MỤC LỤC
Trang
A.Đặt vấnđề .........................................................................................................2
I.Lời nói đầu...............................................................................................................2
II.thực trạng của vấn đề..............................................................................................2
B.Giải quyết vấn đề
I. h c ại

t

...........................................................................3

ạng t n ha đ

c

ng.........................................................3

II. C c ạng bài tập th ờng gặp.................................................................................3
C.Kêt luận.........................................................................................................20

1


HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
A.ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lời nói đầu
Tr ng ch ơng trình ình h c gi i t ch p 12 b n cạnh c c ạng t n u n
thu c nh : vi t ph ơng trình ặt ph ng ph ơng trình đ ờng th ng …. Ta c n gặp
c c bài t n tì v tr của đi


ng
( %)

Không
nhận
bi t
đ c
60
66,7

hận bi t
nh ng không
bi t vận ng
20
22,2

hận bi t và
bi t vận ng
ch a gi i đ c
h àn ch nh
9
9,9

hận bi t và
bi t vận ng
gi i đ c bài
h àn ch nh
1
1.1

và (α).
* u u cầu tì đi
đ i ng v i
ua
ặt ph ng (α) thì ta v n tì hình chi uH của M
n (α),
ng c ng th c trung đi
u ra t a đ
.
b.
:
- i t ph ơng trình tha
của
- i  d có t a đ th tha
t
-r uuuu
àr hình chi u vu ng góc của đi
n
hi

(α)

ud MH  0

-Tì t u ra t a đ của .
II. C c ạng i tậ th ờng gặ
1.Cac i t n cực tr liên qu n đến t
t đi
th
B i t n 1:

MA
+...+
k
MA
=
(k
+
k
+...+
k
)MI
=
k
MI
1
-Bi n đ i : 1
2
2
n
n
1
2
n
uuur
 Tì v tr của
hi MI đạt gi tr nh nhất
V

1: Ch
ặt ph ng (α): 2 – 2 + 3z + 10 = 0 và ba đi

th a GA + GB +GC = 0 thì à tr ng t của ta gi c ABC và
G(0;-2;1)
uuuur uuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur uuuur uuur
uuuur
1) Ta có MA + MB  MC = MG + GA + MG  GB  MG  GC = 3 MG có gi tr
:

nh nhất hi
à hình chi u vu ng góc của
n ặt ph ng (α)
r
nhận n = (2; -2; 1) à v ct ch ph ơng
x = 2t

y = -2-2t
h ơng trình tha
z = 1+3t

T ađ
ng v i t à nghi ph ơng trình:
4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0  17t  17  0  t  1
uuuur uuur uuur
ậ v i (-2 0 -2) thì MA + MB  MC có gi tr nh nhất.
uur uur uur r
2)
i I(
z) à đi th a IA -2IB  3IC  0
Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0)
23

2
T ađ
ng v i t à nghi ph ơng trình:
73
73
23
3
0t
2(4  2t)  2(   2t)  3(   3t)  10  0  17t 
2
34
2
2
ậ v i M( 

uuuur uuur uuur
5
245 135
;
;
) thì MA -2MB  3MC đạt gi tr nh nhất.
17
34
17

B i t n 2:
kn = k .
k1MA12

 k2 MA22

-Bi n đ i : T = k1MA12  k 2MA 22  ...  k nMA n2 =
4


uuur

uur

uuur

= (k1 +...+ k n )MI2 + k1IA12  k 2IA 22  ..  k nIA 2n + 2 MI(k1 IA1 +..+ k n IAn )
= kMI2 + k1IA12  k 2IA 22  ...  k nIA 2n
Do k1IA12  k 2IA 22  ...  k nIA 2n h ng đ i Bi u th c T nh nhất h ặc n nhất hi
nh nhất ha
à hình chi u vu ng góc của I n ặt ph ng ha đ ờng th ng.
:
T
1+ k2+ ….+ n = k > 0,
-

