BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM
--------------------

NGUYỄN MAI VĨNH NGHI

CHỈNH HOÁ NGHIỆM MỘT BÀI TOÁN
NGƯỢC TRONG PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành:
TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60 46 01
Người hướng dẫn: TS. NGUYỄN CÔNG TÂM
Khoa toán-tin học
Đai Học Khoa Học Tự Nhiên
Đại Học Quốc Gia TP. HCM

Thành phố Hồ Chí Minh 2007


Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn tôi, Tiến sĩ Nguyễn
Công Tâm, người đã bỏ nhiều công sức để hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Thành Long, thầy đã thường xuyên đôn đốc
và chỉ dẫn tôi trong quá trình làm luận văn. Đăc biệt, trong các buổi seminar.
Tôi xin chân thành cảm ơn bạn Dương Quang Hoà, lớp Cao Học Hình Học Khoá 15Trường ĐHSP TP HCM đã giúp tôi kiểm tra một số chi tiết trong quá trình làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn anh Lê Hữu Thức, lớp Cao Học Giái Tích Khoá 15-Trường

trong đó A là một toán tử giữa hai không gian Hilbert,
A : H  H1
với
H  L2    ,    0,   ,
H1  L2  0,1 .

Các đóng góp của luận văn là:
Đã chuyển được bài toán khảo sát về phương trình tích phân Fredholm loại một.
Chứng minh được rằng A : H  H1 là toán tử tuyến tính liên tục.

Chứng minh được rằng vế phải F của phương trình Aw  F thuộc L2  0,1 . Ở đây, F
được xác định từ dữ kiện cuối và các dữ kiện biên của phương trình nhiệt.
Chúng tôi cũng đưa ra được đánh giá cho chuẩn của toán tử A , đối với chuẩn A H  H .
1

Bài toán nhiệt sau đây được chúng tôi khảo sát:
Tìm hàm w  x  thoả


ut  u xx  f  x, t  , x  0, 0  t  1 ,

u  x,0   w  x  ,

(0.1)

x  0,

(0.2)

0  t  1,

 e 4t  d
u  x, t  
w   e

2 t 


 x  2
 x   2 

t


f  ,   4 t  
4 t 
e
 
 e    d  d


0  2  t   


t
x2
1 h  t     4

e d .

2

 

f   , 



2

4 t  

e
d d


t
0 0
hay viết dưới dạng phương trình toán tử như sau
(0.6)
 Aw  t   F  t  .
Như chúng ta đã biết, bài toán tìm nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại một là
một bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard. Bài toán gọi là chỉnh theo nghĩa Hadamard
nếu thỏa ba điều kiện,
 i  Bài toán có nghiệm,

 ii  Nghiệm nếu có là duy nhất,
 iii  Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện, ở đây dữ kiện là F  t 

ở vế phải của (0.6).



Aw  F .
Cụ thể, nếu sai số giữa dữ liệu đo đạc F và dữ liệu chính xác F là  , nghĩa là
F  F  
thì chúng tôi chỉ ra được sai số giữa nghiệm chỉnh hoá w và nghiệm chính xác w có bậc
hoặc

3



 , nghĩa là
w  w  M 3 

hay

w  w  M  ,
trong đó M là một hằng số chỉ phụ thuộc vào nghiệm chính xác w . Hơn nữa, chúng tôi cũng
cho một thuật toán để tính xấp xỉ. Chúng tôi chứng minh được rằng w chính là điểm bất động
duy nhất của một ánh xạ co. Do đó có thể xây dựng một thuật toán lặp để tính xấp xỉ w . Gọi
w

m

là bước lặp thứ m. Sai số giữa w

m

và nghiệm chính xác w được cho bởi

w   w  1  M  

2

1

w,    w  x    x  dx , w,   L2  0,1 ,
0

2

3) L



1


2




0,1
f
x
,
t
:
f
x
,


Chương 1: Biến đổi Laplace

Định nghĩa 1. Hàm biến thực f  t  xác định trên khoảng  ,   được gọi là hàm gốc nếu
thoả mãn các điều kiện sau
 i  Với mọi t  0, f  t   0 ,

