = 0 ( Đúng vói mọi x )
Vậy PT b, có vô số nghiệm: 1 x 2
c,ĐK: x 1/2
2x 1 + 2 2x 1 + 1 + 2x 1 2 2x 1 + 1 = 2
2x 1 + 1 + 2x 1 1 = 2
Ví dụ 2 : Giải phơng trình :
Giải ra ta có nghiệm của PT là : 1/2
x 1
2
x 4 x = 4 + x 2 8 x + 16 = 5 ĐKXĐ: x R
7
Phơng trình tơng đơng : x 2 + x 4 = 5
Lập bảng xét dấu :
x
x- 2
x 4 x 1 + 3 +
x 6 x 1 + 8 = 1 ; ĐKXĐ: x 1
Phơng trình đợc viết lại là :
( x 1) 4 x 1 + 4 +
( x 1) 6 x 1 + 9 = 1
( x 1 2) 2 +
x 1 2 +
( x 1 3) 2 = 1
x 1 3 =1 (1)
- Nếu 1 x < 5 ta có (1) 2- x 1 + 3 - x 1 = 1
x 1 =2 x= 5 không thuộc khoảng đang xét
- Nếu 5 x 10 thì (1) 0x = 0 Phơng trình có vô số nghiệm
- Nếu x> 10 thì (1) -5 = 1 phơng trinh vô nghiệm
Vậy phơng trình có vô số nghiệm : 5 x 10
* Nhận xét :
a, Ta đặt x 2 + 7 x + 7 = T (T 0)
nâng lên luỹ thừa đợc không ? Vì sao ?
PT trở thành :
(Không đơc vì nếu chuyển vế rồi
3 T2 +2T - 5 =0
bình phơng 2 vế ta cũng đợc pt bậc 4
cha giải đợc hoặc giải rất phức tạp)
Giải ra T1= -5/3 (Loại )
Vậy ta có thể làm theo cách nào ?
T2 = 1
Để ý:
Suy ra :x2 +7x +7=1
2
2
3x +21 x +18= 3(x +7x +7) -3
x2 +7x +6 =0
Nên ta có thể đặt ẩn phụ nh thế nào?
X1 = -1 ;x2 = -6 ( thoã mãn cho x2
Hãy giải PT theo ẩn phụ đó rồi tìm
+7x +7 0 )
nghiệm của ẩn chính ?
b; Sử dụng PP đặt ẩn phụ các em
hãy giải bài b, tơng tự câu a,
Ta đặt ẩn phụ nh thế nào?
b,
Nếu đặt 3 x 2 + 5 x 2 = y
Đặt 3 x 2 + 5 x 2 = y
Thì PT trở thành PT nh thế nào ?
Đây là PT bậc ba kiến thức của
chúng ta cha giải đợc ; Vậy chúng ta
Giải phơng trình:
x + 1 0
3 x 0
x 1
x 3
ĐKXĐ :
x +1 +
3 x -
( x + 1)(3 x) = 2 (1)
-1 x 3
Đặt x + 1 + 3 x = t 0 t2 = 4 + 2 ( x + 1)(3 x)
t2 4
=
(2) .thay vào (2) ta đợc
( x + 1)(3 x)
Phơng trình đã cho đợc viết là
5ab = 2(a2 + b2)
(2a- b)( a -2b) = 0
2a b = 0
a 2b = 0
+ Trờng hợp: 2a = b
2
x +1 =
x2 x +1
4x + 4 = x2 x +1
x2 5x -3 = 0
Phơng trình có nghiệm x1 = 5 37 ; x2 = 5 + 37
2
2
+ Trờng hợp: a = 2b
x +1 = 2 x2 x +1
x+ 1 = 4x2 -4x + 3 = 0
x + 1 = 1 x
2 x + 1 + 1 = 1 x
x = 0
24
x = 25
thoả mãn điều kiện -1 x 1 là nghiệm của phơng trình đã cho.
*Nhận xét :
Phơng pháp đặt ẩn phụ nhằm làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu
tỉ .Song để vận dụng phơng pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi hớng
giải quyết cách đặt ẩn nh thế nào cho phù hợp nh :
Đặt ẩn phụ để đợc phơng trình mới chứa ẩn phụ
Đặt ẩn phụ để đa về một biểu thức nhóm
*. Bài tập áp dụng:
1/ x2 5 + x 2 6 = 7
3/ 3 x 2 - 3 3 x =20
2/ x 1 - 2x 3 x = 20
4/ x 3 + 8 = 2x2 6x +4
x
Nếu bình phơng mỗi căn thức rồi lấy
hiệu để khữ ẩn ta sẽ đợc điều gì ?