k1+ k2+ ….+

n

I

= k < 0,

t.
V


3 3
AB và I (2; ;  )
2 2

Ta có: MA2 + MB2 = (MI + IA) 2 +(MI + IB) 2
uuur uur uur
 IA 2 + IB2 +2MI 2 +2MI(IA + IB) = IA 2 + IB2 +2MI2
Do IA 2 + IB2 h ng đ i n n A2 + MB2 nh nhất hi I2 có gi tr nh nhất ha
à hình chi u vu ng góc của I n (α) r
ờng th ng I
ua đi I và có vtcp n α  (1; 2; 2)

x = 2+t

3

h ơng trình tha
I: y = + 2t
2

3

z
=

+2t

2
T ađ

(α).
uur uur uur r
2) i (
z) à đi th a JA - JB -JB = 0
Hay (1  x; 2  y; 1  z)  (3  x;1  y; 2  z)  (1  x; 2  y;1  z)  (0;0;0)
3  x  0

 3  y  0  J(3; 3;0)
z  0

uuur uur
uuur uur
uuur uur
Ta có: MA2 - MB2 – MC2 = (MJ + JA) 2 - (MJ + JB) 2  (MJ + JC) 2

uuur uur
uur uur
 J A 2  JB2  JC2  MJ 2 + 2MJ(JA  JB  JC)

 JA 2  JB2  JC2  MJ 2
2
2
2
Do JA  JB  JC h ng đ i n n MA2 - MB2 – MC2
ha
à hình chi u của tr n ặt ph ng (α).

ờng th ng

ua đi

9

 M(

V

2: Cho đ ờng th ng

A2 - MB2 – MC2 có gi tr
có ph ơng trình:

x-1 y-2 z-3
=
=
và c c đi
1
2
1

1 -2) B( 2 -1 2) C( 3 3). ã tì đi
tr n
2
2
1) MA - 2MB có gi tr n nhất
2) MA2 + MB2 + MC2 có gi tr nh nhất.

1)

i đi


ha
à hình chi u vu ng góc của I n .
x = 1+t
r

ờng th ng có vtcp u  (1;2;1) , ph ơng trình tha
: y = 2+ 2t
z = 3+ t

uuur
M  d  M(1  t; 2  2t; 3  t) , IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3) hi
à hình chi u

uuur r

vu ng góc của I n n n IM.u  0  6t  4  0  t  

2
1 2 7
 M( ; ; )
3
3 3 3

1 2 7
A2 - 2MB2 có gi tr n nhất
3 3 3
uuur uuur uuur r
2)
i đi
(

n đ ờng th ng
uuuur r
1
1 5
GM.u  0  6t  3  0  t    M ( ;1; )
2
2 2

nh

thì

1 5
A2 + MB2 + MC2 có gi tr nh nhất.
2 2
B i t n 3: Cho
(α)
: + + +
A,B
(α) .
(α)
+
.
:
ậ v i M ( ;1; ) thì

7


u (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì A B nằ về hai ph a v i (α).



ng v i t à nghi

ph ơng trình: 2 + t – 2(-t)- 2.2 + 4 = 0
 3t  2  0  t  

4 2
3 3

Hay M ( ; ; 2) à đi
V

2
3

cần tì .

2: Ch
ặt ph ng (α) có ph ơng trình: x – y + 2z = 0 và ba đi
A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2). ã tì đi
tr n d sao cho
1) A + B có gi tr nh nhất
2) MA - MC có gi tr n nhất.

