Chương 5. GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG – CHÉO HÓA MA
TRẬN
5.1. Trị riêng – vectơ riêng
5.2. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính, chéo hóa ma trận
5.3. Ánh xạ tự liên hợp và chéo hóa ma trận đối xứng thực
I. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1. Định nghĩa và ví dụ.
1.1. Định nghĩa: Cho X, Y là hai K- không gian vectơ. Ánh xạ
f :X Y

là ánh xạ
tuyến tính nếu f thỏa mãn 2 điều kiện:
1)
f(a + b) = f(a) +f(b) a,b X
 

2)
f(
αa) = αf(a) a X, α K
   

Chú ý: Các điều kiện 1 và 2 tương đương điều kiện sau:
3)
f(
αa + βb) = αf(a) βf (b) a,b X, α,β K
    

Một ánh xạ tuyến tính
f :X X

được gọi là một phép biến đổi tuyến tính của X.


2
1 2 1 2
x (x ,x ),y (y ,y ) R
    , ta có

1 1 2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
f(x y) f(x y ,x y )
(x y ) 3(x y )
(x 3x ) (y 3y ) f(x) f(y)
    
    
     


2
1 2
x (x ,x ) R ,
α R
    
, ta có

1 2 1 2
1 2
f(
αx) f (αx ,αx ) αx 3αx
α(x 3x ) αf (x)
   

5. Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạn của một hệ vectơ.
2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính.
2.1. Định lý cơ bản về sự xác định của ánh xạ tuyến tính.
Định lý 1: Cho X là không gian vectơ n chiều (dimX=n), E={e
1
, e
2
,…, e
n
} là một
cơ sở của X; Y là không gian vectơ tùy ý và b
1
, b
2
,…, b
n
là hệ các vectơ tùy ý trong
Y. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính
f :X Y

thỏa mãn
i i
f(e ) b , i 1,2, ,n.
  

Từ định lý trên ta thấy rằng một ánh xạ tuyến tính hoàn toàn được xác định nếu như
ta biết được ảnh của một cơ sở của nó. Và để cho một ánh xạ ta chỉ cần cho ảnh của
một cơ sở là đủ.
2.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính.
Giả sử X, Y là hai K- không gian vectơ, dimX=n, dimY=m và ánh xạ tuyến tính

…

n n1 1 n2 2 nm m
f(e ) a f a f a f
   

Ma trận
11 21 n1
12 22 n2
1m 2m nm
a a a
a a a
A =
a a a
 
 
 
 
 
 


   


gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E, F. Ta kí hiệu A=A
f/E,F
.
Trường hợp đặc biệt khi f là phép biến đổi tuyến tính của X,
f :X X

2
=(-1,2,1),f
3
=(1,3,2)}.
Giải: Ta có
1 1 1 2 2 3 3
f(e ) a f a f a f (3,0, 1) (1)
    

2 1 1 2 2 3 3
f(e ) b f b f b f (1,1,0) (2)
   

Theo định nghĩa thì ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở E, F là
1 1
f /E,F 2 2
3 3
a b
A a b
a b
 
 

 
 
 
.
Giải các phương trình (1) và (2) để tìm a
1
, a

    
     
  
 

 
 
  
 

Hệ (1): a
3
=6; a
2
=1- a
3
=-5; a
1
=3- a
3
+ a
2
=-8
Hệ (2): b
3
=3; b
2
=1- b
3
=-2; b


1 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3
f(x ,x ,x ) (x 2x x ,x x ,x x 2x )
     

Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc.
2.3. Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính.
Cho X, Y là hai K- không gian vectơ, dimX=n, dimY=m, E={e
1
, e
2
,…, e
n
} - cơ sở của
X, F={f
1
, f
2
,…, f
m
} - cơ sở của Y. Cho
f :X Y

là ánh xạ tuyến tính. Đặt A=A
f/E,F
-
là ma trận của f trong cặp cơ sở E, F.
x E,
 
giả sử

   
   
 
.
2.4. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau.
Cho X, Y là hai K- không gian vectơ, dimX = n, dimY = m, E={e
1
, e
2
,…, e
n
},
' ' ' '
1 2 n
E {e ,e , ,e }
 - hai cơ sở của X, F={f
1
, f
2
,…, f
m
},
' ' ' '
1 2 n
F {f ,f , ,f }
 - hai cơ sở của
Y. Cho ánh xạ tuyến tính
f :X Y

, khi đó ta có công thức liên hệ giữa ma trận của f

1 2 n
E {e ,e , ,e }
 - hai
cơ sở của X, ta có
' ' '
1
f /E
f /E EE EE
A T .A .T

 3. Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính.
3.1. Định nghĩa, tính chất, định lý.
Định nghĩa: Cho X, Y là hai K- không gian vectơ (không gian tuyến tính),
f :X Y

là ánh xạ tuyến tính (axtt)


Kí hiệu
Kerf {x X |f (x)
θ}
   
gọi là hạt nhân của axtt f.


