Thật vậy, nghịch ảnh của mọi điểm w ≠ 0 gồm vô số điểm, vì nếu z thuộc nghịch ảnh
của w , tức là e
z
= w thì các điểm z = 2jkπ cũng thuộc nghịch ảnh của w vì e
z+2jkπ
= e
z.2π
C
2
O
y
x
u
v
O
C
2

8. Hàm loga:

1
+1)π của mặt phẳng w. Nếu không vẽ một lát cắt đi từ điểm z = 0 ra
∞, thì khi điểm z vạch nên một đường cong kín quanh gốc O theo hướng dương,
argumen của z sẽ tăng thêm 2π, và như vậy ta sẽ đi từ nhánh đơn trị này sang nhánh
đơn trị khác. Vậy điểm O cũng là một điểm rẽ nhánh của hàm đa trị w = Lnz. đặc biệt,
nếu trong (10) ta chọn k = 0 thì s
ẽ được một nhánh đơn trị được gọi là nhánh chính
của hàm đa trị w = Lnz. Nhánh này được kí hiệu là lnz:
lnz = ln| z | + jargz (11)
Nếu z là số thực dương z = x > 0 thì argz = 0, | z | = x nên lnz = lnx, nghĩa là giá trị
chính của hàm loga trùng với hàm biến thực lnx. Nói khác đi, lnz là thác triển của
hàm thực lnx , từ trục thực x >0 ra mặt phẳng phức z.
Ví dụ: Tính Ln(-1); ln(-1) ; ln(1 + j) ; Lnj
* Ln(-1) = ln| -1 | + j[arg(-1) + 2kπ] = j(π + 2kπ)= j(2k + 1)π
* ln(-1) = ln| -1 | + jarg(-1) = jπ

38
* Vì | 1 + j | =
2
; arg(1 + j) =
4
π
nên ln(1 + j) = ln
2
+ j
4
π
=
2
1

)e(
1
)z(ln
ww
==
′
=
′e. Các phép tính
: Hàm Lnz có các tính chất:

π+=
−
+=
jk2nLnz)z(Ln
LnzLnz
z
z
Ln
LnzLnz)z.z(Ln
n
21
2
1
2121
(12)
Ta chứng minh, chẳng hạn, công thức đầu:


−
=⇒−=
+
=⇒+=

Các hàm lượng giác biến số phức được định nghĩa như sau:

jzjz
jzjz
jzjz
jzjz
jzjzjzjz
ee
ee
zsin
zcos
gzcot
)ee(j
ee
zcos
zsin
tgz
2
ee
zcos
j2
ee
zsin
−
−

[][ ] [ ]
zcosee
2
1
jeje
j2
1
)e()e(
j2
1
)z(sin
jzjzjzjzjzjz
=+=+=
′
−
′
=
′
−−−

Tương tự ta có:
(cosz)’ = -sinz

39
Hàm w = tgz giải tích tại mọi điểm có cosz ≠ 0. Xét phương trình cosz = 0. Ta có: jzjz
ee0zcos
−

Tương tự :

zsin
1
)gz(cot
2
−=
′c. Tính chất
: Hàm lương giác biến số phức có các tính chất sau:
cos(-z) = cosz sin(-z) = -sinz tg(-z) = -tgz
cos(z + 2π) = cosz sin(z + 2π) = sin z trong(z + π) = tgz
Thật vậy:
[][ ]
zcosee
2
1
ee
2
1
)zcos(
jzjz)z(j)z(j
=+=+=−
−−−−[][ ]
zcosee

cosz
2
+ sinz
2
cosz
1
cos2z = cos
2
z - sin
2
z (15)

2
zz
cos
2
zz
sin2zsinzsin
2121
21
++
=+

Ta chứng minh, chẳng hạn, công thức đầu tiên:
sin
2
z + cos
2
z = cos
2

+
=
−

Qua ví dụ này ta thấy có những số phức có | cosz | > 1. Điều này không thể xảy ra đối
với số thực.
Ví dụ 2
: Giải phương trình sinz = sinz
o
với z
o
là số phức cho trước.
Phương trình trên được viết thành: sinz - sin z
o
= 0, hay:

0
2
zz
cos
2
zz
sin2zsinzsin
o
o
o1
=
+
−
=−

π+
π
=
+
k
22
zz
o
, vậy nghiệm của phương trình z =π - z
o
+
2kπ
Tóm lại nghiệm của phương trình là: z = z
o
+ 2kπ và z = π - z
o
+ 2kπ.

10. Hàm hyperbol
:

a. Định nghĩa
: Các hàm hyperbol biến phức được định nghĩa theo các công
thức sau:

2
ee
chz
zz −
+

z2
zz
zz
+
−
=
+
−
==
−
−
(17)
Dễ dàng kiểm tra thấy th(z + jπ) = thz

b. Các phép tính
: Ta có các công thức giống như trong giải tích thực:
e
z
= chz + shz
e
-z
= chz - shz
ch
2
z - sh
2
z = 1 (18)
sh(z
1
+ z

: Các hàm w = shz và w = chz giải tích trong
toàn bộ mặt phẳng và có đạo hàm:
(shz)’ = chz
(chz)’ = shz
Hàm w = thz giải tích trong toàn mặt phẳng trừ tại điểm z mà e
2z
+ 1 = 0 hay e
2z
= -1
= e
2π
, tức là:

41

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π+
π
= k
2
jz

Ta có:
zch
1

y là tham số -∞ < y < ∞ (21)
⎩
⎨
⎧
=
=
Cshycos)y,x(v
Cchysin)y,x(u
Nếu C = 0 thì các phương trình (21) biểu diễn trục ảo u. Nếu C ≠ 0 thì nó biểu diễn
một cung hyperbol. Thật vậy, khử C trong (21) ta được:

1
Ccos
v
Csin
u
2
2
2
2
=− (22)
Ta được cung hyperbol bên phải nếu
2
C0
π
<<
và cung hyperbol bên trái nếu
0C
2
<<

<<
π
−
. Chú ý là
theo (21) thì ảnh của đường thẳng
2
x
π
=
có phương trình tham số u = chy, v = 0 và
đó là tia F
2
u.Tương tự ta có ảnh của đường thẳng
2
x
π
−=
là tia F
1
u’. Vậy miền G là
mặt phẳng w bỏ đi hai tia F
2
u và F
1
u’.

y