BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Hồ Hoàng Yến

CHỈNH HÓA TIKHONOV
CHO BÀI TOÁN GIẢI CHẬP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Hồ Hoàng Yến

CHỈNH HÓA TIKHONOV
CHO BÀI TOÁN GIẢI CHẬP

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Thành phố Hồ Chí minh - 2014


những điểm còn thiếu sót để tôi rút được kinh nghiệm cho luận văn cũng như
cho quá trình học tập sau này. Rất mong nhận được sự chỉ bảo quý báu của
quý Thầy Cô và sự đóng góp chân thành của quý bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2014
Học viên

Hồ Hoàng Yến

2


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... 2
MỤC LỤC ............................................................................................................. 3
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 4
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 12

1.1. Không gian đo - Tích phân Lebesgue ............................................ 12
1.2. Biến số ngẫu nhiên ......................................................................... 15
1.3. Không gian định chuẩn..................................................................... 21
p
1.4. Không gian L , 1p < +∞ .............................................................. 22

1.5. Không gian Hilbert ........................................................................... 23
1.6. Biến đổi Fourier ................................................................................ 25
1.7. Không gian Sobolev ......................................................................... 28
1.8. Bài toán không chỉnh ........................................................................ 31
1.9. Tính không chỉnh của bài toán giải chập ....................................... 32
Chương 2 PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA TIKHONOV .............................. 38

thuyết xác suất, phân phối xác suất của tổng hai biến ngẫu nhiên bất kỳ chính
là tích chập của hai phân phối xác suất của hai biến ngẫu nhiên đó. Trong
việc ước lượng mật độ hạt nhân, hàm phân phối sẽ được ước lượng dựa trên
các điểm mẫu bởi phép tích chập với hạt nhân.
Giải chập là thuật ngữ chỉ việc giải phương trình tích chập. Một
phương trình tích chập thường có dạng f * g = h . Thông thường h là một
hàm có trước, f là hàm chúng ta cần tìm ra sau khi giải phương trình tích
chập, tuy nhiên f lại có quan hệ chặt chẽ xác định với g . Nếu chúng ta biết
được g , hoặc ít nhất là dạng của g thì ta có thể dễ dàng giải phương trình
tích chập để tìm ra

f . Nếu ta không có hàm g , ta có thể sử dụng phương

pháp ước lượng trong thống kê nhằm ước lượng hàm g . Phương trình tích
chập được sử dụng trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật điện, phương trình vi tích
4


phân, xử lý ảnh và xử lý tín hiệu, thị giác máy tính và đặc biệt là thống kê
trong việc ước lượng hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên rời rạc. Bài toán
giải chập thường là bài toán không chỉnh. Các phương pháp để giải bài toán
này hiện nay vẫn chưa được nghiên cứu nhiều.
Gần đây, nhiều tác giả quan tâm về việc ước lượng hàm mật độ xác
suất của các biến ngẫu nhiên độc lập được phân phối đồng nhất
X 1 , X 2 ,..., X n từ mô hình Y j = X j + Z j , trong đó là biến ngẫu nhiên không

khảo sát được sai số, được phân phối bởi hàm mật độ xác suất g và độc lập
với X j . Bài toán này được biết đến như bài toán giải chập trong thống kê phi
tham số. Một trong những phương pháp phổ biến nhất để giải bài toán này
là phương pháp ước lượng hạt nhân. Phương pháp này được đề cập đến trong

trong đó kí hiệu * biểu thị tích chập của hai hàm f và g ,
+∞

( f * g )( x ) = ∫ f ( x − t ) g ( t ) dt.
−∞

Ta biểu diễn biến đổi Fourier của hàm f bởi
+∞

f

ft

( t ) = ∫ f ( x ) eitx dx, t ∈ .

(3)

−∞

Đặt NZg = {t ∈  : g ft ( t ) ≠ 0} .
Thông thường, nếu biết được h , chúng ta có thể áp dụng biến đổi
Fourier cho hai vế của (2) để có
f

ft

h ft
= ft với mọi t ∈ NZg ,
g


fn ( x ) =
2π

+∞

∫e

−∞

− itx

K ft ( tb ) 1 n itY j
∑e dt ,
g ft ( t ) n j =1

(5)

trong đó K là một hàm hạt nhân và K ft có giá compact.
Phương pháp này lần đầu được giới thiệu trong bài báo của Stefanski
và Carroll [18], Fan[15],[16]. Ước lượng (5) được biết đến như hàm mật độ
hạt nhân giải chập tiêu chuẩn. Chúng ta chú ý rằng ước lượng (5) có ý nghĩa
như là g ft ( t ) ≠ 0 với mọi t ∈  , và vì vậy điều kiện NZg =  trở thành
điều kiện phổ biến cho các đề tài về giải chập. Thực chất, điều kiện của g
thường thỏa

