BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT LỚP 6
Môn: Toán
Tổ: Khoa học Tự nhiên
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ
1. Lời giới thiệu
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục không ngừng đổi
mới. Các nhà trường ngày càng chú trọng hơn đến chất lượng giáo dục toàn diện
bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn. Với vai trò là môn học
công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ môn
khoa học tự nhiên khác.
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của
học sinh, đòi hỏi trong giảng dạy giáo viên phải biết chắt lọc kiến thức, phải đi
từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học
sinh có thể phát triển tốt tư duy toán học.
Ngày nay, học sinh luôn có nhu cầu hiểu biết rộng. Làm thế nào để học
sinh phát huy hết khả năng của mình, đó là trách nhiệm của các giáo viên chúng
ta. Qua giảng dạy tôi nhận thấy “ Một số phương pháp giải toán chia hết lớp 6 ”
là đề tài lí thú, phong phú và đa dạng của số học lớp 6 và không thể thiếu khi bồi
dưỡng học sinh khá giỏi môn Toán 6 cũng như môn Toán THCS. Với bài viết
này, tôi không tham vọng lớn bàn về việc hướng dẫn học sinh giải toán chia hết
và ứng dụng của nó trong chương trình toán học phổ thông, tôi chỉ xin đưa ra
một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về chia hết trong tập hợp
số tự nhiên, số nguyên mà tôi đã từng áp dụng . Tôi hy vọng nó sẽ có ích cho
các đồng nghiệp khi giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
1


2. Tên chuyên đề
“Một số phương pháp giải toán chia hết lớp 6”


+ Phạm vi nghiên cứu qua các tiết dạy về phép chia hết Toán 6, qua các buổi
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi.
7.1.4. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu những tài liệu toán học có liên
quan tới các dạng toán về tính chia hết.
- Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh trường THCS Vĩnh Sơn.
- Phương pháp tọa đàm: Trò chuyện với HS trong trường, với các đồng nghiệp
trường THCS Vĩnh Sơn
- Phương pháp thực nghiệm: Thực nghiệm một số phương pháp giải toán chia
hết
7.2. Định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết, các tính chất về quan
hệ chia hết.
7.2.1.Định nghĩa
Cho 2 số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x
= a, thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a: b= x
7.2.2.Các dấu hiệu chia hết
- Dấu hiệu chia hết cho 2
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
- Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết
cho 3 (hoặc 9).
Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của số đó
chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại
- Dấu hiệu chia hết cho 5
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5
- Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi 2 chữ số tận cùng của số đó chia
hết cho 4 (hoặc 25)
- Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)

một tích các thừa số, trong đó có 1 thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b). a = b.k
(k ∈ N) hoặc a =m.k (m chia hết cho b)
Ví dụ 1: Các tích sau có chia hết cho 4 không?
a) 5.12; b) 14.28; c) 126.572
Giải :
a) 5.12=5.3.4 M4 (vì 12=3.4 chia hết cho 4)
b) 14.28M4 (vì 28=7.4 chia hết cho 4)
c) 126.572M4 (vì 572=143.4 chia hết cho 4)
4


Ví dụ 2: Không thực hiện phép chia chứng tỏ rằng:
a) 39.2015 chia hết cho 13
b) 2009.2010 chia hết cho 3
c) 187.2014 chia hết cho 17
Giải : a) Ta có: 39.2015 = 3.13.2015 M13 (vì 13 M13)
b) Ta có: 2010M3 nên 2009.2010 M3
c) Ta có: 187M17 nên 187.2014M17
Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng số có dạng aaa bao giờ cũng chia hết cho 3, cho 37
Giải: Ta có: aaa = a.111 = a. 3.37 chia hết cho 3, cho 37
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng số có dạng abcabc bao giờ cũng chia hết cho 11, chia
hết cho 7 và chia hết cho 13.
Giải :
Ta có : abcabc = abc000 + abc = abc .(1000+1) = abc .1001 = abc .11.7.13
nên abcabc chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm 2 chữ
số ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn được một số chia hết cho 11
Giải: Gọi 2 số đó là ab và ba .
Ta có: ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b) M11
7.3.2. Phương pháp 2: Dùng các tính chất của phép chia hết.


