ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ THỊ LOA N
CHỈNH HÓA NGHIỆM M ỘT BÀI
TOÁN NG Ư C XÁC Đ Ị N H NGUỒN NHIỆT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Tp. Hồ Chí Minh - 2010
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ THỊ LOAN
CHỈNH HÓA NGHIỆM M ỘT BÀI
TOÁN NG Ư C XÁC Đ Ị N H NGUỒN NHIỆT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01
NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. Nguyễn Công Tâm
Đại học Khoa học Tự nhiên
Tp. Hồ Chí Minh - 2010
Lời cảm ơn
Lời đầu tiên , tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và chân thàn h cảm ơn thầy hướng
dẫn tôi , Tiến só Nguyễn Công Tâm, thầy đã bỏ nhie àu công sức tận tình hướng dẫn,
chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến só Nguyễn Thàn h Long trong các buổi seminar
thầy đã thường xuyên đôn đốc và cho ý kiến quý báu cũng như những lời phê bình
bổ ích giúp tôi hoàn thành tốt luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến só Trần M i n h Thuyết, thầy đã dành thời gian để
nghe tôi thuyết trình và giúp tôi làm sáng tỏ các vấn đề tro n g luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn các Thầy đã truyền đạt những kiến thức và kinh ngh i e äm
quý báu trong suốt các môn học.
Xin chân thành cảm ơn anh Phạm Thanh Sơn, lớp cao học Giải tích K18 t r ư ơ øn g
Đại học Sư phạm TPHCM, các anh tron g lớp học seminar và các bạn cùng lớp đã

(x, t) là mức độ thay đổi của nhiệt độ tại một điểm nào đó theo thời gian.
• u
xx
(x, t) là đạo hàm bậc hai (lưu chuyển nhiệt) của nhiệt độ theo hướng x.
• l(x, t) là nguồn n h i e ät và l(x, t) = k(t)f(x) với k(t) cho trước trên [0, 1], tìm
hàm f(x) trên (0, +∞).
• Các hàm w(x), g(t), h(t) là các hàm ch o trư ơ ùc.
Đây là bài toán thường gặp trong các ngành khoa học kó thuật, đặc bi e ät là trong
Vật lý mà ta đã biết đó là các bài toán không chỉnh. Liên q u an đến bài toán này là
các công trình của Tikhonov, Lavrenties, Lions . . .
Bài toán cơ bản là vẽ lại các thông tin hữu ích từ các dữ liệu đo đạc Vật lý bò
nhiễu, ở đó ta nhận được bài toán khôn g chỉn h (chủ yếu l à nghiệm của bài toán
không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện) mà các phương pháp nội tại (từ các mô hình
toán học tr ư ïc tiếp đo đạc được) dùng để ước lượng dẫn đến sự khuyếch đại không
thể kiểm soát được của nh i e ãu . Thông thường ta tìm một hàm (xác đònh trên một
miền thích hợp) hội tụ đến hàm chính xác, và như đã nói trên sự khuyếch đại của
nhiễu xuất hiện khách quan trong quá trình đo đạc làm cho các kết quả t í n h toán vì
thế m à khôn g có giá trò, những ``kết quả'' này che giấu nghiệm chính xác dưới các
dao động với tầng số cao, biên độ lớn.
2
Đối với bài toán không chỉnh này, người ta không thể giải trực tiếp bài toán mà
phải thông qua bài toán trung gian, tức là người ta đưa ra họ bài toán mà mỗi bài
toán trong họ là bài toán chỉnh và phải đảm bảo yêu cầu là họ nghi e äm bài toán chỉnh
phải hội tụ về nghiệm bài toán không chỉnh, khi mà một tham số chỉnh tương ứng
cho họ bài toán đó tiến về một giới hạn nào đó.
Việc chỉ n h hóa bài toán cũng kho ân g có một phương ph áp chung, ng h ó a là phải
có một bài toán cụ thể, phương trình tích phân cụ thể và từ đó n g ư ơ øi ta chỉnh trên
đó.
Trong trường hợp này bài toán (1) cùng vơ ùi các điều kiện (2), ( 4) ta khảo sát các
bài toán cụ thể sau:

BÀI TOÁN C





u
t
− u
xx
= 0, x > 0, t > 0,
u(x, 0) = 0, x > 0,
u
x
(0, t) = h(t), t > 0.
Sau khi tìm nghiệm u
1
(x, t), u
2
(x, t), u
3
(x, t) của các bài toán A, B, C, sau đó
kết hợp với điều kiện (3) và sau nhiều phép tính phức tạp ta tìm được:
u(x, t) =
t

