CHƯƠNG 1: GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG – DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN

_______________________________________________________
I.
Giá trị riêng và vector riêng của ma trận – Chéo hóa ma trận:
1. Tìm giá trị riêng và vector riêng của một ma trận:
Ví dụ:
é7
Cho ma trận A = ê
ê- 4
ê
ë

2ù
ú.
1ú
ú
û

a) Xác định đa thức đặc trưng của A .
b) Xác định các giá trị riêng l i của A .
c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng E A (l i ) .
d) Xác định một cơ sở S của ¡

2

gồm các vectơ riêng của A .

Giải
a) Đa thức đặc trưng PA (t ) của A là PA (t ) = t 2 − tr( A)t + det A = t 2 − 8t + 15.
b) Các giá trị riêng λ i của A là các nghiệm của phương trình đặc trưng f A (t ) = 0 . Phương

d) Đặt S = {(1, −2),(1, −1)} gồm các véc tơ riêng của A độc lập tuyến tính trong ¡ 2 . Do
đó S là một cơ sở của ¡ 2 .
Bài tập:
é- 1
ê
ê
1) Cho ma trận A = ê- 3
ê
- 3
ê
ë

4 - 2ù
ú
4
0ú
ú.
ú
1
3ú
û

a) Xác định đa thức đặc trưng của A .
b) Xác định các giá trị riêng l i của A .
c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng E A (l i ) .
d) Xác định một cơ sở S của ¡

3

gồm các vectơ riêng của A .

ú
û

a) Xác định đa thức đặc trưng fA (t) của A .
b) Xác định các giá trị riêng l i của A .
c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng E A (l i ) .
d) Xác định một cơ sở S của ¡

4

gồm các vectơ riêng của A .

Hướng dẫn:
Sinh viên làm tương tự ví dụ
Đa thức đặc trưng PA (t ) của A là
1− t
0
1
1
0 1− t 1
1
PA (t ) = det( A − tI ) =
= (t − 1) 2 (t + 1)(t − 3).
1
1 1− t
0
1
1
0 1− t
2. Chứng minh các tính chất đối với giá trị riêng và vector riêng:

i =1

i =1

i
i
i
d) Giả sử f (t ) = ∑ ai t ∈ K [t ]. Khi đó, f (λ ) = ∑ ai λ , f ( A) =∑ ai A



n



n

n



i =1

i =1



n



Do λ1 , λ2 ,…, λn là các giá trị riêng của A nên λ1 , λ2 ,…, λn là các nghiệm của đa thức đặc
trưng f A (t ) . Do đó,
f A (t ) = det( A − λ I ) = (−1) n (t − λ1 )(t − λ2 )...(t − λn ) .

Lấy t = 0, ta có:
det A = f A (0) = (−1) n (0 − λ1 )(0 − λ2 )...(0 − λn ) = λ1λ2 ...λn

Sinh viên tìm các ví dụ minh họa cho những kết quả trên.


4) Cho A là ma trận vuông cấp n trên K và λ1 , λ2 ,…, λn là các giá trị riêng của nó.
Chứng minh rằng
a) det(α A) = α n λ1λ2 L λn .
b) det Ak = λ1k λ2k L λnk .
c) det( A + α I ) = (λ1 + α )(λ2 + α )L (λn + α ) .
d) det f ( A) = f (λ1 ) f (λ2 )L f (λn ) .
Hướng dẫn:
a) Do λ1 , λ 2 ,…, λ n là các giá trị riêng A nên αλ1 , αλ 2 ,…, αλ n là các giá trị riêng của
ma trận α A . Do đó det(αA) = (αλ1 )(αλ 2 )L (αλ n ) = α nλ1λ 2 L λ n .
Sinh viên cho ví dụ minh họa.
b) Do λ1 , λ 2 ,…, λ n là các giá trị riêng A nên λ1k , λ k2 ,…, λ kn là các giá trị riêng của ma
trận Ak . Do đó det Ak = λ1k λ 2k L λ kn .
c) Do λ1 , λ 2 ,…, λ n là các giá trị riêng A nên λ1 + α, λ 2 + α,…λ n + α là các giá trị
riêng của ma trận A + αI . Do đó det( A + αI ) = (λ1 + α )(λ 2 + α )L (λ n + α ) .
d) Do λ1 , λ 2 ,…, λ n là các giá trị riêng A nên f (λ1 ), f (λ 2 ),…, f (λ n ) là các giá trị riêng
của ma trận f ( A) . Do đó det f ( A) = f (λ1 ) f (λ 2 )L f (λ n ) .
Sinh viên cho các ví dụ minh họa.
5) Cho A là ma trận vuông cấp n trên K và λ1 , λ2 ,…, λn là các giá trị riêng của nó.
Chứng minh rằng
a) Nếu A khả nghịch thì det A−1 = λ1−1λ2−1 L λn−1 .