Kí hiệu
Imf f(X) {f(x) | x X}

F E
[f(x)] A[x]

. Theo định nghĩa:

F
E
x Kerf f(x)
θ
[f(x)] θ
A[x]
θ ( )
  
 
  

Như vậy
x Kerf

khi và chỉ khi tọa độ của x trong cơ sở E là nghiệm của hệ phương
trình thuần nhất (*). Từ đó để tìm Kerf ta làm như sau:
1. Tìm A=A
f/E,F
– ma trận của f đối với cơ sở E, F.
2. Giải hệ phương trình thuần nhất

1
2
n
x

,…, e
n
là hệ sinh của X nên f(e
1
), f(e
2
),…, f(e
n
) là hệ sinh của Imf, hay
Imf = span{ f(e
1
), f(e
2
),…, f(e
n
)}. Ta tìm một hệ con độc lập tuyến tính (đltt) tối đại của
f(e
1
), f(e
2
),…, f(e
n
), đó là cơ sở của Imf (Số vectơ đltt tối đại bằng hạng của các vectơ
f(e
1
), f(e
2
),…, f(e
n
)).


  

.
Ta biến đổi ma trận hệ số:
3 3 2 3 3 2
h h h h h h
1 2 1 1 2 1 1 2 1
0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 2 0 1 1 0 0 0
   
  
     
     
 
     
     
  
     
.

3
2
1
x t
x t, t R
x 3t




), f(e
3
)}.
Tìm hệ con đltt cực đại của hệ {f(e
1
), f(e
2
), f(e
3
)} bằng cách tìm hạng của nó:

3 3 22 2 1
3 3 1
h h h
h h 2h
h h h
1 0 1 1 0 1 1 0 1
2 1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 2 0 1 1 0 0 0
 
 
 
     
     
   
     
     
  
     
.

Định lý 4: Cho
f :X Y

là axtt, khi đó
1) f đơn cấu
Kerf {
θ}
 

2) f toàn cấu
Imf Y
 

Định lý 5: Cho X, Y là các không gian tuyến tính hữu hạn chiều và axtt
f :X Y

. Khi
đó f là đẳng cấu khi và chỉ khi dimX = dimY.

II. GIÁ TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN, ÁNH XẠ
TUYẾN TÍNH
1. Giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận, ánh xạ tuyến tính.
1.1. Giá trị riêng, giá trị riêng của ma trận.
1.1.1. Các định nghĩa.
Định nghĩa 1: Số
λ K

gọi là giá trị riêng (GTR) của A nếu tồn tại
vectơ
τ n

λI)x θ (x θ).
  

Định nghĩa 2: Cho
ij n
A (a ) M (K),
λ K.
  

a) Đa thức
11 21 n1
12 22 n2
A
1n 2n nn
a λ a a
a a λ a
P (λ) det(A λI)
a a a
λ

 
 

 
  
 
 

 



gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận P
không suy biến (
detP 0

) sao cho:
1
B P AP.



1.1.2. Tính chất.
Định lý 1: Nếu x là VTR của A ứng với GTR
λ
, thì
αx
(
α 0)

cũng là VTR của A
ứng với GTR
λ
.
Định lý 2: Hai ma trận đồng dạng có cùng GTR.
1.1.3. Cách tìm GTR, VTR của ma trận vuông A.
Ta tiến hành các bước sau:
1) Giải phương trình đặc trưng
A
P (
λ) det(A λI) 0 ( )

(vì
k
det(A
λ I) 0
 
) nên KGR
k
S
của A ứng với GTR
k
λ
(tức là không gian nghiệm
k
S
của
(3 )

) có
k
dimS n r
 
(hay nói cách khác,
KGR
k
S
của A ứng với GTR
k
λ
có (
n r

Ta có:
2 2
A
λ 0 1
P (
λ) 0 1 λ 0 λ (1 λ) (1 λ) (λ 1) (λ 1)
1 0 λ

         

.
1 1
A
2 2
λ 1 (m 1)
P (λ) 0
λ 1 (m 2)
  

  

 

.

1 1
λ 1(m 1)
  

Giải hệ phương trình

 


      
 






Vậy:
- VTR của A ứng với GTR
1
λ 1
 
có dạng:
x ( t,0,t) t( 1,0,1), t R \ {0}.
    

