BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM NGUYỄN MAI VĨNH NGHI CHỈNH HOÁ NGHIỆM MỘT BÀI TOÁN
NGƯỢC TRONG PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01
Người hướng dẫn:
TS. NGUYỄN CÔNG TÂM

Khoa toán-tin học
Đai Học Khoa Học Tự Nhiên
Đại Học Quốc Gia TP. HCM Thành phố Hồ Chí Minh
2007
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn tôi,

Chương 3. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . .24
Chương 4. CHỈNH HÓA NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
KẾT LUẬN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1

Mở đầu

Trong khoa học ứng dụng, nhu cầu khảo sát các bài toán ngược được
được đặt ra từ lâu. Cho đến những năm 60 của thế kỉ trước, đồng thời với
việc phát triển các công cụ toán học, các bài toán ngược (hầu hết là không
chỉnh) đã được các nhà toán học trên thế giới khảo sát một cách sâu rộng mà
tiêu biểu là các công trình của Tikhonov, Lavrentiev, Lions,.Từ thời gian đó
cho đến nay, các bài toán ngược (không chỉnh) ngày càng được nhiều nhà
toán học quan tâm do những nhu cầu xuất phát từ thực tiễn cũng như từ sự
đòi hỏi của các ngành khoa học ứng dụng khác, đặc biệt trong Kỹ nghệ, Y
học, Vật lý Địa cầu.
Bài toán cơ bản là vẽ lại các thông tin hữu ích từ các dữ liệu đo đạc vật
lý bị nhiễu, ở đó ta nhận được bài toán không chỉnh (chủ yếu là lời giải của
bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện) mà các phương pháp nội tại
(từ mô hình toán học trực tiếp đo đạc được) dùng để ước lượng dẫn đến sự
khếch đại không thế kiểm soát được của nhiễu. Thông thường, ta tìm một


(
)
(
)
()
2
2
1
,0,,
0,1.
HL
HL
++
==∞
=
¡¡Các đóng góp của luận văn là:
g
Đã chuyển được bài toán khảo sát về phương trình tích phân Fredholm
loại một.
g
Chứng minh được rằng
1
:
AHH
→
là toán tử tuyến tính liên tục.

wx
thoả
(
)
,
txx
uufxt
−=
,
0,
x
>

0t1
≤≤
, (0.1)
(
)
(
)
,0
uxwx
=
,
0
x
>
, (0.2)
(
)


Xét bài toán
()
(
)
()()
()()
,,0,0,
,0,0,
0,,0.
txx
x
uufxtxt
Iuxwxx
uthtt
−=>>

=>


=>
Bằng phương pháp chồng chất nghiệm, nghiệm của bài toán
(
)
I
được
tìm dưới dạng

t
ξξ
ξξ
π
+
−+
−−


=+


∫
¡
3

()
()
()
()
()
()
22
44
0
,
2

t
x
ht
ed
τ
τ
τ
πτ
−
−
−
∫
.

Từ đây ta nhận được phương trình tích phân Fredholm loại một để tìm
ẩn hàm
(
)
wx
:
() ()
(
)
2
4
00
1
w
t
t

−
−
−
−
∫∫

hay viết dưới dạng phương trình toán tử như sau
(
)
(
)
(
)
AwtFt
=
. (0.6)
Như chúng ta đã biết, bài toán tìm nghiệm của phương trình tích phân
Fredholm loại một là một bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard. Bài
toán gọi là chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu thỏa ba điều kiện,
(
)
i
Bài toán có nghiệm,
(
)
ii
Nghiệm nếu có là duy nhất,
(
)
iii

w
).
Do nhu cầu tính toán, các bài toán không chỉnh cần được chỉnh hoá.
Nghĩa là cần xây dựng nghiệm ổn định (phụ thuộc liên tục vào dữ liệu cho 4

trước) đủ gần nghiệm cần tìm để rồi từ đó ta có thể tính xấp xỉ nghiệm chỉnh
hoá để sử dụng.
Sử dụng phương pháp Tikhonov (xem
[
]
7,15
), chúng tôi xây dựng một
phương trình mới để chỉnh hoá (phương trình chỉnh hoá)
AwF
εε
=
,
trong đó bài toán tìm nghiệm của phương trình này là bài toán chỉnh, tức là
(
)
i
Tồn tại duy nhất nghiệm
w
ε
với
F
ε

hợp) của phương trình
AwF
=
.
Cụ thể, nếu sai số giữa dữ liệu đo đạc
F
ε
và dữ liệu chính xác
F
là
ε
,
nghĩa là
FF
ε
ε
−≤

thì chúng tôi chỉ ra được sai số giữa nghiệm chỉnh hoá
w
ε
và nghiệm chính
xác
w
có bậc
3
ε
hoặc
ε
, nghĩa là

lặp thứ m. Sai số giữa
(
)
m
w
ε
và nghiệm chính xác
w
được cho bởi
()
()
1
m
wwM
ε
ε
−≤+
với
m
ε
được chọn đủ lớn.
Về hình thức trình bày, luận văn được chia thành bốn chương:
Chương 1. Biến đổi Laplace,
Chương 2. Phương trình nhiệt,
Chuơng 3. Thiết lập phương trình tích phân,
Chương 4. Chỉnh hoá nghiệm. 5