{

g ft ( t ) C (1 + t 2 ) exp −C0 t
−α


∑
g
t
n
f n ( x;Y1 ,..., Yn ) =  2π
(
)
=1
j
A
 r


0
, x Kt ,


{

}

trong đó Ar = t ∈ < : g ft ( t ) < r , r > 0, h > 0 , dạng Fourier của hàm hạt
nhân K ft có giá compact trên [ −c, c ] , c > 0 . Tuy nhiên, tỉ lệ hội tụ không
được nói đến trong bài báo này.
Trong bài báo của Meister [8], hàm mật độ của bài toán giải chập cũng
được xem xét trong trường hợp hàm mật độ cần tìm f được chứa trong

FS ,C ,β - lớp hàm mật độ thỏa

S


2
L2 (  )

g ∞ C . Tỉ lệ hội tụ đều của

( MISE :sai số trung bình bình phương tích

phân) phụ thuộc vào lớp định nghĩa cho f và g đạt đến lượng

(

0 ( ln n )

−2 β (1−δ )

( ln ln n )

2β

) với δ ∈[0,1) . Tỉ lệ này chỉ có được khi kích
8


 0 ( ln n )δ
δ
thước mẫu n được chọn đủ lớn để điểm cuối S ∈ 
;0 ( ln n )
 0 (1)



 1
f n ( x ) = Re 
 2π


+∞

∫e

−∞

− itx

g ft ( −t ) f

( max { g

ft

ft

(t )

r

( t ) ; hn ( t )})

r +2



, t > T,

(7)

với u1 , v > 0 , 0C1C2 , λ > 0 , T > 0 .
Các tỉ lệ tối ưu của việc ước lượng cũng đồng thời được trình bày. Sử
dụng phương pháp biến đổi hạt nhân, Delaige và Meister [10] cũng cho kết
quả tương tự. Tuy nhiên, chúng ta thấy rằng điều kiện (7) áp đặt lên g ft
không tự nhiên. Trong các bài báo này, hàm mật độ g được giả sử thỏa

{

g ft ( t ) c sin ( kt ) (1 + t ) exp −d t
n

−α

β

},

(8)

với t ∈  , k > 0 , c > 0 , d > 0 , α0 , β 0 , α + β > 0 , ν > 0 . Trong
 nπ

trường hợp này,  \ NZg ⊂  , n ∈   . Nói theo cách khác, các vị trí mà
 k



g∈s ,g , M ,T f ∈q , K
0

trình bày.

2
L2 (  )

2
L2 (  )

cũng sẽ được


Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi sẽ phát biểu các
định nghĩa, định lý sẽ được áp dụng trong quá trình chứng minh ở hai chương
còn lại như định nghĩa không gian đo, biến đổi Fourier, bài toán không chỉnh.
Ngoài ra trong chương này chúng tôi sẽ chứng minh tính không chỉnh của bài
toán giải chập và từ đó đưa ra yêu cầu phải chỉnh hóa trong chương 2, sau đó
đánh giá sai số xấp xỉ trong chương 3.
Chương 2: Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov. Trong chương này chúng tôi
sẽ trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov và việc sử dụng nó để đưa ra
một xấp xỉ cho hàm mật độ xác suất.
Chương 3: Chặn trên và chặn dưới của sai số xấp xỉ. Chúng tôi sẽ trình bày
các phát biểu và chứng minh các định lý liên quan đến sai số xấp xỉ. Ngoài
ra, chúng tôi cũng sẽ cung cấp một chặn dưới và chặn trên của sai số xấp xỉ.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên luận
văn không tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự góp ý và những ý

c) Nếu {Vα }α∈I là một họ các phần tử của τ thì ∪α∈I Vα ∈τ .
Bây giờ  ( X ,τ ) , hay vắn tắt là X khi tôpô X được ngầm hiểu,
được coi là một không gian tôpô, phần tử của τ được gọi là một tập mở
(trong ) và tập có phần bù trong X là một tập mở được gọi là một tập đóng
(trong X ).
Định nghĩa 1.1.3. Cho ( X ,τ ) là một không gian tôpô. σ − đại số
B sinh bởi τ được gọi là σ − đại số Borel trên X , ký hiệu B ( X ) . Khi

đó, phần tử của B được gọi là tập con Borel của X .
12


Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian đo được ( X , M ) . Ta xét một ánh
xạ µ : M → ( 0, ∞ ) không tầm thường, nghĩa là tồn tại A∈ M sao cho