6 => 600 – 14

6
6

d) 24  6, 36  6, 72 6 => 24 + 36 + 72  6
e) 120  6, 54  6, 20
f) 80

6, 16

6 => 120 + 54 + 20

6

6, 48  6 nhưng 80 + 16 + 48  6.

Ví dụ 2: Cho tổng A=15 + 27 + 33 + x với x ∈N. Tìm điều kiện của x để:
a) A chia hết cho 3
b) A không chia hết cho 3
Giải: Ta có nhận xét: 15M3, 27M3, 33M3. Do đó:
Nếu x M3 thì A M3
Nếu x

3 thì A

3

Ví dụ 3: Khi chia số tự nhiên a cho 24 được số dư là 10. Hỏi số a có chia hết

(n − 1)(n + 1) + 5
5
n2 + 4
=
= n-1 +
n +1
n +1
n +1

Để (n2 + 4)  (n+1) thì 5  n+1 hay n+1 ∈ Ư(5)
Mà Ư(5) ={1; 5}
* n+1 = 1 ⇒ n = 0 (thoả mãn)
* n+1 = 5 ⇒ n = 4 (thoả mãn)
Vậy với n = 0; n = 4 thì n2 + 4  n+1
Ví dụ 6 : Tìm số nguyên n sao cho n2 +4 chia hết cho n +1
Giải: Ta có :

(n − 1)(n + 1) + 5
5
n2 + 4
=
= n-1 +
n +1
n +1
n +1

Để (n2 + 4)  (n+1) thì 5  n+1 hay n+1 ∈ Ư(5)
Mà Ư(5) ={-5; -1; 1; 5}
* n+1 = -5 ⇒ n = - 6 (thoả mãn)
* n+1 = -1 ⇒ n = - 2 (thoả mãn)

⇒ n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8}
Vậy với n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8} thì 3n-8  n-4
Cách 2: (3n-8)  (n-4)
Ta có: (n-4)  (n-4) => 3(n-4)  (n-4)
=> [ (3n - 8) - (3n -12)]  (n - 4)
⇔ 4  n – 4 ⇔ n - 4∈ {-4; -2; -1; 1; 2; 4}
⇒ n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8}
Vậy với n ∈ {0; 2; 3; 5; 6; 8} thì 3n-8  n+2
b. Dùng tính chất chia hết của 1 tích
Để chứng minh a chia hết cho b (b ≠ 0) ta có thể chứng minh bằng một trong
các cách sau:
+ Ta chứng minh (a.m) chia hết cho b; (m, b) = 1 ⇒ a chia hết cho b
+ Biểu diễn b = m.n với (m, n)= 1, sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia
hết cho n
+ Biểu diễn a = a 1.a2,, b = b1.b2, rồi chứng minh a1 chia hết cho b1; a2 chia hết
cho b2
Ví dụ 1: Chứng minh (2010a + 2025b) chia hết cho 15 với ∀ a, b là số tự nhiên.
Giải:
Vì 2010M3 nên 2010.a M3 với ∀ a
Vì 2025 M3 nên 2025.b M3 với ∀ b
Vậy (2010a + 2025b) M3.
Chứng minh tương tự ta có: (2010a + 2025b) M5 với ∀ a, b mà (3,5) = 1
⇒ (2010 a + 2025b) M15
Ví dụ 2: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Giải: Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 (n ∈ N)
Tích của 2 số chẵn liên tiếp là 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1)
Vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên n.(n+ 1) M2
8



