ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Kiến thức về hình học giải tích là một bộ phận quan trọng trong chương trình môn
Toán ở bậc THPT. Bài toán cực trị trong hình học giải tích là một bài toán khó, gây ra
nhiều khó khăn, lúng túng cho học sinh khi tìm hướng giải.
Đạo hàm là một công cụ tốt cho việc giải quyết bài toán tìm cực trị của hàm số. Các
hàm số xuất hiện trong bài toán cực trị của hình học giải tích Oxyz: Hàm số khoảng cách,
hàm số liên quan đến công thức tính góc hầu hết đều là những hàm số mà học sinh có thể
dễ dàng khảo sát và tìm cực trị của nó. Khó khăn của học sinh là việc thiết lập các hàm số
này.
Thông qua việc giải quyết bài toán cực trị, học sinh có thêm định hướng và phương
pháp giải quyết các bài toán khác của hình học giải tích Oxyz: Bài toán viết phương trình
mặt phẳng, bài toán viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.
Nhằm giúp các em học sinh có định hướng tốt khi tìm lời giải, cũng như giải quyết
được bài toán cực trị một cách trọn vẹn, rõ ràng và mạch lạc, tôi chọn nghiên cứu chuyên
đề:

“ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC
GIẢI TÍCH OXYZ ”
2. Mục đích nghiên cứu
Chuyên đề cung cấp cho học sinh một phương pháp để giải quyết bài toán cực trị
trong hình học Oxyz, rèn luyện cho học sinh kĩ năng chuyển đổi bài toàn toán cực trị trong
hình học sang bài toán cực trị trong giải tích. Từ đó, với công cụ đạo hàm học sinh có thể
giải quyết trọn vẹn bài toán cực trị. Đồng thời, chuyên đề cũng nhằm giúp học sinh có thể
giải quyết tốt các bài toán khác của hình học giải tích.
3. Phương pháp nghiên cứu
+ Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học.
+ Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của học sinh trong
quá trình giải quyết bài toán cực trị trong hình học giải tích Oxyz. Từ đó, đề xuất phương

r
2
2
2
AB = AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) .
• Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M ( xM ; yM ; zM ) và mặt
phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó:
AxM + ByM + CzM + D
d ( M ,( P) ) =
.
A2 + B 2 + C 2
• Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:
uuuu
r r
 MN , u 


d ( M ,∆) =
r
.
u
r
Trong đó, N là một điểm thuộc đường thẳng ∆ và u là VTCP của đường thẳng ∆ .
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
ur uu
r uuu
r
u1 , u2  . AB



2

2

3


P = MA2 + MB 2 = 12t 2 − 48t + 76 .
Xét hàm số f ( t ) = 12t 2 − 48t + 76 , với t ∈ R . Ta có: f ' ( t ) = 24t − 48 .
Khi đó, f ' ( t ) = 0 ⇔ t = 2
Bảng biến thiên:
t
−∞
+∞
2
−
+
f ′( t )
0
f ( t)

+∞

+∞

2
8

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN của f ( t ) = f ( 2 ) = 28 khi t = 2 .
Vậy P có GTNN khi t = 2 , tức là M ( −1;0;4 ) .

sau:

4


Bài toán 1.3 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1;4;2 ) , B ( −1;2;4 ) và đường thẳng
x = 1 − t

MA
∆ :  y = −2 + t . Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho biểu thức P =
đạt giá trị
MB
 z = 2t

lớn nhất.
309 − 10
MA2 6t 2 − 20t + 40
2
2
P
>
0
=
P
=
Gợi ý. Nhận xét
. Xét P =
.
Kết
quả


2

+ ( 3− t) + ( 3− t)
2

t 2 − 2t + 3 + t 2 − 4t + 6 .

Xét hàm số f ( t ) = t 2 − 2t + 3 + t 2 − 4t + 6 , với t ∈ R .
t −1
t−2
′
f
t
=
+
(
)
Ta có:
.
2
2
( t − 1) + 2 ( t − 2 ) + 2
Khi đó, f ' ( t ) = 0 ⇔
Xét hàm số g ( u ) =

t −1

( t − 1) 2 + 2
u

(u

2

+2

)

3

> 0 , với mọi u ∈ R .