1
.
λi − α

Sinh viên cho ví dụ minh họa.
3. Chéo hóa ma trận:
Cách chéo hóa một ma trận:
Cho A là một ma trận vuông cấp n. Để chéo hóa ma trận A ta làm như sau:
Tìm các giá trị riêng và các vector riêng độc lập tuyến tính của A, bằng cách tìm đa thức
đặc trưng, giải phương trình đặc trưng tìm các giá trị riêng sau đó ứng với từng giá trị riêng
tìm các vector riêng.
Khi đó xảy ra một trong hai khả năng sau:
TH1: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính của A bé hơn n thì kết luận A không
chéo hóa được.
TH2: Nếu tổng số vector riêng độc lập tuyến tính của A bằng n thì kết luận A chéo hóa
được. Khi đó ma trận P cần tìm là ma trận mà các cột của nó là các vector riêng độc lập tuyến
tính của A viết theo cột và khi đó
λ1 0 ... 0 
 0 λ ... 0 
2
 là ma trận chéo trong đó các λ là các giá trị riêng của A ứng với
P −1 AP = 
i
 ...

0

... ... ... 


1 = −λ 3 + 3λ + 2
−λ


 x1 = −t2 − t3

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số ]  x2 = t2 ∈ ¡
x = t ∈ ¡
 3 3

Không gian con riêng ứng với giá trị riêng λ = −1 là
E ( −1) = {(−t2 − t3 , t2 , t3 ) | t2 , t3 ∈ ¡ }

Cơ sở của E(-1) gồm hai vector α1 = (−1,1, 0); α 2 = ( −1, 0,1) .
Ứng với giá trị riêng λ = 2 , để tìm vector riêng ta giải hệ pt:
−2 1 1 0   1 1 −2 0  1 1 −2 0  1 1 −2 0 

 
 
 

 1 −2 1 0  →  1 −2 1 0  → 0 −3 3 0  → 0 −3 3 0 
 1 1 −2 0   −2 1 1 0  0 −3 3 0  0 0 0 0 

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số
 x1 = t

 x2 = t
x = t ∈ ¡
 3


3. Cho ma trận A = 

 2 −1
a) Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A.
b) Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng
c) Chứng tỏ rằng A chéo hóa được. Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo
D sao cho A = PDP −1
d) Tính Ak với mọi số nguyên dương k.


Hướng dẫn:
Các câu a); b); c) làm tương tự như các ví dụ trong tài liệu.
Câu d) áp dụng tính chất của bài 2.(Tức là khi A = PDP −1 thì Ak = PD k P −1 ).
2 2 1


4. Cho ma trận A = 1 3 1 
1 2 2 

a) Xác định đa thức đặc trưng và các giá trị riêng của A.
b) Xác định một cơ sở của không gian vector riêng tương ứng
c) Chứng tỏ rằng A chéo hóa được. Tìm một ma trận khả nghịch P và ma trận đường chéo
D sao cho A = PDP −1
d) Tính Ak với mọi số nguyên dương k.
Hướng dẫn:
Làm tương tự như bài 3.
 −3 12 

