VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Lê Thị Hà

PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM FGM CÓ
MẶT CẮT NGANG THAY ĐỔI DƯỚI
TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2016


Luận án được thực hiện tại Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học

TS. Nguyễn Đình Kiên

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện
họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ–18 Hoàng Quốc Việt – Hà Nội.
Vào hồi........giờ.......phút.......ngày......tháng.....năm 2016


1


2

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
1. Tải trọng di động nghiên cứu trong luận án là lực tập trung di động
và lực điều hòa di động. Như vậy, ảnh hưởng quán tính của tải trọng
di động không xét tới trong Luận án này.
2. Dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao hoặc cơ tính biến đổi
theo chiều dọc chịu các lực di động. Bề rộng mặt cắt ngang dầm được
giả thiết thay đổi dọc theo trục dầm.
3. Dầm FGM liên tục có cơ tính biến đổi theo chiều cao. Mặt cắt ngang
của dầm liên tục được giả định là không thay đổi.

Phương pháp nghiên cứu
Do những phức tạp về mặt toán học sinh ra từ tính không đồng nhất của
tính chất vật liệu dầm FGM và mặt cắt ngang của dầm, phương pháp số,
cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn được lựa chọn trong luận án.

Cấu trúc luận án
• Chương 1 trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài
nước về kết cấu dầm FGM. Các mục tiêu chính của luận án cũng được
đề cập tới trong chương này.
• Chương 2 thiết lập phương trình chuyển động của dầm Timoshenko
trên cơ sở nguyên lý Hamilton. Các phương trình cho dầm EulerBernouli nhận được như là trường hợp riêng của dầm Timoshenko.
• Chương 3 trình bày chi tiết việc xây dựng các hàm dạng cho dầm
Timoshenko. Biểu thức cho ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và
vec-tơ lực nút của phần tử dầm FGM có cơ tính biến đổi theo chiều
cao và dọc được trình bày chi tiết.


3


4
Mục tiêu thứ hai
Xây dựng vec-tơ tải trọng nút cho trường hợp dầm chịu một hoặc nhiều
lực di động. Ảnh hưởng của sự tăng tốc và giảm tốc của các tải trọng di
động cũng được xem xét trong Luận án.
Mục tiêu thứ ba
Phát triển chương trình tính toán số để áp dụng phân tích các bài toán cụ
thể.
Mục tiêu thứ tư
Tính toán các đặc trưng động lực học như tần số dao động riêng, độ võng
tại giữa dầm, sự phân bố ứng suất theo chiều dày dầm ... khi dầm chịu
tác dụng của một số loại lực di động khác nhau. Thảo luận và đưa ra các
nhận xét về kết qủa số nhận được.
Luận án có một số điểm mới dưới đây:
• Xây dựng được các công thức phần tử hữu hạn cho phần tử dầm
Timoshenko và phần tử dầm Bernoulli làm từ vật liệu có có tính biến
đổi ngang và cơ tính biến đổi dọc trên cơ sở các hàm nội suy chính
xác. Ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa được xét tới trong công thức
phần tử hữu hạn của dầm có cơ tính biến đổi ngang.
• Phát triển thuật toán và chương trình tính toán số để nghiên cứu ứng
xử động lực học của dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu tác
dụng của nhiều lực di động. Thuật toán cũng cho phép nghiên cứu đáp
ứng động lực học của dầm chịu lực di động tăng tốc và giảm tốc.
• Đã khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, tham số thiết diện
và tham số lực di động tới các đặc trưng động lực học của dầm. Đã
đưa ra đánh giá ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa tới đáp ứng động

mô hình Voigt có dạng
P(x) = (Pc − Pm ) 1 −

x
L

n

+ Pm

(2.2)

2.1.3. Mặt trung hòa
Mô đun đàn hồi của dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao cho bởi công
thức (2.1) không đối xứng qua mặt giữa của dầm. Mặt trung hòa của dầm,

5


6
0.25

0.2

h0 / h

0.15

0.1
Ec/Em = 3

−h/2 E(z)dz

=

hn(Ec − Em )
2(n + 2)(Ec + nEm )

(2.6)

Trong (2.6), Ec và Em tương ứng là mô đun Young của gốm và kim loại.

