z
Đồ án tốt nghiệp
Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng
trong giao dịch điện tử
p, trao đổi thông
tin qua Internet đều sử dụng giao thức TCP/IP. Các gói tin truyền từ điểm nguồn tới
điểm đích sẽ đi qua rất nhiều máy tính trung gian, vì vậy độ an toàn thấp, nó rất dễ bị
xâm phạm, theo dõi và giả mạo trên đường truyền. Vấn đề không an toàn cho thông tin
trên đường truyền khiến nhiều người đắn đo trong việc sử dụng mạng Internet cho
những ứng dụng về tài chính, giao dịch ngân hàng, hoạt
động mua bán và khi truyền
các thông tin kinh tế, chính trị vv…
Những biện pháp đảm bảo an toàn thông tin đưa ra đều nhằm đáp ứng 3 yêu cầu:
bảo mật thông tin, xác thực thông tin và toàn vẹn thông tin trên đường truyền. Các
hệ mã hóa thông tin bảo đảm tính bí mật nội dung thông tin, các sơ đồ chữ ký số bảo
đảm xác thực thông tin trên đường truyền.
Tuy nhiên, nhu cầu của con người không chỉ dừng lại ở việc giao dịch giữa các cá
nhân với nhau, mà còn giao dịch thông qua mạng gi
ữa các nhóm người, các công ty,
các tổ chức khác nhau trên thế giới. Dựa trên những yêu cầu thực tế đó các nhà khoa
học đã nghiên cứu và đề xuất ra một kiểu chữ ký mới, đó chính là chữ ký nhóm.
Trong đồ án này tôi đã tìm hiểu và nghiên cứu về chữ ký nhóm. Đây là một loại
chữ ký điện tử cho phép một nhóm người tạo các chữ ký đại diện cho nhóm, và chỉ
những thành viên trong nhóm mới có thể ký vào các thông điệp c
ủa nhóm. Người quản
trị của nhóm có trách nhiệm thành lập nhóm và trong trường hợp cần thiết phải biết
được ai là người ký vào thông điệp.
Trong quá trình làm đồ án tốt nghiệp, em đã nhận được sự hướng dẫn tận tình của
TS.Lê Phê Đô. Em xin chân thành cảm ơn! Đồng thời, em xin cảm ơn các thày cô giáo
bộ môn Tin học – trường Đại học Dân lập Hải Phòng đã trang bị cho em những kiến
thức cơ b
ản trong quá trình học tập tại trường.
chúng bằng 1. Chúng ta có thể viết như sau:
UCLN(m,n) = 1
1.1.3. Khái niệm nhóm
Định nghĩa : Nhóm là b
ộ đôi (G,
∗
), trong đó G là tập
φ
≠
và
∗
là một phép toán
hai ngôi trong G thỏa mãn ba tiên đề sau
1. Phép toán nhóm kết hợp
a * (b * c) = (a * b) * c
∀
a, b, c
∈
G
2. Có một phần tử 0
∈
G được gọi là phần tử đơn vị thỏa mãn
a * 0 = 0 * a
∀
a
∈
G
3. Với mỗi a
∈
G, tồn tại một phần tử a
với phép cộng modulo tạo nên một nhóm cấp n. Tập Z
n
với phép
toán nhân theo modulo n không phải là một nhóm vì không phải mọi
phần tử của nhóm đều có nghịch đảo. Tuy nhiên tập Z
*
n
sẽ là một nhóm
cấp
φ
(n) với phép toán nhân theo modulo n và có phần tử đơn vị là 1.