(
)
(
)
(
)
,
wwxxdx
ωω
+
=
∫
¡
,
(
)
2
w,Lω
+
∈
¡
,

2)
()()()
1
22
0
0,1:Lwxwx



×=<∞


∫∫
¡ , với tích vô hướng được
định nghĩa như sau
()()()
1
00
,,,
fgfxtgxtdxdt
∞
=
∫∫
,
(
)
(
)
2
,0,1
fgL
+
∈×
¡
,
4).
[
]Định nghĩa 1. Hàm biến thực
(
)
ft
xác định trên khoảng
(
)
,
−∞∞
được gọi
là hàm gốc nếu thoả mãn các điều kiện sau
(
)
i
Với mọi
(
)
0,0
tft
<=
,
(
)
ii
Với
0

≤ ,
0
t
∀>
.
Chận dưới lớn nhất của các trị số của
a
trong
(
)
iii
được gọi là chỉ số tăng
của hàm
(
)
ft
.

Định nghĩa 2. Cho
(
)
ft
là một hàm gốc. Biến đổi Laplace của
(
)
ft
là một
hàm biến phức
(
)


Định lý 1 (tính giải tích bên phải). Giả sử
(
)
ft
là một hàm gốc với chỉ số
tăng
a
. Khi đó
(
)
i
Biến đổi Laplace
(
)
Fp
của
(
)
ft
hội tụ trong miền
{
}
Re
pa
>
,
(
)
ii

(
)
(
)
,Re1, ,
iii
LftFppain
=>=

,
thì
()()
{}
11
,Remax,1, ,
nn
iiiii
ii
LftFppain
αα
==

=>=


∑∑
,
trong đó
i
α

i
Nếu
(
)
'
ft
cũng là một hàm gốc thì
(
)
(
)
(
)
'0,Re
LftpFpfpa
=−>

,

(
)
ii
Tổng quát, nếu các đạo hàm
(
)
(
)
(
)
n

(Xem
[
]
2,10,11
).

Định nghĩa 3. Tích chập của hai hàm
(
)
1
ft
và
(
)
2
ft
là hàm
(
)
t
ϕ
được xác
định bởi
()()()()()
1212
00
tt
tfftdftfd
ϕξξξξξξ
=−=−

(
)
22
LftFp
=

,
11
Re
pa
>
,
22
Re
pa
>
. Khi đó
(
)
(
)
(
)
(
)
1212
LfftFpFp
∗=

,

ft
nào đó thì ta có
()() ()
1
1
2
ai
pt
ai
ftLFpeFpdp
iπ
+∞
−
−∞
==

∫
.

Thật ra ta có kết qủa sau (Xem
[
]
2,10,11
).

Định Lý 2 (Công thức biến đổi Laplace ngược). Cho hàm
(
)
Fp
của biến

≤ ,
0
pR
>

(
)
Re
ppa
∈>
.
Khi đó tồn tại hàm
(
)
ft
mà biến đổi Laplace của nó là
(
)
Fp
và
(
)
ft

được xác định bởi
()() ()
1
1
2
ai

}
Re
ppa
∀∈≤
và
0
pR
>
thì
()
M
Fp
p
δ
≤ .
Khi đó ta có
(
)
lim0,0
R
pt
R
Fpedpt
γ
→∞
=∀>
∫
, (5)
trong đó
R

vẽ
Gọi
1234
,,,
IIII
lần lượt là các tích phân trên
1234
,,,
CCCC
. Ta lần lượt
đánh giá các tích phân này như sau
1
2
i
CpRe
θ
π
ψθ

==≤≤



()
2
cossin
1

= và
i
ReiR
θ
=
)
Theo giả thiết,
()
i
M
FRe
R
θ
δ
≤ ,
do đó
2
cos
1
tR
M
IeRd
R
π
θ
δ
ψ
θ
≤
∫

x

y

C
2
C
3

R
γ
C
1
C
4

o

a

ψ10

coscos
RtRtat
eee
θψ
≤=


=−



hay
1
11
arccosarcsin
2
atat
MeaMea
I
RRRR
δδ
π
−−

≤−=


.
Tiếp theo ta sử dụng bất đẳng thức
arcsin
2
π
θθ
≤ nếu
01
θ

R
I
→∞
=
.

