80 GIAODUCvA BAo TAO
TRUONG BAI HQ'C TONG H<)P THANH P'HO HO CHi MINH
vO VAN THANH
VE MOT s6 BAt ToAN NGlJQC
TRONG PHUONG PHAp TRQNG Lt)'C
CHUYEN NGANH : E)!AVAT LY
MAs6: 1,02,24
TOM TAT LuAN AN PHO TIEN sf KHOA HQC
ToAN-LY
D!-J.XH.TU"NHIEN
. '"
~~ ~ '! <1'
,
,;>,
'
I
J
'
,
~
,-
N
tI " ' ~ S'. ~, ' f
t 1 ~,.' ~', !
l
THANH PHO HO CHi MINH - 1995
r-
Cong trlnh duQc haan thanh t~i
TRUONG BAI HQC TONG H<;jPTHANH PHO HO CHI MINH
Nguoi huang d§.n khoa h9C :
Giao Su Tie'n SI BANG BINH ANG

Tikhonov va phuang phap bai roan moment. Cong c'.1toan
h9C duge s1i d'.1ngla Iy thuye't giai tieh va giai tieh ham,
giai tich s6. Cae thu~t roan dua ra duqe I~p trlnh d~ eh~y
tren may tinh ea nhan.
3. Nhung dong gap moi eua lu;J.nan.
(i) Tim duqe nghi~m chlnh h6a cua mQt s6 bai toan
nguqe tuye'n tinh; uae luqng duqe SID s6 giiJa
nghi~m chlnh h6a va nghi~m chinh xac duai
anh hudng eua nhi~u do d~e;
-'
c
2
(ii) Bua ra phuang phap tinh cac s6 li~u do tr(;mg h,ic
trong nhUng vung khong co s61i~u do.
(iii) Bua ra mQt cacn. tie'p t\lc giai tlch trt1dng di
thudng tr~mg h,ic v~ phia di vl}t.
(iv) x8.c dinh hi~u 86 ml%t dQ di Vl}t va moi trudng
xung quanh tU 86 do di thudng tr<;mg h,ic va
gradient cua no iran mQtmi~n hUllh~n. .
Bong gap mai 180dua bai toan Cauchy vao mo
hinh xtYly s6 li~u tr<;mg h,ic.
4. Ynghiathl1c ti~n cua lu~n an.
Ke't qua nghien coo cua d~ tai 113.CC1sa khoa h<;>ctrong
giai toan dinh lugngs61i~u tr<;>ngIvc trong V~t ly dia Call
ling d\lng. B6ng thai d~ tai con dugc stYd\;mg trong nghien
coo khoa h<;>cva giao d\lc dilO ~o ng8onh Vl}t ly dia Call.
5. ca'u trUc lu~n an.
NQi dung lul}n an dugc trlnh bay trong6 chuang, ma
dan, ke't lul}n va thu m\lc tai li~u tham khao; g6m 99
trang danh may.

MO HINH TOAN HOC
ChUdng 1 :
ruNG QUANvE BAI ToAN NGUQC TRONG
TRQNG LVC
T.Blli toaD thu~n, hili toaD ngdqc.
Trong V4tly,khi me}tnh6m slf ki~n nha't dinh nao do
dugc hQi du thi sinh ra mQt nh6m slf ki~n nha't dinh khac.
Hai nh6m slf ki~n nay d\1gc baa la co lien h~ nhan - qua
d6i v6i nhau. Nh6m trtiac g<;>ila nhan, nh6m sau g<;>ila
qua. Thi d\l trong Tr<;>ngI1JC,ph an b6 IIU%tde}kh6i lugng
cua mQt vl%tla nhan con the' tr<;>ngllfC do vl%tnay sinh ra
la qua. Biii toan cho ml%t de} kh6i lugng (nhan), tim the"
tr<;>ng 11JC(qua) dugc g<;>iIii bai toan thul%n; con bai toan
bie"t the' tr<;>ngllfC tim phan b6 ml%tdQ kh6i lugng la bai
toan ngugc.
ll. Bi(;u di~n toaD h9C.
. Me}t qua trinh Vl%tly thucmg dugc bi~u di~n bang ma
hinh roan g6m : dliu vila, h~ th6ng, dliu ra (hlnh 1).
1
1
i
' ,
' I D'"" ,
! D>uv,o I Heth6ng . u i
1 F P
Q
Ua trlnh I
' ,' _u_
1
I

