TOÁN HỌC RỜI RẠC
PHẦN 2
DISCRETE MATHEMATICS
PART TWO
NỘI DUNG
1. PHÉP ĐẾM
a. Nguyên lý cộng, nhân & bù trừ
b. Giải tích tổ hợp
c. Nguyên lý Dirichlet
d. Công thức đệ quy
2. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
a. Đại cương
b. Đồ thị liên thông
c. Đường đi ngắn nhất
d. Cây khung trọng lượng tối tiểu
e. Luồng cực đại
2. SỐ HỌC
a. Lý thuyết chia hết
b. Lý thuyết đồng dư
2
PHÉP ĐẾM (1)
•
NGUYÊN LÝ CỘNG, NHÂN, BÙ
–
A là một tập hợp, ký hiệu |A| bản số của A, trong trường hợp A
là tập hữu hạn, |A| chính là số phần tử của A
–
|A ∪ B|=|A| + |B| -|A ∩ B|
nếu A ∩ B = ∅ thì |A ∪ B|=|A| + |B|
–
|A x B| = |A| * |B|

m
n
m
−
=








PHÉP ĐẾM (2)
•
CÁC VÍ VỤ
–
Trong một phòng họp có n người, mỗi người bắt tay với mỗi
người khác đúng một lần. Số bắt tay?
–
Dùng n bit để biểu diễn nhị phân cho các số nguyên không âm,
số số nguyên có thể được biểu diễn?
–
Có bao nhiêu số thập phân có 6 chữ số? Bao nhiêu số thập phân
có số chữ số nhỏ hơn sáu?
–
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho n người xung quanh
một chiếc bàn họp tròn?
Bây giờ giả sử ông chủ tịch cuộc họp được sắp ngồi ở một ghế
xác định, có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho các người còn

v
2
, v
1
, v
2
∈ E
•
Đỉnh cô lập: đỉnh không có cạnh đi qua
•
Đỉnh treo: chỉ thuộc một cạnh duy nhất (cạnh treo)
•
Đa đồ thị: tồn tại nhiều hơn 1 cạnh nối hai đỉnh
•
đồ thị đơn: tồn tại nhiều nhất một cạnh nối hai đỉnh
•
Đỉnh kề: chung cạnh
•
Cạnh kề: chung đỉnh
•
Đồ thị đầy đủ: mọi cặp đỉnh (phân biệt) đều có cạnh nối
•
Đồ thị con: A⊆V, E
A
={(v
1
, v
2
) ∈ E | v
1

, v
1
, …, v
n
=v sao cho v
i
v
i+1
∈ E
•
Đường đi sơ cấp: tập ∀i=0, …, n-1: v
i
≠ v
i+1

•
Chu trình: v
0
= v
n
•
Chu trình sơ cấp: ∀i=1, …, n-1: v
i
≠ v
i+1

–
ĐỒ THỊ LIÊN THÔNG
•
Đồ thị vô hướng liên thông: ∀u, v ∈ V, ∃đường đi giữa u, v

Nửa bậc ngoài (ra): d
+
(x)
•
Bậc của đỉnh: d(x) = d
-
(x) + d
+
(x)
•
ω
+
(A) = { (i, j)| i∈A, j∉ A }
•
ω
-
(A) = { (i, j)| j∈A, i∉ A }
•
θ(A) = ω
+
(A) ∪ ω
-
(A)
•
Đa đồ thị, đồ thị đơn
•
Đỉnh kề, cung kề
•
Đồ thị có hướng đối xứng, phi đối xứng
8


•
Chu trình: v
0
= v
n
•
Chu trình sơ cấp: chu trình & ∀i=1, …, n-1: v
i
≠ v
i+1

–
ĐỒ THỊ LIÊN THÔNG
•
Đồ thị có hướng liên thông: đồ thị vô hướng tương ứng liên thông
•
Đồ thị có hướng liên thông một chiều: ∀u, v ∈ V, ∃đường đi từ u
đến v hoặc từ v đến u
•
Đồ thị có hướng liên thông mạnh: ∀u, v ∈ V, ∃đường đi từ u đến v
và ∃đường đi từ v đến u
•
Thành phần liên thông: quan hệ R={(u, u)| u ∈E}∪ {(u, v) | ∃đường
đi từ u đến v và ∃đường đi từ v đến u}
9
LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (7)
•
ĐỒ THỊ EULER
–

–
Đồ thị nửa Hamilton
–
Các định lý:
•
Đồ thị đơn vô hướng bậc n > 2, nếu ∀x ∈ E, d(x) ≥ n/2 thì là đồ thị
Hamilton
•
Đồ thị có hướng liên thông bậc n, nếu ∀x ∈ E, d
-
(x), d
+
(x) ≥ n/2 thì
là đồ thị Hamilton
•
Đồ thị có hướng, đầy đủ là đồ thị nửa Hamilton
•
Đồ thị có hướng, đầy đủ bậc > 2 là đồ thị Hamilton
–
Đồ thị đấu loại
•
Đồ thị đấu loại là nửa Hamilton
•
Đồ thị đấu loại liên thông là Hamilton
11