3
Do đó, (*) ⇔ g ( t − 1) = g  − ( t − 2 )  ⇔ t − 1 = − ( t − 2 ) ⇔ t = .
2
Bảng biến thiên:

5

2


3
2

−∞

t

f ′( t )

2

)

2

+

( a + c ) 2 + ( b + d ) 2 ⇔ ( ad − bc ) 2 ≥ 0

( 2 − t) 2 + (

2

)

2

(

≥ 12 + 2 2

)

2

.

2. Bài toán trên có thể phát biểu dưới một hình thức khác như sau:
Bài toán 2.1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1;5;0 ) , B ( 3;3;6 ) và đường thẳng

2
1
2
chứa đường thẳng d sao cho khoảng

Ví dụ 3.(ĐH – A 2008) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

điểm A(2;5;3) . Lập phương trình mặt phẳng ( α )
cách từ điểm A đến mặt phẳng ( α ) là lớn nhất.
Lời giải.
Lấy điểm M ( 1;0;2 ) thuộc đường thẳng d . Do mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng d nên
điểm M thuộc mặt phẳng ( α ) .
Phương trình mặt phẳng ( α )
đi qua điểm M ( 1;0;2 ) và có VTPT
r
n( A; B; C ), A2 + B 2 + C 2 > 0 có dạng :
A( x − 1) + By + C ( z − 2) = 0
uu
r uur
Ta có : d ⊂ (α ) ⇒ ud .nα = 0 ⇔ B = −2 A − 2C . Khi đó, khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng ( α ) là:
9 A+C

( A + C )2
d ( A,(α )) =
= 9.
5 A2 + 8 AC + 5C 2
5 A2 + 8 AC + 5C 2
Xét hai trường hợp:
• TH1: C = 0 . Khi đó

1
5
f '( t )

t∈R.

−1
0

Ta

có:

+

−2t 2 + 2
f '( t ) = 2
5t + 8t + 5

(

1
0

−

)

và


.
5
Bài toán 3.2 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z = 0 và điểm
A ( 1;2; −1) . Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua gốc tọa độ O , vuông góc với mặt
phẳng ( P ) và cách điểm A một khoảng bằng 2 .
2. Trong bài toán này, biểu thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mặc dù có ba
biến là A, B, C nhưng biểu thức trong căn lại có dạng đẳng cấp bậc hai, nhờ phép
A
đổi biến t = chúng ta thu được hàm số chỉ còn một biến là t . Điều này thuận
C
lợi cho việc khảo sát hàm số. Các bài toán tiếp theo trong chuyên đề đều sử dụng
được phương pháp này.
Ví dụ 4. (ĐH – B 2009) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −3;0;1) , B ( 1; −1;3) và
mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 . Trong các đường thẳng đi qua điểm A và song song
với mặt phẳng ( P ) , hãy viết phương trình đường thẳng ∆ mà khoảng cách từ điểm B đến
đường thẳng ∆ là nhỏ nhất.
Lời giải.
r
Giả sử VTCP của đường thẳng ∆ là u = ( A; B : C ) . Điều kiện: A2 + B 2 + C 2 > 0 .
Do đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng ( P ) nên A − 2 B + 2C = 0 ⇔ A = 2 B − 2C .
uuu
r r
uuu
r
Ta có: AB = ( 4; −1;2 ) . Khi đó,  AB, u  = ( −C − 2 B;2 A − 4C ;4 B + A ) .
Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ là:
uuu
r r
2
2

56t 2 − 84t + 69
Xét hàm số: f ( t ) =
, với t ∈ R .
5t 2 − 8t + 5
 6
2
t = 7
−28t − 130t + 132
f
'
t
=
2
Ta có: ( )
và f ' ( t ) = 0 ⇔ 
.
11
( 5t 2 − 8t + 5 )
t = −

2
Bảng biến thiên:
−∞
t
6
11
−
7
2
−

2
So sánh hai trường hợp, ta thu được phương trình đường thẳng cần tìm là:
x + 3 y z −1
= =
.
26 11 −2
Nhận xét.
1. Trong đáp án của Bộ GD – ĐT, bài này được giải bằng phương pháp sử dụng tính
chất hình học: “Độ dài đường xiên không nhỏ hơn độ dài đoạn hình chiếu của nó”.
Lời giải tương đối ngắn gọn. Tuy nhiên, việc phát hiện ra điều này không hề dễ. Hơn
nữa, nếu thay giả thiết “khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ là nhỏ nhất”
thành giả thiết “khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng ∆ là lớn nhất” thì phương
pháp trên sẽ tỏ rõ hiệu quả.