IV. Chinh hoa
Chinh hoam(>t -bai toan khong ehinh la tim nghi~m
xS:p xi 6n dinh eua bai toan, g9i la nghi~m ehinh boa.
Trong lul%nan nay me gill dunghai phl1cmg phap :
ph\1C1IlgphIlp Tikhonov va phl1cmgphap dung hai toan
maIDen hOOh~n -
1. Phudng phap chinhhoa Tikhonov
V6'i U vaF la cae khong gian ham, xet anh x~
A: U ~ F
UEU~fEF
Au= f
(1)
Gia stYphl1cmgtrlnh (1), v6i ~n u la bai toan khong
ehinh thee nghla di~uki~n 3 bi vi ph~m. -
B~ ehinh hoa Tikhonov, thay bai toan (1) b~ng bai
toan.
Bp u =f
(2)
Bp dl1geeh9n sac eho (2) la bai toan d~t dung thee nghla
Hadamard.
2. Phudng phap chinhhoa dung bai toaD momen
hiiu hIt-no
V6'i H va KIa cae khong gian ham va
A:H ~ K
veH ~<peK,
7
Av =q> (3)
Gia sa phti<1llgtrinh (3), vai ~n ham v, ne'u co nghi~m
thi se co vo s6 nghi~m. B!iy gid ta co bai toan khong
chinh theo Hadamard (di~u ki~n 2 bi vi ph~m).

nghi~m ho~c khong co nghi~m.
hi. Bai toan chuy~n tniong xu6ng duOi.
Trong bai roan nay nguai ta cho di thuang tr«;mgl,!c U;li
~t co dQ caoh, bell tren ~t d6t, tim di thuang trc;mg
l,!c U;li~t d6t.
Bai roan nay thuQc lo~i khong chinh thee nghla khong
co nghi~m ho~c ne'u co. nghi~m thi nghi~m la duy nh6t
nhu'ng khong tuy thuQc mQt cach lien t\lc vao cac dii'ki~n
. .
choo
c/. Bai toan ngol1-i 8UY86li~u do.
Trong bai roan nay nguai ta chi cho di thuang trgng l,!c Uo
va gradient ul cua no trong mQt wng hOOh~n tren ~t
d6t, tim v la gradient cua di thuang tren ~t d6t bell
ngoai mi~n do d~c.
Bay la bai. roan khong chinh thee nghla nghi~m khong
tuy thuQc mQt cach lien t\lc vao di~u ki~n chao
d!. Bai toan tim hinh d~ng D.
Trong bai toan nay nguai ta cho p tim hinh d~ng D tU
di thuang tr«;mgl,!c do tren m~t d6t. Bay la bID toan phi
tuyen. Bai roan nay dii du<JcRA. Smith (1960) chUng
minh co nghi~m duy nhB:t.
9
Chuang 2.
BAI TOAN CAUCHY CHO PHUdNG TRiNH
LAPLACE.
I. Gidi thi~u
Bai toan Cauchy cho phtic:mg trlnh Laplace dB. dtigc
Hadamard d:iu tien chi ra la bai toan khong chinh. Trong
khi do bai toan Dirichlet cho phtic:mgtrlnh Laplace la bai

