TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM

TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

CHUYÊN ĐỀ 1: ỨNG DỤNG KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
 Từ đồ thị hình 1 và hình 2 bên dưới, hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y  cos x trên đoạn

  3
  2 ; 2  và của hàm số y  x trên khoãng ( ; ) ?


y

y

(Hình 2)

1

y x

(Hình 1)

1


2

O



 Nếu f ( x) đồng biến trên khoãng ( a; b)  f ( x)  0, x  ( a; b).
Nếu f ( x) nghịch biến trên khoảng ( a; b)  f ( x)  0, x  ( a; b).
Khoảng ( a; b) được gọi chung là khoãng đơn điệu cũa hàm số.

 Lưu ý:
+ Nếu f ( x)  0, x  ( a; b) thì f ( x) không đỗi trên ( a; b).
+ Nếu thay đỗi khoãng ( a; b) bằng một đoạn hoặc nữa khoãng thì phãi bỗ sung thêm giã thiết hàm số
xác định và liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó.

DẠNG TOÁN 1. TÌM CÁC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU (KHẢO SÁT CHIỀU BIẾN THIÊN)
 Bài toán: Tìm các khoảng đơn điệu (hay khão sát chiều biến thiên) của hàm số y  f ( x).
 Phƣơng pháp:

 Bƣớc 1. Tìm tập xác định D của hàm số.

 Bƣớc 2. Tính đạo hàm y  f ( x). Tìm các điểm xi , (i  1,2,3,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không xác định.

 Bƣớc 3. Sắp xếp các điễm xi theo thứ tự tăng dần và lập bãng biến thiên.

 Bƣớc 4. Nêu kết luận về các khoãng đồng biến và nghịch biến dưa vào bảng biến thiên.
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia

TRANG 1


TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM

TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

2

ĐS: ĐB trên  0;  và NB trên ( ; 0),  ;   
3
3




ĐS: ĐB trên

.

ĐS: ĐB trên ( ;1), (3; ) và NB trên (1; 3).

e)

y  x  2x  3.

ĐS: ĐB trên ( 1; 0), (1; ) và NB trên ( ; 1), (0;1).

f)

y  x4  8x2  5.

ĐS: ĐB trên (0; ) và NB trên ( ; 0).

g)

y  x4  4x2  3.


y

3x  1

1 x

ĐS: Đồng biến trên các khoảng ( ;1), (1; ).

Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đơn điệu trên các khoảng, nữa khoãng được chĩ ra:
a)

y  1  x 2 nghịch biến trên đoạn 0;1 .

b)

y  2 x  x2 đồng biến trên khoãng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).

c)

y  x3  (2  m)x2  (m2  4)x  3 nghịch biến trên

d) y 

.

( m  3)x  3m  1
luôn đồng biến trên tập xác định cũa nó.
xm
( m  3)x  m2

 Phƣơng pháp:

 Xét hàm số bậc ba y  f ( x)  ax3  bx2  cx  d.
– Bước 1. Tập xác định: D  .

THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia

TRANG 2


TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM

TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

– Bước 2. Tính đạo hàm y  f ( x)  3ax2  2bx  c.
+ Đễ f ( x) đồng biến trên

 y  f ( x)  0, x 

 y  f ( x)  0, x 

+ Đề f ( x) nghịch biến trên

a f ( x )  3a  0

m ?
2
 f ( x )  4b  12ac  0
a f ( x )  3a  0



– Bước 2. Tính đạo hàm y  f ( x) 
(cx  d)2
– Bước 1. Tập xác định: D 

+ Đễ f ( x) đồng biến trên D  y  f ( x)  0, x  D  a.d  b.c  0  m ?
+ Đễ f ( x) nghịch biến trên D  y  f ( x)  0, x  D  a.d  b.c  0  m ?
 Lƣu ý: Đối với hàm phân thức thì không có dấu "  " xảy ra tại vị trí y .
Bài toán 2. Tìm tham số m để hàm số y  f ( x; m) đơn điệu trên miền D ?
Trong đó D có thể là (; ), (; ), (; ),  ;  , 
 ;   , …….

