Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TRONG MẠCH ĐIỆN KHÔNG PHÂN NHÁNH R,L,C
Tác giả: Đào Thị Loan
Giáo viên trường : THPT Yên Lạc
Đối tượng bồi dưỡng : Học sinh lớp 12
Số tiết dự kiến: 12 tiết
LỜI NÓI ĐẦU
Theo chương trình cải cách giáo dục thì từ năm học 2007 – 2008 thì bộ
môn vật lí đã chuyển hình thức từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm. Lượng
kiến thức trong mỗi bài thi rất lớn gần như bao quát toàn bộ chương trình
mà thời gian thi cũng ít hơn khi các em thi tự luận vì vậy đòi hỏi các em
phải có cách tư duy làm bài nhanh nhưng đòi hỏi phải chính xác. Phần điện
xoay chiều là phần rất quan trọng trong bố cục đề thi vì vậy tôi đã viết
chuyên đề “ Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R,
L, C” để đưa ra cho các em một số dạng bài đặc biệt giúp các em nhận diện
và có cách giải nhanh nhất.
Chuyên đề gồm bốn phần:
Phần 1: Tóm tắt lý thuyết.
Phần 2: Một số bài toán cực trị trong mạch không phân nhánh R, L, C
Phần 3: Một số bài tập ví dụ.
Phần 4: Một số bài tập tự giải.
Tôi hy vọng chuyên đề này sẽ giúp các em học tốt hơn và yêu thích hơn
khi học phần điện xoay chiều trong môn vật lý.
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
1
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường, toàn thể các
thầy cô trong hội đồng nhà trường, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Vật lý –
Công nghệ của trường THPT Yên lạc; các em học sinh và gia đình đã giúp
đỡ tôi khi tôi viết chuyên đề này.

0
cos(
ω
t +
u
ϕ
) (V). Với U
0
là hiệu điện thế
cực đại,
u
ϕ
là pha ban đầu
- Các giá trị hiệu dụng : U=
0
2
U
và I=
0
2
I
*) Xét đoạn ,mạch R, L , C nối tiếp:
- Tần số góc:
2
2 f
T
π
ω π
= =
;

R r
+
ur
U
L
ur
U
C
ur
U U
L C
+
ur ur
O
U
ur
ϕ
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12
+ U
R

= IR =
2 2
( ) ( )
L C
U UR
R
Z
R r Z Z
=

R L r
L C
R Z r Z
U
U U UU
I
Z
= = = = =
- Độ lệch pha giữa u – i:
tan
L C
Z Z
R r
ϕ
−
=
+
(trong đó
u i
ϕ ϕ ϕ
= −
)
*) Công suất tiêu thụ của mạch:
+ Nếu cuộn dây thuần cảm: P = I
2
R = UI
osc
ϕ
+ Nếu cuộn dây có điện trở trong r : P = I
2

+ Độ lệch pha giữa u và i
tan 0
C
Z
R
ϕ
−
= →p
u luôn trễ pha so với i (trong đó
u i
ϕ ϕ ϕ
= −
)
+ Công suất tiêu thụ của mạch: P = I
2
R =UI
osc
ϕ
* Mạch có điện trở thuần mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm: R – L
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
3
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12
+ Tổng trở
2 2
L
Z R Z= +
+ Định luật Ôm:
R
R Z
L

ω
; U là các hằng số.
Tìm giá trị của R để :
1. Điện áp hiệu dụng hai đầu R đạt cực đại
2. Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây thuần cảm)
3.Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây có điện trở trong r);
P
mach
cực đại.
* Hướng dẫn giải:
Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất
phát từ công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
5
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12
nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi
theo đại lượng thay đổi.
Bổ đề :
• Bất đẳng thức Cosi : Cho hai số không âm a, b khi đó
2a b ab+ ≥
Nên
min
( ) 2a b ab+ =
, Dấu bằng xảy ra khi a = b
• Hàm số bậc hai
2
axy bx c= + +
, với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
2
min

2 2 2 2
2
2
2 2 2
L C
L C
U U U U
P = I R = R = R = =
(Z -Z )
Z R +(Z -Z ) y
R+
R
với y =
2
L C
(Z -Z )
R+
R
Ta có:
L C L C
2 Z -Z Z -Z
Min
Z R= ⇔ =

