1

MỤC LỤC

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1 Biến ngẫu nhiên G−đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Tính độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3 Định nghĩa kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gian
rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4 Một số tính chất cơ bản của kỳ vọng có điều kiện . . . . . .

8

1.5 Một số tính chất cơ bản của martingale với thời gian rời rạc .


âm nhạc tới vật lý, từ văn học tới thống kê xã hội, từ cơ học tới thị trường
chứng khoán ...
Đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất chính là các định lý về
kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gian rời rạc. Vì những lý do trên,
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Nguyễn Văn Quảng, chúng tôi đã chọn đề
tài "Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện và martingale
với thời gian rời rạc" nhằm nghiên cứu sâu hơn về lĩnh vực này.
Nội dung của khóa luận được chia làm hai chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này tác giả trình bày về biến ngẫu nhiên G - đo được, tính
độc lập, định nghĩa kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gian rời rạc
cùng một số tính chất cơ bản cần thiết cho chương sau.
Chương 2. Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gian rời rạc.
Đây là phần chính của khóa luận. Trong chương này, tác giả trình bày
một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện đối với σ - đại số G và một số
tính chất của martingale với thời gian rời rạc.
Khoá luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình, chu đáo của thầy giáo, PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin
được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự tận tình hướng dẫn trong


3

suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm
ơn đến Thầy giáo, TS. Lê Văn Thành, Học viên Vũ Thị Ngọc Ánh đã đóng
góp nhiều ý kiến quý báu, giúp tác giả hoàn thành khoá luận tốt hơn. Đồng
thời tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ xác suất thống
kê và toán ứng dụng, các thầy cô giáo trong Khoa Toán đã nhiệt tình giảng
dạy trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình,
người thân và bạn bè đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn

các điều kiện sau đây thoả mãn
(i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ G với mọi a ∈ R.
(ii) (X ≤ a) := (ω : X(ω) ≤ a) ∈ G với mọi a ∈ R.
(iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ G với mọi a ∈ R.
(iv) (X ≥ a) := (ω : X(ω) ≥ a) ∈ G với mọi a ∈ R.
1.1.4 Định lý. Giả sử X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên G - đo được
cùng xác định trên (Ω, F, P), f : Rn −→ R là hàm đo được (tức f là


5

B(Rn )/B(R) đo được). Khi đó
Y = f (X1 , ..., Xn ) : Ω −→ R
ω → f (X1 (ω), ..., Xn (ω))

là biến ngẫu nhiên G - đo được.
1.1.5 Hệ quả. Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên G - đo được cùng
xác định trên (Ω, F, P ), f : R −→ R là hàm liên tục a, b ∈ R. Khi đó
X
aX +bY, XY, |X|, f (X), X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0),
, (Y = 0)
Y
đều là các biến ngẫu nhiên G - đo được.
1.1.6 Định lý. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên G - đo
được cùng xác định trên (Ω, F, P). Khi đó, nếu inf Xn , sup Xn hữu hạn,
n

n

thì inf Xn , sup Xn , limXn , limXn , lim Xn (nếu tồn tại), đều là biến ngẫu

nếu hai biến cố bất kỳ của họ đều độc lập.
Họ các biến cố (Ai )i∈I được gọi là độc lập toàn cục (gọi vắn tắt là độc
lập), nếu đối với mọi họ hữu hạn các biến cố Ai1 , Ai2 , . . . , Ain của họ đó, ta
đều có
P(Ai1 Ai2 . . . Ain ) = P(Ai1 )P(Ai2 )...P(Ain ).

1.2.5 Định nghĩa. Họ các lớp biến cố (Ci )i∈I (Ci ⊂ F ) được gọi là độc
lập (độc lập đôi một) nếu với mọi Ai ∈ Ci , họ các biến cố (Ai )i∈I độc lập
(độc lập đôi một).
Họ các biến ngẫu nhiên (Xi )i∈I được gọi là độc lập (độc lập đôi một)
nếu họ σ -đại số (σ(Xi ))i∈I độc lập (độc lập đôi một).
1.3

Định nghĩa kỳ vọng có điều kiện và martingale với thời gian
rời rạc

1.3.1 Định nghĩa. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, X : Ω → R
là biến ngẫu nhiên và G là σ -đại số con của F . Khi đó biến ngẫu nhiên Y
gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với σ -đại số G nếu
i) Y là biến ngẫu nhiên G - đo được;
ii) Với mỗi A ∈ G , ta có
Y dP =
A

XdP.
A

Ta thường ký hiệu Y = E(X|G) hay Y = EG X .
Chú ý.


