BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thanh Hương

NGHIÊN CỨU VỀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÝ
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Thanh Hương

NGHIÊN CỨU VỀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÝ
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG


MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
DANH MỤC CÁC BẢNG
DANH MỤC CÁC HÌNH
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1
Chương 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG GIÁO TRÌNH TOÁN VÀ VẬT LÝ ĐẠI HỌC
1.1. Các hệ tọa độ trong giáo trình Toán ở bậc đại học......................................6
1.1.1. Hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy và hệ tọa độ Descartes vuông
góc Oxyz ........................................................................................... 6
1.1.2. Hệ toạ độ cầu .................................................................................... 12
1.1.3. Hệ toạ độ trụ ..................................................................................... 13
1.1.4. Hệ toạ độ cực ................................................................................... 15
1.2. Các hệ tọa độ trong giáo trình Vật lý ở bậc đại học ..................................18
1.2.1. Hệ toạ độ Descartes vuông góc ........................................................ 19
1.2.2. Hệ toạ độ cầu .................................................................................... 23
1.2.3. Hệ tọa độ cực ................................................................................... 24
1.2.4. Hệ tọa độ tự nhiên ............................................................................24
1.3. Kết luận .....................................................................................................26
Chương 2. HỆ TỌA ĐỘ TRONG CÁC THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT
LÝ Ở TRUNG HỌC ................................................................................29
2.1. Hệ toạ độ trong môn Toán bậc trung học ..................................................29
2.1.1. Hệ tọa độ trong SGK Toán 7 ........................................................... 30


2.1.2. Hệ tọa độ trong SGK Toán 9 ........................................................... 35
2.1.3. Hệ tọa độ trong môn Toán lớp 10 .................................................... 36
2.1.4. Hệ tọa độ trong môn Toán lớp 11 .................................................... 42
2.1.5. Hệ tọa độ trong môn Toán lớp 12 .................................................... 43
2.1.6. Kết luận phân tích SGK Toán bậc trung học ...................................50
2.2. Hệ toạ độ trong SGK Vật lý bậc trung học ...............................................51

: Đại học Sư phạm

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

KNV

: Kiểu nhiệm vụ

Nxb

: Nhà xuất bản

SBT

: Sách bài tập

SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên



DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 3.1. Bài làm của HS27 .................................................................................76
Hình 3.2. Bài làm của HS41 .................................................................................76
Hình 3.3. Bài làm của HS29 .................................................................................77
Hình 3.4. Bài làm của HS15 .................................................................................77
Hình 3.5. Bài làm của HS30 .................................................................................78
Hình 3.6. Bài làm của HS41 .................................................................................80
Hình 3.7. Bài làm của HS29 .................................................................................80
Hình 3.8. Bài làm của HS63 .................................................................................81
Hình 3.9. Bài làm của HS59 .................................................................................81
Hình 3.10. Bài làm của nhóm 3 (pha 1) ..............................................................102
Hình 3.11. Bài làm của nhóm 5 (pha 3) ..............................................................107
Hình 3.12. Bài làm của nhóm 1 (pha 3) ..............................................................109


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Toán học tác động trong tất cả các môn khoa học và nó có mối liên hệ chặt chẽ
với Vật lý. Thật vậy, làm thế nào có thể nghiên cứu cơ học cổ điển nếu không có công
cụ tính toán vi phân và tích phân hoặc nghiên cứu vật lý lượng tử mà không có không
gian Hilbert?
Trong Vật lý, hệ trục tọa độ được sử dụng rất nhiều như khảo sát các tính chất
chuyển động của vật, thể hiện sự thay đổi giá trị của một đại lượng nào đó hay đặc
trưng cho một đại lượng bất kì…
Trong các giáo trình, sách giáo khoa Toán, hệ trục tọa độ xuất hiện trước hết với
tư cách là đối tượng nghiên cứu, sau đó với tư cách là một công cụ giải quyết nhiều bài
toán thuộc nội dung toán học khác nhau như vẽ đồ thị của hàm số, biểu diễn giá trị


vị

trên

Ox

và

Oy

và

|𝑖⃗| = |𝑗⃗| = 1. Hệ trục tọa độ (O; 𝑖⃗, 𝑗⃗) còn được kí hiệu là Oxy (hình 1.22)

