Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP. HÓ CHÍ MINH I
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP. HỒ CHÍ
MINH

Nguyễn Thị Thu Hà

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN cứu
Sự TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ TĂNG

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành từ
những
năm 1940, tiếp tục được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay. Lý thuyết
này
tìm được những ứng dụng đa dạng trong việc chứng minh sự tồn tại và nghiên
cứu
tính chất của nghiệm của các phương trình vi phân, tích phân phát sinh trong
Toán
học, Vật lí, Sinh học, ... cũng như trong nghiên cứu các mô hình phát triển xuất
phát từ kinh tế học, ...
Trong lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự thì lóp phương
trình

của ánh xạ tăng.
Chương 3: trình bày nguyên lí Entropy và ứng dụng của nó vào bài toán
điểm bất động.


Chương 1.
PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ĐỆ QUI MỞ RỘNG
1.1. Nguyên lí đệ qui mở rộng

Định nghĩa 1.1.1
Cho tập p ^ 0, khi đó (p ,
c=

Thật vậy, lấy y E C2 thì y E C2 và y < X.
Mà -X = min(C2 \ Cj) nên y Ể C2 \ Cj. Suy ra y E Cj.
■

Giả sử Cj \ C2 ^ 0

Đặt y = min ÍCj \ C2). Khi đó, ta có
CfcC2 cỊQn^) (do c2 cCị)
Ta sẽ chứng minh CỊ = C2 .
Giả sử CịV ^ C2 . Khi đó tồn tại z = min(c2 \ CỊ ) nên (c2 ) CICỊ .
Suy ra c\ c= cf
(vì z < X)
Mặt khác z E C2 c(C,nC2) nên z E Cj.

(1)

Mà z Ể c\. Do đó y < z ■ Suy ra cị c= C2 .
Ta có Cjy c= C2 nên CịV


Chứng minh mệnh đề 1.1.1
Theo bổ đề 1.1.1 thì hai xích bất kì thuộc M đều chứa nhau.
Đặt c = u c\
C'eM
■ Chứng minh c sắp tốt
Lấy tập con A c= c, A & 0. Ta sẽ chứng minh 3x = min A
Chọn

Cj

E

M

sao

cho

A

n

Cj

^

0


Suy ra x = min A tồn tại hay c là xích sắp tốt.
■

Chứng minh c thỏa (*)

=> /Lấy x e C thì tồn tại Cj E M sao cho X E Cj
Lấy y E c* thì tồn tại C 2 e M sao cho y E C2
Nếu C2 c= Cị thì C2 cz CjA do đó y E CịA
Nếu C2 ợ: Cj thì theo bổ đề 1.1.1 ta có Cj = C2, k = min(C2 \ Cj)
Do X E Cj, Cj = C2 nên X E C2. Suy ra X < Ả: => CjA = Ịc2 j =
C2

c=

y
C2y


Hiển nhiên ta có C ị cz cx. Do đó C ị = cx
Suy ra X = r ( c , x ) = F(Cx)(do c , e M ) . V ậ y c e M .


Do (*) nẽn ta có c i e C (mâu thuẫn vì a là cận trên chặt của C)
Vậy c thỏa (**).
Ket luận: Mệnh đề đuợc chứng minh hoàn toàn.
1.2. Tập xấp xỉ liên tiếp từ một điểm đối với một

ánh xạ
B Ỗ đ ề 1.2.1

Cho tập có thứ tự (/*,
Neu A và B là tập con của p và nếu sup A, sup B tồn tại thì
sup(Au£) = sup{supA, supi?}.
Chứng minh.


