Bài tập nâng cao Lớp 10A1 [email protected]
Ch ơng 1: Hàm số l ợng giác Biến đổi l ợng
giác
Bài 1 Giá trị các hàm số l ợng giác có mối
quan hệ đặc biệt
A lý thuyết
Cung đối
Cung bù
Cung hơn kém pi
Cung phụ
Cung hơn kém pi/2
B. Bài tập
Dạng 1: tính giá trị của các hàm số lợng giác và
rút gọn
Bài 1: tính giá trị
Cos120
0
tg130
0
sin(-780
0
)
Bài 2: Tính giá trị
Sin150
0
, cotg135
0
, tg150
0
Sin210
0

+
=
+
2)
0 0 0 0
0 0
sin( 328 ).sin 958 s( 508 ). s( 1022 )
1
cot 572 t ( 212 )
co co
g g

=

HD: Biến đổi về góc nhỏ hơn 90 độ
Bài 4: Rút gọn biểu thức sau
( )
0 0
0 0 0
2sin 2550 .cos 188
1
368 2cos 638 98
A
tg cos

= +
+
0 0 0
0 0
0

cos

=

( ) ( )
0 0 0
0 0
0
cot 44 226 . s 406
72 .cot 18
316
g tg co
B cotg g
cos
+
=
0 0 0 0 0
20 40 60 160 180C cos cos cos cos cos= + + + + +
2 0 2 0 2 0 2 0
sin 10 sin 20 sin 30 sin 180C = + + + +
Bài 6: Rút gọn biểu thức sau
( ) ( )
3
sin cot 2
2 2
A x cos x g x tg x
= + + + +

A neu tgx
x cos x
+
= =

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau
1)
2
2
sin sin
sin
sin 1
x x cosx
x cosx
x cosx tg x
+
= +

2)
2 2 4
2 2 2 2
1 cot 1
.
1 cot cot
tg x g x tg x
tg x g x tg x g x
+ +
=
+ +

thì tam giác đó cân
HD: Chia cả tử và mẫu cho
.
2 2
B C
cos cos
Bài 4: CMR
2 2
2 2
2 2
1
cot cot
sin sin 2
cos A cos B
g A g B
A B
+

= +

+

thì tam giác đó cân
HD:
( )
2
2 2
sin sin 0A B =
Bài 5: Đơn giản biểu thức sau
( )

4 2
sin 2sin 2
3
sin
2 2
B x cos x x
x cos x


= + + +

+ +
ữ ữ

Bài 6: Cho
4 4
98
3sin 2
81
x cos x+ =
Tính
4 4
2sin 3A x cos x= +
HD: đặt
4
4
sinx x
y cos x

=

103
12
x

=
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang 1 Tháng 4/2008
Bài tập nâng cao Lớp 10A1 [email protected]
Bài 2 Tính giá trị của biểu thức
0 0 0 0 0 0
sin160 . 110 sin 250 . 340 110 . 340A cos cos tg tg
= + +
HD:Sử dụng cung liên kết
Dùg công thức cộng theo chiều xuôi chiều
ngợc

( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
sin 337 . 53 sin 307 sin 113B cos
= +

0 0 0
0 0
225 cot 81 .cot 69
cot 261 201
tg g g
C
g tg

=
+




=
+
Bài 4 Tính
( ) ( )
.cosA cos a b a b
= +
Biết
1
cos
3
a =
Với
3
2
x



< <
ữ

HD:
4
1 .
4
tgx tg
A

Bài 1 Chứng minh rằng
1)
( ) ( )
2 2
2 2
sin si n
.
a b a b
tg a tg b
cos a cos b
+
=
2)
2 2
2 2
2
. 3
1 2 .
tg a tg a
tga tg a
tg a tg a

=

HD : VT làm xuất
hiện
( ) ( )
2 . 2tg a a tg a a +
3)
sin sin 2 sin

sin sin .cos .cos sin .cos .cos
sin .cos .cos sin .sin .sin
a b c a b c b a c
c b a a b c
+ + = + +

6)
( ) ( )
2 2
2 2
sin sin
.sin
1 .cot
a b a b
cos a b
tg a g b
+
=

7)
( ) ( )
2 2
2 2
s s
1 .
.co
co a b co a b
tg a tg b
cos a s b
+



+ =
ữ ữ

Bài 3 Chứng minh đẳng thức sau không phụ
thuộc và x
2 2 2
s
3 3
A cos x co x cos x


= + + +
ữ ữ

2 2 2
2 2
sin sin sin
3 3
B x x x


= + + +
ữ ữ

2
sin s
3 3
C x co x cos x

co cos=
3)
. .tgA tgB tgC tgA tgB tgC+ + =
4)
. . . 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tg tg tg tg tg tg+ + =
Bài 5:
1) Cho
( ) ( )
. , #1cos a b k cos a b k+ =