1.1.5. Nhóm con
Định nghĩa : Bộ đôi (S,
∗
) được gọi là nhóm con của (G,
∗
) nếu:
S
⊂
G, phần tử trung gían e ∈ S
x, y ∈ S
⇒
x * y ∈ S
1.1.6. Nhóm Cyclic
Định nghĩa : Nhóm G được gọi là nhóm cyclic nếu tồn tại một phần tử α ∈ G sao
cho với mỗi b ∈G có một số nguyên I sao cho b = α
i
. Phần tử α như vậy được gọi là
phần tử sinh của G
Nếu G là một nhóm và a ∈ G thì tập tất cả các lũy thừa của a sẽ tạo nên một nhóm
n)2 (lg
1.1.8. Thuật toán Euclide : Tính UCLN của 2 số nguyên
VÀO : Hai số nguyên không âm a và b với a > b
RA : UCLN của a và b
(1). while b
≠ 0 do
R
← a mod
b, a
← b, b ← r
(2). Return (a)
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
4
1.1.9. Thuật toán Euclide mở rộng
VÀO : Hai số nguyên không âm a và b với a > b
RA : d = UCLN (a, b) và các số nguyên x và y thỏa mãn ax + by = d
(1) Nếu b = 0 thì đ
ặt d ← a, x ← l, y ← 0 v
à return (d, x, y)
(2) Đặt x
2
← l, x
1
← 0, y
2
← 0, y
(4) Đặt d ← a, x ← x
2
, y ← y
2
và return (d, x, y)
1.1.10. Định nghĩa hàm Φ Euler
Định nghĩa : Với n≥1 chúng ta gọi
φ
(n) là tập các số nguyên tố cùng nhau với n
nằm trong khoảng [1,n].
Tính chất :
Nếu p là số nguyên tố →
φ
(p) = p-1
Nếu p=m.n , gcd(m,n)=1
→
φ
(p)=
φ
(m).
φ
(n)
Nếu n =
k
e
k
eee
pppp ....
3
21
⎛
−
k
ppp
1
1...
1
1
1
1
21
1.1.11. Đồng dư thức
Định nghĩa : Cho a và b là hai số nguyên tố, a được gọi là đồng dư với b theo
modulo n, ký hiệu là a ≡ b(mod n) nếu a, b chia cho n có cùng số dư.
Ví dụ :
24
≡ 9 mod 5 vì 24
- 9 = 3 * 5
-11
≡ 17 mod 7 vì
-11 - 17 = -4 * 7
Tính chất :
Đối với a, a
1
, b, b
1
, c ∈ Z ta có :
a ≡ a (mod n)
a ≡ b (mod n) ↔ b ≡ a (mod n)
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
5
1.1.13. Nhóm nhân Z*n
Định nghĩa : Nhóm nhân của Z
n
ký hiệu là Z
*
n
là tập hợp các phần tử sao cho gcd
(a,n)=1. Đặc biệt với n là số nguyên tố thì Z
*
n
={ a ∈ Z
n
| 1≤a≤n-1}
Định nghĩa : Cho a ∈ Z
*
n
khi đó bậc của a kí hiệu là ord (a) là một số nguyên
dương t nhỏ nhất sao cho a
t
≡
1(mod n).
1.1.14. Định nghĩa thặng dư bậc 2
Định nghĩa : Cho a ∈ Z
*
n
gọi a là thặng dư bậc 2 theo modulo n nếu tồn tại x sao
………………
x ≡ a
k
(mod n
k
)
sẽ có nghiệm duy nhất theo modulo n (n = n
1
, n
2
, …, n
k
)
x =
∑
=
k
i 1
a
i
N
i
M
i
mod n
Trong đó N
i
= n / n
i
và M
)
1.1.16. Độ phức tạp tính toán
Lý thuyết thuật toán và các hàm số tính được ra đời từ những năm 30 của thế kỉ 20
đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu các vấn đề “ tính được ”, “ giải được ” trong toán
học. Tuy nhiên từ các “ tính được ” đến việc tính toán thực tế là một khoảng cách rất
lớn. Có rất nhiều vấn đề chứng minh là có thể tính được nhưng không tính được trong
thực tế dù có sự tr
ợ giúp của máy tính. Vào những năm 1960 lý thuyết độ phức tạp
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
6
tính toán được hình thành và phát triển nhanh chóng, cung cấp nhiều hiểu biết sâu sắc
về bản chất phức tạp của các thuật toán và các bài toán, cả những bài toán thuần túy lý
thuyết đến những bài toán thường gặp trong thực tế.
Độ phức tạp tính toán của một tiến trình tính toán là số ô nhớ được dùng hay số các
phép toán sơ cấp được thực hiện trong tiến trình tính toán đó. Dữ liệu đầu vào đối với
một thuậ
t toán thường được biểu diễn qua các từ trong một bảng kí tự nào đó. Độ dài
của một từ là số kí tự trong từ đó.