2.2. Dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi
chịu lực di động
Hình 2.2 minh họa dầm FGM trong hệ tọa độ đề các 0xyz. Dầm có chiều
dài L, chiều cao h = const, chiều rộng thay đổi theo trục dầm b = b(x),
chịu tác dụng của Nf lực P1 , P2 , ..., PNf di động từ đầu trái sang đầu phải
của dầm. Trên Hình 2.2, s1 , s2 , ..., sNf tương ứng là khoảng cách từ các lực
P1 , P2 , ..., PNf tới nút trái dầm; h0 là khoảng cách từ mặt trung hòa đến
mặt giữa dầm; d là khoảng cách giữa hai lực liên tiếp nhau (được giả thiết
là như nhau trong luận án này). Diện tích A(x) và mômen quán tính bậc


7

Hình 2.2: Dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu lực di động
hai I(x) của mặt cắt ngang dầm được giả thiết thay đổi dưới hai dạng sau
x 1
−
L 2
x 1

2.3. Năng lượng dầm FGM
2.3.1. Năng lượng biến dạng đàn hồi
Năng lượng đàn hồi của dầm Timoshenko làm từ vật liệu FGM có cơ tính
biến đổi theo chiều cao được cho bởi
1
2
1
=
2

U=

(σx

x

+ τxz γxz )dV

V
L
2
A11 (x)u2,x − 2A12 (x)u,x θ,x + A22 (x)θ,x
+ ψA33 (x)(w,x − θ)2 dx
0

(2.11)
Trong (2.11), U là năng lượng biến dạng đàn hồi, V là thể tích của dầm.
Các đại lượng A11 , A12 , A22 , A33 tương ứng là các độ cứng dọc trục, độ
cứng tương hỗ dọc trục-uốn, độ cứng chống uốn và độ cứng chống trượt.
A11 =


[(Ec − Em )tn + Em ] hdt = b(x)

A11 = b(x)
0

h
(Ec + nEm )
n+1

h(Ec − Em )
h0
−
(Ec + nEm )
2(n + 1)(n + 2) n + 1
3Ec (n2 + n + 2) + Em (n3 + 3n2 + 8n)
A22 = b(x)h3
12(n + 3)(n + 2)(n + 1)
n(Ec − Em )
h0
+ h0 b(x)h −h
+
(Ec + nEm )
(n + 1)(n + 2) n + 1
1
h
A33 = b(x)
[(Gc − Gm )tn + Gm ] hdt = b(x)
(Gc + nGm )
n+1


ρ(z)(u˙ 21 + u˙ 22 + u˙ 23 )dV

T =

V

(2.21)

L

I11 (u˙ + w˙ ) − 2I12 u˙ θ˙ + I22 θ
2

2

˙2

dx

0

với ρ(z) là mật độ khối lượng biến đổi theo trục z; I11 , I12 , I22 là các mômen
khối lượng
I11 =

ρ(z)dA
A(x)

ρ(z)(z − h0 )dA


3ρc (n2 + n + 2) + ρm (n3 + 3n2 + 8n)
12(n + 3)(n + 2)(n + 1)

+ h0 b(x)h −h

(2.23)

n(ρc − ρm )
h0
+
(ρc + nρm )
(n + 1)(n + 2) n + 1

Với dầm có cơ tính biến đổi dọc, động năng của dầm được viết dưới
dạng
1
T =
2

L

ρ(x)A(x)(u˙ 2 + w˙ 2 ) + ρ(x)I(x)θ˙2 dx
0

(2.24)


10


− si (t))



I θ¨ − I u¨ + (A u ) − (A θ ) − ψA (w − θ) = 0
22
12
12 ,x ,x
22 ,x ,x
33
,x

(2.35)

và các điều kiện biên về lực và mô men như sau

A11 u,x − A12 θ,x = N , A22 θ,x − A12 ux = M tại x = 0 và x = L
ψA33 (w,x − θ) = Q tại x = 0 và x = L
(2.36)
trong đó N , M và Q là các lực dọc trục, mô-men và lực cắt cho trước tại
các đầu dầm.
Với đầu tựa giản đơn
u(0, t) = 0
w(0, t) = w(L, t) = 0

(2.37)

Việc giữ lại độ cứng A12 nhằm đánh giá ảnh hưởng của vị trí mặt trung
hòa tới đáp ứng động lực học của dầm.