9


Bài toán 4.1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −3;0;1) , B ( 1; −1;3) và mặt phẳng
( P ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 . Trong các đường thẳng đi qua điểm A và song song với mặt
phẳng ( P ) , hãy viết phương trình đường thẳng ∆ mà khoảng cách từ điểm B đến đường
thẳng ∆ là lớn nhất.
2. Phương pháp giải bài toán trên có thể áp dụng vào bài toán viết phương trình đường
thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước:
Bài toán 4.2 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 3z + 4 = 0 và điểm
M ( 0; −2;0 ) . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( P ) , đi qua điểm M
14
.
3
Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0; −1;2 ) và hai đường thẳng
x +1 y z − 2

5;0;0
) ⇒ AC = ( 5;1; −2 ) . Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và ∆ 2 là:
Lấy điểm (
uuu
r r uuur
2
 AB, u  . AC
3t +2
t + 2)
(


d ( d , ∆2 ) =
=
=3
uuu
r r
.
2
2
2
2
53
t
−
10
t
+
2
 AB, u 


)

2

 t = −2
và f ' ( t ) = 0 ⇔ 
4 .
t =
 37

Bảng biến thiên:

10


t

−∞

−2

−

f '( t )

0

1
53


Nhận xét. Với bài toán này, phương pháp khảo sát hàm số có lẽ là tối ưu nhất.
1.3 Một số bài toán tương tự

x y +1 z + 2
=
=
và hai điểm
1
2
3
A ( 2; −1;1) , B ( 1; −1;0 ) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho diện tích tam
giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
x −1 y − 2 z −1
=
=
Bài 2. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ :
và điểm
1
1
2
M ( 2;1;4 ) . Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆ sao cho đoạn MH có độ dài nhỏ
nhất.
x − 2 y +1 z
=
=
Bài 3. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng ∆ :
và mặt phẳng
2
1

2.1 Kiến thức cơ sở
Các công thức về góc trong không gian:
• Góc giữa hai đường thẳng:

ur uu
r
u1.u2
cos ϕ = ur uu
r.
u1 u2
ur uu
r
Trong đó, ϕ là góc giữa hai đường thẳng và u1 , u2 lần lượt là VTCP của hai đường
thẳng.
• Góc giữa hai mặt phẳng:
ur uu
r
n1.n2
cos ϕ = ur uu
r.
n1 n2
ur uu
r
ϕ
Trong đó, là góc giữa hai mặt phẳng và n1 , n2 lần lượt là VTPT của hai mặt
phẳng.
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
rr
u.n
sin ϕ = r r .

u
Ta có: VTCP của đường thẳng là = ( 2;1;1) .
13


Lại do, mặt phẳng ( Q ) chứa đường thẳng d nên 2 A + B + C = 0 ⇔ C = −2 A − B .
uu
r
P
(
)
VTPT của mặt phẳng
là n2 = ( 1;2; −1) . Góc giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) là:
ur uu
r
2
n1.n2
A + 2B − C
A + B)
3
(
cos ϕ = ur uu
=
.
r =
.
6 5 A2 + 4 AB + 2 B 2
n1 n2
6. A2 + B 2 + C 2
Xét hai trường hợp:


(

Bảng biến thiên:

)

t
f '( t )

−∞

−1
0

−

1
5

+

0
0

−

+∞

1

1
−1 + 2t + 2 ( −1 + t ) − ( 3 + t ) + 5 = 0 ⇔ t = .
3
 1 2 10 
Tọa độ điểm N  − ; − ; ÷.
 3 3 3
Gọi ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) . Lấy I ( −1; −1;3) ∈ d .
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng ( P ) và đường
·
thẳng ∆ . Khi đó, HK ⊥ ∆ . Do đó, góc giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) là góc IKH
.
IH IH
·
=
≥
Ta có: IN ≥ IK nên sin IKH
.
IK IN
 π
·
Do hàm số y = sin ϕ đồng biến trên đoạn  0;  nên góc IKH
nhỏ nhất khi K trùng N .
 2
Gọi ∆ ' là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với mặt phẳng ( P ) . Phương trình
 x = −1 + u