(x,y) E D trong do D= { (x,y) 1- 00 < x < 00 , y > 0 }thoa
1
l
v2u =0 , tren D, .
u(x,O)= Uo(x) , - 1 < x < 1 ,
Uy(x,O)= Ul(x) , -1 < x < 1,
(1)
(2)
(3)
va lien t\lc tren
D ={ (x, y) 1- 00 < x < 00, y ~ 0 }
H-2. Thie't l.pphudng trinh tich phan va chinh
hoa
Ky hi~u :
1= (-1, 1) , J = R \ I
.Bai toan (1), (2), (3) Ia bai roan Cauchy tren nt1am~t
phAng tren D. La'y tri gia bien Neumann vex) =Uy (x,O),
x e J Ia !in ham. Khi do ne'u urn dugc vex), x E J thi se
xac dinh dugc u(x,y), (x,y) e D . Nhu v~y chung ta co bai
roan Cauchy ngugc. Chung t6i thie't I~p dugc phucmg trinh
tich phan tinh v. ([3])
J In I x - ~ Iv(~)d~=q>(x)
J
(4)
11
trong do
q>(x)= 1tUo(x) - J In Ix - ~~1(~d~
I
(4) La phtiang trlnh tich phan tfnh v.
Chinh hoa (4) bAng cae bai toan moment hoo h~n

~ . u(x, y,O)= uo(x, y) , (x,y) e K ,
l Uy(x,y,O)=Ul(~'Y) ,(x,y)eK,
(7)
(8)
(9)
va lien t1}ctren D ={ (x, y, z) 1- 00 < x, y < 00 , Z ~ 0 }
va K = {<x,y)lx2 +y2 < 1 }
m.2 Thie't L~p Phtidng Trinh Tich Phan va
Chinh Boa
Thie't l~p dugcphuang trlnh tich phan
II
v(~ 11)d1;d11
( )
.
2 2 1/2 - q> x, Y
R2\K [(x -~) + (y - 11)]
II
u1(~11)d~d11
cp(x, y)= 27tUo(x, y) - 1/2
K [(X - ~)2 + (Y- 11)2]
(10)
Chinh hoa bflng bai toan moment hUll h~n, thu dugc
ke't qua tl1ang t\f nhu 11.2trong chuang nay.
13
IV. Bai tmin Cauchy cho phudng trinh Laplace
trong mQt dai khong d~u.
IV.I. Bai toaD.
Bai toan dl1gcxet la :
TimmQt ham u(x,y) vai (x,y) E D trong do D la mQt
mi~n phling dl1gcd~nh nghia bd'i

' A -kit I
F
A
1
,
b
.A'
d
"'.
F
. ?
F
A
1
,
trong 0 a =e , a len 01 ouner cua , t-' a
h~ng s6.
(ii) Uae h1gng SIDs6: Vai nhi~u dit ki~n 8 > 0 thoa
IIF-Fo 11<8
thl sai s6 giila nghi~m chinh hoa Vg(13=8)va nghi~m chinh
xac cho bi!Ji
. live- Yo II::;K{ln(B)-l
khi 8~O .
trong do K la h~ng s6.
ChUc1ng 3 :
B.Al TOAN nffiICHLET NGU(jC CHO PHUdNG
TRiNH LAPLACE
I. GiOi thit?:u.
Bai toaD Dirichlet chophttang trlnh Laplace la bai toan
d~t dung cc:>di~n. Tuy nhien trong khoa h9c va ky thu~t

(14)
TIm ham
Chung toi thie't l~p dugc phuang t,rinh tich phan
L
f
ro kv(~)d~
f(
)
R
1[ 2 2 X , 'fix E
-'00 (x -~) + k
trong do f(x)la ham cho truac va v(~)la ham c~n tim.
Phuang trinh nay truac day da dugc nhi~u ngliCri giai
b~ng phuang phap xa'p xi.
(15)
Dung phuang phap chinh hoa Tikhonov chung toi thu
dugc ke't qua gi6ng IV.2 Chuang 2. ([4])
16
m Bai tmin Dirichlet ng\tqc cho ph1idng trinh
Laplace tren nua khong gian.
m.l Bai toaD
Bai tmin dtigc xet bay gid 1a cho.ham u(x,y,z) vai (x,y,x)
E D, trongdo
D = {(x,y,z) 1-00 < x < 00 ,~ 00 < y < 00, Z > 0 }
thoa
{
V2u(x,y,Z) = 0 (x,y,z)eD
u(x, y, k) = f(x, y) \::Ix,Y e R2,k > 0
(16)
Ta tim v(x,y) = u(x,y,O).