:
1) Tha t a đ của A và B và ph ơng trình (α) ta thấ hai đi
của (α).
i A à đi
đ i ng v i A ua (α) đ


của A tr n (α) ng v i t của ph ơng trình
1
2

3 3
2 2

1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0  6t – 3 = 0 hay t =  H( ; ; 0)
à trung đi

Do

uuur

x A ' = 2x H  x A  2

AA n n y A ' =2y H  y A  1  A '(2; 1; 1)
z = 2z  z  1
H
A
 A'

A B có vtcp A'B  (1;0; 3)
x  2  t

A B: y  1
z  1  3t



của (α). ậ n n A và C nằ c ng
t ph a đ i v i (α).
Ta thấ MA - MC  MA' - MC  A'C .Nên MA - MC đạt gi tr
n nhất khi
thu c A C nh ng ở ph a nguuuàiur đ ạn A C t c
à gia đi của A C và (α).
ờng th ng A C có vtcp A'C  (1; 3; 3)
x  2  t

A C: y  1  3t
z  1  3t


h ơng trình tha
T ađ

ng v i t à nghi

ph ơng trình:

2 - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 0  4t  3  0  t 
5
4

5
4

5
4



- T nh gi tr nh nhất của hà
- T nh t a đ của và t uận
V

1: Ch đ ờng th ng  d :
-3). ã tì

đi

tr n

(t) t đó u ra t

x-1 y + 2 z-3
=
=
và hai đi
2
2
1

a ch

C+

C(-

1 1)


(-3; 2; 1) thì C +
đạt gi tr nh nhất bằng: 2  2 17
B i t n 5:
.
 d1, N d2
1,d2
trên.
:
 d1 và  d2 ( t a đ th tha
- Lấ
).
-

r r
uuuur r
uuuur r
u
MN
.
u

0
MN
.
u

0
i i h ph ơng trình
và
( 1 , u2 à c c v ctơ ch

2
-1
7
2
3

1) Ch ng inh 1, d2 ch nhau
 d1 và  d2 a ch đ
2) Tì đi
1) d1 qua M1(

ài

ng n nhất.

:
uur
-1 11) có vtcp u1  (1;2; 1)
10


uur

d2 qua M2(-4; 3; 4) có vtcp u2  (7;2;3)
uur uur uuuuuur

Ta có [ u1 , u2 ] M1M 2 = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168  0
Hay d1 và 2 ch nhau.
2). M  d1 và  d 2 a ch đ ài
ng n nhất hi và ch hi




Ta có  uuuur r
62
t
'

6
t

50

0
MN
.
u

0

t '  1
2


đó
ậ v i

(

3 9) và (3; 1; 1)

góc của
- Ta

gi c

tr n
n AB

i

à hình chi u vu ng

AB có i n t ch S =

1
AB.MH đạt gi
2

tr nh nhất hi
nh nhất ha
à đ ạn
vu ng góc chung của AB và .
r
Ta thấ
ua 1(2; 4 -2) có vtcp u  (1;1;0)

uuur
uur
AB qua A(1; 2; 3) và AB  (0; -2;-2) = 2u1
uur


Ta có
2t ' t  3
t  3

MH.u1  0
ậ

(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) hi đó

i n t ch S MAB 

= 2 3 , AB = 2 2

1
AB.MH  6
2

x  0
3: Ch đ ờng th ng : y  t . Tr ng c c
z  2  t


V

v i c hai đ ờng th ng
có b n nh nh nhất.

và tr c



nhau.

uuuur
(t 0 0) Ox và MN  ( t -t; t – 2)

uuuur r

MN
.u  0
t  t  2  0
t  1





Ta có  uuuur r
t
'

0
MN
.
i

0

t '  0


2
2
1
2

đ ờng th ng

ặt h ng.

12


B i t n 1:

,B.
(α)
.

:
à hình chi u vu ng góc của B n ặt ph ng
(α) hi đó ta gi c AB vu ng tại
và h ng
c ch (B (α)) = B
AB. ậ (B (α)) n nhất
bằng AB hi A ≡
hi đó (α) à ặt ph ng đi ua
A và vu ng góc v i AB.
i

V

R = AB=3
h ơng trình ặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9.
B i t n 2:
.
(α)
(α)

i

:
à hình chi u vu ng góc của A n

ặt ph ng

(α)
à hình chi u vu ng góc của A lên ∆
Ta có (A; (α)) = A
A
n nhất thì H≡
hi đó (α) à ặt ph ng đi ua ∆ và vu ng góc
v i A . Hay (α) ua ∆ và vu ng góc v i p(∆ A).
V
1: Ch ba đi A(2 1 3) B(3 0 2) C(0 -2 1). i t ph ơng
trình ặt ph ng (α) đi ua hai đi A, B và c ch C
t h ng n
nhất.

