SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề này có 01 trang)
----------

Câu 1 (2 điểm). Cho phương trình : x − mx − m − 1 = 0 ( m là tham số).
2

1) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 .
2) Cho x1 , x2 là nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

m 2 + 2m
S= 2
x1 + x22 + 2
Câu 2 (2 điểm).
1) Giải phương trình:

3

x + 2 + 3 7 − x = 3.

1 1 9



2
1
+ với 0 < x < 2
2−x x


+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013-2014

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN
TOÁN CHUYÊN
(Có 04 trang)

Câu

Hướng dẫn giải

Câu 1 1) x 2 − mx − m − 1 = 0 (*) .
(2 điểm) ∆ = m 2 + 4m + 4 = m + 2 2
(
)

0,5 điểm

0,25

3

1
1
. Vậy, giá trị nhỏ nhất của S là: − .
3
3

x+2 + 3 7−x =3

0,5
1,0 điểm

⇒ 9 + 9 3 ( x + 2)(7 − x) = 27
3

0,5
0,5

⇔ x+2+7 - x +3 3 x + 2. 3 7 − x ( 3 x + 2 + 3 7 − x ) = 27
⇔

0,25
1,5 điểm

m 2 + 2m
m 2 + 2m
m 2 + 2m
=
=


đ/k: xy ≠ 0

 2[ xy ( x + y ) + ( x + y )] = 9 xy (1)

Hệ đã cho 

2
 2( xy ) − 5 xy + 2 = 0
(3)
 xy = 2

Giải (2) ta được: 
1
(4)
 xy = 2

(2)

1,0 điểm

0,25

0,25

x + y = 3
x = 1
x = 2
⇔
; 

 y = 1

0,25

Câu 3
(4 điểm)

Vẽ hình chính xác

0,25

·
·
·
1) Tứ giác BCEF nội tiếp => AFE
(cùng bù BFE
)
= ACB
·
·
·
(cùng bù CEF
)
AEF
= ABC

=> ∆ AEF ∼ ∆ ABC.
2) Vẽ đường kính AK =>
KB // CH ( cùng ⊥ AB)
KC // BH (cùng ⊥ AC)


Câu 4
(1,0

Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên

3

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25


điểm)

2

(do x1-1 ≠ x2-1)

0,25

Như vậy a = 6 hoặc a = -2 thỏa mãn
Câu 5
1,0 điểm

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

A=

0,25

2
1
+ với 0 < x < 2
2− x x

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski:
(a2 + b2 ) (x2 + y2 ) ≥ (ax +by )2
Ta có:
2
2

2   1  
÷ + 
÷ 
2A = 
x÷

2

0,25

2

2
1
Suy ra: min 2A = 3 + 2 2 ⇔ 2 − x = x
2− x x
2
1
⇔
= 2
2
( 2 − x) x
⇔ 2x2 = x2 − 4x + 4
⇔ x2 + 4x + 4 = 8

0,25

0,25

⇔ ( x + 2) = 8
2

⇔ x + 2 = 8 Vì 0 < x < 2
⇔ x = 2 2 −2

Vậy min A = 1,5 + 2 ⇔ x = 2 2 − 2