 ii 

Với t  0 , hàm f  t  có nhiều nhất là hữu hạn các điểm gián đoạn loại một trên mỗi
khoảng hữu hạn của trục t ,
 iii  Khi t   , hàm f  t  tăng không nhanh hơn một hàm mũ, nghĩa là tồn tại các hằng số
dương M và a sao cho
f  t   Me at , t  0 .
Chận dưới lớn nhất của các trị số của a trong  iii  được gọi là chỉ số tăng của hàm f  t  .
Định nghĩa 2. Cho f  t  là một hàm gốc. Biến đổi Laplace của f  t  là một hàm biến phức
F  p  được xác định bởi tích phân



F  p    e  pt f  t  dt .

(1)

0

Ta viết
(Xem  2,10,11 ).

F  p   L  f  t   .

n



 t    p n  F  p 


(Xem  2,10,11 ).

 t  n   đều là những hàm gốc thì
n 1
f  0 f '0
f    0 
, Re p  a .


 ... 

n

p2

p

pn




Định nghĩa 3. Tích chập của hai hàm f1  t  và f 2  t  là hàm   t  được xác định bởi


Thật ra ta có kết qủa sau (Xem  2,10,11 ).
Định Lý 2 (Công thức biến đổi Laplace ngược). Cho hàm F  p  của biến phức p  x  iy
thỏa các điều kiện sau
 i  F  p  là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng Re p  a ,

 ii 

Tồn tại các hằng số dương M , R0 ,  sao cho
F  p 

M
p



,

p  R0

 p  Re p  a  .

Khi đó tồn tại hàm f  t  mà biến đổi Laplace của nó là F  p  và f  t  được xác định bởi


f  t   L1  F  p   

a  i

1

Chứng minh. Ta chia  R thành bốn phần,  R  C1  C2  C3  C4 như hình vẽ
y
C1
a+ib

C2

R



a

o

x

a-ib

C3
C4

Gọi I1 , I 2 , I 3 , I 4 lần lượt là các tích phân trên C1 , C2 , C3 , C4 . Ta lần lượt đánh giá các tích
phân này như sau


C1   p  Rei     
2




M tR cos 
M 2 Rt cos 
I1    e
Rd   1  e
d
R 
 R

 
Hơn nữa,    ,  , ta có
 2
e Rt cos   e Rt cos  e at (vì a  R cos )
Như vậy


I1 

Me at  
M 2 at


 
e
d

 1 
 1 
R 2
R 

)

ta nhận được
Me at  a aM  at
I1   1
e .

R
2 R 2 R

Vậy

lim I1  0 .

R 

Tích phân trên cung C2 được đánh giá tương tự. Thật vậy, ta có


I 2   F  Rei  etR cos  itR sin  iRei d .


2

Do đó


I 2   e Rt cos  F  Rei  Rd .





2

  ,

ta thu được




2 

Rt 1  
M
I 2   1  e    d
R 
2



Vậy

M 
M
1  e  Rt  
1  e  Rt  .

 1
 

1

(6)

Chứng minh. Đặt
a  i

 p
1
pt e
k t  
e
dp , a  0 ,
2 i a i
p

(7)

và chọn chu tuyến đóng     C1  C2  C3  C  C4  C5  C6 nằm trong miền đơn liên
D

\  ,0 như hình vẽ

y
C1

C2
C3

C

R

C4

C

Hàm
e 

F  p 

p

p

thoả điều kiện của Bổ đề 1. Thật vậy, đặt
F  p 

e

 Re

Re

i

i


2

 R cos


2



R

1
1

,  M  1,    .
2
R 

Vậy theo Bổ đề 1 ta thu được
 p
1
pt e
lim G  p  dp  lim
e
dp  0 .
R  
R  2 i 
p
R
R

(9)

2



i  ei dp .