E(x)A(x)u,x = N , E(x)I(x)θ,x = M tại x = 0 và x = L

(2.42)

ψG(x)A(x) (w − θ) = Q tại x = 0 và x = L
,x

2.5. Giả thiết Euler-Bernoulli
Do góc quay và biến dạng ngang không còn độc lập như trong lý thuyết
dầm Timoshenko, số lượng phương trình trong hệ phương trình vi phân
chuyển động của dầm giảm bớt một.

2.6. Kết luận chương 2
Một số kết luận của chương 2 có thể tóm lược như sau:
1. Với dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao, do tính không đổi xứng
của vật liệu đối với mặt giữa dầm, vị trí trục trung hòa không trùng
với mặt giữa, mặt trung hòa thay đổi theo phân bố vật liệu.
2. Vị trí mặt trung hòa phụ thuộc vào tham số vật liệu và tỉ số của mô
đun đàn hồi hai vật liệu cấu tạo nên dầm
3. Vấn đề mặt cắt ngang thay đổi được thể hiện rõ qua các hệ số trong
các phương trình chuyển động của dầm, các hệ số này là hàm tọa độ
x, vì thế nghiệm của nó khó có thể giải bằng phương pháp giải tích.


Chương 3

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ
THUẬT TOÁN SỐ
3.1. Chuyển vị nút và hàm dạng



6αa 2 −
3αa 2 −


x
l
l
l
l


; Nu3 =
Nu1 = − + 1; Nu2 =
l
l(1 + φ)
l(1 + φ)
2
2
x
x
x
x


6α
−
3α
−

x
x3


N
=
N
=
0;
N
=
−
3
−
φ
+1+φ
2

w1
w4
w2

1+φ
l3
l2
l





l
l
l


2
3

l
1
x
1 x
x


Nw6 =
−
(1
−
φ)
−
φ)
1 + φ l3
2 l2
2 l
Cuối cùng góc xoay θ(x) được biểu diễn dưới dạng sau đây

6
x2 x


l
x2


Nθ5 = −
;
N
=
3
−
−
(2
−
φ)
θ6
l(1 + φ) l2
l
1 + φ l2
l

(3.16)

(3.18)

Nhận xét: các hàm dạng cho w(x) và θ(x) cho bởi các phương trình (3.16)
và (3.18) có dạng giống hệt hàm dạng do Kosmatka, ngoại trừ định nghĩa
tham số biến dạng trượt φ. Hàm dạng cho bởi các phương trình (3.13),
(3.16) và (3.18) được sử dụng trong trường hợp dầm có mặt cắt ngang
không đổi.



NTθ,x A22 (x)Nθ,x dx; kss =

kbb =

NTu,x A12 (x)Nθ,x dx

kab = −

0

(Nw,x − Nθ )T ψA33 (x)(Nw,x − Nθ )dx
0

(3.23)
tương ứng là các ma trận độ cứng phần tử sinh ra từ biến dạng dọc trục,
tương hỗ giữa biến dạng dọc trục và uốn, biến dạng uốn và biến dạng trượt.

3.2.2. Dầm có cơ tính biến đổi dọc
Ma trận độ cứng cho phần tử dầm Timoshenko có cơ tính biến đổi dọc có
dạng

1
1
Ue = dT (kaa + kbb + kss ) d = dT kd
2
2
Trong đó k = kaa + kbb + kss là ma trận độ cứng phần tử và
l



1
1 ˙T
d (muu + mww + muθ + mθθ )d˙ = d˙ T m d˙
2
2

(3.27)

