Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
1
LỜI NÓI ĐẦU
Trong xu hướng phát triển của thế giới và Việt Nam hiện nay, mạng Internet đang
đem đến sự bùng nổ thông tin một cách mạnh mẽ. Nó được sử dụng để truyền thư điện
tử, truy cập các website, kết nối các công sở, liên lạc với các khách hàng và sử dụng
các dịch vụ ngân hàng, các giao dịch điện tử…
Tiềm năng của mạng Internet là rất lớn. Như ta đã biết các giao tiế
p, trao đổi thông
tin qua Internet đều sử dụng giao thức TCP/IP. Các gói tin truyền từ điểm nguồn tới
điểm đích sẽ đi qua rất nhiều máy tính trung gian, vì vậy độ an toàn thấp, nó rất dễ bị
xâm phạm, theo dõi và giả mạo trên đường truyền. Vấn đề không an toàn cho thông tin
trên đường truyền khiến nhiều người đắn đo trong việc sử dụng mạng Internet cho
những ứng dụng về tài chính, giao dịch ngân hàng, hoạt
động mua bán và khi truyền
các thông tin kinh tế, chính trị vv…
Những biện pháp đảm bảo an toàn thông tin đưa ra đều nhằm đáp ứng 3 yêu cầu:
bảo mật thông tin, xác thực thông tin và toàn vẹn thông tin trên đường truyền. Các
hệ mã hóa thông tin bảo đảm tính bí mật nội dung thông tin, các sơ đồ chữ ký số bảo
đảm xác thực thông tin trên đường truyền.
Tuy nhiên, nhu cầu của con người không chỉ dừng lại ở việc giao dịch giữa các cá
nhân với nhau, mà còn giao dịch thông qua mạng gi
ữa các nhóm người, các công ty,
các tổ chức khác nhau trên thế giới. Dựa trên những yêu cầu thực tế đó các nhà khoa
học đã nghiên cứu và đề xuất ra một kiểu chữ ký mới, đó chính là chữ ký nhóm.
Trong đồ án này tôi đã tìm hiểu và nghiên cứu về chữ ký nhóm. Đây là một loại
chữ ký điện tử cho phép một nhóm người tạo các chữ ký đại diện cho nhóm, và chỉ
những thành viên trong nhóm mới có thể ký vào các thông điệp c
Bội số chung nhỏ nhất : d là BCNN của a và b nếu
∀
c mà a|c , b|c → d|c
Ký hiệu : d = lcm (a,b) ; (least common multiple)
Tính chất: lcm (a,b) = a.b/gcd(a,b)
1.1.2. Số nguyên tố
Định nghĩa : Số nguyên tố là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó, ngoài ra không còn
số nào nó có thể chia hết nữa. Hệ mật thường sử dụng số nguyên tố lớn cỡ 512bits và
thậm chí còn lớn hơn nữa.
Hai số m và n gọi là hai số nguyên tố cùng nhau khi ước số chung lớn nhất của
chúng bằng 1. Chúng ta có thể viết như sau:
UCLN(m,n) = 1
1.1.3. Khái niệm nhóm
Định nghĩa : Nhóm là b
ộ đôi (G,
∗
), trong đó G là tập
φ
≠
và
∗
là một phép toán
hai ngôi trong G thỏa mãn ba tiên đề sau
1. Phép toán nhóm kết hợp
a * (b * c) = (a * b) * c
∀
a, b, c
∈
G
2. Có một phần tử 0
Ví dụ :
Tập các số nguyên Z với phép cộng sẽ tạo nên một nhóm. Phần tử đơn vị
của nhóm này được kí hiệu là 0, phần tử ngược của một số nguyên a là
số nguyên –a.
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
3
Tập Z
n
với phép cộng modulo tạo nên một nhóm cấp n. Tập Z
n
với phép
toán nhân theo modulo n không phải là một nhóm vì không phải mọi
phần tử của nhóm đều có nghịch đảo. Tuy nhiên tập Z
*
n
sẽ là một nhóm
cấp
φ
(n) với phép toán nhân theo modulo n và có phần tử đơn vị là 1.