[SGK Hình học 10, tr.22]
Các hệ trục tọa độ được giới thiệu và sử dụng trong các sách giáo khoa Toán đều
có một đặc điểm là: trục Ox nằm ngang với chiều dương hướng từ trái qua phải; trục
Oy thẳng đứng với chiều dương hướng từ dưới lên trên. Nhưng trong Vật lý thì điều
này có thể ngược lại, chẳng hạn trong việc khảo sát chuyển động ném ngang của vật:
Ta hãy khảo sát chuyển động của một vật bị ném ngang từ một điểm O ở độ cao h
so với mặt đất. Sau khi được truyền một vận tốc đầu vo , vật chỉ còn chịu tác dụng
của trọng lực (bỏ qua sức cản của không khí).
1. Chọn hệ tọa độ
Ta chọn hệ tọa độ Đề-các có gốc tại O, trục hoành
Ox hướng theo vectơ vận tốc vo , trục tung Oy hướng
theo vectơ trọng lực P

[SGK Vật lý 10, tr.85]


luận chúng tôi phân tích một số giáo trình Toán và Vật lý ở bậc đại học đối với khái
niệm hệ trục tọa độ. Nhờ các tổ chức toán học, chúng tôi có thể phân tích được sách


4

Toán và Vật lý của Việt Nam đã cho học sinh tiếp cận như thế nào về khái niệm hệ
trục tọa độ. Chúng tôi sử dụng công cụ của lí thuyết tình huống (Đồ án didactic) để
tiến hành xây dựng một đồ án dạy học.
3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
-

Mục tiêu của luận văn là xây dựng một tiểu đồ án sư phạm nhằm giúp học sinh

thấy được sự cần thiết phải thay đổi phương và chiều của các trục tọa độ Ox, Oy trong
từng tình huống thích hợp để có thể vận dụng vào lĩnh vực ngoài toán học, cụ thể là ở
môn Vật lý.
-

Câu hỏi nghiên cứu
Đối với các câu hỏi nghiên cứu sau, chúng tôi sẽ xem xét trong hai thể chế dạy

học Toán và Vật lý:
CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, những hệ toạ độ nào được xây dựng?
Chúng có những đặc trưng gì? Vai trò và chức năng của chúng?
CH2: Hệ toạ độ nào được chọn đưa vào giảng dạy ở bậc trung học? Mối quan hệ
thể chế với khái niệm hệ tọa độ đã được xây dựng và tiến triển ra sao? Những tương
đồng và khác biệt nào có thể được ghi nhận? Có những tổ chức toán học nào gắn liền
với khái niệm này? Có những ràng buộc nào của thể chế đối với khái niệm này?
CH3: Sự ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đến mối quan hệ cá nhân của học

Chương này bao gồm hai thực nghiệm:
Thực nghiệm 1: tìm hiểu quan hệ cá nhân của HS với khái niệm hệ trục tọa độ
Oxy và kiểm chứng giả thuyết GT về sự tồn tại quy tắc hợp đồng R.
Thực nghiệm 2: Trên cơ sở kiểm chứng được giả thuyết trên, chúng tôi xây
dựng một tiến trình dạy học nhằm giúp học sinh thấy được sự cần thiết phải thay đổi
phương và chiều của trục tọa độ Ox, Oy trong từng tình huống thích hợp để có thể vận
dụng vào lĩnh vực ngoài toán học, cụ thể là ở môn Vật lý.
KẾT LUẬN
Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1, 2, 3
của luận văn.