Tích phân trên cung
2
C
được đánh giá tương tự. Thật vậy, ta có
()
cossin
2
2
itRitRi
IFReeiRed
π
θθθθ
π
θ
+
=
∫
.
Do đó
()
cos
2
2
Rti

θ
−
≤
∫
.
Sử dụng bất đẳng thức 11

2
cos1
θθ
π
≤− với
2
π
θπ
≤≤
,
ta thu được
2
1
2
1
2
Rt
M
Ied
R

Rt
M
e
tR
δ
π
−
=−.
Vậy
2
lim0
R
I
→∞
=
.

Làm tương tự ta cũng thu được
34
limlim0
RR
II
→∞→∞
==
.

Vậy
(
)
lim0

=



,
0
α
>
. (6)

Chứng minh. Đặt
()
1
2
ai
p
pt
ai
e
ktedp
i
p
α
π
+∞
−
−∞
=
∫
,

pt
e
Gpe
i
p
α
π
−
= là hàm giải tích đơn trị trong
D
và không có
điểm kỳ dị nào trong
D
. Do đó theo định lý Cauchy ta có
(
)
0
Gpdp
Γ
=
∫
.
Đặt
1256
R
CCCC
γ
=∪∪∪
thì
(

cossin
22
22
i
Ri
Re
ii
ee
Fp
ReRe
θ
θθ
α
α
θθ

−+

−

== .
Suy ra
()
cos
2
1
R
e
Fp
RR

==
∫∫
. (9)
y

x

C
1

C
2
C
3
C
4
C
5

C
6γ

C
ρ
a

a+ib


2
2
1
2
i
i
e
tei
i
e
eiedp
i
e
θ
θ
π
αρ
ρθ
θ
π
ρ
π
ρ
−
−
=
∫
.
Vậy

π
θ
ρθαρ
π
ρθ
π
−
−
=
∫
.
Từ đó suy ra
(
)
0
lim0
C
Gpdp
ρ
ρ→
=
∫
. (10)
Cho
R
→∞
,
0
ρ
+

CC
ee
edpedp
ii
pp
αα
ππ
−−
−−
→∞→∞
=+
∫∫
.

Chú ý rằng ở bờ trên của nhát cắt (trên
3
C
) ta có
arg
p
π
=
,
i
prer
π
==−
,
2
i
14

()
00
11
22
irir
rtrt
ee
ktedredr
ii
irir
αα
ππ
∞∞
−
−−
−
=+
−
∫∫

0
1
2
irir
rt
ee

,
2
drxdx
=
. Ta thu được
()
2
0
1cos
2
tx
x
ktexdx
x
α
π
∞
−
=
∫

2
0
2
cos
tx
exdx
α
π
∞

=+
∫

2
1
Re
txix
eedx
α
π
∞
−
−∞
=
∫

2
2
4
2
1
Re
txi
t
t
edx
αα
π

∞

()
2
2
4
1
tx
t
eedx
α
π
∞
−
−
−∞
=
∫
.
Vì vậy
()
2
4
1
t
kte
t
α
π
−
=,
do

,
txx
uufxt
−=
,
0
x
>
,
01
t
≤≤
, (11)
(
)
(
)
,0
uxwx
=
,
0
x
>
, (12)
(
)
(
)
0,

(
)
,
txx
uufxt
−=
,
0
x
>
,
0
t
>
, (11)
(
)
(
)
,0
uxwx
=
,
0
x
>
, (12)
(
)
(

uuu
là nghiệm của các bài toán tương ứng sau đây:
Bài toán
(
)
A
.
0
txx
uu
−=
,
0
x
>
,
0
t
≥
, (16)
(
)
(
)
,0
uxwx
=
,
0
x

t
≥
, (11)
(
)
,00
ux
=
,
0
x
>
, (18)
(
)
0,0
x
ut
=
,
0
t
≥
, (17) 16

Bài toán
(

0,
x
utht
=
,
0
t
>
. (14)

Nhận xét. Ta tìm nghiệm của ba bài toán
(
)
(
)
(
)
,,
ABC
với
[
)
0,
t
∈∞
. Rồi
sau đó thu hẹp xuống
[
]
0,1

được xác định bởi
()
()
()
2
4
1
,
2
x
t
uxtewd
t
ξ
ξξ
π
−
−
=
∫
¡
. (19)
(Xem
[
]
5,6,9,12
).
W
(
)
i
Nếu
ψ
là hàm lẻ thì
(
)
0,0
ut
=
,
(
)
ii
Nếu
ψ
là hàm chẵn thì
()
0,0
u
t
x
∂
=
∂
.