1.1.5. Nhóm con
Định nghĩa : Bộ đôi (S,
∗
) được gọi là nhóm con của (G,
∗
) nếu:
S
⊂
G, phần tử trung gían e ∈ S
b) (lg*a) (lg
= 0
( )
n)2 (lg
0
( )
b) (lg*a) (lg
= 0
( )
n)2 (lg
1.1.8. Thuật toán Euclide : Tính UCLN của 2 số nguyên
VÀO : Hai số nguyên không âm a và b với a > b
RA : UCLN của a và b
(1). while b
≠ 0 do
R
← a mod
b, a
← b, b ← r
(2). Return (a)
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
4
1.1.9. Thuật toán Euclide mở rộng
VÀO : Hai số nguyên không âm a và b với a > b
RA : d = UCLN (a, b) và các số nguyên x và y thỏa mãn ax + by = d
1
, x
1
← x, y
2
← y
1
, y
1
← y
(4) Đặt d ← a, x ← x
2
, y ← y
2
và return (d, x, y)
1.1.10. Định nghĩa hàm Φ Euler
Định nghĩa : Với n≥1 chúng ta gọi
φ
(n) là tập các số nguyên tố cùng nhau với n
nằm trong khoảng [1,n].
Tính chất :
Nếu p là số nguyên tố →
φ
(p) = p-1
Nếu p=m.n , gcd(m,n)=1
→
φ
(p)=
φ
(m).
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
k
ppp
1
1...
1
1
1
1
21
1.1.11. Đồng dư thức
Định nghĩa : Cho a và b là hai số nguyên tố, a được gọi là đồng dư với b theo
modulo n, ký hiệu là a ≡ b(mod n) nếu a, b chia cho n có cùng số dư.
Ví dụ :
24
≡ 9 mod 5 vì 24
- 9 = 3 * 5
-11
n
. Một số nguyên x ∈ Z
n
gọi là nghịch đảo của a theo mod n
nếu a.x ≡ 1mod n..
Nếu có số x như vậy thì nó là duy nhất và ta nói a là khả nghịch. Ký hiệu là a
-1
. Có
thể suy ra rằng a khả nghịch theo mod n khi và chỉ khi gcd (a,n)=1.
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
5
1.1.13. Nhóm nhân Z*n
Định nghĩa : Nhóm nhân của Z
n
ký hiệu là Z
*
n
là tập hợp các phần tử sao cho gcd
(a,n)=1. Đặc biệt với n là số nguyên tố thì Z
*
n
={ a ∈ Z
n
| 1≤a≤n-1}
Định nghĩa : Cho a ∈ Z
*
n
khi đó bậc của a kí hiệu là ord (a) là một số nguyên
x ≡ a
1
(mod n
1
)
x ≡ a
2
(mod n
2
)
………………
x ≡ a
k
(mod n
k
)
sẽ có nghiệm duy nhất theo modulo n (n = n
1
, n
2
, …, n
k
)
x =
∑
=
k
i 1
a
i
) = 1 thì cặp phương trình đồng dư
x ≡ a (mod n
1
), x ≡ a (mod n
2
)
có một nghiệm duy nhất x ≡ a (mod n
1
, n
2
)
1.1.16. Độ phức tạp tính toán
Lý thuyết thuật toán và các hàm số tính được ra đời từ những năm 30 của thế kỉ 20
đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu các vấn đề “ tính được ”, “ giải được ” trong toán
học. Tuy nhiên từ các “ tính được ” đến việc tính toán thực tế là một khoảng cách rất
lớn. Có rất nhiều vấn đề chứng minh là có thể tính được nhưng không tính được trong
thực tế dù có sự tr
ợ giúp của máy tính. Vào những năm 1960 lý thuyết độ phức tạp
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
6
tính toán được hình thành và phát triển nhanh chóng, cung cấp nhiều hiểu biết sâu sắc
về bản chất phức tạp của các thuật toán và các bài toán, cả những bài toán thuần túy lý
thuyết đến những bài toán thường gặp trong thực tế.
Độ phức tạp tính toán của một tiến trình tính toán là số ô nhớ được dùng hay số các
phép toán sơ cấp được thực hiện trong tiến trình tính toán đó. Dữ liệu đầu vào đối với
một thuậ
t toán thường được biểu diễn qua các từ trong một bảng kí tự nào đó. Độ dài
của một từ là số kí tự trong từ đó.