6

e

Chương 1.
HỆ TỌA ĐỘ TRONG GIÁO TRÌNH TOÁN VÀ VẬT LÝ ĐẠI HỌC
Trong chương này chúng tôi làm rõ các đặc trưng của khái niệm hệ tọa độ ở cấp
độ tri thức bác học. Cụ thể hơn, thông qua phân tích một số giáo trình Toán và Vật lý ở
bậc đại học chúng tôi làm rõ tiến trình, cách thức đưa vào, định nghĩa và vai trò của nó,
cũng như sự nối khớp (nếu có) của tri thức này trong hai lĩnh vực Toán và Vật lý.
1.1. Các hệ tọa độ trong giáo trình Toán ở bậc đại học
Trong phần này, chúng tôi tham khảo tài liệu Giáo trình Toán học cao cấp của tác
giả Nguyễn Đình Trí. Chúng tôi chọn tài liệu này để phân tích là vì giáo trình trên
dành cho sinh viên các trường đại học kĩ thuật và cũng là giáo trình toán học thuần túy.
Hơn nữa giáo trình bao gồm cả ba tập: Đại số và Hình học giải tích, Phép tính giải tích
một biến số, Phép tính giải tích nhiều biến số. Như vậy, sử dụng giáo trình này để phân
tích có thể nói là khá đầy đủ cho các lĩnh vực thuộc chuyên ngành Toán học.
1.1.1. Hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy và hệ tọa độ Descartes vuông góc

(hình 2.1). Trục Ox được gọi là trục hoành, Oy là trục tung. Mỗi điểm nằm trên
trục hoành bên phải gốc O ứng với một số thực dương, mỗi điểm nằm trên trục
hoành bên trái gốc O ứng với một số thực âm. Trên trục tung Oy, mỗi điểm nằm
trên gốc O ứng với một số thực dương, mỗi điểm nằm dưới gốc O ứng với một số
thực âm; gốc O ứng với số không trên mỗi trục.
Xét một cặp số thực có thứ tự (a, b)  R  R , quy ước phần tử đầu tiên trong cặp đó
(a) là phần tử của trục hoành, và phần tử thứ hai (b) là phần tử của trục tung,
như vậy có nghĩa là:
1. Tọa độ đầu tiên của cặp số thực có thứ tự (x,y) (tức là tọa độ x) là khoảng cách
có dấu từ một điểm đến trục tung, khoảng cách có dấu đó lấy dấu dương nếu điểm
ở bên phải trục tung và lấy dấu âm nếu điểm đó ở bên trái trục tung.
2. Tọa độ thứ hai của cặp số thực có thứ tự (x;y) (tức là tọa độ y) là khoảng cách
có dấu từ một điểm đến trục hoành, khoảng cách đó lấy dấu dương nếu điểm ở
trên trục hoành, dấu âm nếu điểm ở dưới trục hoành.
Như vậy, một điểm M bất kì trong mặt phẳng được ứng với một cặp số thực có thứ
tự (x; y); ngược lại, mỗi cặp số có thứ tự ( x, y)  R  R được ứng với một điểm M
của mặt phẳng với một cặp số thực có thứ tự (x; y), x được gọi là hoành độ của


8

điểm M và y là tung độ của điểm M. Kí hiệu M(x; y) được đọc là điểm M có
hoành độ là x và tung độ là y.
Mặt phẳng xác định bởi trục hoành Ox và trục tung Oy được gọi là mặt phẳng
tọa độ, hệ tọa độ xây dựng theo kiểu trên gọi là hệ tọa độ vuông góc Đềcác, chính
hệ tọa độ vuông góc Đềcác này đã xác định song ánh giữa cặp số có thứ tự
( x, y)  R  R và một điểm của mặt phẳng tọa độ.

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.45]
Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy được định nghĩa dựa trên lý thuyết tập hợp.