(1.1)
Khi đó công suất cực đại của mạch
2 2
Max
L C
U U

L C
L C
P Z Z U R
P U R Z Z
⇒ =
⇔ − + =
Điều kiện để (*) có 2 nghiệm phân biệt là:
2
2
L C
U
Z Z
P
− <
(1.3)
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
7
R
P
'
P
0
Z Z
L C
−
∞
0
+
−
P

Z Z Z Z
R R
ϕ ϕ
π
ϕ ϕ
=
⇒ =
⇒ + =±
(1.5)
+ Khi
1 2
2
L C
Z Z
π
ϕ ϕ
> → + =
+ Khi
1 2
2
L C
Z Z
π
ϕ ϕ
< → + = −
*) Khi công suất trong mạch đạt cực đại thì hệ số công suất
1
os
4
2 2


Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12

(1.7)
+ Mạch chỉ có R – L mắc nối tiếp. Có hai giá trị của R khi thay đổi cho cùng một
công suất thì :

(1.8)
*) Từ công thức (1.2); (1.3); (1.4)
1 2
ax 1 2
2
M
R R
P
P R R
=
+
(1.9)
*) Khi công suất trên R cực đại thì hiệu điện thế trên hai đầu cuộn dây và hai
đầu của tụ khi đó:
+)
2 2
2
( )
L C L C L C
L C
U U
U U I Z Z Z Z
R Z Z

Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12
6.Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây có điện trở trong
r)
Trong mạch điện RLC mà cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r thì ta có
thể tìm công suất mạch cực đại và công suất tỏa nhiệt trên R cực đại
Trường hợp 1: Công suất tỏa nhiệt P trên toàn mạch cực đại:
2 2 2 2
2
2
2 2 2
L C
L C
U U U U
P = I (R+r) = (R+r) = (R+r) = =
(Z -Z )
Z (R+r) +(Z -Z ) y
(R+r)+
(R+r)
Với
2
L C
(Z -Z )
y = (R+r) +
(R+r)
Ta có theo bất đẳng thức Cosi thì y
min
= 2
L C
Z Z−
Và P

+
⇒ =
IR
( ) 2
2
R
R
U UR
U R
Z
R r
U R r
U R
= = =
+
+
⇒ =
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12
*) Nếu
L C
r Z Z> −

M L C
R r Z Z→ ≥ > −
ta có bảng biến thiên
Nếu
L c
Z Z r
− <
thì ta lấy R = 0 và công suất khi đó

2
2
2 22 2 2
L C
L C
U U U U
P = I R = R = R = =
(Z -Z )
R +2Rr + r
Z (R+r) +(Z -Z ) y
+
R
R
R
với
2
2 2
( )
2
L C
Z Z
R Rr r
y
R R
−
+ +
= +
Ta
2 2
min

+ + −

*) Khi công suất trên R đạt cực đại thì độ lệch pha giữa u và i khi đó là:
( )( )
tan
L C
R r R r
Z Z
R r
R r R r R r
ϕ
+ −
−
−
= = ± =
+ + +
(1.16)

*)
2 2 2
( )
R r L C
U U U U= + −
;
2 2 2 2 2
( ) 2 ( )
R r R r R R r
U U U U U U U U U= + + − ⇒ = +
*) Hiệu điện thế giữa hai đầu của cuộn dây và tụ điện khi đó:
2 2

os( )u U c t
ω
=
.
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
12

(1.18)
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12
1. Thay đổi R ta thấy hiệu điện thế trên hai đầu của điện trở thuần R và tụ
điện (R mắc liên tiếp với C) có giá trị không đổi. Tính U
RC
và tần số cộng
hưởng trong mạch.
2. Thay đổi R ta thấy điện áp giữa hai đầu của U
RL
vuông góc với hai đầu của
đoạn mạch. Tính R .
Hướng dẫn
1) Ta có:
+)
2 2
2 2 2
2 2
( ) 2
1
C
RC RC
L C L L C
C

Khi đó U
RC
= U (2.2)
2) Theo giả thiết
2
tan tan 1
1
( )
RL RL
L L C
L C L
U U
Z Z Z
R R
R Z Z Z
ϕ ϕ
⊥ → = −
−
↔ = −
↔ = −
uuur ur
(2.3)
Ta có: + Mạch R – L – C có tính dung kháng (
C L
Z Z>
)
+
2 2 2 2
C R L
U U U U= − −