1.1.17. Các thuật toán trong Zn
và bình phương có lặp. Đây là một thuật toán rất quan trọng trong nhiều thủ tục mật
mã. Cho biểu diễn nhị phân của a là :
∑
=
t
i 0
k
i
2
i
trong đó mỗi k
i
∈ {0, 1} khi đó
a + b với a + b < n
a + b – r.n với a + b ≥ n
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
7
a
k
=
k
t
i
k
i
a 2
0
∏
=
RA : a
k
mod n
1. Đặt b ← l. Nếu k = 0 thì return (b)
2. Đ
ặt A ← a
3. Nếu k
0
= 1 thì đặt b ← a
4. for i from l to t do
1. Đ
ặt A ← A
2
mod n
2. Nếu k
i
= l thì đặt b ← A*b mod n
5. Return (b).
Số các phép toán bit đối với phép toán cơ bản trong Z
nPhép toán Độ phức tạp bit
Cộng modulo 0(lg n)
Trừ modulo 0(lg n)
Nhân modulo
0
( )
1−
(y) thì khó tuy nhiên nếu có “ cửa sập ” thì vấn đề tính ngược trở nên dễ
dàng. Cửa sập ở đây là một điều kiện nào đó giúp chúng ta dễ dàng tính ngược.
Ví dụ :
y = f(x) = x
b
mod n tính xuôi thì dễ nhưng tính ngược x = y
a
mod n thì khó vì phải
biết a với a * b ≡ 1
()
))(mod( n
φ
trong đó
φ
(n) = (p-1)(q-1). Nhưng nếu biết cửa sập p,
q thì việc tính n = p * q và tính a trở nên dễ dàng.
Hộp thư là một ví dụ về hàm một phía có cửa sập. Bất kỳ ai cũng có thể bỏ thư vào
thùng. Bỏ thư vào thùng là một hành động công cộng. Mở thùng thư không phải là
hành động công cộng. Nó là việc khó khăn, bạn sẽ cần đến mỏ hàn để phá hoặc những
công cụ khác. Hơn nữa nếu bạn có “ cử
a sập ” ( Trong trường hợp này là chìa khóa của
hòm thư ) thì công việc mở hòm thư thật dễ dàng.
1.2 Tìm hiểu về mật mã
Mật mã học là khoa học nghiên cứu sự an toàn, toàn vẹn của dữ liệu, xác nhận sự
tồn tại và xác nhận tính nguyên bản của thông tin.
k
: P
→ C
và một hàm giải mã d
k
∈ D
d
k
: C
→ P sao cho d
k
( )
(x)e
k
= x với mọi x
∈
P
Trong thực tế, P và C thường là bảng chữ cái (hoặc tập các dãy chữ cái có độ
dài cố định).
1.2.1. Mã cổ điển
Hệ mã cổ điển (hệ mã đối xứng) là hệ mật mã mà khóa mã hóa có thể dễ dàng tìm
được từ khóa giải mã và ngược lại. Trong nhiều trường hợp, khóa mã hóa và khóa giải
mã là giống nhau.
Hệ mật mã cổ điển yêu cầu người gửi và người nhận phải thỏa thu
ận một mã trước
khi tin tức được gửi đi, khóa này phải được cất giữ bí mật. Độ an toàn của hệ này phụ
thuộc vào khóa. Nếu để lộ khóa, thì bất kỳ người nào cũng có thể mã hóa và giải mã
thông điệp đó.
Nguồn tin Bộ mã hóa Kênh mở
ển bí mật. Nó cũng được dùng để mã hóa thông tin khi lưu trữ trên đĩa.
1.2.1.1. Mã dịch chuyển
Định nghĩa : Mã dịch chuyển: (P, C, K, E, D)
P = C = K = Z
26
với k ∈ K, định nghĩa e
k
(x) = (x + k) mod 26
d
k
(y) = (y – k) mod 26
(x, y ∈ Z
26
)
Ví dụ:
Dùng khoá k = 2 để mã hoá dòng thư:
"madichchuyen'"
dòng thư đó tương ứng với dòng số m a d i c h c h u y e n
12 0 3 8 2 7 2 7 20 24 4 13
Qua phép mã hoá e
2
sẽ được:
14 2 5 10 4 9 4 9 22 26 6 15
o c f k e j e j w z g p
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
(y)
với x, y є Z
26
, π
-1
là nghịch đảo của π
Ví dụ:
π được cho bởi (ở đây ta viết chữ cái thay cho các con số thuộc Z
26
):
a b c d e f g h i j k l m n
z y x w v u t s r q p o n m
o p q r s t u v w x y z
l k j i h g f e d c b a
Bản rõ:
“mathaythe”
sẽ được mã hoá thành bản mã (với khoá π):
“nzgszbgsv”
Dễ xác định được π
-1
, và do đó từ bản mã ta tìm được bản rõ.