(ii) Lo~i bai toaD thli nhi lacho bie't ham phan b6
m~t dQ kh6i lugng cua di v~t, xac dinh hinh
d~ng W cac di thucmg tr<;mgItJcdo dugc tren m~t
da't.
Trong chuang nay chung t6i xet bai toan tim ham hi~ll
so' ~t dQ v cua di v~tD. W cac so' do di thucrng ilg va
gradient cua ilg trong mQt mi~n hUllh~n tren m~t da't.
H. BAI TOAN HAl CHrEU.
H.! Thie't L~p Bid Toan
Bai toaD dugc d~t du6'i d~ng h~ th6ng phuang trinh
tich phan
18
If
(y - l1)V(~ 11)d~d~ p(x, y)
, (x - ~2 + (Y- 11)
Q
II (x - t;)2 - (Y -11~22 V(~ l1)d~dll = q(X,y)
Q [(X - ~2 + (y - 11) ]
(1)
trong do Q lal di vl%t,v la ham hi~u 86 ml%tdQ.
H~ th6ng (1) co th~ vie't dliai d~ng
J J g(x, y; ~ 11)V(~11)d~dll
.~cp(x, y)
'.
.
Q'
(2)
11.2 Chinh Hoa
Chinh hoa (2) b~ng cae bai toan moment hoo h~n duqc
ke't qua tucmg t1!nhu a Chuang 2. ([2],[6])

. . so L!tU DO.
I. GiOi thit$u
Gia 811tr€m mQt tuye'n do co chi~u dai hUll h9-n 1=(-1,1),
chung ta do du<;1cdi thucmg tr<;mg hfC ilg = Uova gradient
cua no Ul. Vi di thuang tr9ng hfC th6a phuC1ng trinh
Laplace; do do Unva Ul la di~u ki~n Cauchy tren I cua bai
toan Cauchy cho phucmg trinh Laplace tren mla m~t
ph~ng. Dung ke't qua trong 11.2 chuC1ng2, tinh'"
-
.
J
'

20
n
Vn(q»= L~igi
i=l
trong do gi (~= In IXi- ~I ,~ e J. Vn cho bdi (1) chinh
la gradient cua ilg tren J la rni~n bell ngoai I. ([7])
ll.Tfnh So'.
'~l>""~n e R
(1)
Trong Ph~n nay, chung ta tinh toan ct.!th4 v6'ima hinh
hIDhinh t1"\ln~m ngang. Ke't qua d Hinh 2.
5.
o~
I

tuye'n y =k . Tuye'nnay c6 thg tren ~t da't ho~ca dQcao.
nao d6 tren ~t da't. Chung ta c6 cj>(x,y)thoa phuang trinh
.6.[cj>(x,y)]=0 . Bai toan la di tim cj>(x,O)a bell duai tuye'n
quan trAc (y =k) tU cac da ki~n cj>(x,k).Tinh toan dugc
th\iChi~n tren mo hinh 2 chi~u va 3 chi~u.
Mo hinh roan dugc dung la bai roan Dirichlet ngl1gc
cho phuang trinh Laplace trong Chuang III
ll.Tinh 86
Ba mo hinh dugc dung la :
(i) Mo hinh ba hinh tr\l niim ngang cung dQsau
(ii) Mo hinh ba hinh tr\l niim ngang khong cung dQsau
(iii) Mo hinh baqua cAll.
22
X1
0
X)
'2
"
-h
mI.
"'1
"1)
. Chc;m d<1Ilvi buCtcchuy~n tntemg Iii hllO, ke't qua 6n
dinh vCtik = O,7h cho (1Hinh 3. ([4],[5])
CHUnN TRU<JNG XU6NG
k=7
140
120
100
80

nghi~m chinh hoa va nghi~m chinh xac duai anh huang
cua nhi~u do dq.cdu ki~n. Ke't qua dugc trinh bay a
chuang 2. ([3],[7],[1])
2. TIm nghi~m chinh hoa cua cac bai toan.
(ii) Duai dq.ng tuang minh va danh gill 8ai 86 giua
nghi~m chinh hoa va nghi~m chinh xac duai anh huang
cua nhi~u do dq.c du ki~n. Ke't qua dugc trinh bay' a
chuang 3. ([4],[5])