= U
Rcmax
+
Hệ số công suất cos
ϕ
=1 ; u,i cùng pha.
2. Xác định L để U
Lmax
3. Xác định L để U
RL
cực đại (R mắc liên tiếp với L)
4. Khi thay đổi L ta thấy với L = L
1
và L = L
2
thì U
L
có giá trị không đổi. thiết
lập công thức giữa L
1
; L
2
với L sao cho U
L
cực đại.
5. Khi thay đổi L ta thấy với L = L
1
và L = L
2
thì ta thấy P

Ta có:
2 2 2 2
2
( )
2 1
L
L L
L C C C
L L
UZ U U
U IZ
Y
R Z Z R Z Z
Z Z
= = = =
+ − +
− +
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
14
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12
Khi U
L
đạt cực đại thì Y = Y
min
. Nếu đặt
1
L
X
Z
=

L
C
R Z
b Z
Z L CR
X
Z C
a R Z
R
U R Z
Y
U
a R Z
R
ω
+


= → = +
= − =


+
 
⇒
 
∆
+
 
= − =

C L C
C L C
u i u i
u i u i
Z Z Z R
Z Z Z
R R
ϕ ϕ
π
ϕ ϕ
↔ − − = −
−
↔ − = −
↔ = −
↔ − = ±

Mặt khác ta luôn có trong mạch R- L – C không phân nhánh thì u
RC
luôn trễ pha
so với i một góc
2
RC
π
ϕ
p
nên
/ /
2
RC
u i u i

(3.4)
3. Xác định L để U
RL
đạt cực đại
Ta có :
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
( ) 2 2
1
L
RL RL
L C L C L C C L C
L L
U R Z
U U U
U IZ
Y
R Z Z R Z Z Z Z Z Z Z
R Z R Z
+
= = = = =
+
+ − + + − −
+
+ +
Ta thấy U
RL
cực đại khi Y = Y

(3.5)
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12
Y’ =
2 2 2
2 2 2
2 ( ) 2 ( 2 )
( )
C L L C L C
L
Z R Z Z Z Z Z
R Z
− + − −
+
Y’ = 0
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 ( ) 2 ( 2 ) 0
2 0
0
4
2
C L L C L C
L L C L
L L C
C C
L
Z R Z Z Z Z Z
R Z Z Z Z

C C
U
U
R Z Z
=
+ −

2 2 2
0 ( )
1 tan tan 1
RL
L L C L L C
L L C
u
Z Z Z R Z Z Z R
Z Z Z
R R
ϕ ϕ
− − = ↔ − =
−
↔ = ↔ =
2
RL
u
π
ϕ ϕ
→ + = ±
Vì Z
L
>Z

UZ U Z
U IZ a
U R Z Z
R Z Z
= = ⇔ = =
+ −
+ −
2 2 2 2
2 2 2
2
( 1) 2 ( )
L L L C C
L L C C
Z aR aZ aZ Z aZ
a Z aZ Z a R Z
⇔ = + − +
⇔ − − + +
với a>1
Đây là tam thức bật hai. Điều kiện để tam thức có nghiệm là
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
' 0 4 ( 1)( ) 0
4 ( 1) 4( 1)
4( )
C C
C
C

L L C
C
L L
aZ
Z Z
Z Z R Z
a
Z
Z Z Z
a R Z
Z Z
a

+ =

+

−
⇔ = =

+
+

=

−

1 2
1 2
2( )

L C L C
I R I R I I Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
↔ = ⇔ = ⇔ =
⇔ − = −
⇒ − = − −
*) Từ công thức (3.12) ta có :
1 2
1 2
2
1
2 2
L L
C
Z Z
L L
Z L
C
ω
+
+
= ↔ = =
Mặt khác khi mạch cộng hưởng thì
2
1
LC
ω
=
1 2

ϕ
=
-
2 1 2
tan
ϕ ϕ ϕ
→ = −
(3.14)
Hệ số công suất trong hai trường hợp đó bằng nhau
1 2
os osc c
ϕ ϕ
=
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
19
(3.12)
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12
PHẦN 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VÍ DỤ:
Ví dụ 1: (ĐH – 2009) Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào
hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện. Dung kháng của tụ
điện là 100Ω. Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị R
1
và R
2
công suất tiêu thụ của
đoạn mạch như nhau. Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R
1
bằng
hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R
2

1
1 2 1 2
2
2 2 2
C C C C
I
U U I Z I Z
I
= ⇔ = ⇒ =
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
20
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12
Mặt khác
2
2 2
2 1
1 2 1 1 2 2
1 2
4
R I
P P I R I R
R I
 