Mã thay thế có tập hợp khoá khá lớn - bằng số các hoán vị trên bảng chữ cái, tức số
các hoán vị trên Z
26
, hay là 26! > 4.10
26
. Việc duyệt toàn bộ các hoán vị để thám mã là
rất khó, ngay cả đối với máy tính. Tuy nhiên, bằng phương pháp thống kê, ta có thể dễ
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Y=5x + 6 mod 26
14 6 6 5 5 20 19 0
y o g g f f u t a
Bản mã:
“oggffuta”
Thuật toán giải mã trong trường hợp này có dạng:
d
k
(y) = 21(y
− 6) mod 26
Với mã Affine, số các khoá có thể có bằng (số các số ≤ 26 và nguyên tố với 26) ×
26, tức là 12 × 26 = 312. Việc thử tất cả các khoá để thám mã trong trường hợp này
tuy khá mất thì giờ nếu tính bằng tay, nhưng không khó khăn gì nếu dùng máy tính.
Do vậy, mã Affine cũng không phải là mã an toàn
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
13
1.2.1.4. Mã Vingenere
Định nghĩa Mã Vingenere: (P, C, K, E, D)
Cho m là số nguyên dương.
P = C = K = (Z
26
)
m
với mỗi khoá k = (k
1
, y
2
,…, y
m
) = (y
1
– k
1
, y
2
– k
2
,…, y
m
– k
m
)
các phép cộng phép trừ đều lấy theo modulo 26
Ví dụ:
Giả sử m = 6 và khoá k là từ CIPHER - tức k = (2, 8, 15, 7, 4, 17).
Bản rõ:
“mavingenere”
m a v i n g e n e r e
x 12 0 21 8 13 6 4 13 4 17 4
k 2 8 15 7 4 17 2 8 15 7 4
y 14 8 10 15 17 23 6 21 19 24 8
o i k p r x g v t y i
Bản mã
“ oikprxgvtyi ”
Từ bản mã đó, dùng phép giải mã d
(x
1
, x
2
,…, x
m
) = (x
1
, x
2
,…, x
m
).k
d
k
(y
1
, y
2
,…, y
m
) = (y
1
, y
2
,…,y
m
).k
-1
1
+ 3.x
2
y
2
= 8.x
1
+ 7.x
2
Giả sử ta có bản rõ: “tudo”, tách thành từng bộ 2 ký tự, và viết dưới dạng số ta
được 19 20 | 03 14 , lập bản mã theo quy tắc trên, ta được bản mã dưới dạng số là: 09
06 | 23 18, và dưới dạng chữ là “fgxs”.
Chú ý:
Để đơn giản cho việc tính toán, thông thường chọn ma trận vuông 2×2. Khi đó có
thể tính ma trận nghịch đảo theo cách sau :
Giả sử ta có k =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
dc
ba
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
−
−
bcad
a
bcad
c
bcad
b
bcad
d
Một chú ý là để phép chia luôn thực hiện được trên tập Z
26
thì nhất thiết định thức
của k: det(k) = (ad – bc) phải có phần tử nghịch đảo trên Z
26
ba
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
−
−
bcad
a
bcad
c
bcad
b
bcad
d
⎟
⎟
⎠
Là 11*7 – 8*3 = 1 ≡ 1 mod 26
Khi đó
1
73
811
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
113
87
≡
21
( )
mk
yyyd
...,,,
21
=
() ( ) ( )
( )
m
yyy
111
...,,,
21
−−−
πππ
với mỗi k = π ∈ S
m
, ta có
Trong đó π
-1
là hoán vị nghịch đảo của π
Ví dụ:
Giả sử m = 4, và khoá k được cho bởi phép hoán vị π
→
3 3
→
4 4
→
1
vt 2 3 4 1 2 3 4 1
a h o m a h o m
Bản mã:
“ ahomahom ”
Dùng hoán vị nghịch đảo, từ bản mật mã ta lại thu được bản rõ.