E(Xn |Fm ) ≤ Xm h.c.c.
• martingale dưới nếu

(i) Xn đo được đối với Fn , n ∈ N.


8

(ii) E|Xn | < ∞, ∀n ∈ N.
(iii”) Với m ≤ n, m, n ∈ N
E(Xn |Fm ) ≥ Xm h.c.c.
• hiệu martingale nếu

(i) (Xn , Fn , n ∈ N) là dãy phù hợp.
(ii) E|Xn | < ∞, ∀n ∈ N.
(iii” ’) Với m < n, m, n ∈ N
E(Xn |Fm ) = 0 h.c.c.

Chú ý.
• Các điều kiện (iii), (iii’), (iii”) và (iii” ’) có thể được thay thế bởi các điều

kiện sau
(iii) Với n = 1, 2, ...
E(Xn |Fn−1 ) = Xn−1 h.c.c.

(iii’) Với n = 1, 2, ...
E(Xn |Fn−1 ) ≤ Xn−1 h.c.c.

(iii” ’) Với n = 1, 2, ...
E(Xn |Fn−1 ) = 0 h.c.c.


(h.c.c).

Chứng minh. Đặt
Z = E(X | G),
T = E(Y | G).

Khi đó Z ∈ G, T ∈ G và với mọi A ∈ G ta có
XdP ≥

ZdP =
A

A

Y dP =
A

T dP.
A

Từ đó, ta suy ra
ZdP ≥
A

T dP.
A

Do đó
E(X | G) ≥ E(Y | G) (h.c.c).


=

Y dP
A

(aX + bY )dP.
A

Từ các lập luận trên suy ra
E(aX + bY | G) = aE(X | G) + bE(Y | G).

1.4.4 Định lý. Nếu X và G độc lập thì E(X | G) = EX .
Chứng minh. Đặt Y = EX . Khi đó Y ∈ G vì với mọi B ∈ B(R), ta có
Y −1 (B) =

∅,
Ω,

nếu EX ∈
/B
nếu EX ∈ B.

Mặt khác, với mọi A ∈ G , ta có X và IA độc lập, do đó
Y dP =
A

EXdP = EX
A



1.4.6 Định lý. Nếu X là G - đo được thì E(X | G) = X h.c.c.
Chứng minh. Theo giả thiết ta có Y = X ∈ G . Mặt khác, với mọi A ∈ G ta
có
Y dP =

XdP.
A

A

Do đó E(X | G) = X .
1.4.7 Định lý (Tính chất hút). Nếu G1 ⊂ G2 thì
E(X | G1 ) = E[E(X | G1 ) | G2 ] = E[E(X | G2 ) | G1 ].

Chứng minh. Đặt
E(X | G1 ) = Y,

E(X | G2 ) = Z.

Khi đó, E(Y | G2 ) = Y và Y = E(Z | G1 ). Thật vậy, ta có Y = E(X | G1 ),
suy ra Y ∈ G1 . Do đó G1 ⊂ G2 . Do đó, theo Định lý 1.4.6, Y = E(Y | G2 ).
Mặt khác, với mọi A ∈ G1 thì A ∈ G2 , nên ta có
Y dP =
A

XdP =
A

ZdP,

1.5.2 Định lý. (i) Nếu (Xn , Fn , n ∈ N) là martingale và ϕ là hàm lồi
với E | ϕ(Xn ) |< ∞, (∀n ∈ N), thi (ϕ(Xn ), Fn , n ∈ N) là martingale dưới.
(ii) Nếu (Xn , Fn , n ∈ N) là martingale dưới và ϕ là hàm lồi không giảm
với E | ϕ(Xn ) |< ∞, (∀n ∈ N), thi (ϕ(Xn ), Fn , n ∈ N) là martingale dưới.
Chứng minh. (i) Để chứng minh (ϕ(Xn ), Fn , n ∈ N) là martingale dưới ta
kiểm tra các điều kiện
• ϕ(Xn ) ∈ Fn , (∀n ∈ N) (vì Xn ∈ Fn ∀n ∈ N).
• E | ϕ(Xn ) |< ∞, (∀n ∈ N) (do giả thiết).
• n = 1, 2, ... ta cần chứng minh
E[ϕ(Xn ) | Fn−1 ] ≥ ϕ(Xn−1 )(h.c.c).

Thật vậy, theo bất đẳng thức Jensen đối với kỳ vọng có điều kiện ta có
E[ϕ(Xn ) | Fn−1 ] ≥ ϕ[E(Xn | Fn−1 )]

(1.1)

Theo giả thiết thì (Xn , Fn , n ∈ N) là martingale nên với n = 1, 2, ...
E(Xn | Fn−1 ) = Xn−1 (h.c.c).