Chứng minh.
(


() () ()
2
4
1
0,0
4
t
u
ted
x
tt
ξ
ξψξξ
π
−
∂
=−−=
∂
∫
¡

do hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ.
WBổ đề 5. Nghiệm của bài toán
(
)
A

)
x
ψ
là thác triển chẵn của
(
)
x
w lên
¡
, tức là
()
(
)
()
,0,
,0.
wxx
x
wxx
ψ

≥

=

−<



Đặt

(
)
(
)
(
)
,0,0,0
Uxuxwxx
==∀>
,
với
(
)
,
uxt
được xác định bởi (19) trong Bổ đề 3,
()
0,0
U
t
x
∂
=
∂
(do Bổ đề 4).
Như vậy
(
)
,
Uxt



=+


∫∫
.
Đổi biến
1
ξξ
=−
trong tích phân thứ nhất,

()
()
()
()
()
22
1
44
11
00
1
,
2
xx
tt
Uxteded
t

+∞+∞
−−


=+


∫∫
. 18

() ()
() ()
2
44
1
,
2
xx
tt
Uxtweed
t
ξξ
ξξ
π
+
−+
−−

x
−∞<<∞
,
0
t
>
, (11)
(
)
,00
ux
=
, (18)
được xác định bởi
()
()
()
()
()
2
4
0
,
,
2
x
t
t
f
uxtedd

Chứng minh. Bởi vì hàm
G
có kì dị tại
(
)
0,0
, ta không thể tính trực tiếp
đạo hàm dưới dấu tích phân. Ta phải làm như sau, trước tiên ta dùng phép
đổi biến để viết
()()()
0
,,,
t
uxtGfxtdd
ξτξτξτ
=−−
∫∫
¡
.
Giả sử
[
)
(
)
2
1
0,fC
∈×∞
¡ có giá compact. Vì
(

+−
∫
¡

và
()() ()
22
22
0
,,,
t
u
xtGfxtdd
xx
ξτξτξτ
∂∂
=−−
∂∂
∫∫
¡
. 19

Như vậy,
,
txx
uu
và tương tự

∫∫
¡

(
)
(
)
,,0
Gtfxd
ξξξ
+−
∫
¡

() ()
,,
t
Gfxtdd
ξ
ε
ξτξτξτ
τ

∂

=−−∆−−


∂


ξξξ
+−
∫
¡

IJK
εε
=++
.

Bây giờ ta lần lượt đánh giá như sau
()
()
2
0
,
f
L
L
JfDGddC
ε
ε
ξτξτε
∞
∞
≤+≤
∫∫
¡
, (23)
do

¡

()()
,,
t
Gfxtdd
ξ
ε
ξτξτξτ
+−∆−−
∫∫
¡()()
,,
t
Gfxtdd
ξ
ε
ξτξτξτ
τ

∂

=−∆−−


∂


(
)
(
)
,,
GfxtdK
ξεξτξ
=−−−
∫
¡
,
vì
(
)
,
G
ξτ
là nghiệm cuả phương trình nhiệt (11). Kết hợp (22), (23) và
(24) ta nhận được
(
)
(
)
(
)
(
)
0
,,lim,,
txx

L
L
uttf
∞
∞
≤→
g
.

Vậy (21) là nghiệm của bài toán (11), (18).
WBổ đề 7. Nghiệm của bài toán
(
)
B
là
()
()
()
()
()
()
22
44
2
0
,
1

,
xt
ϕ
là thác triển chẵn theo
x
của
(
)
,
fxt
lên
¡
, nghĩa là
()
(
)
()
,,0,0
,
,,0,0.
fxtxt
xt
fxtxt
ϕ

≥≥

=

−<≥

∫∫
¡
.
Khi đó

(
)
,
Vxt
thoả (11),(18) với mọi
0
x
≥
,
(
)
,00
Vx
=
, với
0
x
>
(do Bổ đề 6),
()
0,0
V
t
x
∂

,,
2
x
t
t
Vxtedd
t
ξ
τ
ϕξτξτ
πτ
−
−
−
−∞
=
−
∫∫

()
()
()
()
2
4
00
1
,
2
x

11
00
1
,,
2
x
t
t
Vxtedd
t
ξ
τ
ϕξτξτ
πτ
+
∞
−
−
=−
−
∫∫

()
()
()
()
2
4
00
1

t
t
fedd
t
ξ
τ
ξτξτ
πτ
+
∞
−
−
=
−
∫∫

()
()
()
()
2
4
00
1
,
2
x
t
t
fedd

Vxteedd
t
ξξ
ττ
ξτ
ξτ
πτ
+
−+
−−
−−


=+

−

∫∫
¡
.

Vậy nghiệm của bài toán
(
)
B
là

()
()
()

−

∫∫
¡

W
Bổ đề 8. Bài toán
(
)
C
có nghiệm là
()
(
)
2
4
0
1
,
t
x
ht
uxted
τ
τ
τ
πτ