- Nếu r = 2 thì n = 3k+ 2 (k là số tự nhiên)
9


⇒ n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 M3
⇒n.(n+1) . (n+2) M3
Tóm lại, n.(n+1).(n+2) M3 với mọi n là số tự nhiên.
b) Chứng minh tương tự ta có: n.(n+1).( n+2).( n+3) M4 với mọi n là số tự nhiên.
Sau khi giải bài tập tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng
tổng quát.
Giáo viên khắc sâu cho học sinh:
Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.
*Nhận xét: Phương pháp này thường được sử dụng khi chứng minh một biểu
thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có một chữ số. Khi chứng minh
một biểu thức chia hết cho các số tự nhiên lớn hơn 10 ta không sử dụng phương
pháp này vì phải xét nhiều trường hợp.
7.3.4. Phương pháp 4: Dùng các dấu hiệu chia hết.
Ví dụ 1: Điền chữ số vào dấu * để:
a) 3*5 chia hết cho 3
b) 7*2 chia hết cho 9
c) *63* chia hết cho cả 2, 3, 5, 9
Giải:
a) Để 3*5M3 ⇒ (3 + * + 5) M3 ⇒ 8 + *M3 ⇒ * ∈ {1; 4; 7}
b) Để 7*2M9 ⇒ (7 + * + 2) M9 ⇒ 9 + *M9 ⇒ * ∈{0; 9}
c) Để *63* M2 và *63*M5 thì * ở tận cùng là 0
Khi đó ta có *630 M
3 và *630 M
9 ⇒ (* + 6 + 3 + 0) M9 ⇒ * +9 M9 ⇒ * = 9 .
Vậy ta được số 9630 chia hết cho cả 2, 3, 5, 9.
Ví dụ 2: Tìm các chữ số a và b sao cho 19ab chia hết cho 5 và chia hết cho 8


b) 1010 + 2 = 100…0 + 2 = 100…02 chia hết cho 3, không chi hết cho 9,
10 chữ số 0

9 chữ số 0

Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 1028 + 8 chia hết cho 72
Giải:
Ta có 1028 + 8 = ( 100...0 + 8) = 100. . .08 có tổng các chữ số bằng 9 nên
chia hết cho 9.

28 chữ số 0

27 chữ số 0

1028 + 8 = 100. . .08 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8
27 chữ số 0

Vì ( 8,9) =1 nên 1028+ 8  (8.9) hay 1028+ 8  72
Ví dụ 5: Chứng minh rằng (9931999 – 5571997) chia hết cho 10
Giải:
Ta có: 9931999 = [ (9934)499. 9933] = ( ...1 ).( ...7 ) = ...7
5571997 = (5574)499.557 = ( ...1 ).( ...7 ) = ...7
=> 9931999 – 5571997 = ...0 chia hết cho 10 ( đpcm)
* Nhận xét: Phương pháp này thường sử dụng để chứng minh các bài toán mà
số chia là các số tròn chục (10, 100, ...) hay các số chia mà dấu hiệu chia hết có
11


liên quan đến chữ số tận cùng (ví dụ : 5, 4, 8, 25, 125), hoặc số chia có thể phân

12


Bài 1:
a) Tìm tất cả các số x, y để số 34 x5 y chia hết cho 36.
b) Tìm các chữ số x, y để 21xy chia hết cho 3, 4, 5.
Giải:
a) Vì (4; 9) = 1 nên 34 x5 y M36 ⇔ 34 x5 y M9 và 34 x5 y M4
Ta có: 34 x5 y M4 ⇔ 5y M4 ⇔ y∈{2; 6}
34 x5 y M9 ⇔ (3+4+x+5+y) M9

⇔ (12+x+y) M9
Vì x, y là các chữ số nên x+y ∈ {6; 15}
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 > 9 (loại)
Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9
Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956
b) Ta có: 21xy  5 ⇔ y ∈ {0; 5}
Nếu y = 5 thì 21xy

4

Nếu y = 0 thì 21xy  4 ⇔ x0  4 ⇒ x ∈ {0; 2; 4 ; 6 ; 8}

(1)

21x0  3 ⇔ (2 + 1 + x + 0)  3 ⇔ (3+ x) 3 ⇒ x ∈ {0; 3; 6; 9}.

( 2)

Kết hợp (1) và ( 2) ⇒ x ∈ {0; 6}.