Điều này kéo theo
ϕ[E(Xn | Fn−1 )] = ϕ(Xn−1 )(h.c.c).

(1.2)


13

Từ (1.1) và (1.2) suy ra
E[ϕ(Xn ) | Fn−1 ] ≥ ϕ(Xn−1 )(h.c.c).


E|Xn |p không giảm theo n ∈ N.

(ii) Nếu (Xn , Fn , n ∈ N) là martingale dưới thì (Xn+ , Fn , n ∈ N) cũng là
martingale dưới.


14

Chứng minh. (i) Với p ≥ 1, thì |x|p là hàm lồi, nên theo tính chất trên
(|Xn |p , Fn , n ∈ N) là martingale dưới, do đó hàm E|Xn |p không giảm theo
n ∈ N.

(ii) Tương tự x+ là hàm lồi không giảm nên ta có điều phải chứng minh.


15

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ
MARTINGALE VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC

2.1

Kỳ vọng có điều kiện

¯ Ω, ∅}, 0 < P(A) = p < 1 và
2.1.1 Mệnh đề. Giả sử G = {A, A,
XdP = a1 ,
A

ta có b1 P (A) = a1 do đó
b1 =

a1
a1
= .
P(A)
p

(2.2)

Tương tự ta lại có
E(Y IA¯) =

A¯

Y dP =

A¯

XdP = a2 .

¯ . Kết hợp với trên
Hơn nữa Y IA¯ = b2 IA¯ suy ra E(Y IA¯) = E(b2 IA¯) = b2 P (A)
¯ = a2 , do đó
ta có b2 P (A)
b2 =

a2
a2

1 − (1 − p)2 (X+Y ≥1)

Do đó E(X | G) và E(Y | G) không độc lập.
Chứng minh. Đặt
A = {X + Y = 0}.

Khi đó
¯ Ω, ∅}.
G = σ(Z) = {A, A,

Ta có
XdP =
A
A¯

0dP = 0
A

XdP −

XdP =
Ω

XdP = EX = p
A

P (A) = P (X + Y = 0) = P (X = 0, Y = 0)
= P (X = 0)P (Y = 0)

(Do X và Y độc lập)


Chứng minh. Ta có X ∈ σ(X), mà ϕ(X) là hàm đo được, do đó ϕ(X) ∈
σ(X). Theo Định lý 1.4.6 suy ra
E[ϕ(X) | X] = ϕ(X).

Đó là điều phải chứng minh.
2.1.4 Mệnh đề. Nếu tất cả các biến cố của σ - đại số G đều có xác suất
bằng 0 hoặc bằng 1, thì với xác suất 1 ta có E(X | G) = EX , với mọi
biến ngẫu nhiên X .
Chứng minh. Lấy A ∈ G ta có P (A) = 0 hoặc P (A) = 1, suy ra A độc lập
với mọi biến cố B . Do đó với mọi A ∈ G , mọi B ∈ σ(X) thì ta có A, B độc
lập, nên G độc lập với X . Theo Định lý 1.4.4 suy ra
E(X | G) = EX

(h.c.c).

2.1.5 Hệ quả. Giả sử G1 và G2 là hai σ - đại số độc lập và X là biến
ngẫu nhiên bất kỳ có kỳ vọng. Khi đó, với xác suất 1, ta có
E(X | G1 ∩ G2 ) = EX

(h.c.c).

Chứng minh. Lấy A ∈ G1 ∩ G2 . Khi đó A ∈ G1 và A ∈ G2 . Mà G1 và G2 độc
lập nên A độc lập với A. Suy ra
P (A) = P (A)P (A),

Do đó
P (A) = 0
P (A) = 1 .


E(...E(X | G1 ) | G2 ... | Gn ) = E(X | G1 ).

2.1.8 Mệnh đề. Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên khả tích sao cho
E(X | Y ) = Y ; E(Y | X) = X,

thì

X=Y

h.c.c.

Chứng minh. Ta có
X, Y ∈ σ(X, Y ) = σ(σ(X) ∪ σ(Y )).


19

Với mọi A ∈ σ(X) ta có
XdP (Do E(Y | X) = X).

Y dP =
A

A

Với mọi A ∈ σ(Y ) ta có
Y dP (Do E(X | Y ) = Y ).