3

 0 6 0 

 3 −4 
4 8 



 6 −2 0 
 −2 9 0 


 5 8 3 

0 3 1 
3 0 2 


1 2 0 

−2 1 −2 −4 
12 1 4 9 
6 5 −2 −4 

3 −4 5 10 
8. Xác định đa thức đặc trưng của ma trận sau trên ¡
 a −b −c −d 
a b
1
 b a −d c 



1

0
1

1

1

1
0
1
1

1
1
0
1

1
1 
1

0








0
1

1

1

1
0
1
1

1
1
0
1

 5 −3
0 3

0 0

0 0

1
1 
1


Hướng dẫn:
a) Đa thức đặc trưng của A là : (t − 5) 2 (t − 6)(t − 7) . Giá trị riêng là 5, 6, 7
detA= 5.5.6.7 = 1050.
b) Đa thức det( A − α I 4 ) = (5 − α )(5 − α )(6 − α )(7 − α ) = (5 − α ) 2 (6 − α )(7 − α )
c) det f ( A) = f (5) f (5) f (6) f (7) = (5n + 24) 2 (6 n + 35)(7 n + 48)
 1 −1
11. Chéo hoá ma trận A = 
 trên ¡ và £ .
 2 −1
1 −1
5 −2 
1
2 

4

13) Chéo hoá ma trận A =  2
1
1
0
14) Chéo hóa ma trận A = 
1

1

0
1
1
1



a) Hãy tính đa thức ma trận f ( A) , trong đó f (t ) = t n + t 2 − 1 ∈ ¡ [t ] .
b) Hãy tìm một ma trận B trên trường số thực ¡ sao cho B 2 = A .
é2 0 0ù
ê
ú
ê0 3 0ú
A
=
17) Cho ma trận
ê
ú
ê
ú
0 1 2ú
ê
ë
û

a) Chéo hóa A .
n

é2 0 0ù éa (n) a (n) a (n)ù
12
13
ê
ú ê 11
ú
ê
ú

Hướng dẫn:
2 0 0


Đặt A =  0 3 0  . Tính An bằng cách chéo hoá ma trận A .
 0 1 2 
* Đa thức đặc trưng f A (t ) của ma trận A là f A (t ) = (t − 2)(3 − t ) . Giải phương trình đặc
trưng f A (t ) = 0 , ta nhận được các nghiệm phân biệt 2,3. Do đó các giá trị riêng phân biệt của
ma trận A là t = 2,3 .
* Với t = 2 , ta có E A (2) = (1,0,0),(0,0,1) và cơ sở S1 = {v1 = (1,0,0), v2 = (0,0,1)}.
Với t = 3 , ta có E A (1) = (0,1,1) và cơ sở S 2 = {v3 = (0,1,1)} .
* Do S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = {v1 , v2 , v3} nên ma trận A chéo hoá được và D = P −1 AP , trong đó
ma trận khả nghịch P với các cột là các véc tơ riêng v1 , v2 , v3 và ma trận đường chéo D với
các phần tử trên đường chéo chính 2,2,3 tương ứng với các véc tơ riêng v1 , v2 , v3 .

1 0 0 
 2 0 0


P = [v1 v2 v3 ] = 0 0 1  và D = diag(2, 2,3) =  0 2 0 
0 1 1 
 0 0 3 


A = PD P
n

n

−1

= 1.
n →∞ a ( n)
n →∞ 3 − 2 n
32

a) Ta có a22 ( n) = 3n , a32 (n) = 3n − 2n và do đó lim
3

3

n
n
n
n
n
n
n
b) Ta có S = ∑∑ aij (n) = 2 + 3 + 3 − 2 + 2 = 2 + 2·3 .
i =1 i =1

II. Tìm giá trị riêng – vector riêng -Tìm cơ sở của không gian vector V để ma trận
của một phép biến đổi tuyến tính f trong cơ sở đó là ma trận chéo.
Ví dụ:
Cho T là toán tử tuyến tính trên ¡ 3 xác định bởi
T ( x1 , x2 , x3 ) = (2 x1 + 4 x2 + 3 x 3 , −4 x1 − 6 x2 − 3 x3 ,3x1 + 3 x2 + x3 )

Hãy xác định các giá trị riêng và vector riêng của T.
Giải
Ma trận của toán tử tuyến tính trên ¡ 3 đối với cơ sở chính tắc của ¡ 3 là:
2 4 3

A/ B = 
 ... ...