- Một cơ sở của KGR
1 1
S (dimS 1)

của A ứng với GTR
1
λ 1
 
:
1

   
   

   

1
2 2
1 3 2
3
x t
(A I)x
θ x x 0 x v, t,v R : t v 0.
x t



           





Vậy:
- VTR của A ứng với GTR
2
λ 1

có dạng:
2 2
x (t,v,t) t(1,0,1) v(0,1,0), t,v R :t v 0.

P (
λ) 3 7 λ 7 (λ 1) (λ 3)
4 8 7 λ

        

.
1 1
A
2 2
λ 1 (m 2)
P (λ) 0
λ 3 (m 1)
  

  

 

.

1 1
λ 1(m 2)
  

Giải hệ phương trình
(A I)x
θ.
 


2
3
3
x 2t
x 2x x 0
(A I)x
θ x t , t R \ {0}.
x 0
x 0
 

  


      
 
 





Vậy:
- VTR của A ứng với GTR
1
λ 1
 
có dạng:
x ( 2t,t,0) t( 2,1,0), t R \{0}.
    

11
2 2
1 1
162 2 2 1
1
3 3 1 3 3 2
3 3
4
h hh h
h h 3h
h h h h h 4hh h
2 4 6 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 10 7 3 10 7 0 16 16 0 1 1
4 8 4 1 2 1 0 4 4 0 0 0

 
   
   
       
       
          
       
       
       

1
1 2 3
2
2 3
3

S (dimS 1)

của A ứng với GTR
2
λ 3

:
2
a (1, 1,1).
 

KGR
3
2 2
S span{a } {x R | x t(1, 1,1), t R}
     
1.2. Giá trị riêng, giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính.
1.2.1. Các định nghĩa.
Định nghĩa 5: Cho X là một K-không gian vectơ,
dimX n

,
f L(X,X)

. Số
λ K


được gọi là giá trị riêng (GTR) của f, nếu tồn tại vectơ
τ n

1
, e
2
,…, e
n
} của X. Khi đó:
1) GTR của f cũng là GTR của A và ngược lại.
2) Vectơ x là VTR của f ứng với GTR
λ
khi và chỉ khi cột tọa độ
/E
[x]
của x trong
cơ sở E là VTR của A ứng với GTR
λ
.
/E /E
f(x)
λx A[x] λ[x]
  
.
(với
1
2
/E 1 1 2 2 n n
n
x
x
[x] , x x e x e x e
x

2 2
f :P [x] P [x]

, xác
định bởi:
2 2
f(a bx cx ) (3a 2b) ( 2a 3b)x (5c)x
        .
Giải:
Xác định ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc
2
E {1,x,x }
 :
2 2
f(1) 3 2x 3 2 0
f(x) 2 3x A 2 3 0
f (x ) 5x 0 0 5
  
  

 
     

 
  

  
.
Giải phương trình đặc trưng:


λ 5(m 2)
 


1 1
λ 1(m 1)
 

Giải hệ phương trình
(A I)x
θ.
 

Ta có:

2 2 0 2 2 0
2 2 0 0 0 4
0 0 4 0 0 0
 
   
   
 
   
   
   

1
1 2
2
3

- Một cơ sở của KGR
1 1
S (dimS 1)

của A ứng với GTR
1
λ 1

:
1
a (1,1,0).

Nó
là tọa độ của đa thức
1
P 1 x
 
trong cơ sở E. Vậy một cơ sở của KGR tương ứng của
f là
1
{P}
.

2 2
λ 5 (m 2)
 

Giải hệ phương trình
(A 5I)x
θ.



Vậy:
- VTR của A ứng với GTR
2
λ 5

có dạng:
2 2
x (t,v,t) t( 1,1,0) v(0,0,1), t,v R :t v 0.
      

- Một cơ sở của KGR
2 2
S (dimS 1)

của A ứng với GTR
2
λ 1

:
2
a ( 1,1,0),
 

3
a (0,0,1).


Chúng là tọa độ của các đa thức tương ứng

k k
r(A
λ I) n m
  

thì A có
k
m
VTR đltt ứng với GTR
k
λ
đó.
Từ các định lý trên ta có:
Định lý 8: Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi với mỗi GTR
k
λ
bội
k
m
của A
1 2 p
(m m m n),
   
có

k k
r(A
λ I) n m ( k 1,2, ,p).
    