Chú ý:
Mã hoán vị là một trường hợp riêng của mã Hill. Thực vậy, cho phép hoán vị π của
{1, 2,…, m}, ta có thể xác định ma trận K
π
= (k
ij
), với
Thì dễ thấy rằng mã Hill với khoá K
π
trùng với mã hoán vị với khoá π.
Với m cho trước, số các khoá có thể có của mã hoán vị là m!
Dễ nhận thấy với m = 26 ta có số khóa 26! (mã Thay thế)
1.2.2. Mã khóa công khai
Trong mô hình mật mã cổ điển trước đây mà hiện nay đang được nghiên cứu,
A(người gửi) và B (người nhận) chọn khóa bí mật K. Sau đó dùng K để tạo luật mã
hóa e
mã công khai e
k
. Người nhận A sẽ là người duy nhất có thể giải mã được bản mã này
bằng việc sử dụng luật giải bí mật d
k
của mình. Có thể hình dung hệ mật này tương tự
như sau: A đặt một vật vào một hộp kim loại và rồi khóa nó lại bằng một khóa số do B
để lại. Chỉ có B là người duy nhất có thể mở được hộp vì chỉ có anh ta mới biết tổ hợp
mã của khóa số của mình.
Ý tưởng về một hệ mật khóa công khai được Diffie và Hellman đưa ra vào năm
1976. Còn việc hiện thực hóa nó thì do Riyesrt, Shamir và Ableman đưa ra lần
đầu vào
năm 1977, họ đã tạo nên hệ mật nổi tiếng RSA và một số hệ mật khác. Độ bảo mật của
hệ RSA dựa trên độ khó của việc phân tích ra thừa số nguyên lớn.
Nơi ứng dụng
Sử dụng chủ yếu trên các mạng công khai như Internet, khi mà việc trao chuyển
khóa bí mật tương đối khó khăn. Đặc trưng nổi bật của hệ mã hóa khóa công khai là cả
khóa công khai và bản mã đều có thể gửi đi trên một kênh thông tin không an toàn.
1.2.2.1. Mã RSA
Hệ mật này sử dụng tính toán trong Z
n
, trong đó n là tích của 2 số nguyên tố phân
biệt p và q. Ta thấy rằng φ(n) = (p – 1).(q – 1). Định nghĩaCho n = p.q trong đó p và q là các số nguyên tố. Đặt P = C = Z
b
mod n = 3
3
mod 10 = 7
Khi N nhận được bản mã y = 7, anh ta sử dụng số mũ a mật để tính:
x = d
K
(y) = y
a
mod n = 7
7
mod 10 = 3
Đó chính là bản rõ mà G đã mã hoá.
Độ mật của hệ RSA được dựa trên giả thiết là hàm mã e
K
(x) = x
b
mod n là hàm
một chiều. Bởi vậy thám mã sẽ gặp khó khăn về mặt tính toán để giải mã một bản
mã. Cửa sập cho phép N chính là thông tin về phép phân tích thừa số n (n = p.q). Vì
N biết phép phân tích này nên anh ta có thể tính
φ(n) = (p – 1).(q – 1) và rồi tính số mũ giải mã a bằng cách sử dụng thuật toán
Eculide mở rộng.
1.2.2.2. Mã Elgamal
Mô tả hệ mã Elgamal
Hệ mật mã ElGamal được T.ElGamal đề xuất năm 1985, dựa vào độ phức tạp của
bài toán tính lôgarit rờ
i rạc, và sau đó đã nhanh chóng được sử dụng rộng rãi không
những trong vấn đề bảo mật truyền tin mà còn trong các vấn đề xác nhận và chữ ký
Ta sẽ xác định số nguyên a bằng log
α
β.
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
19
Định nghĩa mã hoá công khai Elgamal trong
*
p
Z
:
Cho p là số nguyên tố sao cho bài toán logarithm rời rạc trong
p
Z
là khó giải.