e 2

Vậy
1
C G  p  dp  2



Từ đó suy ra

1
2



 t cos 
e










a  ib

 p
1
pt e
k  t   lim
e
dp
R  2 i 
p
a ib

 p
 p
1
1
pt e
pt e
e
dp  lim
e
dp .
 lim
R  2 i 
R  2 i 
p
p






i r
1  rt e  i r
1
 rt e
e
dr

e
dr
2 i 0
2 i 0
i r
i r


i
1
 rt e

e
2 0



1




2





 tx
 e cos  xdx .
2

0

Do hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên

2
1
k  t    e  tx cos  xdx







1


1

 
2 t  4t


dx





1


1



e



2
4t



Re  e

 



t

e

 2
4t

do


e

 x2

dx  x .



Bổ đề 2 được chứng minh.

,

2

dx


Chương 2: Phương trình nhiệt


Bài toán  A  .
ut  u xx  0 , x  0 , t  0 ,
u  x,0   w  x  , x  0 ,
Bài toán  B  .

(16)
(12)

u x  0, t   0 , t  0 ,

(17)

ut  u xx  f  x, t  , x  0 , t  0 ,

(11)

u  x,0   0 , x  0 ,

Bài toán  C  .

(15)

(18)

u x  0, t   0 , t  0 ,

(17)

ut  u xx  0 , x  0 , t  0 ,
u  x,0   0 , x  0

 x  2

(16)
(12)

w   d  .

4t

(19)

Bổ đề 4. Giả sử hàm
1

u  x, t  

e
t 



 x  2
4t

   d 

2
với  là hàm bị chận. Khi đó với mọi t  0 ta có
 i  Nếu  là hàm lẻ thì u  0, t   0 ,


1
 0, t   
x
4t  t
do hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ.

    e



2
4t

   d  0

Bổ đề 5. Nghiệm của bài toán  A  là
 x  
   x  

4t

 e 4t
w   e
u1  x, t  

2 t 


1


 x  2

   d  ,

4t

U  x, t   u  x, t  , x  0 ,

U  x,0   u  x,0   w  x  , x  0 ,

với u  x, t  được xác định bởi (19) trong Bổ đề 3,

U
 0, t   0 (do Bổ đề 4).
x
Như vậy U  x, t  thoả (16),(12),(17). Tiếp theo ta biến đổi U  x, t  như sau

 x  
 0   x  


t
4
 e
U  x, t  
   d   e 4t    d   .
2  t  

0
Đổi biến 1   trong tích phân thứ nhất,

 x   
   x  

1
4t
4t 


U  x, t  
w

e
e
d .
 

2 t 


Vậy (20) là nghiệm của bài toán  A  .
2

1

2

Để chỉ ra nghiệm của bài toán  B  ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 6. Nghiệm của bài toán Cauchy không thuần nhất
ut  u xx  f  x, t  ,   x   , t  0 ,
u  x,0   0 ,

(21)



Nhận xét. Theo nguyên lí Duhamel, nghiệm của bài toán (11), (18) được xây dựng từ nghiệm
của bài toán (16), (12).


Chứng minh. Bởi vì hàm G có kì dị tại  0,0  , ta không thể tính trực tiếp đạo hàm dưới dấu
tích phân. Ta phải làm như sau, trước tiên ta dùng phép đổi biến để viết
t

u  x, t     G  ,  f  x   , t    d d .

Giả sử f  C

2
1



0

  0,    có giá compact. Vì G  G  ,  là hàm trơn ở gần   t  0 , ta

tính
t

ut  x, t     G  ,  f t  x   , t    d d
0



ut  x, t   u xx  x, t     G  ,     x  f  x   , t    d d

 x

0
  G  , t  f  x   ,0  d 
t

 


   G   ,    
   f  x   , t    d d

 




 


   G  ,   
   f  x   , t    d  d

 

0

I     G  , 


t


f  x   , t    d d


   G  ,   f  x   , t    d  d



t

 


   
   G  ,   f  x   , t    d d


  