B = ( 3 + 33 + 35 + 37) + ( 39 + 311 + 313 + 315) + ... + ( 32009 + 32011 + 32013+
32015)
= 3( 1 + 32 + 34 + 36) + 39(1 + 32 + 34 + 36) + ... + 32009(1 + 32 + 34 + 36)
= 3. 820 + 39 .820 + ... + 32009. 820
= 820( 3 + 39 + ... + 32009)  41 ( vì 820  41)
Bài 4: Cho a - b chia hết cho 6. Chứng minh các biểu thức sau chia hết cho 6
a) a +5b

b) a + 17b

c) a - 13b

Giải:
a) Ta có : a + 5b = a + 6b - b = ( a- b) + 6b  6 ( vì (a - b)  6 và 6b  6)
b) Ta có: a + 17 b = ( a- b) + 18b  6
c) Ta có: a - 13b = ( a - b) - 12b  6

[ vì (a- b)  6 và 18b6]
[ vì ( a - b )  6 và 12b  6]

Bài 5: Chứng minh rằng: (92n + 201493) chia hết cho 5.
Giải:
Ta có: 92n = (92)n = 81n = ...1
199493 = (20142)46. 2014 = ...6 46. 2014 = ...6 .2014 = ...4
Do đó: 92n + 201493 = ...1 + ...4 = ...5  5
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để (3n+10) chia hết cho (n+2)
14


Giải:

n+3

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 3n +1 và 4n + 1 là hai số
nguyên tố cùng nhau
Giải: Gọi d là ƯC( 3n+ 1, 4n + 1)
⇒ 3n + 1  d

⇒

4n + 1  d

4.( 3n + 1)  d
3.( 4n+1)  d

⇒ ( 12n + 4 - 12n - 3 )  d ⇒ 1  d ⇒ d = 1
Vậy ( 3n + 1, 4n + 1) = 1
Bài 9: Chứng minh rằng nếu abc  37 thì cab  37 và bca  37
Giải:

Vì abc  37 nên ( 100a + 10b + c)  37

⇒ 10.( 100a + 10b + c)  37
15


⇒ [ 10.( 100a + 10b + c) - 999a]  37 ( vì 99937)
⇒ ( 100b + 10c + a )  37
⇒ bca  37. Mặt khác:
abc + cab + bca =100a +10b+c+ 100c +10a +b + 100b +10c+a




Cách 1: Gọi số cần tìm là a.
Theo bài ra, ta có: a chia cho 17 dư 5 ⇒ a = 17m+5 (m ∈ N)
a chia cho 19 dư 12 ⇒ a = 19n+12 (n ∈ N)
Suy ra: a =17m+5= 19n+12 ⇒ 17m= 19n+7 =17n+(2n+7)  17
Vì a là số nhỏ nhất nên ta chọn n nhỏ nhất sao cho 2n+7  17
Ta chọn n=5, a =107. Vậy số cần tìm là 107
Cách 2: Gọi số cần tìm là a. Theo bài ra, ta có:
a chia cho 17 dư 5 ⇒ a = 17m+5 (m ∈ N)
a chia cho 19 dư 12 ⇒ a = 19n+12 (n ∈ N)
3a = 3.17m+15 ⇒ 3a + 2  17 (1)
3a = 3.19n +36 ⇒ 3a + 2  19 (2)
Tu (1) (2) suy ra 3a + 2 BC(17, 19)
Vì a là số nhỏ nhất nên 3a+2 =BCNN(17, 19), mà BCNN(17, 19) =17.19 = 323
Do dó

3a+2 = 323
3a = 321
a = 107

Vậy số cần tìm là 107.
Bài 13: a) Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để được số chia hết
cho các số 5, 7 ,9?
b) Phải viết thêm vào bên phải số 523 ba chữ số nào để được số chia hết
cho các số 6, 7, 8, 9?
Giải:
a) Giả sử số viết thêm là abc . Ta có 579abc chia hết cho 5, 7, 9 suy ra 579abc
chia hết cho 5. 7. 9 = 315. (vì 3, 5, 7 đôi một nguyên tố cùng nhau)
Mặt khác 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc )  315

Giải:
* Cách 1:

Ta có : 2n + 11 ... 1 = 3n + (11 ... 1 - n)
n chữ số

n chữ số

vì một số chia cho 3 dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của số ấy chia cho 3 cũng
dư bấy nhiêu nên 11... 1 và n có cùng số dư khi chia cho 3
⇒ 11...1 - n chia hết cho 3
n chữ số