Cho α ∈
*
p
Z
là phần tử nguyên thuỷ. Giả sử P =
*
p
Z
, C =
*
p
Z
k
mod p
với y
1
, y
2
∈
*
p
Z
ta xác định:
d
K
(y
1
, y
2
) = y
2
(y
1
a
)
– 1
mod p
Ví dụ:
Chọn p = 7
α ∈
3
mod 7 = 6
y
2
= x. β
k
mod p = 3*2
3
mod 7 = 3
Khi N thu được bản mã (y
1
, y
2
) = (6, 3), anh ta sẽ tính:
x = d
K
(y
1
, y
2
) = y
2
(y
1
a
)
-1
mod p = 3*(6
2
)
ng máy fax để truyền đi các tài liệu quan trọng. Mặc dù chữ ký trên các tài liệu này
vẫn thể hiện trên giấy nhưng quá trình truyền và nhận chúng hoàn toàn dựa trên tín
hiệu điện tử.
Hiện nay, chữ ký điện tử có thể bao hàm các cam kết gửi bằng email, nhập các số
định dạng cá nhân (PIN) vào các máy ATM, ký bằng bút điện tử với thiết bị màn hình
cảm ứng tại các quầy tính tiền, chấp nhận các đi
ều khoản người dùng (EULA) khi cài
đặt phần mềm máy tính, ký các hợp đồng điện tử online.
Chữ ký điện tử được tạo ra bằng cách áp dụng thuật toán Băm một chiều trên văn
bản gốc để tạo ra bản phân tích văn bản (message digest) hay còn gọi là fingerprint,
sau đó mã hóa bằng private key tạo ra chữ ký số đính kèm với văn bản gốc để gửi đi.
Khi nhận, văn bản đượ
c tách làm 2 phần, phần văn bản gốc được tính lại fingerprint để
so sánh với fingerprint cũ cũng được phục hồi từ việc giải mã chữ ký số. Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
21
So sánh chữ ký thông thường và chữ ký diện tử
Chữ ký thông thường Chữ ký điện tử
Vấn đề ký một tài liệu
Chữ ký chỉ là một phần vật lý của tài
liệu
Vấn đề ký một tài liệu
Chữ ký điện tử không gắn kiểu vật lý
K là một tập hữu hạn các khoá, mỗi khoá K ∈ K gồm có hai phần
K=(K’,K''), K' là khoá bí mật dành cho việc ký, còn K'' là khoá
công khai dành cho việc kiểm thử chữ ký.
V
ới mỗi K =(K’,K''), trong S có một thuật toán ký sig
k’
: P → A , và trong V có
một thuật toán kiểm thử ver
k”
: PxA
→
{đúng,sai} thoả mãn điều kiện sau đây đối với
mọi thông báo x ∈ P và mọi chữ ký y ∈ A :
ver
k”
(x, y) = đúng ↔ y = sig
k’
(x )
Với sơ đồ trên, mỗi chủ thể sở hữu một bộ khoá K =(K’,K''), công bố công khai
khoá K'' để mọi người có thể kiểm thử chữ ký của mình, và giữ bí mật khoá K’ để thực
hiện chữ ký trên các thông báo mà mình muốn gửi đi. Các hàm ver
k”
và sig
k’
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
22
(khi biết K’) phải tính được một cách dễ dàng (trong thời gian đa thức), tuy nhiên hàm
y = sig
a và b là hai số thuộc Z
*
n
thoả mãn a.b ≡ 1(mod
φ
(n)).
Các hàm sig
k’
và ver
k”
được xác định như sau:
sig
k’
(x) = x
a
modn ,
ver
k”
(x,y ) = đúng ↔ x ≡ y
b
(modn).
Dễ chứng minh được rằng sơ đồ được định nghĩa như vậy là hợp thức, tức là với
mọi x ∈ P và mọi chữ ký y ∈ A:
ver
k”
(x,y ) = đúng ↔ y = sig
k’
(x)
Chú ý rằng tuy hai vấn đề xác nhận và bảo mật theo sơ đồ RSA là có bề ngoài
s
) với
K’
s
= a và K''
s
= (n,b) trong hệ S
2
. A có thể gửi đến B một thông báo vừa bảo mật vừa
có chữ ký để xác nhận như sau: A ký trên thông báo x trước, rồi thay cho việc gửi đến
B văn bản cùng chữ ký (x,sig
k’s
(x)) thì A sẽ gửi cho B bản mật mã của văn bản đó
được lập theo khoá công khai của B, tức là gửi cho B e
k’
((x, sig
k’s
(x)). Nhận được văn
bản mật mã đó B sẽ dùng thuật toán giải mã d
k’’
của mình để thu được (x, sig
k’s
(x)),
sau đó dùng thuật toán kiểm thử chữ ký công khai ver
k”s
của A để xác nhận chữ ký
sig
k’s
(x) đúng là của A trên x.
