MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI



Dạng 1: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (1)
với a+b=c+d và m ≠ 0

Cách giải:
Phương trình (1) được viết lại:
[x2 +(a+b)x +ab][ x2 +(c+d)x +cd] =m
Vì a+b = c+d nên ta đặt t=x2 +(a +b)x= x2 +(c+d)x lúc
đó phương trình (1) được viết lại như sau:
(t +ab)(t+cd) = m  t2 +(ab+cd)t +abcd –m =0
Giải phương trình theo t  x
Ví dụ: giải phương trình sau
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 120
 (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=120
 (x2 +5x +4)(x2 +5x+6)=120
Đặt t = x2+5x Lúc đó phương trình được viết lại:
(t+4)(t+6)=120

t2 +10t-96 =0

t=6, t=-16
Với t=6 thì x2 +5x-6=0  x=1, x=-6
Với t=-16 thì x2 +5x+16=0 ( vô nghiệm)
BÀI TẬP
1. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=4
2. (2x-1)(2x+3)(x+2)(x+4)+9=0
3. (x+2)(x+4)(x2 +6x+1)=8

(2.1)
c
c
ax+b+
ax+d+
x
x
c
Đặt t= ax+ lúc đó phương trình (2.1) được viết lại:
x
m
n
+
=k
(2.2)
t+b t+d
Giải phương trình (3) ta được nghiệm giả sử đó t1, t2 rồi
từ đó ta suy ra nghiệm của phương trình (2) bằng cách
giải các phương trình
c
c
ax+ = t1 , ax+ = t2
x
x
Ví dụ: giải phương trình
4x
3x
+
=1 (2.3)
4x2-8x+7 4x2-10x+7

+
=1
t-8 t-10
Quy đồng mẫu thì ta có phương trình
t2 -25t +144=0.
Phương trình này có hai nghiệm t 1=16, t2=9
7
Với t1=16 ta có phương trình 4x+ =16
x
7
1
 4x2 -16x +7=0  x1 = , x2 =
2
2
Với t2 =9 ta có phương trình
7
4x + =9  4x2 -9x+7=0 (không có nghiệm thực)
x
7
1
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x1 = , x2 =
2
2
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
2x
x
3
1.
+



MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Tìm m để phương trình đã cho thoả mãn các điều kiện
sau:
5. Phương trình đã cho có nghiệm
6. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
7. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
8. Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt
9. Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt
10. Với giá trị nào của m thì phương trình
3x
2x
+
=1 có 4 nghiệm dương phân biệt
x2-4mx+1 x2+mx+1
x1, x2, x3, x4 thoả mãn x1+x2+x3+x4 = 14
 Nhân đây tôi cũng muốn nói đến dạng phương trình
cùng họ hàng với dạng toán trên.
1
1
1
1
+
+
=
(*)
x2+9x+20 x2+11x+30 x2+13x+42 18
Giải như sau:

1
1
+ 2
+…… + 2
=k
2
x +3x+2 x +5x+6
x +(2n-1)x+n2-n
Giả sử A là sự thành công trong cuộc sống. Vậy
thì A=X+Y+Z trong đó X=làm việc, Y=vui chơi,
Z=im lặng (Albert Einstein's).

Được biên soạn bởi Trương Quang Phú

6


MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI



4
4
(x+a) + (x+b) =c

Dạng 3

Cách giải: Đặt

t= x+

1. (x-2)4 + (x-4)4 =2
2. (x+4)4 + (x+6)4 =82
3. (x+3)4 + (x+5)4 =2
Tìm m để phương trình (x+1)4 +(x+5)4 =m
4. có nghiệm
5. có 2 nghiệm phân biệt
6. có 4 nghiệm phân biệt
7. có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng
8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(x+1)4+(x+m)4 =82
4

2 2

Được biên soạn bởi Trương Quang Phú

7


MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI



Nhân đây tôi cũng muốn mở rộng dạng toán này
thông qua ví dụ sau:
Ví dụ: Giải phương trình: (x-2)6 + (x-4)6 =64
Đặt t=x-3 khi đó phương trình viết lại như sau:
(t+1)6 + (t-1)6 =64  t6 +15t4 +152 -31=0
Đặt X=t2  0 lúc đó phương trình viết lại như sau:
X3 +15X2 +15X-31=0