1.1.17. Các thuật toán trong Zn
Cho n là một số nguyên dương. Các phần tử của Z
n
sẽ được biểu thị bởi các số
nguyên Q
21
= {0, 1, 2, … n-1}.
Ta thấy rằng, nếu a, b ∈ Z
n
thì
(a + b) mod n =
trong đó mỗi k
i
∈ {0, 1} khi đó
a + b với a + b < n
a + b – r.n với a + b ≥ n
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
7
a
k
=
k
t
i
k
i
a 2
0
∏
=
=
( ) ( ) ( )
t
t
kkk
aaa
222
...
1
1
= 1 thì đặt b ← a
4. for i from l to t do
1. Đ
ặt A ← A
2
mod n
2. Nếu k
i
= l thì đặt b ← A*b mod n
5. Return (b).
Số các phép toán bit đối với phép toán cơ bản trong Z
nPhép toán Độ phức tạp bit
Cộng modulo 0(lg n)
Trừ modulo 0(lg n)
Nhân modulo
0
( )
2
)(lg n
Nghịch đảo modulo
0
( )
2
)(lg n
Lũy thừa modulo
biết a với a * b ≡ 1
()
))(mod( n
φ
trong đó
φ
(n) = (p-1)(q-1). Nhưng nếu biết cửa sập p,
q thì việc tính n = p * q và tính a trở nên dễ dàng.
Hộp thư là một ví dụ về hàm một phía có cửa sập. Bất kỳ ai cũng có thể bỏ thư vào
thùng. Bỏ thư vào thùng là một hành động công cộng. Mở thùng thư không phải là
hành động công cộng. Nó là việc khó khăn, bạn sẽ cần đến mỏ hàn để phá hoặc những
công cụ khác. Hơn nữa nếu bạn có “ cử
a sập ” ( Trong trường hợp này là chìa khóa của
hòm thư ) thì công việc mở hòm thư thật dễ dàng.
1.2 Tìm hiểu về mật mã
Mật mã học là khoa học nghiên cứu sự an toàn, toàn vẹn của dữ liệu, xác nhận sự
tồn tại và xác nhận tính nguyên bản của thông tin.
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
9
→ P sao cho d
k
( )
(x)e
k
= x với mọi x
∈
P
Trong thực tế, P và C thường là bảng chữ cái (hoặc tập các dãy chữ cái có độ
dài cố định).
1.2.1. Mã cổ điển
Hệ mã cổ điển (hệ mã đối xứng) là hệ mật mã mà khóa mã hóa có thể dễ dàng tìm
được từ khóa giải mã và ngược lại. Trong nhiều trường hợp, khóa mã hóa và khóa giải
mã là giống nhau.
Hệ mật mã cổ điển yêu cầu người gửi và người nhận phải thỏa thu
ận một mã trước
khi tin tức được gửi đi, khóa này phải được cất giữ bí mật. Độ an toàn của hệ này phụ
thuộc vào khóa. Nếu để lộ khóa, thì bất kỳ người nào cũng có thể mã hóa và giải mã
thông điệp đó.
Nguồn tin Bộ mã hóa Kênh mở
(không an toàn)
Bộ giải mã Nhận tin
Thám mã
Kênh an toàn
Nguồn khóa
Bản rõ Bản mã Bản mã
K
D
K
E
(y) = (y – k) mod 26
(x, y ∈ Z
26
)
Ví dụ:
Dùng khoá k = 2 để mã hoá dòng thư:
"madichchuyen'"
dòng thư đó tương ứng với dòng số m a d i c h c h u y e n
12 0 3 8 2 7 2 7 20 24 4 13
Qua phép mã hoá e
2
sẽ được:
14 2 5 10 4 9 4 9 22 26 6 15
o c f k e j e j w z g p
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
11
Bản mã sẽ là:
“ocfkejejwzgp”
Nhận được bản mã đó, dùng d
2
để nhận được bản rõ.
