SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề này có 01 trang)
----------

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 (2 điểm).
1) Giải phương trình:

x 2 − 6 x + 9 + x 2 − 8 x + 16 = 7 ;
 x + y + xy = 3

2) Giải hệ phương trình: 

2
2
 x + y + xy = 17

.

Câu 2 (1 điểm). Chứng minh rằng biểu thức A =

3

70 − 4901 + 3 70 + 4901 là số nguyên.

TOÁN CHUYÊN

Câu

Hướng dẫn giải

Điểm

1.1

x 2 − 6 x + 9 + x 2 − 8 x + 16 = 7 ⇔ ( x − 3) 2 + ( x − 4) 2 = 7 ⇔| x − 3 | + | x − 4 |= 7 (1)
TH1: x ≤ 3 .
(1) ⇔ − x + 3 − x + 4 = 7 ⇔ x = 0 (thỏa mãn).
TH2: 3 < x < 4 .
(1) ⇔ x − 3 − x + 4 = 7 ⇔ 1 = 7 (vô lý)
TH3: x ≥ 4 .
(1) ⇔ x − 3 + x − 4 = 7 ⇔ x = 7 (thỏa mãn).
Vậy: Nghiệm của phương trình đã cho là: x ∈ {0; 7} .
 x + y + xy = 3
 x + y + xy = 3
⇔
. Đặt x + y = u, xy = v ta được hệ phương
 2
2
2
 x + y + xy = 17
( x + y ) − xy = 17

0.25


0.25

0.25

0.25

Với 

Với 

0.25

 x = 2 − 5
 x = 2 + 5
hoặc


 y = 2 + 5
 y = 2 − 5

Ta có A3 = 140 + 3 3 (70 − 4901)(70 + 4901) A
⇔ A2 + 3 A − 140 = 0
⇔ ( A − 5)( A2 + 5 A + 28) = 0
⇔ A = 5 (vì phương trình A2 + 5 A + 28 = 0 vô nghiệm)

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25


E

B
B
I

0.25
D

3.1
F

x

A
D

II
FF

JJ

C

B

·
·
·

chung vµ AED
= ABC
(theo chứng
minh ý 1).

3.2

3.3

Suy ra tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB
AD AE
⇒
=
⇒ AB. AD = AC. AE.
AC AB
·
·
·
b) XÐt hai tam giác FBD và FEC có: CFE
chung và FBD
= FEC
(vì đều là góc bù
của góc ABC).
Suy ra tam giác FBD đồng dạng với tam giác FEC
FB FD
⇒
=
⇒ FB.FC = FD.FE.
(1)
FE FC


(2)

0.25

Tõ (1) vµ (2) suy ra FI .FJ = FD.FE

0.25

x 2 + 2 y 2 − 2 xy + 3 x − 3 y + 2 = 0 ⇔ x 2 + (3 − 2 y ) x + 2 y 2 − 3 y + 2 = 0 (*)

0.25
1
2

1
2

Để phương trình (*) có nghiệm (ẩn x) ta phải có ∆ = 1 − 4 y 2 ≥ 0 ⇔ − ≤ y ≤ .

0.25

Vì y ∈ ¢ nên y = 0. Thay vào (*) ta được x = -1 hoặc x = -2.
Vậy: phương trình đã cho có các nghiệm nguyên là: (-1; 0), (-2; 0).

0.25
0.25

Với mọi số nguyên n ta có n 2 ≡ 0,1(mod 4) .



0.25
0.25
0.25

0.25

2

( a − b ) 2 (b − c ) 2 ( c − a ) 2
⇔
+
+
≥ (a − b) 2 + (b − c ) 2 + (c − a) 2
b
c
a

0.25

1
1
1
⇔ ( − 1)(a − b) 2 + ( − 1)(b − c ) 2 + ( − 1)(c − a ) 2 ≥ 0
b
c
a

0.25