Trong đó m = muu + mww + muθ + mθθ là ma trận khối lượng nhất quán
của phần tử, và
l

l

NTu I11 (x)Nu dx; mww =

muu =
0

NTw I11 (x)Nw dx
0

NTu I12 (x)Nθ dx; mθθ =

muθ = −
0

(3.29)


NTu ρ(x)A(x)Nw dx;

muu =

NTw ρ(x)A(x)Nw dx

mww =
0

0
l

(3.32)

NTθ ρ(x)I(x)Nθ dx

mθθ =
0

3.4. Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli
Tương tự như dầm Timoshenko, ta cũng có thể xây dựng các hàm dạng
cho phần tử dầm Euler-Bernoulli FGM có cơ tính biến đổi theo chiều cao.
Hệ phương trình cân bằng của phần tử dầm Euler-Bernoulli nhận được từ
phương trình chuyển động có dạng
A11 u,xx − A12 w,xxx = 0
A12 u,xxx − A22 w,xxxx = 0

(3.33)

Khác với dầm Timoshenko, phương trình (3.33) chứa đạo hàm cấp bốn của

l3
l
l2
l
Chuyển vị theo phương ngang w cho ta các hàm dạng cho chuyển vị theo
phương ngang chính là các hàm Hermite.
Nhận xét:


16
-

Trong trường hợp tính tới ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa hoặc
vật liệu dầm là thuần nhất thì A12 = 0, do đó αa = 0. Vì thế các hàm
dạng cho chuyển vị dọc trục trong biểu thức (3.40) chỉ còn lại hai hàm
tuyến tính Nu1 và Nu2 .

-

Các hàm dạng cho chuyển vị ngang của dầm chỉ là các hàm Hermite,
không chứa các thông tin về hình học và vật liệu phần tử. Điều này
có thể thấy được từ phương trình cân bằng (3.33): chuyển vị dọc trục
u(x) chỉ là hàm bậc hai của x và vì thế phương trình thứ hai của (3.33)
sẽ có dạng giản đơn w,xxxx = 0.

3.5. Vec-tơ lực nút
Với các hàm nội suy, ta có thể viết thế năng của các lực này dưới dạng
Ve = − P1 Nw |x1 + P2 Nw |x2 + ... + Pne Nw |xne d

(3.51)

sALP =

α nếu 0 ≤ x ≤
−α nếu

L
2

L
2

(3.71)

≤x≤L

Thuật toán cho vec-tơ lực nút
Vec-tơ lực nút F nhận được bằng cách nối ghép vec-tơ lực nút phần tử
fe trong Mục 3.5 gồm các số hạng bằng không ngoại trừ các số hạng liên
quan tới phần tử trên đó có lực di động, tức là
F = 0 0 0... PNf NTw |xNf 0...0 Pi NTw |xi 0...0 P1 NTw |x1 0...0 0 0

T

(3.1)

trong đó x1 , ...xi , ... xNf tương ứng là hoành độ của các lực P1 , ...Pi , ..., PNf
tính từ nút trái của phần tử trên đó có các lực này.

3.8. Kết luận chương 3
1. Xây dựng các hàm dạng cho dầm Timoshenko FGM và dầm Bernoulli

mặt cắt ngang không thay đổi với kết quả số của S¸im¸sek và cộng sự [99].
Kết quả số liệt kê trong Bảng 4.8 được tính cho dầm FGM làm từ SUS304
và Al2 O3 với chiều rộng b = 0.9 m và chiều cao h = 0.5 m. Kết quả số
nhận được trong Luận án trên cơ sở phần tử dầm Timoshenko, như thấy
từ Bảng 4.8, hoàn toàn phù hợp với kết quả số của S¸im¸sek và cộng sự [99].