0 0

... 0 
... 0 
với λ1 , λ2 ,..., λn là các giá trị riêng ứng với các vector riêng α i .
... ... 

... λn 

(Các λi có thể trùng nhau).
Ví dụ:
Trong ¡ 3 cho cơ sở u1 = (1,1,1); u2 = (1,1, 0); u3 = (1, 0, 0) và một phép biến đổi tuyến tính
f : ¡ 3 → ¡ 3 sao cho:
f (u1 ) = (4,3, 2); f (u2 ) = (4,3,1); f (u3 ) = (1, 0, 0)
a) Hãy tìm công thức của f, tức là tìm f ( x1 , x2 , x3 )
b) Tìm một cơ sở của ¡ 3 để ma trận của f trong cơ sở này là ma trận chéo.

Hướng dẫn:
3
a) Gọi x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ ¡ , giả sử x = a1u1 + a2u2 + a3u3

Xét hệ
1 1 1 x1  1 1 1 x1  1 1 1 x1  1 1 0 x2  1 0 0 x3 

 
 
 

3
0
0 = (1 − λ ) 2 (3 − λ )
Xét PA (λ ) = 0 3 − λ
0
1
1− λ

Suy ra PA (λ ) = 0 ⇔ λ = 1 ∨ λ = 3
Do đó, f có hai giá trị riêng là λ = 1, λ = 3 .
Ứng với giá trị riêng λ = 1 , xét hệ pt:
0 3 0 0  0 1 0 0 

 

A = 0 2 0 0  → 0 0 0 0 
0 1 0 0   0 0 0 0 

Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số:


 x1 = a ∈ ¡

 x2 = 0
x = b ∈ ¡
 3

Khi đó, f có hai vector riêng độc lập tuyến tính là α1 = (1, 0, 0); α 2 = (0, 0,1) .
Ứng với giá trị riêng λ = 3 , xét hệ pt:
−2 3 0 0  −2 3 0 0 

Sau đó, tìm các giá trị riêng và vector riêng của ma trận A.
Kiểm tra xem A có chéo hóa được không? Kết luận.
2. Trong ¡ 3 cho cơ sở gồm các vector u1 = (1,1,1); u2 = (−1, 2,1); u3 = (1,3, 2) . Gọi
f : ¡ 3 → ¡ 3 là ánh xạ tuyến tính xác định bởi f (u1 ) = (0,5,3); f (u2 ) = (2, 4,3); f (u3 ) = (0,3, 2) .
a) Hãy tìm công thức của f.
b) Hãy tìm một cơ sở trong đó ma trận của f đối với cơ sở này có dạng chéo.
Hướng dẫn:
Làm tương tự như ví dụ.
3. Hãy chéo hóa (nếu có thể) các toán tử tuyến tính f : ¡ 3 → ¡ 3 cho sau đây:
a) f (x, y, z) = (x + y, 2y + z, 2y + 3z)
b) f (x, y, z) = (x + y, y + z, -2y – z)
c) f (x, y, z) = (x – y + z, x + y – z, -x + y + z)
d) f (x, y, z) = (x – y, y – z, x + z)
III. Dạng chính tắc Jordan:
1. Tìm dạng chính tắc của 1 λ − ma trận:


Hãy tìm dạng chính tắc của các λ − ma trận sau:
λ 1 
a) 

0 λ

λ 2 − 1

λ +1 

λ + 2λ + 1

b) 