CMR
1
.
1
k
tga tgb
k

=
+

2) Cho
( ) ( )
2 . , # 1cos a b k cos a k+ =

CMR
( )

4.sin sin 4sin 3
3 3
a a a


+ =
ữ ữ

3)
( ) ( )
2 2 2
2cos .cos .cos cos cos sina b a b a b a b
+ = + +
Bài 3 Công thức nhân
Dạng 1: Thực hiện phép tính bằng công thức nhân
Bài 1 Tính sin2a biết
1)
4
sin
5 2
a va a


= < <
2)
1
s 0
3 2
co a va a


7

3)
0 0 0 0 0
16sin10 .sin 30 .sin 50 .sin 70 .sin 90C =

HD : nhân 2 vế với
0
10cos
4)
2 4 8
s . s . s . s .
65 65 65 65
16 32
s . s
65 65
D co co co co
co co


=
Dạng 2: Thực hiện phép tính qua một số giá trị đã
biết
Bài 1
1) Tính
2A cos a
=
Biết
1
sin

( ) ( )
sin 2 ; 2a b cos a b +
3) Cho
7
sin cos ; 0
2 6
a a a

+ = < <
Tính
2
a
tg
HD: Bình phơng 2 vế suy ra sin2a;tg2a
áp dụng liên tiếp
2
2
2
1
tga
tg a
tg a
=

Bài 2 CMR
1)
3 3
3
3 .sin sin 3 . .sin 4
4

x
+

=
ữ


2)
sin 3 . 5 sin 5 . 3
cos
x cos x x cos x
B
x

=
3)
2
cot 2
sin 4
C g x
x
=
4)
2 2
2 2
sin 2 4sin
sin 2 4sin 4
x x
D
x x

7)
( )
0
0 0
sin 60
4sin 25 sin 75
4 4
a
F
a a
+
=

+
ữ ữ

Dạng 4: Chớng minh rằng
1)
4
1 3
4. 2 2 4
2 2
cos x cos x cos x =
2)
3 3
sin 4
.sin sin .
4
x
cos x x x cosx =

6)
( )
2 2 2 2
1
. sin 2 .sin 2 sin .sin
2
cos x cos y x y x y
cos x y
+
= +
HD: Sử dụng công thức nhân đôi
7)
cos sin
1
2 2
cos
cos sin
2 2
x x
tgx
x x
x

=
+
8)
( ) ( )
2 2
2 0
cos sin s cos 4 45

10)
2 2
2 2
sin 3 s 3
8. 2
sin s
x co x
cos x
x co x
=
Bài tập:
CMR biểu thức sau không phụ thuộc vào x
( )
2 0
sin 8 2cos 45 4A x x= + +
3 3
3 sin sin 3
sin
cos x cos x x x
B
cosx x
+
= +
1 1
.sin 0
1 1
C x x
cosx cosx

= + < <

C tgx=
4)
1D cotgx=
5)
( ) ( )
0 0
60 60 3E cos x cos x cos x= + + +
Bài 2 Biến đổi thành tích
1)
0 0 0
sin 70 sin 20 sin 50A = +
2)
0 0 0
46 22 2 78B cos cos cos=
3)
1 2 3C cosx cos x cos x
= + + +
4)
( )
cos cos sinD a b a b= + + +
5)
1 sin 2x cos x+
6)
1 2 cos 2x cos x
+
7)
sin . 3 sin 4 . 2x cos x x cos x+
8)
2 2 2
2 3 1cos x cos x cos x+ +

ữ ữ

6)
( ) ( ) ( )
4cos a b cos b c cos c a
Dạng 2 Tính giá trị và rút gọn biểu thức
Bài 1 Biến đổi thành tích
1)
2 2
3A cos a cos a=
2)
11 5
sin .
12 12
B cos

=
3)
0 0 0
sin 20 .sin 40 .sin 80C =
4)
0 0 0
sin 20 .sin 50 .sin 70D =
5)
5 7
9 9 9
E cos cos cos

= + +
6)

a a

=

Biết
0
20a =
3)
cos . 13
3 5
a cos a
C
cos a cos a
=
+
Biết
7
a

=
4)
0 0 0 0
20 . 40 . 60 . 80D tg tg tg tg=
Bài 3 Rút gọn biểu thức
3 3
cos . .A x cos cos
x x

+
=

cos .sin cos sin
cos sin cos sin
a b a b b c b c
c d c d a d a d
+ + +
+ + = +
3)
2. 2
4 4
tg a tg a tg a


+ =
ữ ữ

4)
( ) ( )
2 2
2cos .cos .A cos a x cos x x a cos a x= + + +
5)
sin 6 .sin 4 sin15 .sin13 sin19 .sin 9B x x x x x x= +
Bài 2 Chứng minh rằng
2
1 sin 2
1 sin 2 4
x
tg x
x