µ ( A ) < ∞ thỏa tính chất cộng tính đếm được, nghĩa là
∞  ∞
µ  An  = ∑µ ( An ) ,
 n=1  n=1

với mọi dãy

{ An }

các phần tử của M đôi một rời nhau (nghĩa là

Ai ∩ Aj = ∅ khi i ≠ j ), được gọi là một độ đo (dương) trên không gian đo
được ( X , M ) . Khi đó ( X , M, µ ) được gọi là không gian đo.
Cho


E

i =1

13

i


Tổng quát, với hàm đo được f : X → ( 0, ∞ ) và với E ∈ M , ta đặt

∫ fd µ = sup ∫sd µ ,
E

E

trong đó, sup được lấy trên tất cả các hàm đo được đơn giản s sao cho

0sf .

∫ fd µ

được gọi là tích phân Lebesgue của f trên E đối với độ đo

E

µ.
Định lý 1.1.2. (Định lý hội tụ đơn điệu) Cho

{ fn}

.
dµ

Định lý 1.1.4. (Định lý hội tụ bị chận Lebesgue) Giả sử
các hàm đo được trên X sao cho

f ( x ) = lim f n ( x )
n→∞

14

{ fn}

là dãy


tồn tại với mọi x ∈ X . Nếu tồn tại hàm g ∈ L1 ( µ ) sao cho

f n ( x ) g ( x ) , với mọi n ∈ , x ∈ X ,
thì f ∈ L1 ( µ ) ,
lim ∫ f n − f d m = 0,
n→∞

X

và
= ∫ fd .
lim ∫ f n d mm
n→∞


1.2. Biến số ngẫu nhiên
Cho Ω là không gian mẫu của phép thử τ , M là một σ - đại số
các biến cố của Ω và P là một độ đo xác suất xác định trên M , ta có
Định nghĩa 1.2.1. Cho ( M,Ω ) và ( M', Ω′ ) là hai không gian đo
được. Xét ánh xạ X : Ω → Ω′ . Nếu X là ánh xạ đo được, ta nói X là một
biến ngẫu nhiên. Đặc biệt, khi ( M', Ω′ ) = ( , B,  ) , ta gọi X là biến ngẫu
nhiên thực hay vắn tắt là biến số ngẫu nhiên và khi ( M', Ω′ ) = (  k , B,  k ) ,
ta gọi X là vectơ ngẫu nhiên.

15


Định lý 1.2.1. Cho

( Ω, M, P )

là một không gian xác suất và

X : Ω →  k là một hàm Borel đo được. Với mỗi B ∈ ( B,  k ) , đặt
PX ( B ) = P, X ∈ B.
Ta có PX là một độ đo xác suất trên ( B,  k ) .
Khi đó PX còn được gọi là phân phối của biến ngẫu nhiên

X : Ω →  k . Đặc biệt, xét các tập
Bx ,..., x = ( −∞, x1 ) × ... × ( −∞, xk ) ,
1

k

với x1 ,..., xk ∈  k , ta có


∀∈  .

d) lim FX ( X ) = 0 và lim FX ( X ) = 1 .
x →−∞

x →+∞

Đặc biệt, nếu biến ngẫu nhiên X : Ω →  k có phân phối PX là độ đo
16


liên tục tuyệt đối đối với độ đo Lebesgue mk trên  k , ký hiệu PX  mk ,
nghĩa là với mọi tập Borel đo được B trong  k sao cho mk ( B ) = 0 , ta có

PX ( B ) = 0 , thì do định lý Radon - Nikodym tồn tại hàm khả tích
f X :  k →  sao cho f X 0 và
PX ( B ) = P ( X ∈ B ) = ∫ fdmk ,
B

với mọi tập Borel đo được B trong  k . Khi đó, ta nói X là biến ngẫu
nhiên liên tục và f X là (một) hàm mật độ xác suất của X .