→
0 λ
λ 0 
 0 −λ 2 
 0 −λ 2 − λ 








1

2

2

2

1

2

2

1

0 

1
 −2
d) 
0

 −1

−3
−6
−3
−4

0 3
0 13
1 3

0 8

 3 −4 0 2 
 4 −5 −2 4 

e) 
 0 0 3 −2 


 0 0 2 −1

Hướng dẫn:
a) Xét ma trận A − λ I
1

2
→  0 −λ + 4λ − 4
0  → 0
−2 + λ
2 − λ  →  0 −2 + λ
2−λ

2
 0




−2 + λ
2 − λ   0 − λ + 4λ − 4
0  0
0
(2 − λ )(λ − 2) 
0
0
0
0
1
 1





→  0 −2 + λ

Sinh viên tìm ví dụ minh họa.
2) Cho A và B là các ma trận đồng dạng trên K . Chứng minh rằng
a) Ak và B k đồng dạng.
b) f ( A) và f ( B) đồng dạng với mọi f (t ) ∈ K [t ] .
c) A khả nghịch khi và chỉ khi B khả nghich.
d) Nếu A khả nghịch thì AB và BA đồng dạng.
Hướng dẫn:
a) Do A đồng dạng với B nên tồn tại ma trận P khả nghịch để A = PBP −1 . Ta có
Ak = ( PBP −1 ) k = ( PBP −1 )( PBP −1 )L ( PBP −1 ) = PB k P −1 . Vậy Ak và B k đồng dạng. 0,5đ
b) Do A đồng dạng với B nên tồn tại ma trận P khả nghịch để A = PBP −1 .
k

k

k

i =1

i =1

i =1

i
i
i
Giả sử f (t ) = ∑ ait ∈ K [t ] . Khi đó f ( A) = ∑ ai A , f ( B) = ∑ ai B và

k

f ( A) = ∑ ai Ai



Sinh viên cho ví dụ minh họa.
3) Chứng minh rằng nếu một trong hai ma trận vuông cùng cấp A và B là không suy biến
thì AB và BA đồng dạng.
4) Hãy tìm tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường số thực mà chỉ đồng dạng với chính
nó.
5) Chứng minh các cặp ma trận sau đồng dạng bằng cách chứng minh rằng A − λ I đồng

dạng với B − λ I :
 3 2 −5 
 6 20 −34 




a) A =  2 6 −10  và B =  6 32 −51
1 2 −3 
 4 20 −32 
6 6 −15
 37 −20 −4 




b) A = 1 5 −5  và B =  34 −17 −4 
1 2 −2 
119 −70 −11

6) Chứng minh rằng:


( )

Còn nếu A = a ij m×n , B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì rank(A.B) = rankA . Còn

( )

nếu A = a ij n×n , B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì rank(A.B) = rank(B.A) = rankA .
9.6 Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n có A.B = B.A thì:
a/ (A + B ) 2 = A 2 + 2A.B + B 2 ; b/ (A + B )(A − B ) = A 2 − B 2 ;
c/ ( A + B ) 3 = A 3 + 3A 2 .B + 3A.B 2 + B 3

9.7 Chứng minh rằng: Nếu ma trận vuông A có A 2 = Ο thì các ma trận
A + E vµ A − E là những ma trận không suy biến.
9.8 Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu:
a/ Đổi dấu tất cả các phần tử của nó.
b/ Viết các cột (hay các dòng của nó) theo thứ tự ngược lại.
9.9 Cho A là ma trận vuông cấp n và nếu det A = det( kA ) . Hãy tính k.
9.12 Chứng minh rằng: Nếu det A = 2 thì các phần tử của ma trận nghịch đảo
không thể gồm toàn các số nguyên.