13



đi A, K.
V
1: Cho ặt ph ng (α): 2 – 2 + z + 1 = 0 và đi
i t ph ơng trình đ ờng th ng ∆ nằ tr n (α) ua đi
)
t h ng :
1) h nhất .
2) L n nhất.
:
uur
Ta thấ (α)có v ctơ ph p tu n n  (2; 2;1)
1) i à hình chi u vu ng góc của B n (α)

n nhất hi (α) đi ua

(α).

A (-3; 3; -3).
A và c ch đi

B(2 3

x  2  2 t

h ơng trình B : y  3  2t
z  5  t


T a đ đi


tr ng (α), qua A và vu ng

x+3 y-3 z +3


16
11 10

2: Ch hai đi

x  1  t

A(2 1 -1) B(-1 2 0) và đ ờng th ng : y  0
z  t


i t ph ơng trình ặt ph ng (α) đi ua và B.
i t ph ơng trình đ ờng th ng ∆1 đi ua B c t a ch h ng
c ch t A đ n ∆1 n nhất.
3) i t ph ơng trình đ ờng th ng ∆2 đi ua B c t a ch h ng
c ch t A đ n ∆2 nh nhất.
:r
uuur
ờng th ng ua đi
(2 0 0) có vtcp ud  (1;0; -1) , MB  (2;2;0)
1)
2)

1)


2 + t + 1 + t -1 + t – 1 = 0  3t  1  0  t  
uuur
8 4 4
BH  ( ; ; ) 
3 3 3
r
uur
Ta thấ u1 và ud

5 2 4
1
 H( ; ; )
3 3 3
3

uur
4
4 uur
(2; 1; 1)  u1  ∆1 nhận u1 à
3
3

h ng c ng ph ơng n n

v c tơ ch ph ơng

và ∆1 c t nhau (

c ng thu c


 z  t


B i t n 4:

(α)
(α)

(α)
.

(α)
.
:
i

à đ ờng th ng ua A và ng
ng v i B à gia đi của v i (α).
t ( ) à ặt ph ng (d1 ∆)
và I à hình
chi u vu ng góc của B n ( ) và 1.
Ta thấ h ng c ch gi a ∆ và à B và
uur uur uur
B
BI n n B
n nhất hi I ≡
hi đó ∆ có vtcp u  [BI , n ] .

V


z  3  t


i B à gia đi của và (α) t a đ B ng v i t à nghi
2+ 2t – 2 – 2t – 3+ t + 4 = 0  t = -1  B(0; 0; 4)
t 1 à đ ờng th ng ua A và ng ng v i

ph ơng trình:

16


h ơng trình tha

x  1  t

đ ờng th ng 1: y  1  2t
z  1  t


i I à hình chi u vu nguurgóc của B n 1
 I(-1 + t; 1 + 2t; 1 – t), BI  (-1 + t; 1 + 2t;-5– t)
uur r
Ta có BI.u  0  -1 + tuu+r 2(1uur+ uu
2t)
–(-5– t) = 0  t = -1  I(-2; -1; 2)
r
ờng th ng ∆ có vtcp u  [BI , n ] = (-5; -10; 4)
h ơng trình ∆:
V

nằ tr n (α).

ng

a ch
:

ng

ng

h ng c ch gi a và ∆

ng v i (P)
n nhất.

ng v i ( ) có ph ơng trình: x + y – z + 2= 0

uur
r
n
ờng th ng ∆ có vtcp u  (2 1 -3) (α) có vtpt   (1;1;-1)

h ơng trình tha
i B à gia đi

x  1  2t

∆: y  t
z  4  3t

uuur
3
3
1
BH  (1 + 2t; t - ; -3t).Ta có BI .u  0  2 + 4t + t - + 9t = 0  t = 
2
2
28
r
uuur 13
43 3
1
1
 BH =( ;  ;
) = (26; -43; 3) = u1
14
28 28
28
uu28
r uur uur
ờng th ng d có vtcp ud  [u1, n ] = (40; 29; 69)
17


h ơng trình d :

x-1 y+1 z -2


40

1: Ch

th ng :