Khi ta quay hệ cũ Oxy một góc  xung
quanh gốc O ta được một hệ mới Ox’y’.
Phép quay trục được xác định hoàn toàn bởi
góc  (hình 26).
Xét một điểm M trong mặt phẳng. Nó có tọa
độ (x, y) đối với hệ cũ và tọa độ (x’, y’) đối
với hệ mới. Ta có OM  OP  PM . Chiếu
đẳng thức hình học này lên hai trục Ox và Oy ta được liên hệ giữa (x, y) và
(x’, y’):

 x  x cos   y sin 

đây là công thức quay trục (từ Oxy sang Ox’y’).
 y  x sin   y  cos 
[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.172-173]
Hệ trục tọa độ Oxy có thể có những cách biểu diễn khác chẳng hạn như tịnh tiến
hệ tọa độ cũ hoặc quay hệ tọa độ cũ một góc 𝛼 xung quanh gốc tọa độ O. Nhờ vào việc
đổi trục từ hệ tọa độ cũ sang hệ tọa độ mới mà phương trình bậc hai tổng quát đối với
x, y trở nên đơn giản.
 Kiểu nhiệm vụ T5: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y  f ( x)
Kỹ thuật  5 :+ Tìm miền xác định của hàm số f.
+ Xác định chiều biến thiên
+ Tìm cực trị (nếu có).
+ Tính lồi, lõm, điểm uốn (nếu có).
+ Tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên
+ Vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ Oxy.


10


3
2

+ Cực trị: Đạo hàm f  đổi dấu từ - sang + khi vượt qua x 

3
3
do đó x  là
2
2

3 3 3
điểm cực tiểu, f   
; lưu ý x  0 không phải là điểm cực trị.
2
2
+ […] f(x) là hàm số lồi.
+ x  1 là điểm hàm số không xác định, do đó đồ thị có một tiệm cận đứng có
phương trình x  1 .[…] Vậy f ( x) có hai tiệm cận xiên: y  x 

y  x 

1
khi x  
2

[…]+ Từ những kết quả trên có bảng biến thiên sau:

1

là góc giữa trục Ox và OM  , M  là hình chiếu của
M lên mặt phẳng Oxy, là góc giữa trục Oz và

OM (hình 3.31). Với mọi điểm M ( x, y, z) , ta có 0  r  ,0     ,0    2
Giữa các tọa độ đề các và tọa độ cầu của điểm M, có mối liên hệ

x  r sin  cos , y  r sin  sin , z  r cos .
Nếu r  0,0     ,0    2 , thì các công thức trên xác định một song ánh
giữa các tọa độ đềcác và tọa độ cầu. Riêng điểm góc tọa độ có r  0, và  tùy ý,
còn những điểm trên Oz có r xác định,   0 hoặc    , tùy ý.

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.125]
Hệ tọa độ cầu trong không gian Oxyz được định nghĩa dựa trên hệ tọa độ
Descartes vuông góc Oxyz . Thông qua mối liên hệ giữa các tọa độ Descartes và tọa độ
cầu của điểm M cho phép chuyển một biểu thức của hàm số trong hệ tọa độ Descartes
vuông góc Oxyz sang tọa độ cầu từ đó tính tích phân ba lớp của một số hàm số đơn
giản hơn.
 Các kiểu nhiệm vụ gắn liền với hệ tọa độ cầu
 Kiểu nhiệm vụ T6 : Tính tích phân bội ba của hàm số f ( x, y, z ) được giới hạn bởi
miền V trong hệ tọa độ cầu.
Kỹ thuật  6 :+ Chuyển biểu thức dưới dấu tích phân f ( x, y, z ) sang tọa độ cầu.
+ Xác định miền lấy tích phân V'.
+ Tính tích phân bội ba

 f (r sin  cos  , r sin  , r cos )r
V'

2

sin  drd d


3
0 d 0 sin  d 1 rdr  2 .2. 2  6

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.126]
1.1.3. Hệ toạ độ trụ
Theo Nguyễn Đình Trí (2006) hệ toạ độ trụ được mô tả trong giáo trình Toán học
cao cấp (Tập 3: Phép tính giải tích nhiều biến số) như sau:
Tọa độ trụ của một điểm M ( x, y, z ) trong không gian