0 0 0 0
80 10
cot 25 cot 75 t 25 t 75
tg cotg
B
g g g g
=
+ +
HD: thay
0 0
80 cot 10tg g=
B=1
Bài 4 CMR
1)
4 4 4 4
3 5 7 3
sin sin s in sin
16 16 16 16 2
A

= + + + =
HD: Biến đổi
4
3 1 1
sin 2 4
8 2 8
x cos x cos x= +

Thay từng hạng tử sau đó rút gọn
2)

a b c+ + =
2) Cho
a b c d

+ + + =
CMR
sin sin sin sin 4sin .sin .sin
2 2 2
a b b c c a
a b c d
+ + +
+ + + =
Bài 6: Cho tam giác ABC CMR
1)
sin 2 sin 2 sin 2 4sin .sin .sinA B C A B C+ + =
2)
s cos cos 1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B C
co A B C+ + = +
3)
sin sin sin 4. . .
2 2 2
A B C
A B C cos cos cos+ + =
4)
2 2 2
s cos cos 1 2 s . s . sco A B C co A co B co C+ + =
Bài 5 Giải toán biến đổi l ợng giác
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức lợng giác

1 7 35
sin 8 . 4
64 16 64
x cos x cos x cos x+ = + +
Bài 3 CMR
1)
1
sin 2
cosx x
tg
x

=
2)
( ) ( )
0 0
4 .sin 60 .sin 60 sin 3sinx x x x + =
3)
1
. . 3
3 3 4
cosx cos x cos x cos x


+ =
ữ ữ

4)
. 3
3 3


thì y=sinx
HD: nhân chia liên hợp
2
1 1 y
tgx
y

=
Thay vào biểu thức sin2x
2) CMR
( )
( )
sin sin 3 sin 5 sin 2 1
s s3 s5 s 2 1
a a a n a
tgna
co a co a co a co n a
+ + + +
=
+ + + +
HD: Nhóm các hạng tử lại biến đổi tổng thành
tích
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

1
sin .sin
2 2
sin 2 sin 3 sin
sin
2
n a
na
sina a a na
a
+
+ + + + =
HD: nhân 2 vế với
sin
2
a

2)
( )
1
sin . s
2 2
s 2 s3 s
sin
2
n a
na
co
cosa co a co a co na
a

a
+

+
ữ

+ + + + + + + =
Bài 5 Bài tập
1)
4 2
cos 4 8 8cos 1x cos x x= +
2)
4
3 4 cos 2 cos 4 8sinx x x + =
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang 5 Tháng 4/2008
Bài tập nâng cao Lớp 10A1 [email protected]
3)
1
1
2 cos
x
tg tgx
x

+ =
ữ

4)
( ) ( )
3 3

3) Cho
( )
sin sin 2sin #x y x y Voi x y k

+ = + +

CMR:
1
.
2 2 3
x y
tg tg =
4) Cho
2x y z t

+ + + =
CMR
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
cos cos cos cos 2sin sin cosx y z t x y y z z x
+ = + + +
Dạng 2: Rút gọn tính giá trị của một biểu thức
Bài 1 Tính
1)
19
sin
12
A

=

sin 20
3 s 20 3
B
co
= = =
Bài 2 Thực hiện phép tính
1)
2 0 2 0 0 0
cos 73 cos 47 cos 73 .cos 47A = + +
ĐS ắ
2)
6 6
sin s
24 24
B co

= +
3)
2 2
5
tan tan
12 12
C

= +

4)
6 0 4 0 2 0
tan 20 33tan 20 27 tan 20 3D = +
Bài 3 Thực hiện phép tính

biết
( )
0
sin 180 0,3a =
4)
1 sin 2 cos 2
1 sin 2 cos 2
x x
D
x x
+ +
=
+
biết
1
sin ;
3 2
x x


= < <
HD: Sử dụng công thức nhân đôi
Bài 4 Tính
0
sin18 x=
Hd:
0 0 0 0 0 0 0
18 .2 36 ; 18 .3 54 ; 54 36 90NX = = + =
Từ sin và cos cộng thức nhân ba suy ra phơng
trình bậc 3 ẩn x Chú ý x>0

+ +
ữ ữ

Bài 7 Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ
thuộc vào x
1)
( ) ( )
2 2
cos 2 cos .cos .cos cosA x a x x a x a= + + +
2)
( ) ( )
2 2
cos 2sin .cos .sin sinB x a x x a x a= + + +
3)
2
sin sin sin
5 5
3 4
sin sin
5 5
E x x x
x x
= + + +
ữ ữ


+ + +

Bài 2 Cho
( ) ( )
( )
cos .cos
1, cos 0
a b m a b
m a b

+ =






CMR
1
tan .tan
1
m
a b
m

=
+
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang 6 Tháng 4/2008