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, ta có các kết quả quan trọng sau
Mệnh đề 1.2.2. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ xác
suất f X và hàm phân phối tích lũy FX . Ta có,
a) Với mọi a ∈  ,
FX ( X ) = P ( X a ) = P ( X < a ) =

∫

2
2
var ( X ) = E ( X − µ X )  = ∫ ( X − µ X ) dP,


Ω

và với hàm số g ( x ) = x n , n ∈  , ta được biến ngẫu nhiên g ( X ) = X n và
trung bình của biến ngẫu nhiên này, nếu có, được gọi là mômen thứ n của
X,

E ( X n ) = ∫ X n dP.
Ω

Do định nghĩa, trung bình hay trung bình của X chính là mômen thứ nhất
của X . Ngoài ra, căn bậc hai của phương sai của X được gọi là độ lệch
chuẩn của X , ký hiệu σ X ,

σ X = var ( X ) .
Định lý 1.2.2. Cho X là biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất
f X . Ta có

a) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì

µ X = E ( X ) = ∑xf X ( x ) ,σ x2 = var ( X ) = ∑ ( x − µ X ) f X ( x ) ,
2

x

x

c) Nếu X Y hầu chắc chắn (h.c.c) thì E ( X )E (Y ) . Ngoài ra giả
sử X0 h.c.c, ta có E ( X ) = 0 nếu và chỉ nếu X = 0 h.c.c.
d) Nếu X ∈ L1 ( P ) thì X ∈ L1 ( P ) và E ( X ) E X .
e) Nếu g :  →  là hàm lồi thì

g  E ( X )  E  g ( X )  .
f) Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập với nhau thì

E ( XY ) = E ( X ) .E (Y ) .
g) Với X là một biến ngẫu nhiên và Y = ϕ ( X ) là một hàm số xác
định thì
• Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với P ( X = xi ) = pi thì
19


P Y = ϕ ( xi )  = pi và E (Y ) = ∑ piϕ ( xi ) .

• Nếu X có hàm mật độ f X ( x ) , tức X là biến ngẫu nhiên liên
tục, thì
+∞

E (Y ) = ∫ ϕ ( x ) f ( x ) dx.
−∞

Tương tự, ta có các tính chất cho phương sai, độ lệch chuẩn như sau
Định lý 1.2.4. Cho X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian
xác suất ( Ω, M, P ) . Giả sử X ∈ L2 ( P ) . Ta có
a) Với mọi α ∈  ,

X ) = 2var ( X ) , var ( X + a ) = var ( X ) , var ( C ) = 0.

a
−
a

b

• Trung bình: E ( X ) = ∫ xf ( x ) dx = ∫
−∞

• Phương sai:

(b − a )
varX =
12

2

.

Định nghĩa 1.2.5. Phân phối chuẩn (Phân phối Gauss) X  N ( µ ,σ 2 )
• Hàm mật độ: f ( x ) =

1
e
σ 2π

−

( x − µ )2
2σ 2


nếu đầy đủ với mêtric

được sinh ra từ chuẩn thì X được gọi là không gian Banach.

p
1.4. Không gian L , 1p < +∞

Giả sử ( X ,  , µ ) là một không gian độ đo. Hàm số phức

f ( x ) = u ( x ) + iv ( x )
xác định trên tập hợp A∈  gọi là đo được trên A nếu u , v là hai hàm số
thực đo được trên A . Nếu f là một hàm số phức đo được trên A thì f
là một hàm số thực đo được trên A .
Cho 1p < +∞ , gọi Lp ( X , µ ) là tập hợp tất cả các hàm đo được trên
X sao cho

∫

f ( x ) d µ < ∞,
p

X

trong đó hai hàm phức tương đương trên X được xem là đồng nhất. Nếu

X ⊂  n là tập đo được theo Lebesgue và µ là độ đo Lebesgue thì ta ký
hiệu Lp ( X ) .
Định lý 1.4.1. Tập hợp Lp ( X , µ ) với hai phép toán cộng là tổng hai
hàm và phép nhân là tích vô hướng của một hàm với một số tạo thành một


X

).
1
q

Định lý 1.4.3. (Bất đẳng thức Minkovski) Giả sử 1 ≤ p < +∞ và

f , g ∈ Lp ( X , µ ) . Khi đó f + g ∈ Lp ( X , µ ) và

(∫

f ( x) + g ( x) d µ
p

X

) ( ∫
1
p

f ( x) d µ
p

X

) + (∫
1
p

tính định chuẩn.
Định lý 1.4.5. Không gian Lp ( X , µ ) , 1 ≤ p < +∞ là một không gian
Banach.
Định lý 1.4.6. Cho 1p < +∞ . Nếu

{ f n } ⊂ Lp ( X , m ) vÃlim
n→∞
thì tồn tại một dãy con

f − fn = 0

{ f } của dãy { f } , hội tụ hầu khắp nơi về
nk

n

f trên

X.

Định lý 1.4.7. Cho dãy

{ f n } ⊂ Lp ( X , µ ) ,

1p < +∞ . Nếu dãy

{ fn}

đơn điệu tăng và hội tụ hầu khắp nơi về f trên X thì lim f − f n = 0 .
n→∞