 1 2 
4 5 
7 0 




9.16 Cho các ma trận A =  3 − 1; B =  0 2 ; C =  4 9 



a b
9.20 Chứng minh rằng: ma trận X =  c d  thoả mãn phương trình:


1 0
0 0
X 2 − (a + d)X + (ad − bc)E = Ο , trong đó E =  0 1  ; Ο =  0 0 




9.21 Chứng minh rằng: không tồn tại các ma trận vuông cùng cấp A và B sao cho
AB − BA = E , trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với A và B.
1 0
1 0
2
9.22 Cho X =  2 3 . TÝnh f (X ) = X − 4X + 3E , trong đó E =  0 1  .




1 2
2 1
3
2
9.23 Cho A =  − 2 3  ; B =  3 4  vµ f (X ) = X + 3X − 5X + E . Tính f(AB).





− 12 x − 2 
 6

9.28 det  8 4 − x 0  = 0 .
0 
x − 3 0
9.29 Cho a1, a2, …, an–1 là các hằng số tuỳ ý cho trước, khác nhau và khác 0. Giải
phương trình:
 x

 a1
det  a 2
. . .

 a n −1

x2
a 12
a 22
...
a 2n −1

x3
a 13
a 32
...
a 3n −1


1

α
β
δ
γ
η

(α + 1) 2
(β + 1) 2
(δ + 1) 2
( γ + 1) 2
(η + 1) 2

(α + 2 ) 2
(β + 2) 2
(δ + 2 ) 2
( γ + 2) 2
(η + 2) 2

(α + 3) 2
(β + 3) 2
(δ + 3) 2
( γ + 3) 2
(η + 3) 2

a+x x
x
b/ D = x b + x x
x

.
1
=0
.
1
. . . . . .
. (n − 1) − x

Sử dụng tính các chất của định thức, tính các định thức từ bài 32 đến bài 36:
1273 2273
9.32 D = 1272 2272

461 373 654
D
=
2
2
2 ;
9.33 a/
363 275 556

3
1
9.34 a/ D = 4
2

7
9
4
1

x
.
x
x

−1
x
0
. .
0
0

1
x
0
.
x
x

.
.
.
.
.
.

0
−1
x
. .

1
x
x
.
0
x

.
.
.
.
.
.

0
0
0
.
x
0

1
x
x
.
x
0
0
0
0

n

2
2
3
4
.
n

3
3
3
4
.
n

4
4
4
4
.
n

.
.
.
.
.
.


2
2 .
.
n

2
2
2
2
.
2

2
2
3
2
.
2

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

9.37 Cho ma trận A cấp 10 × 10 có dạng: A = 
 0
 10 −10


2
2
2
4
2

2
2
2 ;
2
5

1 0
0 1
0 0
0 0
0 0

0 0
0 0÷
0 0÷
÷, các phần tử
0 1÷
0 0÷


0
0

1
2
0 ; b/ D =
0
0

1
3
0
0
0
0

2
4
0
0
0
0

0
0
2
6
0
0



2
5
−4
3

1
1
2
3

1
0
0
2
B = 0
− 1 ; b/
0
4 
0


1
1
0
0
0

1
1

 − 9 4 − 15 
2 6 3




3 1 1.
A
=
1
1
−
1
;
B
=
3
3
−
4
;
C
=
b/ AX + B = C với
− 2 0 1 
 0 −3 9 
1 1 2




.
.
.

.
.
.
.
.

1
1

0
1


1 ; B =  0
.
 .