 Phƣơng pháp:

– Bước 1. Ghi điều kiện để y  f ( x; m) đơn điệu trên D. Chẳng hạn:
Đề yêu cầu y  f ( x; m) đồng biến trên D  y  f ( x; m)  0.
Đề yêu cầu y  f ( x; m) nghịch biến trên D  y  f ( x; m)  0.
 m  g( x)

– Bước 2. Độc lập m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là g( x) được: 
 m  g( x)

– Bước 3. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g( x) trên D.
Khi m  g( x)  m  max g( x)
D

– Bước 4. Dựa vào bảng biến thiên kết luận: 
g( x)
Khi m  g( x)  m  min
D

BT 3.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số: y  x3  3(m  1)x  2 luôn đồng biến trên

.

ĐS: m 
 1;   .
Đề thi học kỳ I năm 2014 – THPT Phan Đăng Lƣu – Tp. Hồ Chí Minh
BT 4.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:
a)

y

mx  4
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
xm

ĐS: m ( 2; 2).

Đề thi học kỳ I năm 2015 – THPT Bùi Thị Xuân – Tp. Hồ Chí Minh
b)

y

2x  2m
đồng biến trên từng khoãng xác định cũa nó.
x3

a)

y

2x  m  6
luôn đồng biến trên khoãng (3; ).
x  m2


3
ĐS: m   3;  
2


Đề thi học kỳ I năm 2015 – THPT Nguyê̂n Thị Diệu – Tp. Hồ Chí Minh
( m  1)x  m
luôn đồng biến với mọi x  0.
mx  2  m

b)

y

c)

y  x3  3x2  3mx  1 nghịch biến trên (0; ).

ĐS:

2

y  1  x2 trong ( ; )

1
1

1

O

x

1 3
3 
x
y  ( x  3)2 trong  ;  và  ; 4 
3
2 2
2 

4
3

O

1
2

1

3


xo  h

f ( x)

xo  h

xo


f ( x)

0

fCĐ



x

xo  h

f ( x)
f ( x)

xo  h

xo




TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

 Nếu y( xo )  0, y( xo )  0 thì xo là điểm cực đại.

DẠNG TOÁN 1. TÌM CÁC ĐIỂM CỰC ĐẠI & CƢ̣C TIỄU CŨA HÀM SỐ
 Bài toán: Tìm các điểm cực đại, cực tiễu (nếu có) của hàm số y  f ( x).
 Phƣơng pháp: Sự dụng 2 qui tắc tìm cực trị sau:
Quy tắc I: sƣ̃ dụng nội dụng định lý 1

 Bƣớc 1. Tìm tập xác định D của hàm số.
 Bƣớc 2. Tính đạo hàm y  f ( x). Tìm các điểm xi , (i  1,2,3,..., n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác
định.

 Bƣớc 3. Sắp xếp các điễm xi theo thứ tự tăng dần và lập bãng biến thiên.
 Bƣớc 4. Từ bãng biến thiên, suy ra các điễm cực trị (dựa vào nội dung định lý 1).
Quy tắc II: sƣ̃ dụng nội dụng định lý 2

 Bƣớc 1. Tìm tập xác định D của hàm số.
 Bƣớc 2. Tính đạo hàm y  f ( x). Giải phương trình f ( x)  0 và kí hiệu xi , (i  1,2,3,..., n) là các nghiệm của
nó.

 Bƣớc 3. Tính f ( x) và f ( xi ).
 Bƣớc 4. Dựa vào dấu cũa y( xi ) suy ra tính chất cực trị cũa điễm xi :
+ Nếu f ( xi )  0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi .
+ Nếu f ( xi )  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi .

 Lƣu ý: Có 2 quy tắc tìm cực trị . Nếu đề bài không yêu cầu tìm theo quy tắc nào , hãy lựa chọn dựa vào lời khuyên sau:

“Nếu việc giãi và xét dấu y  f ( x) dê̂ dàng, ta nên sữ dụng quy t ắc I, còn nếu việc này khó khăn (chẵng hạn

ĐS: Cực đại A( 3; 31), cực tiễu B(1; 1).

 2
 1 11 
ĐS: Cực đại A  2;  , cực tiễu B  ;   
 3
2 4 

e)

y  x3  6x2  15x  10.