0
∞

0

2
4t
+ e
−
(x+ξ)
2
4t

dξ
−
1
√
π
t

0
h(τ)
√
t − τ
e
−
x
2
4(t−τ )
dτ.
3
Từ đây ta thiết lập được phương trình tích phân Fredh o l m loại 1 để tìm l(x, t):
t

0

ξ
2
4t
dξ.
Do l(x, t) = k(t)f (x) n e ân phương trình tích phân Fredholm loại 1 trên trở thành:
∞

0
f (ξ)dξ
t

0
k(τ)e
−
ξ
2
4(t−τ )
dτ =
√
πg(t) +
t

0
h(τ)
√
t − τ
dτ
−
1
√

Tính chất duy nhất nghiệm là quan trọng vì ý nghóa của nó là thông t i n về dữ
kiện đo đạc vừa đủ để xác đònh ngh i e äm bài toán. Còn ý nghóa của sự phụ thuộc liên
tục của nghiệm vào dữ kiện là độ sai lệch của nghiệm (nếu tồn tại) ứng với dữ kiện
bò nhiễu với mức độ nh o û sẽ là nhỏ. Yếu tố thứ 3 này là quan trọng nhất vì sai số
của dữ kiện khi đo đạc là điều hiển nhiên, và đó cũng là lý do mà ta cần phải xử lý
các bài toán này.
4
Bài toán được gọi là không chỉnh nếu vi phạm 1 trong 3 điều trên, nghóa là các
bài to án này có thể không có nghiệm (tức là ứng với dữ kiện đo đạc bò nhiễu ϕ,
phương trình Af = ϕ vô n g h i e äm ) . Mặt khác, nếu nghiệm tồn tại thì nó không phụ
thuộc liên tục vào dữ kiện (nghóa là nếu f là nghiệm ứn g với dữ kiện ϕ thì một thay
đổi nhỏ của ϕ kéo theo sự thay đổi lớn của f ).
Do nhu cầu tí n h toán, các bài toán kho ân g chỉn h này cần được chỉnh hóa, với
phương t r ì nh tích phân loại 1 trên, chúng tôi tiến hành chỉnh hóa bằng cách sử dụng
phương pháp Tikhonov, với phương pháp này chúng tôi xây dựng một phương trình
mới để chỉnh hóa (phương trình chỉnh hóa):
ε(f
ε
, v) + Af
ε
, Av = ϕ
ε
, Av, ∀v ∈ L
2
(R
+
),
trong đó bài toán tìm nghiệm của phương trình này là bài toán chỉnh, tức là:
(i) Tồn tại duy nhất nghiệm f
ε

ε
và nghiệm chính xác f là
√
ε, nghóa là:
f
ε
− f ≤ C
√
ε,
trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào ε.
Hơn nữa, chu ùn g tôi chứng minh được rằng f
ε
chính là điểm b ất động của một
ánh xạ co. Do đó có th e å xây dựng một thuật toán lặp để tính nghiệm xấp xỉ f
ε
.
5
Gọi f
(m)
ε
là ngh i e äm xấp xỉ ở bước lặp thứ m. Khi đó ta có đánh giá sai số f
(m)
ε
và
nghiệm chính xác f được cho bởi



f
(m)

một phiếm hàm, ký hiệu là: ·, · : X × X → R, gọi là một tích vô hướn g trên X
nếu
(i) x, x ≥ 0, với mọi x ∈ X, và x, x = 0 ⇔ x = 0,
(ii) x, y = y, x, với mọi x, y ∈ X và
(iii) αx + βy, z = α x, z + β y, z với mọi α, β ∈ R, x, y, z ∈ X.
Cho trước một tích vô hướn g ·, · trên X, một chuẩn trên X có thể được xác đònh
bởi x
X
=

x, x.
Nếu X là một không gian Banach đối với chuẩn này thì X được gọi là không gian
Hilbert.
Hai bất đẳng thức sau đây thư ơ øn g được sử dụng:
Bất đẳng thức Cauchy Schwartz: Với mọi x, y ∈ X, |x, y| ≤ xy,
Bất đẳng thức tam giác: Vơ ùi mọi x, y ∈ X, x + y ≤ x + y.
Đònh nghóa 0.2 (Toán tử liên hợp).
Cho A là toán tử tuyến tính bò chặn ánh xạ không gian Hilb e r t X vào không gian
Hilbert Y. Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp
với toán tử A, nếu
(Ax, y) = (x, By), ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y.
Toán tử liên hợp B thường được ký hiệu là: A
∗
.
Cho A là toán tử tuyến tính bò chặn ánh xạ không gian Hilb e r t X vào không gian
Hilbert Y. Khi đó tồn tại toán tử A
∗
liên hợp với toán tử A ánh xạ không gian Y vào
không gian X, toán tử liên hợp A
∗