XdP =
A

a
E|X|
=
.
a

P{| E(X | B) |≥ a} ≤

Đó là điều phải chứng minh.
2.1.10 Mệnh đề. Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên bình phương khả
tích, cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P) và G là σ - đại số
con nào đó của F . Ta định nghĩa
D(X | G) := E[(X − E(X | G))2 | G]
Cov[(X, Y ) | G] := E[(X − E(X | G))(Y − E(Y | G)) | G]
D(X | G) được gọi là phương sai (hay variance) có điều kiện của X đối

với σ - đại số G và cũng được ký hiệu V ar(X | G). Cov[(X, Y ) | G] được


20

gọi là covariance có điêu kiện của X, Y đối với σ - đại số G . Khi đó
a)DX = ED(X | G) + DE(X | G)
b)Cov(X, Y ) = ECov[(X, Y ) | G] + Cov[E(X | G), E(Y | G)].

Chứng minh. a) Ta có
ED(X | G) + DE(X | G)
= E{E[(X − E(X | G))2 | G]} + E{[E(X | G)]2 } − {E[E(X | G)]}2
= E[(XX 2 − 2XE(X | G) + E(X | G)) | G] + E[E(X | G)]2 − (EX)2
= EX 2 + 2E{E(X | G)[E(X | G) − X]} − (EX)2

= E{[E(Y | G) − EY ][E(X | G) − E(X | G)]} = 0.

Tương tự ta cũng chứng minh được
E[E(X | G) − Y ][E(X | G) − EX] = 0.

Từ đó suy ra
Cov(X, Y ) = Ecov[(X, Y ) | G] + Cov[E(X | G), E(Y | G)].

2.2

Martingale với thời gian rời rạc

2.2.1 Mệnh đề. Giả sử (Xn , n ∈ N) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập,
với EXn = 0, n ∈ N . Đặt
Sn = X0 + X1 + X2 + ... + Xn ,

Fn = σ(X0 , . . . , Xn ), n ∈ N.

Khi đó (Sn , Fn , n ∈ N) là martingale.
Chứng minh. Ta có Sn ∈ Fn , E | Sn |< ∞, ∀n ∈ N.
Mặt khác
E(Sn | Fn−1 ) = E(Sn−1 + Xn | Fn−1 )
= E(Sn−1 | Fn−1 ) + EXn

(Do Xn độc lập với Fn−1 )
= Sn−1 .

Do đó (Sn , Fn , n ∈ N) là martingale.



Fn = σ(ξ0 , . . . , ξn ), n ∈ N.

k=0

Khi đó dãy (Xn , Fn , n ∈ N) lập thành martingale dưới.
Chứng minh. Ta có Xn ∈ Fn , E | Xn |< ∞, ∀n ∈ N.
Mặt khác

n

Xn =

ξk = Xn−1 + ξn .
k=0

Do đó

E(Xn | Fn−1 ) = E[(Xn−1 + ξn ) | Fn−1 ]
= E(Xn−1 | Fn−1 ) + E(ξn | Fn−1 )
= Xn−1 + E(ξn | Fn−1 )
≥ Xn−1 (Do ξn không âm).

Do đó (Xn , Fn , n ∈ N) lập thành martingale dưới.


23

2.2.4 Mệnh đề. Giả sử (Xn , Fn , n ∈ N) là martingale dưới và dãy
(EXn , n ∈ N) không đổi. Khi đó (Xn , Fn , n ∈ N) là martingale.


1
(Xk − Xk−1 ).
k

Khi đó (Yn , Fn , n ≥ 1) là martingale.


24

Chứng minh. Ta có Yn ∈ Fn , E | Yn |< ∞, ∀n ∈ N.
Với n ≥ 2, ta có
1
E(Yn | Fn−1 ) = E(Yn−1 + (Xn − Xn−1 ) | Fn−1 )
n
1
= Yn−1 + (E(Xn | Fn−1 ) − Xn−1 )
n
1
= Yn−1 + (Xn−1 − Xn−1 )
n
(Do (Xn , Fn , n ∈ N) là martingale)
= Yn−1 .

Do đó (Yn , Fn , n ∈ N) là martingale.
2.2.7 Mệnh đề. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, (Xn , Fn , n ∈ N)
và (Yn , Fn , n ∈ N) là hai martigale cùng xác định trên (Ω, F, P) và bình
phương khả tích. Khi đó
a) E(Xm Yn |Fm ) = Xm Ym h.c.c với mọi m
b) E(Xn Yn ) − E(X0 Y0 ) =


n

E((Xk − Xk−1 )(Yk − Yk−1 )) =
k=1

[E(Xk Yk ) − E(Xk−1 Yk−1 )]
k=1

= E(Xn Yn ) − E(X0 Y0 ).

Đó là điều phải chứng minh.