Cách đây 2000 năm mã dịch chuyển đã được Julius Ceasar sử dụng, với khoá k=3
mã địch chuyển được gọi là mã Ceasar.
Tập khoá phụ thuộc vào Z
m
a b c d e f g h i j k l m n
z y x w v u t s r q p o n m
o p q r s t u v w x y z
l k j i h g f e d c b a
Bản rõ:
“mathaythe”
sẽ được mã hoá thành bản mã (với khoá π):
“nzgszbgsv”
Dễ xác định được π
-1
, và do đó từ bản mã ta tìm được bản rõ.
Mã thay thế có tập hợp khoá khá lớn - bằng số các hoán vị trên bảng chữ cái, tức số
các hoán vị trên Z
26
, hay là 26! > 4.10
26
. Việc duyệt toàn bộ các hoán vị để thám mã là
rất khó, ngay cả đối với máy tính. Tuy nhiên, bằng phương pháp thống kê, ta có thể dễ
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
12
dàng thám được các bản mã loại này, và do đó mã thay thế cũng không thể được xem
là an toàn
1.2.1.3. Mã Affine
Định nghĩa Mã Affine: (P, C, K, E, D)
P = C = Z
26
, K = { (a, b) є Z
26
Với mã Affine, số các khoá có thể có bằng (số các số ≤ 26 và nguyên tố với 26) ×
26, tức là 12 × 26 = 312. Việc thử tất cả các khoá để thám mã trong trường hợp này
tuy khá mất thì giờ nếu tính bằng tay, nhưng không khó khăn gì nếu dùng máy tính.
Do vậy, mã Affine cũng không phải là mã an toàn
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
13
1.2.1.4. Mã Vingenere
Định nghĩa Mã Vingenere: (P, C, K, E, D)
Cho m là số nguyên dương.
P = C = K = (Z
26
)
m
với mỗi khoá k = (k
1
, k
2
,…,k
m
) ∈ K có:
e
k
(x
1
, x
– k
2
,…, y
m
– k
m
)
các phép cộng phép trừ đều lấy theo modulo 26
Ví dụ:
Giả sử m = 6 và khoá k là từ CIPHER - tức k = (2, 8, 15, 7, 4, 17).
Bản rõ:
“mavingenere”
m a v i n g e n e r e
x 12 0 21 8 13 6 4 13 4 17 4
k 2 8 15 7 4 17 2 8 15 7 4
y 14 8 10 15 17 23 6 21 19 24 8
o i k p r x g v t y i
Bản mã
“ oikprxgvtyi ”
Từ bản mã đó, dùng phép giải mã d
k
tương ứng, ta lại thu được bản rõ.
Chú ý
: Mã Vingenere với m = 1 sẽ trở thành mã Dịch chuyển.
Tập hợp các khoá trong mã Vingenere mới m ≥ 1 có tất cả là 26
m
khoá có thể có.
Với m = 6, số khoá đó là 308.915.776, duyệt toàn bộ chừng ấy khoá để thám mã bằng
tính tay thì khó, nhưng với máy tính thì vẫn là điều dễ dàng.
1.2.1.5. Mã Hill
,…, x
m
).k
d
k
(y
1
, y
2
,…, y
m
) = (y
1
, y
2
,…,y
m
).k
-1 Ví dụ:
Lấy m = 2, và k =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
Giả sử ta có bản rõ: “tudo”, tách thành từng bộ 2 ký tự, và viết dưới dạng số ta
được 19 20 | 03 14 , lập bản mã theo quy tắc trên, ta được bản mã dưới dạng số là: 09
06 | 23 18, và dưới dạng chữ là “fgxs”.
Chú ý:
Để đơn giản cho việc tính toán, thông thường chọn ma trận vuông 2×2. Khi đó có
thể tính ma trận nghịch đảo theo cách sau :
Giả sử ta có k =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
dc
ba
Ta có ma trận nghịch đảo k
1−
=
1−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎛
−−
−
−
−
−
bcad
a
bcad
c
bcad
b
bcad
d
Một chú ý là để phép chia luôn thực hiện được trên tập Z
26
thì nhất thiết định thức
của k: det(k) = (ad – bc) phải có phần tử nghịch đảo trên Z
26
, nghĩa là (ad – bc) phải là
một trong các giá trị : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, hoặc 25. Đây cũng là điều
kiện để ma trận k tồn tại ma trận nghịch đảo.