Oxyz là bộ ba số (r ,  , z), trong đó (r ,  ) là tọa độ
cực của điểm M ( x, y) , hình chiếu của M lên mặt
phẳng Oxy (hình 3.28). Với mọi điểm của không gian,
ta có r  0, o    2 ,   z  
Giữa các tọa độ đề các ( x, y, z ) và tọa độ trụ (r ,  , z ) của điểm M có mối liên hệ:

x  r cos  , y  r sin , z  z . Nếu r  0,0    2 ,   z   thì các công
thức trên xác định một song ánh giữa các tọa độ đề các và tọa độ trụ. Riêng các
điểm trên trục Oz có z xác định. r  0 và  tùy ý.

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.122-123]


14

Hệ tọa độ trụ được xây dựng dựa trên hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz , sự
xuất hiện của hệ tọa độ trụ làm cho phương trình của một số hình trong không gian
đơn giản từ đó việc áp dụng vào tính tính phân bội ba được thực hiện dễ dàng hơn.
 Các kiểu nhiệm vụ gắn liền với hệ tọa độ trụ
 Kiểu nhiệm vụ T7 : Tính tích phân bội ba của hàm số f ( x, y, z ) được giới hạn bởi

2

2

V'

D

0

giới hạn bởi đường x2  y 2  2 y , hay r  2sin 


a2
I   d
2 0




2sin 


0



2sin 

a2 1

 (1  u )du 
1

16a 2
9


15

1.1.4. Hệ toạ độ cực
Hệ toạ độ cực được định nghĩa trong giáo trình Toán học cao cấp (Tập 2: Phép
tính giải tích một biến số) của tác giả Nguyễn Đình Trí như sau:
Trong mặt phẳng chọn một điểm O cố định, gọi là cực và một vectơ đơn vị ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃, tia
mang vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃 gọi là trục cực; hệ toạ độ xác định bởi cực và trục cực được gọi
là hệ toạ độ cực (hình 5.12a)
Vị trí của mỗi điểm M trong mặt phẳng được xác
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , nghĩa là xác định bởi góc
định bởi vectơ 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) và 𝑟 = |𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ; 𝜑 được gọi là góc
𝜑 ≔ (𝑂𝑃
cực và r được gọi là bán kính cực. Góc 𝜑 là một
góc định hướng, lấy giá trị dương nếu chiều quay
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃đến trùng với ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 ngược chiều kim đồng hồ và
lấy giá trị âm nếu ngược lại. Nếu 0    2 và r  0 ; cặp số có thứ tự (r ,  )

. Trong công thức này có hai góc  tương
x

ứng (vì 0    2 ) ta sẽ lấy góc  sao cho sin  cùng dấu với y vì y  r sin  .

[Nguyễn Đình Trí (2006), tr.183-184]
Nhờ mối liên hệ này mà việc tính tích phân kép của một số hàm số hai biến trở
nên đơn giản, qua đó có thể tính diện tích của hình phẳng, thể tích của vật thể dễ dàng.
Khi biết tọa độ của một điểm trong hệ tọa độ Descartes vuông góc có thể tính được tọa
độ của điểm ấy trong hệ tọa độ cực.


Các kiểu nhiệm vụ gắn liền với hệ tọa độ cực



Kiểu nhiệm vụ T8 : Tìm tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ cực khi biết tọa độ
của điểm M trong hệ tọa độ Descartes vuông góc.
Kỹ thuật  8 : + Áp dụng định lý Py-ta-go tính r .
+ Tính tan  suy ra góc  sao cho sin  cùng dấu với y
+ Kết luận toạ độ cực của điểm M.
Công nghệ 8 : Hệ toạ độ cực; Cung góc lượng giác.
Ví dụ: Biểu thức qua hệ tọa độ cực của điểm M ( 3,1) . Ta có
r  3  1  2, tan   

11
5
1
5
và  