(24)

  G  ,   f  x   , t    d

  G  ,  f  x   ,0  d
  G  ,   f  x   , t    d  K ,



2

t



2

(25)

Chứng minh. Ta làm tương tự như phép chứng minh Bổ đề 5. Thật vậy, gọi   x, t  là thác

triển chẵn theo x của f  x, t  lên

, nghĩa là

 f  x, t  , x  0, t  0
 f   x, t  , x  0, t  0.

  x, t   
Đặt
t

V  x, t    
0

  , 
2  t  



 x  2
4 t  



 x  2
4 t  

2   t    

0

t



1



   ,  e

0 2  t   0

d d
d d .

Đổi biến 1   trong tích phân thứ nhất,




 f   ,  e



0 2  t   0
t



 x  2
4 t  

 x  2
4 t  



1

 x 1 2
4 t  

1



1

0  2  t  


2

t

2

Vậy nghiệm của bài toán  B  là
u 2  x, t  

1
2 


0

 x  
 x   

f  ,    4t  
4 t 
 e    d  d .
e

t  


2




d .

(26)

Chứng minh. Gọi U  x, p   L u  t     e  pt u  x, t  dt là biến đổi Laplace của u  x, t  và
H  p   L  h  t   .

0

Khi đó sử dụng Mệnh đề 2 (coi p là tham số) ta có
  2u

d 2U
 L  2  x, t  
2
dx
 x



 u

pU  x, p   pU  x, p   u  x,0   L   x, t   .
 t

Vì vậy bài toán  C  khi chuyển qua ảnh ta nhận được bài toán
pU 


.

U  x, p   H  p U1  x, p  , với U1  x, p  

e 

px

p

.

(29)

Theo Bổ đề 2,   x ta có

u1  x, t   L U1  x, p    
1

1

t

e



x2
4t

 x   
   x  

4t

 e 4t  d
u  x, t  
w   e
2  t 


 x  2
 x   2 
t

f  ,    4 t  
4 t 
 
 e    d  d
e


0  2  t   



1

2


Chương 3: Thiết lập phương trình tích phân

Giả thiết
 i  g  C 0,1 ,

 ii  h  C 0,1 ,
 iii  f  L2     0,1   L1 



  0,1  và tồn tại   0, c  0 sao cho

c
 f  x, t  dx  t  ,

 iv 

wL

2



L 
1






 
0

f  , 
t 



e



2

4 t  

d  d 

1

t

 

h t  



0


0

t



d 



t

2

.

(33)

(coi t là tham số). Thật vậy, theo giả thiết  iv  thì
1

t

w

L1 






f  ,    4 t  
4 t 
 e    d  d .
u 2  x, t    
e


0 0 2  t  


Gọi f  x,  , t ,  là hàm dưới dấu tích phân của u2  x, t  . Khi đó


f  , 

f  x,  , t ,  

(35)

 t  

do

2
x 

4 t  



d

t

d  d  

 t  

0

c

t

 



 2.

0

 f  ,  d
0

d
t 

 2t


  t 

Do đó tích phân thứ nhất trong đẳng thức cuối của (36) hội tụ.
Đối với tích phân thứ hai ta cũng làm tương tự. Thật vậy,


t
1 2
t 
1

   ,t              
2

2
t
2 






1
2
 
t   t 

1
.

(37)

Bây giờ xét tích phân thứ ba của (32). Ta cũng làm tương tự. Thật vậy, xét


u3  x, t   

1



t



h t   



0

e

x2
4t



d .



 



0

2c2 t





.

Do đó theo định lý hội tụ bị chận Lebesgue ta thu được
lim u3  x, t   

h t  

t

1

 

x 0





f   , 

 t   

e



2

4 t  

t

d d  

h t   

0



d .

Từ đây ta nhận được phương trình tích phân Fredholm loại một để tìm ẩn hàm w  x  :


h t   
1


0

t 

 

f   , 
t 

0 0

e

e





2

4 t  

d d .

(40)

d