ĐS: Cực đại A(5;110), cực tiễu B( 1; 2).

f)

y  x4  2x2  3.

ĐS: Cực đại A(0; 3), cực tiễu B(1; 4), C( 1; 4).

g)

y  x3 (1  x)2 .

 3 108 
ĐS: Cực đại A  ;
 và cực tiểu B(1; 0).
 5 3125 

h) y  ( x  2)2 ( x  3)3 .


c)

y

x2  8x  9

x5

ĐS: Hàm số không có cực trị.

x2  x  5

x1

ĐS: Hàm số không có cực trị.

d) y 

1

x

ĐS: Cực đại A( 1; 2) và cực tiểu B(1; 2).

e)

yx

f)


( x  4)2

x2  2x  5

 1 13 
ĐS: Cực đại A   ;  và cực tiểu B(4; 0).
 3 4

h) y 
i)
BT 8.

TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

y

Áp dụng qui tắc II, hãy tìm cực trị của các hàm số sau:
x4
 2 x 2  6.
4

ĐS: Cực đại A(0; 6) và cực tiểu B( 2; 2), C(2; 2).

a)

f ( x) 

b)





 k, xCT    k.
6
6

g)

f ( x)  sin x  cos x.

ĐS: xCĐ 



 k 2, xCT   (2 k  1).
4
4

h)

f ( x)  sin 2 x.


ĐS: Cực đại A   k;
4

i)

f ( x)  cos x  sin x.

6
6

x3
4
 x 2  3x  
3
3

ĐS: Cực đại A(0;1) và cực tiểu B(1; 0), C( 1; 0).


23 
ĐS: Cự đại A( 1; 3) và cực tiểu B  3;   
3



 3

1  và cực tiểu B   k; 1 

 4


THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia

TRANG 7



2 2 



b)

y  8  x2 .

ĐS: Cực đại A(0; 2 2).

c)

y   x 3  3x 2 .

ĐS: Cực đại A(2; 2) và cực tiểu B(0; 0).

d) y  2 x  x 2  3.

ĐS: Cực tiễu A(2; 3).

e)

y  2 x  1  2 x2  8.

ĐS: Cực tiễu A(2 2; 3 2  1).

f)

y  x 4  x2 .



ĐS: Cực đại A( 2; 9 3 3).

k)

y x.

ĐS: Cực tiễu A(0; 0).

l)

y  x ( x  2).

ĐS: Cực đại A( 1;1) và cực tiểu B(0; 0).

m) y  ( x  3) x .

ĐS: Cực đại A(0; 0) và cực tiểu B(1; 2).

DẠNG TOÁN 2. TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM x  xo
 Bài toán: Tìm tham số để hàm số y  f ( x) đạt cực trị tại điểm x  xo ?
 Phƣơng pháp:

 Bƣớc 1. Tìm tập xác định D của hàm số.
 Bƣớc 2. Tính đạo hàm y  và y .

 Bƣớc 3. Dựa vào yêu cầu bài toán , ghi điều kiện và giãi hệ tìm tham số. Cụ thể:
 y ( xo )  0

Hàm số đạt cực đại tại điểm x  xo  

y  2x3  3(2m  1)x2  6m(m  1)x  m2 đạt cực tiễu tại điễm x  1.

ĐS: m  1.

Đề thi học kỳ I năm 2014 – THPT Nam Kỳ Khỡi Nghîa – Tp. Hồ Chí Minh
1 3
x  mx2  (m2  m  1)x  1 đạt cực đại tại điễm x  1.
3

b)

y

c)

y  x  2x  mx  1 đạt cực tiễu tại điễm x  1.

ĐS: m  2.