Vậy 3n + (11 ... 1 - n )  3 hay 2n + 11 ... 1  3
S

n chữ số

*Cách 2: Với mọi n ∈ N ta có hoặc n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k +2 (k ∈
N)
- Nếu n = 3k ⇒ 2n + 11...1 = 2.3k + 11...1  3
n chữ số

3k3kchữ
sốsố
chữ

- Nếu n = 3k + 1 ⇒ 2n + 11 ... 1 =2( 3k+1) + 11 ...1 = 6k + 11...13 chia hết
3k+1 chữ số
3k chữ số 1

Bài 3: Chứng tỏ rằng số 20132000- 20112000 chia hết cho cả 2 và 5
Bài 4: Chứng tỏ rằng n(n+1)( 5n+6) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Bài 5: a) Cho A = 2 +22 +23 + ... +2120. Chứng minh rằng : A 3; A  7; A  15
b) Cho B = 3 + 33 + 35 + ...+ 32003 Chứng minh rằng: B chia hết cho 13 và B chia
hết cho 30.
c) Cho C= 5+ 52 + 53 + ...+ 5100 Chứng minh rằng: C chia hết cho 6 và C chia
hết cho 30.
d) Cho D = 3 + 32 + 33 + ...+ 32004 Chứng minh rằng: B chia hết cho 12 và B chia
hết cho 39.
Bài 6: Tìm số nguyên n sao cho
a) 3n + 2 chia hết cho n – 1
b) 2n + 1 chia hết cho 6 - n
c) n2 + 2n -7 chia hết cho n + 1
Bài 7: Chứng minh rằng:
a) 251 - 1 chia hết cho 7

d ) 270 + 370 chia hết cho 13

b) 1719 + 1917 chi hết cho 18

e) 24n - 1 chia hết cho 15 với n ϵ N

c) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37
Bài 8: a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 7n +10 và 5n + 7 là hai
số nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* thì 3n - 2 và 4n - 3 là hai số
nguyên tố cùng nhau.
Bài 9: Tìm các số tự nhiên n để 18n + 3 và 21 + 7 là hai số nguyên tố cùng
nhau.
Bài 10: Tìm các số tự nhiên a, b biết .

Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên đề
20


10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên
đề theo ý kiến của tác giả
- Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, bản thân tôi nhận thấy: Khi dạy
phần chia hết trong tập hợp số tự nhiên, số nguyên học sinh tiếp nhận kiến thức
một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng. Học sinh phân biệt và nhận dạng được
các bài toán liên quan đến phép chia hết và từ đó có thể giải được hầu hết các
bài tập phần này, xóa đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc
tổng quát. Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm
chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng toán này thật phong phú, điều
đó giúp cho học sinh hứng thú hơn khi học bộ môn Toán.
- Kết quả học tập: Với những bài tập giáo viên đưa ra, học sinh giải được một
cách độc lập và tự giác, được thống kê theo bảng sau:
Trước khi áp dụng chuyên đề:
Số HS giải được theo các mức độ
Năm học

Số
Giỏi
HS
SL %

2014 - 2015 35

5


Số HS giải được theo các mức độ
Năm học

Số
Giỏi
HS
SL %

2015 - 2016 36

8

Khá
SL

22,2 14

TB

Yếu

%

SL

%

SL

%

10.3. Kết luận
- Bản thân mỗi một người GV trong quá trình giảng dạy học sinh phải chú ý
hướng dẫn HS một cách tổng quát các dạng toán và phân loại các loại bài và chú
ý rèn kỹ năng cho HS.
- Cần xây dựng một hệ thống bài tập đặc trưng nêu được những tính chất cơ
bản của nội dung mà ta cần rèn luyện. Bên cạnh đó đưa ra những bài tập tương
tự như những bài tập mà các em đã làm được.
- Cần phải quan tâm đến HS, thay đổi phương pháp giảng dạy, tạo cho HS tích
cực chủ động học hỏi và phải đam mê học.
11. Danh sách những tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp
dụng sáng kiến lần đầu
TT

Tên tổ chức/ cá nhân

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh
vực áp dụng

1

Nguyễn Thị Hồng Minh

THCS Vĩnh Sơn

PP chia hết

2



25