Trung tam luyen thi dai hoc Tri Hành – 03 Võ Văn Ngân Thủ Đức 08.37204158 –
0918.045.459 Ths. Nguyenducthanh –www.trungtamtrihanh.edu.vn, hoặc
www.daihocsuphamtphcm.edu.vn
Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp
LỜI MỞ ĐẦU
- Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài toán khó đối với học
sinh lớp 12 và cũng ít tài liệu hệ thống hóa một cách đầy đủ về dạng bài toán này.
- Với đề thi trắc nghiệm đại học như hiện nay, việc áp dụng trực tiếp kết quả của
bài toán cực trị sẽ làm cho học sinh không có cái nhìn tổng quan về phương pháp
giải các dạng toán này.
- Chính vì lý do đó, nay tôi viết đề tài “ CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN
XOAY CHIỀU “ nhằm hệ thống hóa một số dạng toán cực trị của bài toán này
phục vụ cho công tác giãng dạy của các bạn đồng nghiệp, cũng như một tài liệu để
học sinh tham khảo trong quá trỉnh học.
- Đề tài gồm bốn phần : khảo sát sự biến thiên của các đại lượng như công suất,
hiệu điện thế của các thiết bị… theo giá trị của biến trở R, theo giá trị của độ tự
cảm L, theo giá trị của điện dung C và theo giá trị của tần số góc ω.
- Vì thời gian có hạn, nên trong quá trình viết có thể có nhiều thiếu xót, mong được
sự đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh.
Trang
1
Trung tam luyen thi dai hoc Tri Hành – 03 Võ Văn Ngân Thủ Đức 08.37204158 –
0918.045.459 Ths. Nguyenducthanh –www.trungtamtrihanh.edu.vn, hoặc
www.daihocsuphamtphcm.edu.vn
MỤC LỤC
I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp
1. Có hai giá trị R
1
≠ R
2
cho cùng một giá trị công suất

5. Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
LRrmax
III. Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.
1. Có hai giá trị C
1
≠ C
2
cho cùng giá trị công suất
2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng.
3. Giá trị Z
C
để hiệu điện thế U
Cmax

4. Có hai giá trị C
1
≠ C
2
cho cùng giá trị U
L
và giá trị Z
C
để U
Cmax
tính theo C
1
và C
2

I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
0
cos( )
u
u U t
ω ϕ
= +
R là một biến trở, các giá trị R
0
, L và C không đổi.
Gọi R
td
= R + R
0
1. Có hai giá trị R
1
≠ R
2
cho cùng một giá trị công suất
- Công suất tiêu thụ trên mạch là :
2
2
2 2
( )
td td
td L C
U
P R I R
R Z Z

R R Z Z R R R R Z Z
U U
R R R R R
P P
 
= − + + = −
 
⇔
 
+ = + + =
 
 
- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R
1
và R
2
khác nhau cho cùng giá trị công suất
2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại
a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại
- Ta có:
2 2
2
2
2 2
( )
( )
td td
L C
td L C
td

A R R Z Z const
R R
− −
= + ≥ = − =
- Ta thấy rằng P
max
khi A
min
=> “ =” xảy ra. Vậy:
td L C
R Z Z
= −
- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:
2 2 2
max
1 2 1 0 2 0
2
2 . 2 ( )( )
L C
td td
U U U
P
Z Z
R R R R R R
= = =
−
+ +
Với R
1td
và R

L C
U U
P R I R
R R Z Z
R R Z Z
R
= = =
+ + −
+ + −
- Đặt mẩu thức của biểu thức trên là :
2 2 2 2
0 0
0
( ) ( ) ( )
2
L C L C
R R Z Z R Z Z
A R R
R R
+ + − + −
= = + +
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được:
2 2 2 2
2 2
0 0
0 0 0 0
( ) ( )
2 2 2 2 ( ) 2
L C L C
L C

hiệu điện thế cuộn dây cực đại, hiệu điện thế tụ điện cực đại.
- Ta có :
2 2 2
â 0 0
2 2
0
; ;
( ) ( )
d y d L c C
L C
P R I U I Z R U IZ
U
I
R R Z Z
= = + =
=
+ + −
- Vì R
0
; Z
L
; Z
C
và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần
cường độ dòng điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng I
max
khi
giá trị của biến trở R = 0.
3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R
- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R

R Z Z
− −
=
+ −
Khi
' 2 2
0
( ) 0 ( ) 0
L C td td L C L C
P R Z Z R R Z Z R Z Z R= ⇒ − − = ⇒ = − ⇒ = − −

Bảng biến thiên :
R
0
0L C
Z Z R− −
+∞
P’(R) + 0 -
Trang
4
Trung tam luyen thi dai hoc Tri Hành – 03 Võ Văn Ngân Thủ Đức 08.37204158 –
0918.045.459 Ths. Nguyenducthanh –www.trungtamtrihanh.edu.vn, hoặc
www.daihocsuphamtphcm.edu.vn
P(R)