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
15
Khi đó: k
-1
.k = I là ma trận đơn vị (đường chéo chính bằng 1)
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
−
−
bcad
a
bcad
c
bcad
b
bcad
d
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
dc
ba
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
113
87
≡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
1123
187
m
yyy
111
...,,,
21
−−−
πππ
với mỗi k = π ∈ S
m
, ta có
Trong đó π
-1
là hoán vị nghịch đảo của π
Ví dụ:
Giả sử m = 4, và khoá k được cho bởi phép hoán vị π
Khi đó phép hoán vị nghịch đảo π
-1
là:
1 2 3 4
2 3 4 1
1 2 3 4
“ ahomahom ”
Dùng hoán vị nghịch đảo, từ bản mật mã ta lại thu được bản rõ.
Chú ý:
Mã hoán vị là một trường hợp riêng của mã Hill. Thực vậy, cho phép hoán vị π của
{1, 2,…, m}, ta có thể xác định ma trận K
π
= (k
ij
), với
Thì dễ thấy rằng mã Hill với khoá K
π
trùng với mã hoán vị với khoá π.
Với m cho trước, số các khoá có thể có của mã hoán vị là m!
Dễ nhận thấy với m = 26 ta có số khóa 26! (mã Thay thế)
1.2.2. Mã khóa công khai
Trong mô hình mật mã cổ điển trước đây mà hiện nay đang được nghiên cứu,
A(người gửi) và B (người nhận) chọn khóa bí mật K. Sau đó dùng K để tạo luật mã
hóa e
k
và luật giải mã d
k
. Trong hệ mật này d
k
hoặc giống e
k
hoặc khác, nếu để lộ e
k
thì
1976. Còn việc hiện thực hóa nó thì do Riyesrt, Shamir và Ableman đưa ra lần
đầu vào
năm 1977, họ đã tạo nên hệ mật nổi tiếng RSA và một số hệ mật khác. Độ bảo mật của
hệ RSA dựa trên độ khó của việc phân tích ra thừa số nguyên lớn.
Nơi ứng dụng
Sử dụng chủ yếu trên các mạng công khai như Internet, khi mà việc trao chuyển
khóa bí mật tương đối khó khăn. Đặc trưng nổi bật của hệ mã hóa khóa công khai là cả
khóa công khai và bản mã đều có thể gửi đi trên một kênh thông tin không an toàn.
1.2.2.1. Mã RSA
Hệ mật này sử dụng tính toán trong Z
n
, trong đó n là tích của 2 số nguyên tố phân
biệt p và q. Ta thấy rằng φ(n) = (p – 1).(q – 1). Định nghĩaCho n = p.q trong đó p và q là các số nguyên tố. Đặt P = C = Z
n
và định nghĩa:
K = {(n, p, q, a, b): n = p.q, p, q là các số nguyên tố, a.b ≡ 1 mod φ(n)}
Với K = (n, p, q, a, b) ta xác định: e
K
(x) = x
b
mod n
và d
K
7
mod 10 = 3
Đó chính là bản rõ mà G đã mã hoá.
Độ mật của hệ RSA được dựa trên giả thiết là hàm mã e
K
(x) = x
b
mod n là hàm
một chiều. Bởi vậy thám mã sẽ gặp khó khăn về mặt tính toán để giải mã một bản
mã. Cửa sập cho phép N chính là thông tin về phép phân tích thừa số n (n = p.q). Vì
N biết phép phân tích này nên anh ta có thể tính
φ(n) = (p – 1).(q – 1) và rồi tính số mũ giải mã a bằng cách sử dụng thuật toán
Eculide mở rộng.
1.2.2.2. Mã Elgamal
Mô tả hệ mã Elgamal
Hệ mật mã ElGamal được T.ElGamal đề xuất năm 1985, dựa vào độ phức tạp của
bài toán tính lôgarit rờ
i rạc, và sau đó đã nhanh chóng được sử dụng rộng rãi không
những trong vấn đề bảo mật truyền tin mà còn trong các vấn đề xác nhận và chữ ký
điện tử.