1
0

2
1
0
.
0




2 1 λ  .
A
=
λ
3
0
A
=
2
λ
1
A
=
3
−
1
λ
A
=

÷

÷
a/
 1 λ 3  ; d/
 3 λ − 2
 2 1 1 ÷ ; b/
 0 1 λ ÷; c/

8 ÷;
9÷
10 ÷


1
0
B = 0
0
1
1


1
2
0
0
3
3

2
1
3
0
6
3

3
2
3

1
3

1
4÷
1 ÷;
−1 ÷


 −1
 −1
B = 3
0
2


4
2
1
3
1

5
1
2
−3
−1

−3
−1

a/ { A1 = (1,2, − 1,3); A 2 = (0,3, − 3,7); A 3 = (7,5,2,0); A 4 = (2,1,1, − 1)}
b/ { A1 = (2,1,1,3,5); A 2 = (1,2,1,1,3); A 3 = (7,1,6,0,4); A 4 = (3,4,4,1,2);
A 5 = (3,1,3,2,1)}
9.50 Cho { A1 ,A 2 , K ,A m } là hệ m véc tơ n chiều độc lập tuyến tính. Nếu mỗi véc
tơ của hệ đều bổ sung thêm thành phần thứ n + 1 thì hệ m véc tơ n + 1 chiều mới là
độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
9.51 Cho { A1 ,A 2 , K ,A m } là hệ m véc tơ n chiều phụ thuộc tuyến tính. Nếu mỗi véc tơ
của hệ đều bớt đi thành phần thứ n thì hệ m véc tơ n + 1 chiều mới là độc lập tuyến tính
hay phụ thuộc tuyến tính?

Giải
n

9.2:  Chứng minh:

a kj A ij
∑
j =1

.

chính là công thức khai triển theo dòng i của định thức:


a11
a 21
...
a
dòng i k1
...


.
.
.
.
.
.
.
.

a1n
a 2n
...
a kn
...
a kn
...
a nn

(*1)

trong đó n ≥ 2 . Mà định thức (*1) có hai dòng giống nhau nên định thức bằng không ⇒
n

a kj A ij = 0
∑
j =1
9.3  Điều kiện cần: Cho A = ( a ij ) n×n có det A ≠ 0 , ta cần chứng minh hệ véc tơ dòng
(hoặc cột) của ma trận là độc lập tuyến tính. Giả sử ngược lại hệ véc tơ dòng (hoặc cột)
của ma trận là phụ thuộc tuyến tính, theo hệ quả 9.3.5 thì det A = 0 , mâu thuẫn với giả


2
2
Vì AE = EA nên det [ ( A + E ) ( A − E ) ] = det ( A − E ) , do A 2 = Ο nên

det ( A 2 − E 2 ) = det ( −E 2 ) = ( −1)n ≠ 0 ⇒ det ( A + E ) ≠ 0 và det ( A − E ) ≠ 0 ⇒ các ma
trận A + E và A − E là những ma trận không suy biến.
9.8 a/ Việc đổi dấu tất cả các phần tử của định thức cấp n đồng nghĩa với việc đổi
dấu tất cả n dòng của định thức. Ta đã biết việc đổi dấu các phần tử trên một dòng


của định thức làm cho định thức đổi dấu. Vì vậy việc đổi dấu tất cả các phần tử của
định thức cấp n làm cho định thức được nhân với ( −1)n .
b/ Đối với định thức cấp chẵn ( n = 2k ) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó)
theo thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k cho
nhau; dòng 2 và dòng 2k − 1 cho nhau; … dòng k và dòng k + 1 . Ta cũng đã biết: khi
đổi chỗ 2 dòng nào đó cho nhau thì định thức đổi dấu. Do đó khi viết các dòng của
định thức cấp 2k theo thứ tự ngược lại, định thức được nhân với ( −1)k . Chẳng hạn
khi làm như vậy đối với định thức cấp 2 thì định thức đổi dấu, còn với định thức cấp 4
thì định thức không đổi dấu.
Đối với định thức cấp lẻ ( n = 2k + 1 ) thì việc viết các dòng (hay các cột của nó) theo
thứ tự ngược lại đồng nghĩa với việc đổi chỗ k cặp dòng: dòng 1 và dòng 2k + 1 cho
nhau; dòng 2 và dòng 2k cho nhau; … dòng k và dòng k + 2 . Do đó khi viết các dòng
của định thức cấp 2k + 1 theo thứ tự ngược lại, định thức cũng được nhân với ( −1)k .
Chẳng hạn khi làm như vậy đối với định thức cấp 3 thì định thức đổi dấu, còn với định
thức cấp 5 thì định thức không đổi dấu.
Như vậy khi viết các dòng (hay các cột) của định thức theo thứ tự ngược lại thì các
định thức cấp 4k và 4k + 1 không thay đổi, các định thức cấp 4k − 1 vµ 4k − 2 sẽ đổi
dấu (k nguyên dương).
9.9 Vì det(kA) = k n det A nên k n det A = det A . Nếu det A = 0 thì det(kA) = det A