2
max
2
L C
U

R Z Z R= − − >
• Trong trường hợp
0
0
L C
R Z Z R= − − <
thì đỉnh cực đại nằm ở phần R< 0
do đó ta thấy rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0.
• Nếu R
0
= 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R làm
cho công suất của toàn mạch cực đại là
L C
R Z Z= −
Kết luận:
• Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1 và 2 sẽ
không hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng
thức Cauchy.
• Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo
biến trở R nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi
thay đổi điện trở.
II. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
0
cos( )
u
u U t
ω ϕ
= +
Trang

=
+ −
Z
L
0 Z
L
= Z
C
+∞P’(Z
L
)
+ 0 -P(Z
L
)

0
Trung tam luyen thi dai hoc Tri Hành – 03 Võ Văn Ngân Thủ Đức 08.37204158 –
0918.045.459 Ths. Nguyenducthanh –www.trungtamtrihanh.edu.vn, hoặc
www.daihocsuphamtphcm.edu.vn
L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi
R và C không đổi.
1. Có hai giá trị L
1
≠ L
2
cho cùng giá trị công suất
- Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:
1 2
2 2
1 2

- Suy ra :
1 2
1 2
2
2
2
L L
C
Z Z
Z L L
C
ω
+
= ⇔ + =
2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng Z
L
- Ta có công suất toàn mạch là:
2
2 2
( )
L C
U
P R
R Z Z
=
+ −
, với R, C là các hằng số, nên
công suất của mạch là một hàm số theo biến số Z
L


Trung tam luyen thi dai hoc Tri Hành – 03 Võ Văn Ngân Thủ Đức 08.37204158 –
0918.045.459 Ths. Nguyenducthanh –www.trungtamtrihanh.edu.vn, hoặc
www.daihocsuphamtphcm.edu.vn
- Nhận xét đồ thị:
• Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất
• Công suất của mạch cực đại khi
1 2
2
L L
L C
Z Z
Z Z
+
= =
, với
1 2
;
L L
Z Z
là hai giá
trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất.
Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên sự thay đổi công suất vào giá trị của Z
L
sẽ cho
phép định tính được sự tăng hay giảm của P theoZ
L
. Từ đó ta có thể tiên đoán được sự
thay đổi của công suất theo giá trị của Z
L
trong một số bài toán.

α β γ
=
+
- Vì
2 2
sin cos
R
RC
C
U R
const
U
R Z
γ β
= = = =
+
, suy ra

sin( ) sin( )
sin cos
L
U U
U
α β α β
γ β
= + = +
Trang
P
Z
L

U
C
U
L
α
β
γ
Trung tam luyen thi dai hoc Tri Hành – 03 Võ Văn Ngân Thủ Đức 08.37204158 –
0918.045.459 Ths. Nguyenducthanh –www.trungtamtrihanh.edu.vn, hoặc
www.daihocsuphamtphcm.edu.vn
- Do cosβ và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế U
Lmax
khi
sin( ) 1
2
π
α β α β
+ = ⇒ + =
- Theo hệ thức của tam giác vuông ta có:
2
RC C L
U U U=
, từ đó suy ra
2 2
L C C
Z Z R Z= +
- Tóm lại:
• Khi
2 2
C

L
, giá trị L để U
Lmax
tính theo L
1
và L
2
.
- Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
2 2 2 2
( ) ( )
L L
L L L L
L C L C
Z Z
U U Z I Z I
R Z Z R Z Z
= ⇔ = ⇔ =
+ − + −
- Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được:
1 2
1 1 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
L L

Z Z Z Z Z Z Z− = −
- Vì L
1
≠ L
2
nên đơn giàn biểu thức trên ta thu được:
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2
L L
L
L L
Z Z
L L
Z L
Z Z L L
= ⇔ =
+ +
với
giá L là giá trị là cho U
Lmax
5. Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
LRrmax
- Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :
2 2

L
để
tìm giá trị của Z
L
sao cho MT
min
khi đó giá trị của U
Lrmax
. Đạo hàm của MT theo biến
số Z
L
ta thu được :
Trang
8
Trung tam luyen thi dai hoc Tri Hành – 03 Võ Văn Ngân Thủ Đức 08.37204158 –
0918.045.459 Ths. Nguyenducthanh –www.trungtamtrihanh.edu.vn, hoặc
www.daihocsuphamtphcm.edu.vn
2 2 2 2
'
2 2 2
2( )( ) 2 [ ( ) ]
( )
( )
L C L L L C
L
L
Z Z R Z Z R Z Z
MT Z
R Z
− + − + −

+ +

= >


− +

= <


. Lập bảng biến thiên ta có:
Z
L
0
2 2
4
2
C C
L
Z R Z
Z
+ +
=
+∞
MT’(Z
L
)