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp – Lần 1
3

2

ĐS: m  1.
Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011

d) y 

1 3

d/ y  ax3  bx2  cx  d có điểm cực tiểu là gốc tọa độ , đạt cực đại tại x  1 và giá trị cực đại tương ứng
bằng 1 ?
e/

y  x3  ax2  bx  c đạt cực trị bằng 0 tại x  2 và đồ thị hàm số đi qua điểm M(0;1).

f/

y  x3  ax2  bx  c đạt cực tiểu tại A(1; 3) và đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 2 ?

g/

y  ax3  bx2  cx  d đạt cực tiểu bằng 0 tại x  0 và đạt cực đại bằng

h/ y 

4
1
khi x  ?
27
3

1 4
x  (2a  b)x2  a  b đạt giá trị cực đại bằng 2 tại x  1 ?
4

i/

y  x4  (a  3b)x2  3a  b giá trị cực tiểu bằng 1 tại x  0 ?


 y  (2b)  4.3ac  0
sẽ tìm được m  D1 .


b
S  x1  x2   a

— Bƣớc 3. Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm cũa phương trình y  0. Theo Viét, ta có: 
P  x x  c
1 2

a

— Bƣớc 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tỗng S và tích P. Từ đó giãi ra tìm được m  D2 .
— Bƣớc 5. Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m  D1  D2 .

 Lƣu ý:
— Hàm số bậc 3 không có cực trị  y  0 không có 2 nghiệm phân biệt   y  0.
— Trong trường hợp điều kiện K liên quan đến hình học phẵng , tức là cần xác định tọa độ 2 điễm cực trị
A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) với x1 , x2 là 2 nghiệm cũa y  0. Khi đó có 2 tình huống thường gặp sau:



Nếu giãi được nghiệm cũa phương trình y  0, tức tìm được x1 , x2 cụ thể, khi đó ta sê thế vào hàm
số đầu đề y  f ( x; m) để tìm tung độ y1 , y2 tương ứng cũa A và B.



Nếu tìm không được nghiệm y  0, khi đó gọi 2 nghiệm là x1 , x2 và tìm tung độ y1 , y2 bằng cách
thế vào phương trình đường thẵng nối 2 điễm cực trị.

c)

y  x3  3mx2  3x  2.

ĐS: m  1  m  1.

d) y  x3  2mx2  mx  1.

ĐS: m  0  m 

THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia

3

4

TRANG 10


TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
BT 13. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:

TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

 Bài toán. Tìm m để hàm số có 2 điễm cƣ̣c trị A, B sao cho AB // d hoặc AB  d ?
— Bƣớc 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiễu  m  D1 .
— Bƣớc 2. Viết phương trình đường thẵng nối 2 điễm cực trị AB.
 AB // d  k AB  kd  m  D2
— Bƣớc 3. Đễ 


BT 14.

ĐS: m  

AB vuông góc với đường thẵng

3 10

2

y  x3  3x2  mx  2 có 2 cực trị A và B sao cho đường thẵng AB song song với đường thẵng
d : 4 x  y  3  0.
ĐS: m  3.

Tìm tham số m để các hàm số sau có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước (định lý Viét):
 Bài toán. Tìm m để hàm số bậc 3 có 2 điễm cƣ̣c trị với hoành độ thõa đẵng thƣ́c K ?
— Bƣớc 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiễu  m  D1 .

b
S  x1  x2   a

— Bƣớc 2. Gọi x1 , x2 lần lượt là 2 nghiệm cũa y  0. Theo Viét thì 
P  x x  c
1 2

a

Biến đỗi điều kiện K về dạng tỗng, tích và giải ra tìm m  D2 .
— Bƣớc 3. Kết luận: m  D1  D2 .
a)


ĐS: m  2.
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Đào Duy Từ – Thanh Hóa – Lần 1

THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia

TRANG 11


TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
2
2
d) y  x3  mx2  2(3m2  1)x 
có 2 điễm cực trị với hoành độ
x1 , x2 thỏa mãn điề u kiện :
3
3
2
ĐS: m  
x1 x2  2( x1  x2 )  1.
3
Đề thi Đại học khối D năm 2012
e)

y  x3  2(m  1)x2  (m2  4m  1)x  2(m2  1) có 2 điễm cực trị với hoành độ

kiện:
f)


x  (3m  1)x2  (3m  2)x  m  1 có 2 điễm cực trị với hoành độ
3
2
4
x13  x23  28.
ĐS: m  
3

y

x1 , x2 thỏa mãn điều kiện :

1
h) y  x3  ( m  1)x2  (m2  7)x  4 có 2 điễm cực trị với hoành độ x1 , x2 thỏa mãn điều kiện : x1  3x2 .
3

ĐS: m  3  2 10.
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa – Lần 1
i)

j)

k)

1
1
có hai điểm cực trị với hoành độ x1 , x2 thỏa mãn điều kiện:
y  mx3  (m  1)x2  3(m  2)x 
3
3


1

ĐS: m   ;   \1 
2


1 3 1
x  (3m  1)x2  (3m  2)x  m  1 có 2 điễm cực trị với hoành độ
3
2

2 x12  x22  12.