Bài toán logarithm rời rạc trong Z
p
là đối tượng trong nhiều công trình nghiên cứu
và được xem là bài toán khó nếu p được chọn cẩn thận. Cụ thể là không có một thuật
toán thời gian đa thức nào cho bài toán logarithm rời rạc. Để gây khó khăn cho các
phương pháp tấn công đã biết, p phải có ít nhất 150 chữ số và (p – 1) phải có ít nhất
một thừa số nguyên tố lớn
Hệ mật Elgamal là một hệ mật không tất định vì bản mã phụ thuộc vào cả bả
n rõ x
*
p
Z
:
Cho p là số nguyên tố sao cho bài toán logarithm rời rạc trong
p
Z
là khó giải.
Cho α ∈
*
p
Z
là phần tử nguyên thuỷ. Giả sử P =
*
p
Z
, C =
*
p
Z
x
*
p
Z
. Ta định
nghĩa: K = {(p, α, a, β): β ≡ α
a
(mod p)}
Các giá trị p, α, β được công khai, còn a giữ kín.
Với K =(p, α, a, β) và một số ngẫu nhiên bí mật k ∈
ta xác định:
d
K
(y
1
, y
2
) = y
2
(y
1
a
)
– 1
mod p
Ví dụ:
Chọn p = 7
α ∈
*
p
Z
là phần tử nguyên thuỷ nên α = 3
Chọn a sao cho 0 ≤ a ≤ p – 2 nên a = 2
Khi đó : β = α
a
mod p = 3
2
mod 7 = 2
1
, y
2
) = (6, 3), anh ta sẽ tính:
x = d
K
(y
1
, y
2
) = y
2
(y
1
a
)
-1
mod p = 3*(6
2
)
-1
mod 7 = 3
Đó chính là bàn rõ mà G đã mã hoá
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
20
sau đó mã hóa bằng private key tạo ra chữ ký số đính kèm với văn bản gốc để gửi đi.
Khi nhận, văn bản đượ
c tách làm 2 phần, phần văn bản gốc được tính lại fingerprint để
so sánh với fingerprint cũ cũng được phục hồi từ việc giải mã chữ ký số. Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
21
So sánh chữ ký thông thường và chữ ký diện tử
Chữ ký thông thường Chữ ký điện tử
Vấn đề ký một tài liệu
Chữ ký chỉ là một phần vật lý của tài
liệu
Vấn đề ký một tài liệu
Chữ ký điện tử không gắn kiểu vật lý
vào bức thông điệp nên thuật toán được
dùng phải “không nhìn thấy” theo một
cách nào đó trên bức thông điệp
Vấn đề về kiểm tra
Chữ ký được kiểm tra bằng cách so
sánh nó với chữ ký xác thực khác. Tuy
nhiên, đây không phải là một phương
pháp an toàn vì nó dễ bị giả mạo.
Vấn đề về kiểm tra
→
{đúng,sai} thoả mãn điều kiện sau đây đối với
mọi thông báo x ∈ P và mọi chữ ký y ∈ A :
ver
k”
(x, y) = đúng ↔ y = sig
k’
(x )
Với sơ đồ trên, mỗi chủ thể sở hữu một bộ khoá K =(K’,K''), công bố công khai
khoá K'' để mọi người có thể kiểm thử chữ ký của mình, và giữ bí mật khoá K’ để thực
hiện chữ ký trên các thông báo mà mình muốn gửi đi. Các hàm ver
k”
và sig
k’
Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
22
(khi biết K’) phải tính được một cách dễ dàng (trong thời gian đa thức), tuy nhiên hàm
y = sig
k’
(x ) là khó tính được nếu không biết K’ - điều đó bảo đảm bí mật cho việc ký,
cũng tức là bảo đảm chống giả mạo chữ ký.
Các chữ ký số phải thỏa mãn điều kiện cơ bản sau :
Không thể giả mạo. Nếu P ký thông báo M bằng chữ ký F
(P,M)
thì không
ai có thể tạo được cặp [M.S
(M.P)
]
k”
được xác định như sau:
sig
k’
(x) = x
a
modn ,
ver
k”
(x,y ) = đúng ↔ x ≡ y
b
(modn).