2
dx < ∞



với tích vô hướng xác đònh như sau: f, g =
1

0
f (x)g(x)dx, ∀f, g ∈ L
2
(0, 1).
• L
2
(0, ∞) =



f : (0, ∞) → R,
∞

0
|f(x)|
2
dx < ∞



= L
2


0
f
2
(x, t)dxdt < ∞



8
vôùi tích voâ höôùng ñöôïc ñònh nghóa nhö sau
1

0
+∞

0
f (x, t)g(x, t)dxdt, f, g ∈ L
2

R
+
× (0, 1)

.
Chương 1.
BIẾN ĐỔI LAPLACE
Đònh nghóa 1.1. (gốc và ảnh)
• Hàm biến thực f (t) xác đònh trên kho ản g (−∞, +∞) được gọi là hàm g o ác
nếu thỏa các điều kiện sau:
i) f(t) = 0 nếu t < 0,

Tính chất 1.3 (tính chất tuyến tính).
Nếu L[f (t)] = F (p) và L[g(t)] = G(p) th ì :
10
i) L[f(t) + g(t)] = F (p) + G(p),
ii) L[kf(t)] = kF (p), k là hằng số.
Chứng minh.
i) L [f(t) + g(t)] =
∞

0
[f(t) + g(t)] e
−pt
dt =
∞

0
f (t)e
−pt
dt +
∞

0
g(t)e
−pt
dt
= F (p) + G(p).
Vậy L [f (t) + g(t)] = F (p) + G(p).
ii) L[kf(t)] =
∞



0
f (t)e
−pt
dt = pF (p) − f (+0).
Hệ quả:
1. L[f

(t)] = p
2
F (p) −pf (+0) − f

(+0),
2. L

f
(n)
(t)

= p
n
F (p) −p
n−1
f (+0) −p
n−2
f

(+0) − − f
(n−1)
(+0).

t

0
f (t − u)g(u)du.
Đònh lý 1.7 (Đònh lý Borel).
Nếu L[f(t)] = F (p) và L[g(t)] = G(p) thì: L[(f ∗g)(t)] = F (p)G(p).
Chứng minh.
L [(f ∗ g)(t)] =
∞

0
[(f ∗ g)(t)] e
−pt
dt =
∞

0


t

0
f (u)g(t − u)du


e
−pt
dt
=
∞

g(t − u)dt.
Với tích phân
∞

u
e
−pt
g(t − u)dt, ta đặt t
1
= t − u, dt
1
= dt.
Khi đó
∞

u
e
−pt
g(t − u)dt =
∞

0
e
−p(t
1
+u)
g(t
1
)dt
1

iii) (f ∗ g) ∗ h = f ∗(g ∗ h).
Chứng minh.
i) Ta có
(f ∗ g)(t) =
t

0
f (u)g(t − u)du.
Đặt t
1
= t − u, dt
1
= −du. Ta được
(f ∗ g)(t) =
0

t
−f(t − t
1
)g(t
1
)dt
1
=
t

0
g(u)f(t − u)du = (g ∗ f )(t).
ii) Ta có
(f ∗ (g + h)) (t) =

f (τ )g(u − τ )dτ


h(t − u)du
=
t

0
dτ


t

τ
f (τ )g(u − τ )h(t − u)du


=
t

0
f (τ )dτ


t

τ
g(u − τ)h(t − u)du



2
là hàm ảnh:
F (p) = L

t
−
1
2

=

π
p
.
Chứng minh.
Ta có
14
F (p) = L

t

1
2

=


0
t


dt.
ẹaởt u =

t, du =
1
2

t
dt, dt = 2

tdu = 2udu.
Ta ủửụùc
F (p) =


0
4pu
2
e
pu
2
du = I.
Ta coự
I =


0
4pu
2
e



0
e
pu
2
du = 2J,
vụựi J =


0
e
pu
2
du =


0
e
pv
2
dv.
Do ủoự
J
2
=


0
e

0
e
p(u
2
+v
2
)
dudv.
ẹaởt: u = r cos , v = r sin , r > 0, 0 < <

2
.
15
Khi đó
J
2
=
π
2

0
∞

0
re
−pr
2
drdϕ =
π
2

1
2p
) =
π
4p
.
Do đó
F (p) = I = 2J =

π
p
.
Đònh lý 1.8 (Phép biến đổi Laplace ngược) .
Cho hàm gốc f trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục t ≥ 0;
chỉ số tăng là α
0
. Khi đó
f (t) =
1
2πi
a+i∞

a−i∞
e
pt
F (p)dp, a > α
0
.
(Công thức trên gọi là công thức tích phân Bromwich).
Ký hiệu: f (t) = L

R
là 1 phần của đường tr o øn |p| = R nằm trong miền {Rep ≤ a}, R > R
0
.
16
Chứng minh.
C
2