ĐS: m 

THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia

x1 , x2 thỏa mãn điều kiện :

2  22

6

TRANG 12


TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
3

hàm số y  f ( x) cắt trục Ox tại 3 điễm phân biệt  phương trình hoành độ giao điễm
f ( x)  0 có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm).
a)

y  x3  2(2m  1)x2  (5m2  10m  3)x  10m2  4m  6 có các điểm cực đại , cực tiễu , với hoành độ cũa

chúng trái dấu nhau ?

1
ĐS: m   3;1 \   
5

b)

y  x3  (2m  1)x2  (m2  3m  2)x  4 có các điểm cực đại , cực tiễu , đồ ng thời các điễm này nằm về 2
phía so với trục tung ?
ĐS: 1  m  2.

c)

y  x3  3mx2  (m2  2m  3)x  4 có các điểm cực đại, cực tiễu, đồng thời các điễm này nằm về 2 phía
so với trục tung ?
ĐS: 3  m  1.

1
d) y  x3  mx2  (2m  1)x  3 có các điểm cực đại , cực tiễu nằm về cùng một phía so với trục tung
3
1

ĐS: m   ;   \1 

hoành Ox ?

h) y 




3  17   3  17
;  
 m   ;





ĐS: 
2
2

 


m

(1;
2)


1 3
m

2
2

BT 16.

Tìm m để hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (cần tìm đâu là cƣ̣c đại, đâu cƣ̣c tiễu):
a)

y  x3  3(m  1)x2  (3m2  7 m  1)x  m2  1 có điểm cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ hơn
ĐS: m  1.

b)

y  x3  3mx2  3(m2  1)x  2 đạt cực đại tại điễm có hoành độ x1 , đạt cực tiểu tại điễm có hoành độ là

x2 sao cho: x12  x2  14 ?

c)

1?

ĐS: m  3  m  4.

1 3
x  (2m  1)x2  (1  4m)x  1 có cực đại và cực tiểu, đồng thời hoành độ cực trị th ỏa mãn điều
3
kiện: xC2 Đ  xCT ?
ĐS: m  2.
y



2

e)

y  x3  3mx2  2 có hai điểm cực trị A, B và đường thẳng AB đi qua điểm I (1; 0) ?

f)

y  x3  3mx2  3(m  6)x  1 có hai điểm cực trị A, B và đường thẳng AB đi qua điểm A(3; 5) ? ĐS:
m  4.

g)

y  mx3  3mx2  3(m  1) có 2 điễm cự c trị A, B sao cho 2 AB2  (OA2  OB2 )  20, với O là gốc tọa

ĐS: m  1  m  

độ.

ĐS: m  1.

17

11

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc – Lần 1
h) y  x3  3(m  1)x2  12mx  3m  4 có 2 điểm cực trị A, B và đồng thời nhận gốc tọa độ



và khoảng cách giữa chúng không đổi.
BT 18.

ĐS: AB  2 5.

Tìm tham số m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (diện tích tam giác):
a)

y  x3  3mx  2 có 2 điểm cực trị A, B và SABC  3 2 , với C(1;1).

b)

y  x  3x  m  m  1 có 2 điểm cực trị A, B và SABC  7, với C( 2; 4).

ĐS: m  2.
3

2

2

ĐS: m  2  m  3.
c)

y  x3  3mx2  2 có 2 điểm cực trị A, B sao cho SOAB  2, với O là gốc tọa độ.