Dễ chứng minh được rằng sơ đồ được định nghĩa như vậy là hợp thức, tức là với
mọi x ∈ P và mọi chữ ký y ∈ A:
ver
k”
(x,y ) = đúng ↔ y = sig
k’
(x)
Chú ý rằng tuy hai vấn đề xác nhận và bảo mật theo sơ đồ RSA là có bề ngoài
giống nhau, nhưng nội dung của chúng là hoàn toàn khác nhau: Khi A gửi thông báo x
cho B, để B có căn cứ xác nhận đó đúng thực là thông báo do A gửi, A phải gửi kèm
theo chữ ký sig
k’
(x), tức là A gửi cho B (x, sig
k’
(x)), trong các thông tin gửi đi đó,
thông báo x hoàn toàn không được giữ bí mật. Cũng tương tự như vậy, nếu dùng sơ đồ
mật mã RSA, khi một chủ thể A nhận được một bản mật mã e
k’
B văn bản cùng chữ ký (x,sig
k’s
(x)) thì A sẽ gửi cho B bản mật mã của văn bản đó
được lập theo khoá công khai của B, tức là gửi cho B e
k’
((x, sig
k’s
(x)). Nhận được văn
bản mật mã đó B sẽ dùng thuật toán giải mã d
k’’
của mình để thu được (x, sig
k’s
(x)),
sau đó dùng thuật toán kiểm thử chữ ký công khai ver
k”s
của A để xác nhận chữ ký
sig
k’s
(x) đúng là của A trên x.
2.1.4. Sơ đồ chữ ký Elgamal
Sơ đồ chữ ký ElGamal được đề xuất năm 1985, gần như đồng thời với sơ đồ hệ mật
mã ElGamal, cũng dựa trên độ khó của bài toán lôgarit rời rạc. Sơ đồ được thiết kế đặc
biệt cho mục đích ký trên các văn bản điện tử, được mô tả như một hệ:
S = (P , A , K , S , V)
Trong
đó P = Z
*
p
, A = Z
*
-1
mod(p -1).
Thuật toán kiểm thử được định nghĩa bởi:
ver
k”
(x,(γ , δ)) = đúng ↔ β
γ
. γ
δ
≡ α
x
(modp).
Dễ thấy rằng sơ đồ chữ ký được định nghĩa như trên là hợp thức. Thực vậy, nếu
sig
k’
(x,k ) = (γ , δ) thì ta có :
β
γ
. γ
δ
≡ α
aγ
. α
kδ
mod p
≡ α
x
mod p,
vì k.δ +a.γ ≡ x mod(p -1). Do đó, ver
k”
x
= 2
100
≡ 189 (mod467),
hai giá trị đó đồng dư với nhau theo mod 467, chữ ký (β
γ
. γ
δ
) = (29,51) được xác
nhận là đúng.
2.1.5. Sơ đồ chữ ký DSS
Sơ đồ chữ ký DSS được cho bởi bộ năm
S = (P , A , K , S , V)
Trong đó P = Z
*
p
, A = Z
*
q
x Z
*
q
p là một số nguyên tố lớn có độ dài biểu diễn 512 ≤ l
p
≤ 1024 bit (với l là
bội của 64) sao cho bài toán tính logarit rời rạc trong Z
p
là khó.
q là một ước số nguyên tố của p -1 có l
k”
(x,(γ , δ)) = đúng
↔ (
21
.
ee
βα
modp)modq = γ ,
Trong đó e
1
= x . w
và e
2
= γ. w
với w = δ
-1
mod q
Chú ý rằng ta phải có δ ≠ 0 mod q để có thể tính được δ
-1
mod q dùng trong thuật
toán kiểm thử, vì vậy nếu chọn k mà được δ ≡ 0 mod q thì phải chọn lại số k khác để
có được δ ≠ 0 mod q.
Cũng dễ thấy rằng sơ đồ như trên là đúng. Thực vậy nếu x, γ,δ là đúng thì :
(
21
.
ee
βα
modp)modq = (α
x.w
Copyright: Tài liệu đại học ©