Hãy giải hệ PT đó ?
Qua giá trị nghiệm của ẩn phụ hãy
tìm giá trị nghiệm của ẩn chính? và trả
lời bài toán ?
a, TXĐ : - 10 x 10
Đặt 25 x 2 = a ; 10 x 2 = b (a,b 0)
Theo PT ta có : a -b =3 (1)
Lại có:
a2-b2 = (25-x2) -(10 -x2) =15(2)
a b = 3
Ta có hệ PT:
2
2
a b = 15
Giải hệ PT này ta đợc :
a = 4 ; b= 1
25 x 2 = 3
Suy ra
10 x 2 = 1
b; Mặc dầu bài b, có các căn bậc
khác nhau song áp dụng cách giải trên
Phơng trình (1 ) trở thành hệ phơng trình :
2
2
u + t = 2
2
2
u ut + t = 2
ut = 0
u = 0
t = 0
x = 3
(thỏa mãn điều kiện )
x = 5
Vậy phơng trình đẫ cho có nghiệm x =3 ; x= 5.
Ví dụ 3:
Giải phơng trình:
b = x 1
Ta đợc phơng trình : a3 b3 = 2 (2)
2
2
a + b + ab = 1
3
3
a b = 2
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình :
Từ hệ phơng trình ta suy ra a b = 2 b = a 2
Thay vào hệ phơng trình (1) ta đợc :
(a -1 )2 = 0 a =1
Từ đó ta đợc x = 0
Vậy nghiệm của phơng trình là : x = 0
*.Nhận xét :
Qua cac ví dụ trên cho ta thấy phơng pháp hệ phơng trình có những điểm
sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải t duy hơn do đó phơng pháp này
đợc áp dụng cho học sinh khá , giỏi .Ta cần chú ý một số điểm sau:
+ Tìm điều kiện tồn tại của phơng trình
+ Biến đổi phơng trình để xuất hiện nhân tử chung .
+ Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình về việc giải hệ phơng trình
quen thuộc .
Ngoài ra ngời học còn biết kết hợp phơng pháp này với phơng pháp khác nhu phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng hằng đẳng thức.
*Bài tập áp dụng:
khác nhau:
Dạng 1: Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không đồng nhất, khi
đó phơng trình vô nghiệm.
Ví dụ: Giải pt: x 1 5 x 1 = 3x 2 (1)
Hớng dẫn học sinh tìm tòi lời giải:
Lời giải
Điều kiện của phơng trình có nghiã là Điều kiện: x 1
gì?
13
Với điều kiện đó giá trị của vế trái nh Vì với x 1 thì x < 5x x - 1 < 5x -1
thế nào?
Nên x 1 5 x 1 < 0 còn 3x 2 > 0
(Hãy so sánh x và 5x)
Vậy nên phơng trình vô nghiệm
Còn vế phải có giá trị ra sao?
Qua đó em có nhận xét gì về nghiệm
của phơng trình này?
Dạng 2: Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:
Ví dụ: Giải pt: 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 - 2x - x2
Hớng dẫn học sinh tìm tòi lời giải:
Lời giải:
Hãy tìm điều kiện của phơng trình?
Điều kiện: -1 - 5 x -1 + 5 (*)
Các biểu thức 3x2 +6x +7; 5x2 +10x +14 Ta thấy:
có giá trị nh thế nào?
phơng trình.
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất.
Dạng 4: Sử dụng điều kiện xẩy ra dấu bằng ở bất đẳng thức
không chặt.
Ví dụ: Giải phơng trình:
x
+
4x 1
Hớng dẫn học sinh tìm tòi lời giải
4x 1 = 2
x
(1)
Lời giải
14
Điều kiện của phơng trình?
1
Điều
kiện:
x
>
Các em hãy quan sát kĩ các hạng tử của
4
Dấu "=" chỉ xẩy ra khi
x
=
4x 1
4x 1
x
x = 4 x 1 (2) x2 = 4x -1
Vậy đẳng thức chỉ xẩy ra khi nào?
x2 - 4x +1 = 0(2)
Hãy giải phơng trình (2).
Giải phơng trình này ta đợc:
Từ đó kết luận nghiệm của phơng trình
x1 = 2 + 3 ; x2 = 2 - 3 (cả hai nghiệm
là gì?