18


19
Bảng 4.8: Giá trị cực đại của tham số độ võng và vận tốc tương ứng của
dầm FGM có cơ tính biến đổi dọc chịu một lực di động (α = 0, L/h = 20)

v (m/s)

max(fD )
n

Luận án Tài liệu [99] Luận án Tài liệu [99]

0.3

1.0195

1.01947

219

220


4.3. Dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao
4.3.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu
Hình 4.2 thể hiện mối liên hệ giữa độ võng chuẩn hóa tại giữa dầm và thời
gian chuẩn hóa của dầm A với α = 0.5 chịu tác dụng của ba lực di động
cho hai giá trị của tham số vận tốc fv = 1/8 và fv = 1/4, và các giá trị
khác nhau của chỉ số mũ n.
2.5

2.5

(b) fv=1/4

2

2

1.5

1.5
w(L/2,t)/w0

w(L/2,t)/w0

(a) fv=1/8

1

0.5

0.5

1

1.5

t/∆T

Hình 4.2: Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm và thời gian của dầm A
chịu ba lực di động (α = 0.5, d = L/4)
Độ võng của dầm FGM, như ta thấy từ Hình 4.2, chịu ảnh hưởng mạnh
bởi chỉ số mũ n và tốc độ của lực di động. Giá trị cực đại của độ võng tăng


20
dần khi chỉ số mũ n tăng, bất kể giá trị của vận tốc lực di động. Sự tăng
dần giá trị cực đại của độ võng dầm khi tăng n có thể được giải thích bởi
sự suy giảm độ cứng của dầm như nói tới ở trên.

4.3.2. Ảnh hưởng của tham số lực di động
4

4

(a) α=0.5

3.5

3

3



1.5

d=L/8
d=L/4
d=L/2

1

2

0.5
0

0.5

1
fv

1.5

2

Hình 4.6: Ảnh hưởng của khoảng cách giữa các lực tới mối quan hệ giữa
tham số độ võng và tham số vận tốc của dầm A chịu ba lực di động
(n = 0.5)
Khoảng cách d giữa các lực di động, như ta thấy từ Hình 4.6, đóng
vai trò quan trọng tới giá trị của tham số độ võng fD của dầm FGM chịu
nhiều lực di động. Với mọi giá trị của tham số vận tốc lực di động fv và
tham số mặt cắt ngang α, tham số độ võng fD tăng rõ rệt khi khoảng cách

B, n=0.2

3.5

3

2.5

2.5

0.4

0.8
α

1.2

2
0

1.6

(b) d=L/4

3.5

3

2
0


2

2.2
A, a = 0
A, a > 0
A, a < 0
B, a = 0
B, a > 0
B, a < 0

1.6

1.4

1.2
0

1.8

A, a = 0
A, a > 0
A, a < 0
B, a = 0
B, a > 0
B, a < 0

(L = 20)

1.6

giống nhau. Giá trị max(fD ) tăng khi tham số tiết diện α tăng. Tuy nhiên,
so với dầm loại A thì dầm loại B ít nhạy cảm với sự thay đổi của tham
số tiết diện ngang. Tỷ số L/h của dầm ảnh hưởng tới giá trị của max(fD )
nhưng không làm thay đổi dáng điệu đường cong biểu thị sự phụ thuộc
của max(fD ) vào α.


22

4.4. Dầm có cơ tính biến đổi dọc
Ảnh hưởng của tham số vật liệu
2.2

2.2

n=1
n=3
n=0(thép)

(L/h=5)

2

1.8

1.8

1.6

1.6


n=1
n=3
n=0(thép)

(L/h=20)

1.5

0.6
0

0.5

fv

1

1.5

Hình 4.13: Mối quan hệ giữa tham số độ võng và tham số vận tốc của
dầm loại A có cơ tính biến đổi dọc chịu một lực di động (α = 0.5)
Đường cong biểu thị mối quan hệ giữa tham số độ võng fD với tham
số vận tốc fv của dầm có cơ tính biến đổi dọc trên Hình 4.13 có dáng điệu
tương tự như đường cong của dầm có cơ tính biến đổi theo chiều cao. Với
hầu hết các giá trị của tham số vận tốc, tham số độ võng fD cao hơn khi
dầm có tham số vật liệu n lớn hơn. Tương tự như dầm có cơ tính biến đổi
dọc, điều này được giải thích bởi tỷ lệ của thép trong dầm cao hơn khi chỉ
số mũ n lớn hơn. Kết luận này đúng với cả hai trường hợp của dầm có tỷ
số L/h = 5 và L/h = 20.

a
a