- 0 +
MT (Z

thì
ax
2 2
2 R
4
RLM
C C
U
U
R Z Z
=
+ −
III. Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp .
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn
định :
0
cos( )
u
u U t
ω ϕ
= +
R là điện trở L là một cuộn dây thuần cảm không đổi
và C có giá trị thay đổi .
Nhận xét: Vì trong công thức tổng trở
2 2 2 2
( ) ( )
L C C L
Z R Z Z R Z Z= + − = + −
do đó ta thấy rằng
bài toán thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L. Do đó khi thực hiện việc

C C
ω

=

+
+

= = ⇔

= +


Với giá trị C
0
là giá trị làm cho công suất mạch cực đại
2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng
- Bảng biến thiên:
Trang
9
A
B
C
R
L
Trung tam luyen thi dai hoc Tri Hành – 03 Võ Văn Ngân Thủ Đức 08.37204158 –
0918.045.459 Ths. Nguyenducthanh –www.trungtamtrihanh.edu.vn, hoặc
www.daihocsuphamtphcm.edu.vn
Z
C

3. Giá trị Z
C
để hiệu điện thế U
Cmax

- Khi
2 2
L
C
L
R Z
Z
Z
+
=
thì :
•
2 2
ax
L
CM
U R Z
U
R
+
=
và
2 2 2 2 2 2
ax ax ax
; 0

1 1 1 1
( )
2 2
C C C
C C
C
Z Z Z
+
= + ⇒ =
5. Giá trị Z
C
để hiệu điện thế U
RCmax
- Khi
2 2
4
2
L L
C
Z R Z
Z
+ +
=
thì
ax
2 2
2 R
4
RCM
L L

L
U
P R
R Z
=
+
10
Trung tam luyen thi dai hoc Tri Hành – 03 Võ Văn Ngân Thủ Đức 08.37204158 –
0918.045.459 Ths. Nguyenducthanh –www.trungtamtrihanh.edu.vn, hoặc
www.daihocsuphamtphcm.edu.vn
- Ta có
2
2
2
2
1
U
P RI R
R L
C
ω
ω
= =
 
+ −
 ÷
 
, từ công thức này ta thấy rằng công suất của
mạch đạt giá trị cực đại khi:
0

- Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị công suất thì:
2 2
2 2 2 2
1 2
1 2
1 1
( ) ( )
1 2
P P
U U
R R
R L R L
C C
ω ω
ω ω
= ⇔ =
+ − + −
- Biến đổi biểu thức trên ta thu được :
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
(1)
1 1
( )(2)
L L
C C
L L
C C

= =
với ω
0
là giá trị cộng hưởng điện.
3. Khảo sát sự biến thiên công suất theo ω .
- Ta có
2
2
2
2
1
U
P RI R
R L
C
ω
ω
= =
 
+ −
 ÷
 
- Việc khảo sát hàm số P theo biến số ω bằng việc lấy đạo hàm và lập bảng biến thiên
rất khó khăn vì hàm số này tương đối phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể thu được kết quả
đó từ những nhận xét sau:
• Khi ω = 0 thì
1
C
Z
C

LC
ω ω
= =
+∞
P(ω)

2
U
R
0 0

- Nhận xét đồ thị :
• Từ đồ thị ta thấy rằng sẽ có hai giá trị
ω
1
≠
ω
2
cho cùng một giá
trị công suất, điều này phù hợp với những biến đổi ở phần trên.
4. Giá trị ω làm cho hiệu điện thế U
Lmax
- Ta có :
. .
L L L
L
U U
U I Z Z
Z
Z

1
1
R
A
L LC
ω ω
 
= + −
 ÷
 
- Ta tiếp tục đặt
2
1
0x
L
ω
= >
khi đó
2
2
1
R x
A x
L C
 
= + −
 ÷
 
- Lấy đạo hàm của A theo biến số x ta thu được:
2

0918.045.459 Ths. Nguyenducthanh –www.trungtamtrihanh.edu.vn, hoặc
www.daihocsuphamtphcm.edu.vn
- Vì
2
2
0
L
x R
C
> ⇒ >
khi đó ta thu bảng biến thiên:
x
0
2 2
2
2
LC R C
L
−
∞
A’(x) - 0 +
A(x)
A
min
- Thay giá trị x vào biểu thức đã đặt ta thu được hiệu điện thế cực đại của cuộn dây là:
2
1 1
2
C
L R

= >
nên hàm số có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho A
min
trong miền xác
định của x. Khi đó ω rất lớn làm cho Z
L
rất lớn làm cho I = 0. Do đó không thể tìm giá
trị ω làm cho U
Lmax
5. Giá trị ω làm cho hiệu điện thế U
cmax

- Tương tự như cách làm trên ta cũng thu được kết quả tương tự khi thay đổi giá trị ω
làm cho U
Cmax
là:
- Khi
2
1
2
L R
L C
ω
= −
thì
ax
2 2
2 .
4
CM