đều thoả mãn điều kiện ban đầu)
Vậy phơng trình có hai nghiệm
x1 = 2 + 3 ; x2 = 2 - 3
*. Nhận xét :
Khi sử dụng phơng pháp bất đẳng thức để giải phơng trình vô tỉ ta cần chú ý
các bớc sau :
+ Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x) a , g(x) a
(a là hằng số )
Nghiệm của phơng trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời
f(x) =a và g(x) = a
+ Biến đổi phơng trình về dạng h(x) = m (m là hằng số ) mà ta luôn có h(x) m
hoặc h (x) m thì nghiệm của phơng trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng
một nhân tử chung với biểu thức khác của phơng trình thì sau khi đặt nhân tử
chung ta chuyển về giải phơng trình đơn giản hơn:
Ví dụ: Giải phơng trình: a, 4 x + 1 - 3x 2 =
x+3
(1)
5
b, ( x + 9 + 3)( x + 1 + 2 x 7) = 8 x (2) (Đề thi vào lớp
10 năm học 2006-2007 )
Hớng dẫn học sinh tìm tòi lời giải
Bài này ta có thể giải bằng phơng pháp
nào ?
Nếu giải bằng phơng pháp nâng lên luỹ
thừa ta sẽ đợc một PT bậc 4 mà bằng
kiến thức của chúng ta cha thể giải đợc .
Nếu giải bằng cách đặt ẩn phụ ; hay phơng pháp bất đẳng thức .. củng đều rất
phức tạp . Do vậy chúng ta sẽ làm quen
với một phơng pháp giải mới đó là: PP
nhân với lợng liên hợp
Hãy tìm điều kiện của phơng trình?
Ta nhận thấy (4x +1) - (3x - 2) = x +3.
Vậy nhân cả hai vế của phơng trình (3)
với biểu thức nào để xuất hiện nhân tử
chung?
Lời giải
Điều kiện: x
3
để tìm thấy nghiệm duy nhất là x = 2.
b; Đây là câu 13 của đề thi tuyển sinh Thử lại ta thấy phơng trình (3) có một
vào lớp 10 Năm học 2006-2007 . Qua nghiệm là x = 2.
tìm hiểu đa phần các em thí sinh không
làm đợc bài này . Song thực ra bài này
cũng không phải giải đợc nếu ta vận
dụng PP nhân với lợng liên hợp kết
hợp một vài phơng pháp khác là có thể
giải dễ dàng .
Trớc hết hãy đặt điều kiện của PT ?
b;
Để ý : ( x + 9 + 3)( x + 9 3) = x
ĐK: x 7
Vậy các em hãy nhân hai vế PT với lợng
Nhân hai vế với của pt (2) với x + 9 3
liên hợp của x + 9 + 3 ?
ta đợc :
Hãy xem x=0 có phải là nghiệm của pt
x( x+1+2 x 7 ) = 8x.( x + 9 3)
không ?
Ta có thể chia 2vế với x ; sau đó đặt ẩn Ta thấy x =0 không phải là nghiệm nên
phụ x 7 = t thì t phải có điều kiện gì? chia 2 vế với x :
( x+1+2 x 7 ) = 8 ( x + 9 3) (3)
PT trở thành PT nào?
Hãy đa PT về dạng tích để giải ?
16
x + 9 = 16
<=> x = 7 (thoả mãn)
x - 7 = 0
<=>
7- PP đa về PT dạng tích
Nguyên tắc của dạng này là tìm cách biến đổi đa phơng trình về dạng tích
để giải các dạng phơng trình quen thuộc (có thể kết hợp cả các phơng pháp
giải khác nh đặt ẩn phụ ; nâng lên luỹ thừa ... )
Ví dụ 1: Giải phơng trình 3 2 x + x 1 = 1 (4)
Hớng dẫn học sinh tìm tòi lời giải
Lời giải
Ta đã giải phơng trình này bằng phơng
pháp đặt ẩn phụ đa về hệ phơng trình,
hoặc phơng pháp bất đẳng thức sử dụng
tính đơn điệu của hàm số...
Bây giờ chúng ta sẽ giải phơng trình này
bằng cách biến đổi đa về dạng tích nh
thế nào?
Điều kiện của phơng trình là gì?
Điều kiện: 1 x
Các em hãy đặt t = x 1 (t 0)
Phơng trình (4) trở thành phơng trình
Đặt t = x 1 (t 0)
nào với ẩn t?