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

 Dạng 4: af2(x) + bf(x)g(x) + cg2(x) =0 (4)
Với dạng này ta xét hai trường hợp:
TH1: g(x)=0 , gọi x= xo là nghiệm của phương trình
g(x)=0
Lúc đó nếu f(xo)=0 thì x=xo là nghiệm của phương trình
(4) đã cho.
Ngược lại nếu f(xo)≠ 0 thì kết luận nghiệm của phương
trình g(x)=0 không phải là nghiệm của phương trình đã
cho.
TH2: g(x)≠ 0, ta chia cả hai vế của phương trình (4) đã
cho g(x).Khi đó ta có:
 f(x) 2  f(x) 
ag(x) + bg(x) +c =0 (4.1)




f(x)
Đặt t=
khi đó phương trình (4.1) đã cho trở thành
g(x)
at2 +bt +c=0 (4.2)
Giải phương trình này ta tìm được t
Giả sử t=t o là nghiệm của phương trình (4.2) Khi đó
nghiệm của phương trình (*) đã cho là nghiệm của
f(x)
phương trình
=t  f(x)=tog(x)

1. (x+3)2- x2 -x+6 = 2(x-2)2
2. 2(x2+x+1)2 -7(x-1)2 =13(x3-1)
3. 4x + 6x = 9x
4. 2(x-1)2 + 3(x2 -1)=5(x+1)2
2x
x
x
5. 2010 -3.4002 +2.4 =0
x

x

6. 3.16 +2.81 =5.36

x

1 1 1
7. 2.4x +6x =9x
8. Giải và biện luận các phương trình sau:
a. 2(x2 +x+1)2 +(m-1)(x3-1) +(x-1)2 =0
x
x
x
b. 49 - 4.21 +m.9 =0
9. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
x1, x2 thoả mãn 2< x1 x2  5

2x 
2x
2+ 5

+
=n quy đồng ta được:
x+a x+c x+b x+d
m(c-a)
m(d-b)
+ 2
=n
2
x +px+ac x +px+bd
Khi đó đặt t=x2+px ta được phương trình có dạng
k
h
+
=n
t+ t+
Phương trình trên thì các bạn có thể giải được dễ dàng
nhờ phương pháp quy đồng rồi từ đó có thể suy ra
nghiệm của (1)
Ví dụ:
Giải phương trình
1
1
1
1
59
+
=
(5.1)
x+3 x+4 x+5 x+6 420
Theo cách làm như đã hướng dẫn ta có phương trình (5)

+
, 2
118
2
118

BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
1
1
1
1
29
1.
+
=
x+2 x+5 x+4 x+7 252
4
4
4
4
43
2. 2 + 2 - 2 - 2 =
x -3 x -5 x +7 x +9 36
3. Giải và biện luận phương trình sau:
3
3
3
3
+

b2-4(2m+a)(c+m2)=0
Từ đó giải phương trình này theo m thì ta có thể tìm
được giá trị m cần tìm.
Ta có x4 =ax2 +bx+c
 x4 +2mx2 +m2 =(2m+a)x2 +bx +c+m2
Với cách chọn giá trị m như trên ta có thể đưa về
dạng (x2+m)2= (x+)2
 (x2-x-+m)(x2+x++m)=0
Đây là phương trình tích nên bạn có thể giải được dễ
dàng
Ví dụ: Giải phương trình: x4=6x2 - 37x +3 (6.2)
Trước hết ta cần chọn giá trị m sao cho
37-4(2m+6)(m2+3)=0
Phương trình này có một nghiệm thực duy nhất là
5
m=2
Như đã trình bày trong phần cách giải (6) ta có
25
37
x4 -5x2 +
= x2 - 37x+
4
4
 2 5 2 
372

 x -2 = x2 




2
2
2
2

Chú ý đối với phương trình x4=6x2+bx+3 thì ta
2

(b
chọn giá trị m cần chọn là m=

1
-64)3

2

-1

BÀI TẬP
Giải phương trình sau
1. x4 = 6x2 + 56x+3
19
2. x4 =x2 +2x5
3. Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm
phân biệt
x4= 6x2 + (8m3+64) x +3 (6.3)
4. Khi nào thì phương trình (6.3) có 2 nghiệm dương
phân biệt nằm thuộc vào [-2, 2]
- Thế giới quá rộng lớn. Những con người bé nhỏ cứ
đi mãi, đi mãi trên khắp các con đường. Thế rồi tình