2.1.4. Sơ đồ chữ ký Elgamal
*
p-1
, rồi tính :
sig
k’
(x,k ) = (γ , δ) với
γ = α
k
modp,
δ = (x – a.γ). k
-1
mod(p -1).
Thuật toán kiểm thử được định nghĩa bởi:
ver
k”
(x,(γ , δ)) = đúng ↔ β
γ
. γ
δ
≡ α
x
(modp).
Dễ thấy rằng sơ đồ chữ ký được định nghĩa như trên là hợp thức. Thực vậy, nếu
sig
k’
(x,k ) = (γ , δ) thì ta có :
β
γ
. γ
δ
δ
= 132
29
.29
51
≡ 189 (mod467),
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
24
α
x
= 2
100
≡ 189 (mod467),
hai giá trị đó đồng dư với nhau theo mod 467, chữ ký (β
γ
. γ
δ
) = (29,51) được xác
nhận là đúng.
2.1.5. Sơ đồ chữ ký DSS
Sơ đồ chữ ký DSS được cho bởi bộ năm
S = (P , A , K , S , V)
Trong đó P = Z
*
p
, A = Z
*
q
x Z
Trong đó γ = (α
k
modp) modq,
δ = (x + a. γ).k
-1
modq.
Hàm kiểm thử ver
k”
:
ver
k”
(x,(γ , δ)) = đúng
↔ (
21
.
ee
βα
modp)modq = γ ,
Trong đó e
1
= x . w
và e
2
= γ. w
với w = δ
-1
mod q
Chú ý rằng ta phải có δ ≠ 0 mod q để có thể tính được δ
-1
mod q dùng trong thuật
.
ee
βα
mod p)mod q = (α
k
mod p) mod q = γ
Như vậy ver
k”
(x,(γ ,δ)) = đúng
Ví dụ :
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
25
Giả sử p = 124540019 , q = 17389
Suy ra (p-1)/q = 7162, h = 110217528
Và Tính α = h
7162
mod 124540019 = 10083255
≠ 1, chọn a = 12496
Tính β = α
12496
mod 124540019 = 119946256.
Vậy khóa công khai là: (p = 124540099, q = 17389, α = 10083255, β =
119946256)
khóa bí mật là : (a=12496)
Ký: x = 2546, k = 9557 tính k
-1
mod q = 7631
Trong các sơ đồ chữ ký điện tử ta đã trình bày ở trên, việc kiểm thử tính đúng đắn
của chữ ký là do người nhận tiến hành. Như vậy, cả văn bản cùng chữ ký có thể được
sao chép và phát tán cho nhiều người mà không được phép của người gửi. Để tránh
khả năng đó, người ta đưa ra sơ đồ chữ ký không thể chố
i bỏ được với một yêu cầu là
chữ ký không thể được kiểm thử nếu không có sự hợp tác của người ký. Sự hợp tác đó
được thể hiện qua giao thức kiểm thử ( giao thức xác nhận ). Khi chữ ký đòi hỏi được
xác nhận bằng một giao thức kiểm thử thì một vấn đề nảy sinh là làm sao có thể ngăn
cản người ký chối bỏ một chữ ký mà anh ta đ
ã ký? Để đáp ứng yêu cầu đó, cần có
thêm một giao thức chối bỏ, thông qua giao thức này, người ký có thể chứng minh một
chữ ký không phải là chữ ký của mình. Nếu anh ta từ chối không tham gia giao thức
đó thì có bằng chứng là anh ta không chứng minh được chữ ký đó là giả mạo, tức là
anh ta không chối bỏ được chữ ký của mình.
Một sơ đồ chữ ký không thể chối bỏ có 3 phần:
Mộ
t thuật toán ký
Một giao thức kiểm thử ( giao thức xác nhận )
Một giao thức chối bỏ
Copyright: Tài liệu đại học ©