17
Hãy biến đổi phơng trình (4') về dạng x = t2 +1
ĐKXĐ : x -3
Phơng trình (1) có dạng :
( x + 3)( x + 7) - 3 x + 3 + 2 x + 7 +6 = 0
x + 3 ( x + 7 3) -2( x + 7 3) ) =3
( x + 7 3) ( x + 3 2 ) =0
x + 7 3 = 0
x + 7 = 9 x + 3 2 = 0
x + 3 = 4
x = 2
ĐKXĐ.
x = 1
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2
Ví dụ3:
Giải phơng trình:
(4x-1) x 2 + 1 = 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1)
2
2 u 2u 1 = 0
(+)
(+)
2 u 2 2u 1) = 0
u-1 = 0 u =1 ( thoả mãn u 0 ) suy ra x = 0 thoả mãn (1)
2 u 2 2u 1 = 0
2 u 2 = 2u + 1
2u + 1 0
(thoả mãn vì u 0 ) 5u2 + 4u - 1 = 0
2
2
u
=
(
2
u
+
1
)
cách là Đặt ẩn phụ đa về hệ PT, PP bất đẳng thức nhờ sữ dụng tính đơn điệu của
hàm số, rồi PP đa về dạng tích để giải.
Cũng có những PT vô tỉ mà chỉ có thể áp dụng đúng một phơng pháp nào đó để
x+3
giải, còn các phơng pháp khác lại rất khó khăn; Ví dụ PT: 4 x + 1 - 3x 2 =
5
ta chỉ có thể giải bằng PP nhân với lợng liên hợp là hay nhất .
Lại có những phơng trình trong quá trình giải chúng ta phải vận dụng linh hoạt
đồng thời nhiều phơng pháp giải. Ví dụ PT: 3 2 x + x 1 = 1 (đã giải ở phơng pháp
đa phơng trình về dạng tích đồng thời dùng phơng pháp đặt ẩn phụ, rồi biến đổi đa
về dạng tích, sau đó lại nâng lên luỷ thừa để giải)
Vấn đề ở chổ là khi đứng trớc một phơng trình vô tỉ nào đó, các em phải xem
xét, suy nghĩ xem với bài này mình nên sử dụng phơng pháp nào cho phù hợp và
giải ra mình cảm thấy tin tởng nhất. Tóm lại phải nắm thật chắc các phơng pháp
giải PT vô tỉ mà các em đã biết. Từ đó có thể vận dụng linh hoạt vào quá trinh tìm
tòi lời giải cho bài toán của mình cách mà các em cho là phù hợp và tin tởng nhất.
Một số bài tập để HS tự luyện chung:
Giải các phơng trình sau :
Bài 1; x2 -4x =8 x 1
Bài2;
x+24 x2 + x+76 x2 =1
Bài 3; x 2 + 6 = x 2 x 2 1
Bài 4; ( 2 + 3 ) x + ( 2 3 ) x = 4
Bài 5; 12 x + 13 4 x + 13 = x + 1
Bài 6; 3 1 + x + 3 1 x = 2
2
Bài 7; 7 x + x 5 = x 12 x + 38
10 em
64%
Số HS nắm khá chắc các
pp giải và đạt kết quả khá
tốt
2 em
3%
*Sau khi áp dụng kinh nghiệm :
Số HS cha biết giải PT vô
tỉ ở mức yếu
2 em
6,6%
Số HS mới biết giải các
PT đơn giản thờng gặp
đạt mức TB
18 em
60,4%
Số HS nắm khá chắc các
pp giải và đạt kết quả khá
tốt
10em
33%
C- Kết Luận và kiến nghị :
Qua thực tế giảng dạy, từ việc nắm rõ thực trạng HS của mình về phơng
nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi,
sáng tạo của học sinh trong học toán.
§Ĩ hoµn thµnh ®Ị tµi nµy ngoµi viƯc tù nghiªn cøu tµi liƯu, qua thùc tÕ gi¶ng
d¹y t«i cßn nhËn ®ỵc sù gióp ®ì cđa c¸c ®ång nghiƯp ,c¸c thÇy c« gi¸o chuyªn
m«n to¸n ®· gióp ®ì , híng dÉn t«i hoµn thµnh ®Ị tµi nµy.Víi kinh nghiƯm vµ
n¨ng lùc cđa b¶n th©n cßn h¹n chÕ. MỈc dï ®· rÊt cè g¾ng song bµi viÕt kh«ng
tr¸nh khái thiÕu sãt. C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i vµ hƯ thèng bµi tËp minh ho¹ t«i ®· tr×nh
bµy trªn ®©y ch¾c r»ng cha ®Çy ®đ vµ thËt hay. B¶n th©n t«i rÊt mong nhËn ®ỵc sù
bỉ sung chØnh lÝ cđa c¸c thÇy c« gi¸o vµ c¸c b¹n ®ång nghiƯp ®Ĩ bµi viÕt ®¹t hiƯu
22
qu¶ tèt h¬n vµ ¸p dơng tèt cho nh÷ng n¨m häc sau . Nh»m ®¸p øng víi yªu cÇu ®ỉi
míi vµ n©ng cao hiƯu qu¶ gi¸o dơc trong giai ®o¹n míi hiƯn nay .