ặt ph ng (α): 2 + 2 – z –

= 0 đi

ha ∆ à

A(1 2 -2) và đ ờng

x+2 y-1 z -3


.
1
1
1

i t ph ơng trình đ ờng th ng ∆1 nằ
góc n nhất.
2) i t ph ơng trình đ ờng th ng ∆2 nằ
góc nh nhất.
1)

tr n (α) đi ua A và tạ v i

t



h ơng trình
i

1:

1

qua A và

x-1 y-2 z +2


1
1
1

ng
ấ đi

ng v i
B(2; 3; -1) d1.

à hình chi u vu ng góc của B n (α)
18


h ơng trình tha

của B

)
9 9 9

A và , AK  ( ; ;

uuur

∆2 ua A(1 2 -2) có v ctơ ch ph ơng u2  9.AK  (1;1;13)
h ơng trình ∆2 :
V
d:

2:

x-1 y-2 z +2


1
1
13

Ch

x-1 y-2 z -3


.
2
1
1


x  2 t

y  2  t t a đ
z  t


ph ơng trình: 4t -2 + t + t – 2 = 0  6t – 4 = 0  t 
∆ tạ v i AB

t góc nh nhất hi nó đi ua hai đi
uur

uuur

của

ng v i t à nghi

của

2
4 4 2
hay H( ; ; )
3
3 3 3

uuur

1 4 2

sinh,c th là : C c
t ra rất a
h
à
t thành c ng của ng ời gi vi n.
c c
h c inh p 12A,12B. K t qu nh

S
T

ng
( %)

Không
nhận
bi t
đ c
0
0.0

hận bi t
nh ng h ng
bi t vận ng
3
3.3

t ra
ạt c
n th

ph p à và trình bầ bài gi p c c
tự tin hơn tr ng h c tập cũng nh hi đi thi.
Tu
t ủa ch a thật nh
ng đ i nh ng v i tr ch nhi
của
t ng ời thầ
tr ng
t ch ng ực nà đó t i có th b t b n h n hi h c tr của ình có th
làm t t các bài toán: “ Cực tr trong hình h c gi i tích l p 12 ”
T i u n nghĩ rằng : ự ti n b và thành đạt của h c inh u n à
c đ ch ca c
à ngu n đ ng vi n t ch cực của ng ời thầ .
vậ t i
ng c đ c chia ẻ v i
u đ ng nghi p
t
u nghĩ nh au:
t bài t n có th có rất nhiều c ch gi i ng vi c tì ra
t ời gi i h p
ng n g n th v và đ c đ
à
t vi c h ng ễ.
đó đ ch à
t chu n đề
trong rất nhiều chu n đề
t ph ơng ph p tr ng hàng vạn ph ơng ph p đ gi p
ph t tri n t u ự ng tạ của h c inh. i vi n tr c h t ph i cung cấp ch
h c inh n ch c c c i n th c cơ b n au đó à cung cấp ch h c inh c ch nhận
ạng bài t n th hi n bài t n t đó h c inh có th v n ng inh h ạt c c i n

Nguyễn V n Tân
H Th Mai

ÁNH GIÁ CỦA HỘI Ồ
KHOA HỌC CƠ SỞ
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
..............................................
Vĩnh L c, Ngày 14 tháng 5 n m
2013
Thay mặt H KH cơ sở
Chủ T ch

Nguyễn V n Tân
21


VII. TÀI LIỆU T AM K ẢO
1. ình h c 12 Bài tập hình h c 12 – nhà B
n 2008
2. ình h c 12 n ng ca Bài tập hình h c 12 nâng ca – nhà B
n