= ⇔ = ⇔ = =
 ÷
 

Giải ta có : R
1
= 50Ω, R

+ +
Mặt khác gọi R là điện trở khi công suất của mạch cực đại thì:
R
2
= R
1
R
2
nên R = 24
Ω
P
Max
=
2
2
U
R
= 300 W
Ví dụ 3 (ĐH 2011): Một đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối
tiếp. Đoạn mạch AM gồm điện trở thuần R
1
mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung
C, đoạn mạch MB gồm điện trở thuần R
2
mắc nối tiệp với cuộn cảm thuần có độ
tự cảm L. Đặt điện áp xoay chiều có tần số và giá trị hiệu dụng không đổi vào hai
đầu đoạn mạch AB. Khi đó, đoạn mạch AB tiêu thụ công suất bằng 120 W và có
hệ số công suất bằng 1. Nếu nối tắt hai đầu tụ điện thì điện áp hai đầu đoạn mạch
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
21

+

+ Khi tụ điện bị nối tắt đoạn mạch AM còn R
1
khi đó u
AM
cùng pha với i, còn u
MB

sớm pha hơn i là φ
MB
- Theo đầu bài u
AM
lệch pha π/3 so với u
MB
nên u
MB
sớm pha hơn i là φ
MB
= π/3 →
Z
L
=
2
.3 R
Do U
AM
= U
MB
( vì mạch nối tiếp) nên R

= I
2
( R
1
+ R
2
)
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
22
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12
P
2
=
2 2 2
1 2 1
/ 2 2
1 1
3
( ) .
3 2 2
U U U
R R R
Z R R
+ = =
= (2)
Từ (1) và (2) ta có P
2
= 3/4P
1
= 90W

4
* Hướng dẫn giải:
a) Ta có với R = R
1
= 90Ω u và R = R
2
= 160Ω thì mạch có cùng công suất P.
Thì:
2
1 2
U
P
R R
=
+
= 230,4 W và R
1
R
2
= (Z
L
- Z
C
)
2

Z Z
L C
→ −
=120

4
= 250 khi đó 2 giá trị là 90 Ω và 160Ω
Ví dụ 5 : Cho mạch điện như hình vẽ : R là biến trở
U
AB
= 100
2
V; U
AN
= 100
2
V; U
NB
= 200V
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
23
L
C
R
A B
M
N
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12
Công suất của mạch là P = 100
2
W.
1. Chứng minh rằng P = 100
2
W chính là giá trị công suất cực đại của mạch
2. Với hai giá trị R

R R R
P
= = =
20000 -> R
2
= 100Ω
và
2
1 2
U
P
R R
=
+
= 66,67 W
Ví dụ 6 : Cho mạch điện RLC; u = 300
2
cos100
π
t (V).R thay đổi được ; Khi
mạch có R = R
1
= 90Ω thì độ lệch pha giữa u và i là ϕ
1 .
Khi mạch có R = R
2
=
160Ω thì độ lệch pha giữa u và i là ϕ
2.
biết

P
R R
=
+
= 600W
b)
1 2
120 120
L C L C
Z Z R R Z Z− = = Ω → − = ± Ω
1
1
U
I
Z
→ =
=2 A;
2
2
U
I
Z
→ =
=1,5 A
tan
1
ϕ
=
1
120 4

160 4
L C
Z Z
R
− ±
= = ±
2
37
180
π
ϕ
→ = ±
i
1
= 2,5
2
cos(100
π
t
37
180
π
±
)
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
24
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C- BD Vật lý 12
Ví dụ 7 : Đoạn mạch xoay chiều gồm có tụ điện mắc nối tiếp với biến trở R rồi
mắc vào mạch điện xoay chiều u = U
0

tan tan 1
L C
R R Z Z
ϕ ϕ
= → = −
P
1
= P
2
→
1 2
1 2
1
C
Z R R C
R R
ω
= → =
Ví dụ 8 : Đặt vào hai đầu đoạn mạch không phân nhánh gồm một biến trở R,
cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L và một tụ điện có điện dung
3
10
13
C F
π
−
=
một
điện áp xoay chiều
0

−
= − → = − ⇔ − + =

2 2 2 2
0
L C R L L L C R
U U U U U U U U⇔ = + ⇔ − + =
+ Thay số ta có
90
60
L
L
U V
U V
=


=

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
25