Dễ thấy hai tập hợp Au5 và {supA, sup#} có cận trên giống nhau, từ đó suy ra
điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.2.2
Cho c là xích sắp tốt. Với mỗi x e C , x ^ maxC, sẽ có một phần tử tiếp sau S x
trong c, ta có S x := min ị ỵ e c / X < ỵ ].
Mệnh đề 1.2.1
Cho G : P — > p là ánh xạ tăng và a < G a .
Gọi c là xích sắp tốt của phép lặp G từ a .
Khi đó:
a. Nếu x e C thì x < G x và G x e C .
b. S a tồn tại khi và chỉ khi a < G a và do đó S a = G a .
c. Nếu a < x ec thì S x tồn tại khi và chỉ khi G x £ x và sup{x,Gx} tồn tại,

và do đó S x = sup{ x , G x }.
d. Neu a < X EC thì X = sup cx khi và chỉ khi X không là phần tử tiếp

sau.
e. G(c) là xích sắp tốt của p .
Chứng minh.

a. Lấy

X

e


y

E

CGx

thì

ỵ

E

c

và

y



Ta có cz = cx u {xỊ (tưong tự a)
Theo bổ đề 1.2.2 và (/), ta có
z = sup { x , G x } = sup ^G(c^ j u{Gx} j
= sup G(CA u{x})] = supG(cz)
Suy ra z e c do (/).
Như vậy ta có X < z e c nên X ^ max c .
Theo định nghĩa 1.2.2 ta có S x tồn tại.
d. Giả sử a < X E c và X không là phần tử tiếp sau

Rõ ràng X là một cận trên của cx. Lấy vc là một cận trên khác của cx.
Với y e C x thì a < y < X
Do ỵ e c và y ^ max c nên tồn tại S y .
y = a thì do b) ta có a < S a = G a .
y > a thì do c) S y = sup{y,Gy}
Vậy với y e C x ta luôn có S y = sup{y,Gy}.

Suy ra G y < S y e C x (do ỵ < X và X ^ S y nên S y < x )
Do đó G y < w , Vy e cx. Suy ra supGỊcA) < w hay X < w (do (/))


Như vậy theo định nghĩa sup ta có X = supCA.
■ Giả sử X là phần tử tiếp sau, tức là x = S y với y nào đó thuộc c.
Khi đó y < S y = X => y E cx
Ta chứng minh z < y, Vz E CA. Thật vậy
Nếu tồn tại z e CA và y < z thì x = S y < z mâu thuẫn vì z e CA.
Khi đó S y = x = sup cx < y, mâu thuẫn.
Suy ra điều phải chứng minh.
Các kết quả trên kéo theo các hệ quả sau.
H ệ q u ả 1.2.1
Neu c là xích sắp tốt của phép lặp G từ a E p thì


■

Mà

theo

Vì a là cận dưới của G(p) nên a < Ga.
giả

thiết

ta

có

X*

=

sup

G(c)

tồn

tại

Nên theo định lí 1.2.1 thì X* = maxC và Gx* < X*
Mặt khác theo mệnh đề 1.2.1 thì X* E c nên X* < Gx*


từ

b

thỏa

(/') b = max c'
b>xeC'ox = mfF(C'x)
Nếu b > F b , F tăng và X * = inf F(C') tồn tại thì
X * = F x * =minC' = max|Z? > x\Fx
>XỊ
và X * là điểm bất động lớn nhất của F.
Từ các định lí 1.3.1, 1.3.2 ta có hệ quả sau
Hệ quả 1.3.1
Cho p là tập sắp thứ tự một phần và ánh xạ tăng G : P —> p
a. Nếu G(jp) có một cận dưới và mọi xích sắp tốt của G(jp) đều có sup thì

G

có điểm bất động bé nhất X* và X* = min Ịx / Gx < xỊ.
b. Nếu G(JP) CÓ một cận trên và mọi xích sắp tốt của G ( p ) đều có inf thì

G
có điểm bất động lớn nhất X* và X* = max {x / Gx < x}.
Chứng minh.


Gọi c là xích sắp tốt của phép lặp G từ a .
Theo mệnh đề 1.2.1 thì G(c) cC và G(c) là xích sắp tốt của G!(jp).

X* = min Ị* E [a ) / Gx < xỊ .
với ữ = max|xE(c]/x P xác định bởi f ( x ) = sup{c,Gx}.

Hiển nhiên / được định nghĩa tốt.
Khi đó, rõ ràng / tăng và f ( p ) là tập đầy đủ tương đối theo thứ tự (vì G tăng,
G(jp) đầy đủ tương đối theo thứ tự)
■ Ta có c < sup{c,GCỊ = /(c) hay c là cận dưới của /(c).
Gọi c là xích sắp tốt của / từ c .

Vì f ( p ) đầy đủ tương đối và /(c)