đường thẳng ∆ ' :  y = −1 + 2u .
z = 3 − u

 5 2 17 

Ta có: VTPT của các mặt phẳng (
Do ∆ song song với mặt phẳng ( Oyz ) nên A = 0 .
Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng ( P ) là:
15


r uu
r
2
u.n2
A − 2 B + 2C
2 ( B − C)
sin ϕ = r uu
= .
r =
2
2 .
u n2 3. A2 + B 2 + C 2 3 B + C
Xét hai trường hợp:
• TH1: C = 0 . Khi đó, sin ϕ =
• TH2: C ≠ 0 . Đặt t =

2
.
3

B
. Ta có: sin ϕ = 2 .
C
3


Bảng biến thiên:

)

t
f '( t )

−∞

−1
0

+

−

1
0

+

+∞
1

2

f '( t )
0


= . Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O , song song với
1
−1 2
mặt phẳng ( P ) và tạo với đường thẳng ∆ một góc nhỏ nhất.
ur
Giả sử VTCP của đường thẳng d là u1 = ( A; B; C ) . Điều kiện: A2 + B 2 + C 2 > 0 .
r
Ta có: VTPT của mặt phẳng ( P ) là n = ( 1; −1;1) .
Do mặt phẳng ( P ) song song với đường thẳng d nên A − B + C = 0 ⇔ B = A + C .
uu
r
VTCP của đường thẳng ∆ là u2 = ( 1; −1;2 ) . Góc giữa hai đường thẳng d và ∆ là:
ur uu
r
u1.u2
A − B + 2C
1
C2
cos ϕ = ur uu
=
. 2
r =
2 .
u1 u2
6. A2 + B 2 + C 2 2 3 A + AC + C
Xét hai trường hợp:
• TH1: C = 0 . Khi đó, cos ϕ =
• TH2: C ≠ 0 . Đặt t =

1

Xét hàm số f (t ) =

(

Bảng biến thiên:

2

)

t

−∞

f '( t )

−
+

1
2
0

+∞
−

3
4
f ( t)
0

Cả 3 ví dụ trên đều cho thấy rõ hiệu quả của phương pháp hàm số khi xét bài toán
cực trị liên quan đến góc so với phương pháp sử dụng tính chất của hình học không gian để
giải quyết.
3.3 Một số bài toán tương tự
Bài 1. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;0;5 ) , B ( 1; −2;3) và đường thẳng
x = t

∆ :  y = 2 − t . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua hai điểm A, B và tạo với đường
 z = 2t

thẳng ∆ một góc lớn nhất.
Bài 2. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 1;4;2 ) và hai đường thẳng
x −1 y + 2 z
x −1 y +1 z −1
d:
=
= ; d1 :
=
=
.
−1
1
2
2
1
1
a) Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) song song với đường thẳng d và tạo với mặt
phẳng ( Oxy ) một góc nhỏ nhất.
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A , vuông góc với đường thẳng d1 và
tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất.



C. KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY
Trong quá trình giảng dạy, tôi đã đem vấn đề trên áp dụng vào một buổi dạy tăng
cường dành cho các học sinh ôn thi ĐH – CĐ. Kết quả cụ thể như sau:
Lớp 12B9
(Chưa được học tăng
cường)
Trong không gian Oxyz , cho Không có học sinh nào giải
quyết trọn vẹn bài toán.
x = 1 − t

đường thẳng ∆ :  y = −2 + t
25/40 học sinh tính được
 z = 2t

diện tích tam giác MAB
theo tham số t nhưng không
và hai điểm A ( 2;3;0 ) ,
B ( 0; −1;5 ) . Xác định tọa độ biết đánh giá để diện tích
tam giác này đạt giá trị nhỏ
điểm M thuộc đường thẳng nhất.
∆ sao cho tam giác MAB có 15/40 học sinh không xây
diện tích nhỏ nhất.
dựng được công thức diện
(Thời gian: 15 phút)
tích tam giác MAB mà mất
thời gian đi tìm vị trí điểm
M từ hình vẽ.
Nội dung kiểm tra

chuyên đề này có thể được coi là một tài liệu tham khảo nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ
năng giải quyết các bài toán nói chung và kĩ năng giải bài toán cực trị trong hình học Oxyz
nói riêng.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Tĩnh, tháng 4 năm 2013

21


MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU ………………………………………………………………1
B. NỘI DUNG ……………………………………………………………3
I. BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH………3
II. BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC……………………13
III. MỘT SỐ CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ………………….19
IV. HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA CHUYÊN ĐỀ………………………19
C. KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY……………………....20
D. KẾT LUẬN……………………………………………………………..21

22