n
n
 n
 n n
= ∑  ∑ a ik b ki − ∑ b ik a ki ÷ = ∑∑ a ik b ki − ∑∑ a ki b ik = 0 . Trong khi đó tổng các phần
 i =1 k =1
i =1  k =1
k =1
k =1 i
n

tử trên đường chéo chính của ma trận đơn vị E là VE = n . Vậy không tồn tại các ma
trận vuông cùng cấp A và B sao cho AB − BA = E .
 x x2 x3 . . . x n 
 a
a12 a13 . . . a1n ÷
1
= 0 (với điều kiện a1, a2, …, an–1 là
9.29 Phương trình det  a 2 a 22 a 32 . . . a 2n ÷
÷
 . . . . 2. . . 3. . . . . . n. . ÷
÷
 a n −1 a n−1 a n −1 . . . a n −1 
các hằng số khác nhau và khác 0) là phương trình bậc n nên nó có tối đa là n nghiệm.
Dễ dàng thấy x1 = 0, x 2 = a1 , x 3 = a 2 , K , x n = a n −1 là n nghiệm khác nhau của phương
trình, vì vậy nó chỉ có các nghiệm ấy mà thôi
□
1
1
D

(α + 3)2
(β + 3)2
(δ + 3)2 =
( γ + 3)2
(η + 3)2

α α 2 + 2α + 1 (α + 2)2 (α + 3)2 1 α α 2
β β2 + 2β + 1 (β + 2)2 (β + 3)2 1 β β2
δ δ2 + 2δ + 1 (δ + 2)2 (δ + 3)2 1 δ δ2
γ γ 2 + 2 γ + 1 ( γ + 2)2 ( γ + 3)2 = 1 γ γ 2
η η2 + 2η + 1 (η + 2)2 (η + 3)2 1 η η2
4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 43 1 4 4 4
(2)

(α + 2)2
(β + 2)2
(δ + 2)2
( γ + 2)2
(η + 2)2
44 2 4 4

(α + 3)2
(β + 3)2
(δ + 3)2
( γ + 3)2 vì định thức (2)
(η + 3)2
4 4 43

(3)


(η + 3)2 1 η η2
1444

α 2 + 4α + 4 (α + 3)2
β2 + 4β + 4 (β + 3)2
δ2 + 4δ + 4 (δ + 3)2 = 0
Vì định
γ 2 + 4 γ + 4 ( γ + 3)2
η2 + 4η + 4 (η + 3)2
4 44 2 4 4 4 4 4 43
(5)

thức (5) có cột 4 bằng tổ hợp tuyến tính của 3 cột đầu.


b/ Nếu abcx ≠ 0 :

a+x x
x
1 x
x
1 x
x
D= x b+x x =a 0 b+x x +x1 b+x x =
x
x
c+x
0 x c+x
1 x c+x


0 1 1
1 0 1
D = abc + abx + acx + xbc
1 0 x
D
=
xb
1
1 x = bcx .
Nếu chẳng hạn a = 0 thì
1 0 c+x
a 0 0
Nếu x = 0 thì D = 0 b 0 = abc . (Đáp số trong sách sai)
0 0 c
1 1
1
1 1− x
1
1
1
2
−
x
9.31 Phương trình:
. . . . . . .
1 1
1

.
.

2
=
2
2
2 = 0 (Định thức có hai dòng tỷ lệ với
9.33 a/
363 275 556 363 275 556
nhau thì định thức bằng 0.