ĐS: m  1.
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Hƣng Yên – Hƣng Yên
d) y  x  3mx  m 2 điểm cực trị A, B sao cho SOAB  4, với O là gốc tọa độ.
3

y  x  3mx  3( m  1)x  m  4m  1 có 2 điểm cực trị A, B sao cho OAB vuông tại O với O là
gốc tọa độ.
ĐS: m  1  m  2.

c)

y  2x3  3(m  1)x2  6mx  m3 có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vuông tại C với C(4; 0)
?
ĐS: m  1.

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Thanh Chƣơng III – Nghệ An
3

2

2

3

d) y  x3  3x2  mx  2 có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số tạo với hai
trục tọa độ một tam giác cân ?

3
ĐS: m   
2
1

2

e)


y  x3  3x2  m có 2 điểm cực trị A, B với AOB  120o. ĐS: m 

2 3  12

3

Tìm m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (đối xƣ́ng và cách đều):
 Bài toán 1. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điễm cƣ̣c trị A, B đối xƣ́ng nhau qua đƣờng d :
— Bƣớc 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiễu  m  D1 .
— Bƣớc 2. Tìm tọa độ 2 điễm cực trị A, B. Có 2 tình huống thường gặp:
+ Một là y  0 có nghiệm đẹp x1 , x2 , tức có A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ).
+ Hai là y  0 không giã i ra tìm được nghiệm . Khi đó ta cần viết phương
trình đường thẳng nối 2 điễm cực trị là  và lấy A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 )  .

 x  x2 y1  y2 
— Bƣớc 3. Gọi I  1
;
 là trung điểm của đoạn thẳng AB.
2 
 2
 AB  u  0
  d
d
Do A, B đối xứng qua d nên thõa hệ 

 m  D2 .
I

d

đường thẵng d : x  2 y  0.
ĐS: m  1.

3

2

d) y  x3  3x2  m2 x  m có các điểm cực đại , cực tiễu và các điễm này đối xứng với nhau qua đường
thẵng d : y 
e)

1
5
x 
2
2

ĐS: m  0.

y  x3  3mx2  4m3 có các điểm cực đại, cực tiễu và các điễm này đối xứng với nhau qua đườ ng thẵng
d : y  x.

ĐS: m  

2

2

Đề kiễm tra 1 tiết Học kỳ I năm 2015 – THPT Chuyên Nguyê̂n Thƣợng Hiền – Tp. Hồ Chí Minh
THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia


3
 m  0.
2

h) y  x3  3x2  3m(m  2)x  1 có hai điểm cực trị A, B đối xứng nhau qua điểm I (1; 3) ? ĐS:
m  0  m  2.
i)

y  x3  3x2  3(m2  1)x  3m2  1 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cách

đều gốc tọa độ O ?
j)

(Đại học B – 2007)

1
ĐS: m   
2

Chứng minh rằng hàm số y  2x3  mx2  12x  13 luôn có cực đại và cực tiểu. Tìm m để hàm số có các
điểm cực trị cách đều trục tung ?
ĐS: m  0.

BT 21.

Tìm m để các hàm số sau có cực trị thỏa điều kiện cho trước (khoảng cách và max – min):

BT 22.


2

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m  0.
Tìm tham số m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Gọi ) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực

 1 11 
tiểu của hàm số. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ điểm I  ;  đến đường thẳng ).
2 4 
Đáp số: m  1.
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Trƣờng Xuân 3 – Thanh Hóa
BT 25.
BT 26.

1
Tìm m để y  x3  mx2  (m2  m  1)x  1 có cực trị trong (1; ) ? ĐS: m  1.
3

Chứng minh rằng y  x3  3mx2  3(m2  1)x  m3  m luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m. Tìm m để các
điểm cực trị A, B của hàm số cùng với điểm I(1;1) , tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại
tiếp bằng

BT 27.

ĐS: m  1  m 

5 ?

3

5

Cho hàm số y  x3  3x2  2 và đường thẳng d đi qua điểm cực đại và có hệ số góc m2 
khoảng cách từ điểm cực tiểu đến d lớn nhất ?

BT 30.

Tìm tham số m để đồ thị hàm số y 
trị là nhỏ nhất ?

BT 31.

BT 32.

1
ĐS: m   
2

1 3
x  mx2  x  m  1 có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm
3
ĐS: m  0.