Hµ TÜnh th¸ng 4 n¨m 2010
1- LÝ do chän ®Ị tµi
A- §Ỉt vÊn ®Ị
Trong ch¬ng tr×nh to¸n häc phỉ th«ng, kiÕn thøc vỊ ph¬ng tr×nh lµ mét kho b¸u
v« tËn. Cµng ®i s©u vµo nghiªn cøu chóng ta cµng thÊy ®ỵc c¸i khã, c¸i hay v«
cïng cđa nã .
Trong kho b¸u v« tËn ®ã th× ph¬ng tr×nh bậc cao, vô tỉ và phương trình không
mẩu mực ... chiếm mét phÇn kh«ng nhá. MỈc dï trong ch¬ng tr×nh c¬ b¶n cđa
to¸n 9, các dạng phương trình này chØ chiÕm phÇn kh¸ ''khiªm tèn ''. Víi hƯ
thèng bµi tËp cßn Ýt ái, t¬ng ®èi ®¬n gi¶n mµ HS cã thĨ ¸p dơng mét vµi ph¬ng
ph¸p đơn giản ...lµ cã thĨ gi¶i ®ỵc .
Song thùc tÕ trong c¸c ®Ị thi HS giái, ®Ị thi chun cÊp vµo THPT vµ trêng
chuyªn cđa tØnh cđa mÊy n¨m gÇn ®©y th× c¸c bµi to¸n về ph¬ng tr×nh bậc cao, vô
I- C¬ së khoa häc
1- C¬ së lÝ thut :
Trong quá trình dạy học việc giúp học sinh chủ động sáng tạo ,tự tin trong
việc sử dụng kiến thức đã học để áp dụng giải những bài toán liên quan ở từng
trường hợp cụ thể là hết sức quan trọng , giúp HS có kiến thức sâu rộng và hình
thành tính độc lập , chủ động suy luận để tìm ra để giải được bài toán và giải
ngắn gọn ,hiệu quả .
Để thực hiện thành công việc : Hướng dẫn HS phương pháp sử dụng hằng
đẳng thức (A ± B)2= A2 ± 2AB +B2 vào giải phương trình cần một số yêu cầu
sau:
a, Đối với giáo viên:
- Cần phải chọn ra được những bài toán giải phương trình có thể sử dụng
hằng đẳng thức và từ đó phân dạng cho HS .
-Giáo viên tìm ra những khó khăn của HS khi gặp phải những bài toán này ,
hướng cho HS sử dụng hằng đẳng thức để các em khéo léo khi giải phương
trình
b, Đối với học sinh:
24
Nắm chắc các hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 , có kó năng phân tích đa thức
ở hai vế phương trình làm xuất hiện hằng đẳng thức . Từ đó biết vận dụng linh
hoạt vào giải phương trình của mình .
2. Cơ sở thực tiễn :
Như đã trình bày ở phần đặt vấn đề , trong chương trình toán 9 cơ bản thì ph¬ng tr×nh bậc cao, vô tỉ và phương trình không mẩu mực ... chiếm mét phÇn khá
''khiêm tốn'' về cả lượng bài tập và cả phương pháp giải . Vì vậy chưa đáp ứng
được nhu cầu học tập của HS nhằm đạt được các kết quả cao trong các kì thi
học sinh giỏi và chuyển cấp vào THPT và là cơ sở cho các lớp trên . Tôi nhận
14 em
47%
Sè HS n¾m kh¸ ch¾c pp
gi¶i vµ ®¹t kÕt qu¶ kh¸
tèt
1em
3%
Qua bảng số liệu về kết quả ta thấy rằng hầu hết HS chưa ý thức được việc
sử dụng hằng đẳng thức để giải phương trình mà các em loay hoay đi tìm một
số phương pháp khác để giải mà hiệu quả không cao hoặc một số em đã biết
dùng hằng đẳng thức nhưng kó năng biến đổi chưa tốt .
25
Copyright: Tài liệu đại học ©