C
4

C
3

C
1

Y

ψ

O

a+ib
3
, C
4
. Ta lần lượt đánh giá
các tích phân này n h ư sau:
• Trên C
1
Ta có p = Re
iθ
, ψ ≤ θ ≤
π
2
, dp = Rie
iθ
dθ.
I
1
=

C
1
F (p)e
pt
dp =
π
2

ψ
F (Re
iθ

2

ψ
F (Re
iθ
)e
Rt(cos θ+i sin θ)
Rie
iθ
dθ







≤
π
2

ψ


F (Re
iθ
)




e
Rt cos θ
Rdθ.
17
Do


F (Re
iθ
)


≤
M
R
α
, nên
|I
1
| ≤
π
2

ψ
M
R
α
e
Rt cos θ
Rdθ =


ψ
e
at
dθ =
Me
at
R
α−1
π
2

ψ
dθ =
Me
at
R
α−1

π
2
− ψ

=
Me
at
R
α−1

π

R
=
M.a.π
2R
α
e
at
.
Cho R → ∞, ta có
M.a.π
2R
α
→ 0. Do đó lim
R→∞
I
1
= 0.
• Trên C
2
Ta có p = Re
iθ
,
π
2
≤ θ ≤ π, dp = Rie
iθ
dθ.
Tích phân
I
2

iθ
dθ.
18
Suy ra |I
2
| ≤
π

π
2


F (Re
iθ
)


e
Rt cos θ
Rdθ.
Do


F (Re
iθ
)


≤
M

cos θ ≤ 1 −
2
π
θ, e
Rt cos θ
≤ e
Rt(1−
2
π
θ)
.
Khi đó
|I
2
| ≤
M
R
α−1
π

π
2
e
Rt(1−
2
π
θ)
dθ =
Me
Rt

π
π
2
=
Me
Rt
R
α−1

−
π
2Rt


e
−2Rt
− e
−Rt

=
Mπ
2tR
α

1 −e
−Rt

.
Cho R → ∞, ta có
Mπ

R
F (p)e
pt
dp = 0, ∀t > 0.
Bổ đề 2.
Ta có: L
−1

e
−α
√
p
√
p

=
1
√
πt
e
−
α
2
4t
, α > 0.
Chứng minh. (áp dụng bổ đề Jordan)
19
Cho D = C\(−∞, 0] là miền đơn liên.
Đặt l(t) =
1


C
2

C
6

Y

C
1
C
5 a+ib

X
a-ibC
4


C
4
: phía dưới lát cắt từ −ε đến −R,
C
5
: là biên của đường tròn từ −R
(phía dưới lát cắt) đến −iR,
C
6
: là biên của đường tròn từ −iR
đến a − ib,
γ
R
= C
1
∪ C
2
∪ C
5
∪ C
6
,
Γ = γ ∪ γ
R
∪ C
3
∪ C
4
∪ C
ε

C
ε
G(p)dp +

C
3
G(p)dp +

C
4
G(p)dp = 0.
20

Γ
G(p)dp =
a+ib

a−ib
dọc theo Rep=a
G(p)dp +

γ
R
G(p)dp +

|p|= ε
G(p)dp
+
−ε


2
=
e
−α
√
R(cos
θ
2
+i sin
θ
2
)
√
Re
i
θ
2
(đặt p = Re
iθ
).
Do đó
|F (p)| =
e
−α
√
R cos
θ
2
√
R

√
p
√
p
dp.
Đặt p = εe
iθ
,
√
p =
√
εe
i
θ
2
, dp = εie
iθ
dθ, ta được

C
ε
G(p)dp =
1
2πi
−π

π
e
εte
iθ

2
e
i
θ
2
dθ.
Khi ε → 0 thì
√
ε
2π
→ 0.
Vậy lim
ε→0

|p|=ε
G(p)dp = 0.
• Trên C
3
và C
4
: dọc theo miền của nhát cắt.
Khi p là 1 số thực âm và nằm phía trên nhát cắt, ta có: arg p = π.
Đặt p = σe
iπ
= −σ, do đó căn bậc hai của số p là
√
p =
√
σe
i

√
p
√
p
dp+
1
2πi
+∞

0
e
−σt
e
−iα
√
σ
i
√
σ
dσ +
1
2πi
+∞

0
e
−σt
e
iα
√

√
σ
√
σ
dσ −
1
2π
+∞

0
e
−σt
e
iα
√
σ
√
σ
dσ
=
1
2π
+∞

0
e
−σt

e
−iα

1
π
+∞

0
e
−x
2
t
x
cos αx(2xdx)
=
2
π
+∞

0
e
−x
2
t
cos αxdx
=
1
π
+∞

−∞
e
−x

√
t
)
2
−
α
2
4t
dx