 1 11 
Tìm m để hàm số y  x3  3x2  mx  1 có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm A  ;  đến đường
2 4 
thẳng đi qua hai điểm cực trị là lớn nhất ?
ĐS: m  1.
Tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của y  x3  3mx  2 cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính  1 tại
A, B sao cho SIAB đạt giá trị lớn nhất ?

BT 33.


Dạng toán 2. Cực trị của hàm số bậc bốn

 Khảo sát cực trị của hàm số bậc bốn trùng phƣơng: (C) : y  ax4  bx2  c , ( a  0).
x  0  y  c

Ta có: y  4ax3  2bx  2x  (2ax2  b). Cho y  0  
2
 g( x)  2ax  b  0
b  0
 Khi đó:
 Hàm số có 3 điểm cực trị  g( x)  0 có 2 nghiệm phân biệt  0  
 a.b  0

b  0

Hàm số có 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại  a.b  0 
a  0

b  0

Hàm số có 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu  a.b  0 
a  0

a.b  0

 Hàm số có 1 cực trị  g( x)  0 vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm x  0  
b  0

THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia

b) y  mx4  (m2  9)x2  10.
c) y  (m  2)x4  2mx2  m  1.

d) y  x4  2(m  1)x2  1.

e) y  x4  (m2  4)x2  3.

f) y  x4  (m  1)x2  2.

Tìm tham số m để hàm số thỏa yêu cầu theo sau của bài toán:
a) Cho hàm số y  mx4  ( m  1)x2  1  2m. Tìm m để đồ thị hàm số có đúng 1 cực trị ?
b) Cho hàm số y  x4  4mx3  3(m  1)x2 Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại ?
c) Cho hàm số y  (m  1)x4  3mx2  5. Tìm m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu ?
d) Cho hàm số y  (m  1)x4  2mx2  1. Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại ?

BT 37.

Cho hàm số: y  x4  2mx2  m  1.
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  4.
2) Tìm tham số m để hàm số có 3 điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam
giác có trực tâm là gốc tọa độ O .
Đáp số: m  1.
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Cao Bá Quát – Quảng Nam

BT 38.

Cho hàm số: y  x4  2(m2  1)x2  1.
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  0.
2) Tìm tham số m để hàm số có 3 điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất.
Đáp số: m  0.

2
lần độ dài cạnh bên ?
3

5
ĐS: m   
3

Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2(m  2)x2  m2  5m  5 có cực đại, cực tiểu tạo thành một tam
giác đều ?

THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia

ĐS: m  2  3 3.
TRANG 19


TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
4
4
BT 43. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x  2mx  2m  m có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này
ĐS: m  3 3.

tạo thành một tam giác đều ?
BT 44.

Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  4( m  1)x2  2m  1 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị
ĐS: m  1  3 3 /2.


Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x  2mx  2m  m có cực đại, cực tiểu mà các cực đại, cực tiểu tạo
thành một tam giác có diện tích bằng 1 ?
ĐS: m  1.

BT 48.

Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4 – 8m2 x2  1 có ba cực trị A, B, C, đồng thời ba điểm này tạo thành

4

2

4

một tam giác có diện tích bằng 64 ?
BT 49.

ĐS: m   5 2.

Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  2x4  m2 x2  m2  1 có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm O, A,
B, C là bốn đỉnh của một hình thoi ?

ĐS: m   2.

1 4
x  ( m  1)x2  2m  1 có điểm cực đại là A, hai điểm cực tiểu là B và
4

5
1

ĐS: m  2;   .

Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  4 có ba điểm cực trị A, B, C sao cho ba điểm này nằm
trên các trục tọa độ ?

BT 56.

ĐS: m  1.

Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính
đường tròn nội tiếp lớn hơn 1 ?

BT 55.

5 1

2

Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  2 có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành một tam giác có

3 9
đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm A  ;  ?
5 5
BT 54.

ĐS: m  1  m 

ĐS: m  2  2 2.

Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2x2  m  2 có ba điểm cực trị A, B, C, đồng thời O là trọng tâm

1 4 1 2
x  x  1, (C ) và đường thẳng d đi qua điểm cực đại của (C) có hệ số góc m.
4
2
Tìm m để tổng các khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị (C) đến đường thẳng d đạt giá trị nhỏ nhất ?
1
ĐS: m   
4

BT 60.