 
 
   
 
 
 
.
Từ kết quả của ví dụ 2, ta có:

1
r(A
λ I) 2 3 2 1
    
.
Vậy (theo định lý 8) A không chéo hóa được.
Ví dụ 6: Cho
1 0 2
A 2 2 2
0 0 1

 
 
 
 
 

 
.
Ta có:
A

 
 

 
 
 
. Bản thân A là ma trận đường chéo. Dễ dàng thấy A
thỏa mãn điều kiện chéo hóa.
Thực vậy đối với GTR
λ 0(m 3)
 
, ta có:
0 0 0
r(A
λI) r 0 0 0 0 3 3
0 0 0
 
 
    
 
 
 
.
2.1.3. Cách chéo hóa ma trận.
1) Giải phương trình đặc trưng
A
P (
λ) det(A λI) 0
  
để tìm các GTR của A:

B
λ
 
 
 

 
 
 


b)
1
1
1
p
p
p
λ
m
λ
B
λ
m
λ
 

 



Ứng với mỗi GTR
k
λ
, giải hệ phương trình
k
(A
λ I)x θ
 
, tìm được
k
m
VTR đltt

2 k
k k k
1 m
a ,a , ,a
ứng với
k
λ
.

Sau đó ta lập hệ:

2 k 2 p
1 1 1 p p p
1 m 1 m
(a) {a ,a , ,a , ,a ,a , ,a }



 
.
Giải: Trong ví dụ 4 đã chỉ ra rằng ma trận A chéo hóa được. Ví dụ 1 đưa ra một cơ sở
mới bao gồm các VTR
1 2 3
a ( 1,0,1), a (1,0,1), a (0,1,0),
   

Lập ma trận T
1
1 1 0 1 0 1
1
T 0 0 1 T 1 0 1
2
1 1 0 0 2 0

 
   
   
  
   
   
   
.
Vậy

1
1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0
1
B T AT 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0

n n 1 n 1 1 1 n 1
A A .A TB T .TBT TB T
    
  

Đây là một trong những lợi ích của việc chéo hóa ma trận.
Ví dụ 9: Cho
0 0 1
A 0 1 0
1 0 0
 
 

 
 
 
. Tìm A
n
.
Giải: Theo ví dụ 8, ta biểu diễn được:
1
A TBT


, trong đó

1
1 0 0 1 1 0 1 0 1
1
B 0 1 0 , T 0 0 1 , T 1 0 1

  
   
 
   
 
 
   
   
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 n n 1
n 1 n
( 1) 1 2 ( 1) 1
1

3.1. Ma trận trực giao.
Định nghĩa 8.1: Ma trận trực giao la ma trận vuông có tổng bình phương các phần tử
của mỗi hàng bằng 1, còn tổng các tích các phần tử tương ứng của hai hàng khác nhau
thì bằng 0.
Ví dụ: Các ma trận sau đây là ma trận trưc giao:
cos
φ sinφ
sin
φ cosφ

 
 
 
,
2 2 1
3 3 3
2 1 2
3 3 3
1 2 2
3 3 3

 
 
 

 
 
 
 
 

T
A A .


Từ định lý 9 suy ra các tính chất phát biểu cho PBĐ tự liên hợp cũng là các tính
chất của ma trận đối xứng của nó trong một cơ sở trực chuẩn nào đó và ngược lại.
Định lý 10: Cho A là ma trận đối xứng thực. Khi đó
a) Mọi GTR của ma trận đối xứng thực A là các số thực.
b) Nếu
k
λ
là một GTR bội m
k
của A thì KGR ứng với
k
λ
là không gian k chiều,
nghĩa là nó có k VTR (ứng
k
λ
) đltt.
3.3. Phương pháp chéo hóa ma trận đối xứng bằng ma trận trực giao.
1) Giải phương trình đặc trưng
A
P (
λ) det(A λI) 0
  
.
2) Tìm một cơ sở trực chuẩn cho KGR ứng với mỗi GTR.
a) Nếu

1 2 2
A 2 1 2
2 2 1
 
 

 
 
 
. Hãy tìm ma trận trực giao Q để đưa A về
dạng chéo B = Q
-1
.

A.Q. Tìm ma trận chéo B.
Giải: Trước hết ta nhận xét A là ma trận đối xứng nên A chéo hóa trực giao được.
1) Giải phương trình đặc trưng:

2
A
1 λ 2 2
P (
λ) 2 1 λ 2 (5 λ)(1 λ) 0
2 2 1 λ

      
1 1

     
     
 
     
 
.

1
1 2 3
2
2 3
3
x t
2x x x 0
(A I)x
θ x t, t R \{0}.
x x 0
x t


  


      
 
  





x v , t,v R : t v 0.
x t v



    


  


Để tìm cơ sở trực chuẩn của KGR ứng với
2
λ 1
 
, ta làm như sau:
Lấy a
2
= (1,0,-1), a
3
= (0,1,-1) là cơ sở.
Đặt
2
2
2
a 1 1
a ( ,0, )
a
2 2


 
 
 

 
 
 
 
 
 
,
5 0 0
B 0 1 0
0 0 1
 
 
 
 
 

 
.
Chú ý: Ma trận Q không là duy nhất vì Q phụ thuộc vào cách chọn VTR.