 t +3t-4=x
Giải hệ (7.2) bằng cách lấy phương trình thứ nhất trừ
phương trình thứ hai khi đó ta có
(x2-t2)+4(x-t)=0  (x-t)(x+t+4)=0
Với t=x thì ta có các nghiệm là
5 1, 1 5
Với t=-x-4 thì các nghiệm là 0, 4
Vậy phương trình (7.1) có 4 nghiệm là
0, 4, 5-1, - 5-1
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
1. (x2+4x+2)2 +4(x2+4x+2)=x-2
2. (x2 -4x+3)2 -4x2 +15x-9=0
Cho phương trình (x2+5x+m)2+5x2+24x+6m=0
3. Giải phương trình khi m=-12
4. Giải phương trình khi m=-22
5. Giải và biện luận nghiệm của phương trình đã cho.
6. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có it
nhất hai nghiệm dương phân biệt.
Cho phương trình sau:
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú

15


MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

2m(2mx2 +3x+m)2 +6mx2 +8x+4m=0
2
7. Giải phương trình khi m=3



MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

 Dạng 8: ax2+bx+c= px2+qx+r
trong đó aq=bp≠ 0 và giả thiết biểu thức trong căn là
không âm
Với loại này ta có cách giải như sau:
Viết phương trình đã cho dưới dạng:
 2 b c
q r
a.x + a x+a = p x2+ x+
(8.1)
p p


b
q
Khi đó đặt t = x2+ x= x2+ x (do aq=bp≠ 0)
a
p
Phương trình (8.1) được viết lại là:
a  c
r
t+  =
t+
(việc giải phương trình này đã dễ
p
p  a
dàng hơn rồi bạn nhỉ !).

trình.
Cho phương trình 6x2-12x+5= 2x2-4x+m
(8.3)
5. Giải phương trình khi m= 85, m=2.
119
6. Giải phương trình khi m=
72
7. Tìm giá trị m để phương trình (8.3)chỉ có hai
nghiệm mà hai nghiệm đó đều dương.
8. Tìm giá trị của m để phương trình (8.3) có bốn
nghiệm phân biệt.
- Cuộc đời làm nhà giáo là hiến dâng sức lực, trí tuệ, tài
năng, sức sống cho lớp lớp học sinh. Đó là một cuộc đời
nặng nhọc, mòn mỏi trái tim, là những đêm không ngủ, là
những sợi tóc bạc. Đó là một cuộc sống vất vả nhất nhưng
vui tươi nhất, là một sáng tạo đầy hồi hộp. Chúng ta sáng
tạo ra con người và chính vì thế đó là một niềm hạnh phúc
lớn lao, một hạnh phúc chân chính. Lao động của chúng ta
là lao động không có gì so sánh nổi, là lao động từ năm này
qua năm khác, là sự nghiệp trăm năm trồng người. Bởi vậy,
nghề giáo là những nghề cao quý. Để trở thành một nhà
giáo ưu tú phải có một tình yêu vô hạn đối với lao động, có
năng lực chuyên môn, có tinh thần sáng khoái, có trí tuệ
sáng suốt, có tâm hồn cao đẹp để những lời giảng vang lên
không phải là những âm thanh trống rỗng mà chính là
nguồn mạch nuôi lớn tâm hồn và trí tuệ học sinh.
- Hồn tôi mãi mãi cháy bỏng, hồn tôi mãi mãi vun xới và
nâng niu…Nếu có kiếp sau, tôi xin được làm thầy giáo dưới
bầu trời Việt Nam.
(Những lời trên là của thầy trưởng Khoa Văn trường ĐHSP

khi đó
2
2
phương trình đã cho được viết lại như sau:
 1 2  1 2

 +
=c
X-
X+




Tiến hành quy đồng mẫu ta có phương trình sau:
cX4 -2(c2 +1)X2 + c4 -22=0 (9.1)
Phương trình (9.1) là một phương trình trùng phương
theo X mà bạn có thể giải được dễ dàng .
Khi tìm được X = X0 là nghiệm thì dựa vào cách đặt
X ta đưa phương trình đã cho về dạng:
a+b
f(x) +
=X0
2
Lúc này bạn có thể tìm được x dễ dàng bằng cách
giải phương trình trên.
 k 2  k 2
Lưu ý: Dạng phương trình f(x)+a + f(x)+b =c ta