Cho đồ thị hàm số y 

BT 61.

Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2(1  m2 )x2  m  1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có
diện tích lớn nhất ?
ĐS: m  0.

BT 62.

Tìm tham số m để đồ thị hàm số y  x4  2mx2  2m  m4 có ba điểm cực trị tạo thành 1 tam giác nội tiếp
đường tròn có bán kính nhỏ nhất ?

BT 63.

ĐS: m 

1
3


 Lƣu ý:


Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xo , thì khi đó ta tìm yo bằng
cách thế vào hàm số ban đầu, tức yo  f ( xo ). Tương tự cho trường hợp đề cho y o .



Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C ) : y  f ( x) và đường
thẳng d : y  ax  b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm
giữa d và (C ). Đặc biệt: trục hoành Ox : y  0, trục tung Oy : x  0.

BÀI TẬP VẬN DỤNG
BT 1.

2x  1

x1
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.

Cho hàm số: y 

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ), biết tiếp điểm có hoành độ x  1.
Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là d : y 

3
1
x 
4

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là d : y 

BT 4.

2x  1

x 1
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M thuộc (C ) và có hoành độ bằng 1.

Cho hàm số: y 

3
5
Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là y   x  
4
4

THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia

TRANG 22


TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
BT 5.

TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Bắc Bình – Bình Thuận

Cho hàm số: y  x4  2x2  1.

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Chuyên Lê Quí Đôn – Bình Định
x3
Cho hàm số: y 

x1
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm có tung độ bằng 1.

Đáp số: d : y  x 2 

BT 6.

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là d : y  x  2.
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – Sở GD & ĐT Bạc Liêu
BT 7.

2x  1

x 1
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.

Cho hàm số: y 

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M thuộc (C ) và có tung độ bằng 3.
1
13
Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là d : y   x  
3
3


2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M thuộc (C ) và có tung độ bằng 1.
Đáp số: Có hai tiếp tuyến cần tìm là d1 : y  1, d2 : y  9x  28.
BT 11.

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 – THPT Huỳnh Thúc Kháng – Tây Ninh
Cho hàm số: y  f ( x)  2x3  3x2  1.
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm có hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
f ( x)  0.

THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia

TRANG 23


TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM

TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

3
3
x 
2
4
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Thủ Đức – Tp. Hồ Chí Minh

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là d : y 

BT 12.


4
2
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Hiền – Đà Nẵng
Cho hàm số: y  f ( x)  x3  6x2  9x  2.
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm có hoành độ xo , biết f ( xo )  18.

Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là d : y  24 x  6.
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – Sở GD & ĐT Cần Thơ
BT 15.

Cho hàm số: y  f ( x)  x  8x  4.
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
4

2

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm có hoành độ xo , biết f ( xo )  13.
15
93
15
93
x  , d2 : y   x  
2
16
2
16
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Lê Quí Đôn – Đà Nẵng
Cho hàm số: y  x3  6x2  9x  1.
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.


TRANG 24


TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM
TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hùng Vƣơng – Phú Thọ – Lần 3
2x  1
BT 19. Cho hàm số: y 

x2
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại giao điểm của (C ) với trục tung.
5
1
Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là y   x  
4
2

BT 20.

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – Sở GD & ĐT Hà Tĩnh
2x  1
Cho hàm số: y 

x1
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại giao điểm của (C ) với trục hoành.
Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là d : y  4 x  2.



BT 24.

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – Lần 1
2 x  3
Cho hàm số: y 
.
x 1
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại các giao điểm của (C ) và đường y  x  3 .
Đáp số: Có hai tiếp tuyến cần tìm là d1 : y  x  3, d2 : y  x  1.
Đề thi TN THPT năm 2014

BT 25.

Cho hàm số: y  x3  3x2  2.
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại giao điểm (C ) với đường thẳng d : x  y  3  0.
Đáp số: Tiếp tuyến cần tìm là d : y  9 x  7.

BT 26.

Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyễn Xuân Nguyên – Thanh Hóa – Lần 4
Cho hàm số: y  x3  3x  2.

THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia

TRANG 25