 

4
2
1
1
t+  + t-  = 9  18t + 2 = 40t -20t + 2
 2  2

 40t4 -38t2 -2= 0  t1=-1, t 2=1
1

Với t=-1 sin(x)=  x= (-1)k + k (kZ)
2
6
5
Với t=1  sin(x)= ( vô nghiệm)
2
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là

x= (-1)k + k (kZ)
6
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
 1 2  1 2 5
1. x2-3 + x2-2 =
4




3


 

5. Giải phương trình khi m=25.
6. Biện luận số nghiệm của phương trình (9.3).
- Bạn và tôi cùng chung mục đích, lý tưởng thì ắt phải đi
chung trên một con đường...rồi cuối cùng sẽ gặp nhau.
- Đừng sợ hãi khi bạn phải đối đầu với một đối thủ mạnh
hơn, mà phải vui mừng vì bạn đã có cơ hội chiến đấu
hết mình.

Được biên soạn bởi Trương Quang Phú

20


MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

 Dạng 10 (Phương trình phản phương)
ax4+bx3+cx2 bx+a=0 (a≠ 0) (10)
Với loại này ta có nhận xét x=0 không phải là
nghiệm của phương trình đã cho
Khi x≠ 0 thì ta chia hai vế xủa phương trình cho x2
khi đó ta được ax2+bx+c 

b a
+ =0
x x2

 1 2  1


21


MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

x2-x-1=0  x1=

1+ 5
1- 5
, x2=
2
2

Với t=3 thì ta có phương trình
3+ 13
3- 13
x2 -3x-1=0  x3=
, x4=
2
2
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm
1+ 5
1- 5
3+ 13
3- 13
x1=
, x2=
, x3= 2 , x4= 2
2

ax4 +bx3+cx2  dx+k=0 (11) trong đó kb2=ad2
Ở đây chỉ xét trường hợp k≠ 0, còn khi k=0 thì
phương trình đã suy biến về phương trình bậc ba.
Với loại này ta có cách giải như sau
d
k
Trước hết để thuận tiện ta đặt = =
b
a
Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của
phương trình (11).
Với x≠ 0, ta chia hai vế của phương trình (11) cho
x2 thì thu được phương trình sau:
d k
ax2 +bx +c  + 2 =0
x x
 2 2  
 ax + 2 +bx +c =0
x   x

 2  
 ax  +bx  +c  2a=0
 x
 x

Đặt t= x  khi đó ta có phương trình bậc hai
x
at2+bt+c  2a=0 Việc giải phương trình này ta có
thể thực hiện dễ dàng. Tìm được t từ đó ta tìm
được x dựa vào cách đặt t.

2. x4 + x3 -8x2 -3x+9=0
Cho phương trình x4+x3+mx2+2x+4=0
3. Tìm m để phương trình đã cho có bốn nghiệm
phân biệt.
4. Tìm m để phương trình có một số lẻ nghiệm.
Cho phương trình 9x4+3x3 -2m2x2+4x+16=0
5. Giải phương trình khi m=4
6. Giải phương trình khi m= 12-2 3 , m= 12+ 3
7. Tìm m để phương trình có một số chẳn nghiệm.
8. Khi nào thì phương trình có một số chẳn nghiệm
- Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè.
- Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng.
Được biên soạn bởi Trương Quang Phú

24


MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT

AX3+BX2+CX+D=0(A≠ 0) (12)
Sau đây tôi xin cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quát
hơn về phương trình bậc ba.
Trước hết ta chú ý rằng phương trình (12) luôn luôn
được đưa về dạng x3+ax2+bx+c=0 (12.1) nên ta chỉ
cần xét phương trình này.
a
Đặt x=t- khi đó phương trình (12.1) được đưa về
3

u khi đó (12.2) viết lại
3

p 3
p
-3 3q
u +p
là: 
u +q=0  u3+3u=
3 
3

p p
-3 3q
Đặt m=
khi đó ta có phương trình u3+3u = m
p p

Được biên soạn bởi Trương Quang Phú

25


MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

-p
u khi đó (12.2) viết lại
3
-p
3 3q