TÀI LIỆU ÔN THI VÀO CÁC LỚP CHUYÊN MÔN TOÁN

Chuyên đề 1:

ĐA THỨC

I. Đa thức : (Đa thức một biến)
1. Đònh nghóa: Đa thức bậc n theo x (n∈ ∞ ) là biểu thức có dạng
P(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a









với an ≠ 0

Các số a0 ,a1,...,an gọi là các hệ số , n gọi là bậc của đa thức P(x)
Ví dụ: P(x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 4 là đa thức bậc ba.
2. Đa thức đồng nhất:
a) Đa thức đồng nhất:
Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất là những đa thức luôn luôn có cùng giá trò với bất cứ giá tr
ò
nào của biến số.
• Nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức đồng nhất ta ký hiệu : P(x) ≡ Q(x)
P(x) ≡ Q(x) ⇔ ∀x ∈ ϒ : P(x) = Q(x)
b) Đa thức đồng nhất không:
Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất không là những đa thức luôn luôn bằng 0 với bất cứ giá trò


Giả sử

⇒ x + 2x + ax + 2x + b = x

+ m x + n + 2mx + 2nx + 2mnx

2
4

3


m2 + 2n − a = 0

2



4

2 2 2

với mọi x

3

với mọi x

2


m = 1
n = 1

2

a=3


3. Nghiệm của đa thức:
• Nếu khi x = a đa thức P(x) có giá trò bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của P(x)
đn
a là một nghiệm của P(x) ⇔ P(a) = 0
Từ (2) và (3) ta suy ra được a = 3; b = −

.

Ví dụ: Cho phương trình 2x4 − 5x3 + 6x2 − 5x + 2 = 0 (1)
Chứng minh rằng x = 1 là nghiệm của phương trình (1)

4. Phép chia đa thức:


Đònh lý: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) khác không. Tồn tại duy nhất đa thức h(x) và r(x) sao
cho
P(x) = Q(x).h(x) + r(x)
Trong đó r(x) = 0 hoặc r(x) ≠ 0 và bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)
Đa thức Q(x) gọi là thương và đa thức r(x) gọi là dư của phép chia P(x) cho Q(x)
Ví du 1ï: Tìm thương và dư của phép chia đa thức P(x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 4 cho đa thức x
−1





P(x) = (x − a).Q(x) + R với mọi x




Do đó với x = a thì P(a) = 0.Q(a) + R ⇒ R = P(a) (đpcm)
 P(x) chia hết cho (x − a) ⇔ P(a) = 0
Hệ quả: Đa thức P(x) có nghiệm là a khi và chỉ khi P(x)Μ (x-a)
an
an−2
a1
a0
n−1
− a).Q(x),
P(a) = 0  ⇔ P(x)
= a(x
trong đó Q(x)
là mộ
t đa thức
a

bn

bn−1

bn−2

Dử laứ : r = b0
Vớ d 1: Tỡm thửụng vaứ dử cuỷa pheựp chia ủa thửực P(x) = 2x3 9x2 + 12x 4 cho ủa thửực x
1
Vớ d 2: Tỡm thửụng vaứ dử cuỷa pheựp chia ủa thửực P(x) = 2x4 3x2 + 4x 5 cho ủa thửực x +
1


7. Phân tích đa thức ra thừa số
Định lý: Giả sử đa thức P(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0(an ≠ 0) có n nghiệm là x1,
x2,..., xn
thì
P(x) = an (x − x1)(x − x2 )...

(x − xn )

Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 + 9x2 + 11x − 21 thành nhân tử
Ví dụ: Rút gọn phân thức
A=

x3 − 4x2 − x + 4
x3 − 7x2 +14x − 8
--------------------------Hết--------------------------


Chuyên đề 2:

BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC NGUYÊN VÀ PHÂN THỨC

I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
Các hằng đẳ(a


7. a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )

8. (a + b1)+ A
c)=24x=−a22++4xb2+2+−c2 + 2ab + 2ac + 2bc2
4x − ( x − 3)
(2x − 3) − x2
x2 − 9
9 (x2 −1 )
(2x + 3) − x 4x2 − ( x + 3)
2
2
2
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
10) a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 1 (a + b + c) (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 
− ab − ac − bc =

2

Hệ quả: Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 =
3abc
n−2


Ví dụ 1: Rút gọn các phân thức sau
2x +1 1− 2x

2

2 1− 4x2

−
x 1= 3
 :+

3x
−  x + 1

2x
3x +
+

Bài 1: Cho M

1) Rút gọn M thành một phân thức
2) Với giá trị nào của x thì M < 0
3) Tìm x ∈  để 1
M ∈

Bài giải:




x≠0

x ≠ 0
1) Điều kiện của biến là: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1

2


x+1
3x
22 2
8x 2
4x 3x x 1−−
−
−
:+

3x (x + 1) x + 1
(

=
=

)( ) 22 1 2x 1 2x
x 1 3x x 1+ −
−
.
+
−
+
3x (x + 1) 2(1 − 2x)
3x
21
2x 3x x 1+ −
+ −

3x
2

x 1=

 1x
 ≠ 2
−

M ∈  khi x ∈  thì ta phải có:

x − 1 = 1 x = 2


 x 0x 1 1
  =−
x 1− là ước của 3 ⇔  = −
⇔ 
x − 1 = 3
x = 4


 x 2x 1 3
  = −−
=−
Đối chiếu với điều kiện của x ta có đáp số là: x = −2; x = 2; x = 4

−


+

Bài 3: Cho biểu thức P = 


x = a với 


x ≥ 0
P = 
x≠ 1

a ≥
0

+

− 2 : 2

3a2 + 3a − 3 + a + 2 + a − 1 − 2(a2 + a − 2
(a − 1)(a + 2)

. Khi đó:

a + 3a + 2

:

1
a −1

1
.(a2 − 1) = (a + 1)


(a − 1)(a + 2)

a2 − 1
2


x x +1

x − 1 
 : 

Bài 1:TƯƠNG
Cho biểu thức:
M = GIẢI:

BÀI TẬP
TỰ TỰ


x +
x − 1


−
Bài 2: Cho biểu thức: M = 

x

Đáp số: 


x

2−

x

x

x  (x − x )(1 −


x ≠

x )


1


x ≥ 0
Đáp số: x ≠ 1 ; M =


x ≠


−

Bài 4: Cho biểu thức: M =


+

.
1+x x

Tìm các giá trị của x để M có nghĩa, khi đó hãy rút gọn M.




2 x−1




4
2 x−9

2 x +1

x−5 x +6

x−3

x +3
2− x

1
x−


1 

7

1

1

1

− 2 = a6 − 6a4 + 9a2 − 2

1

1 

1 

1

x 

x 

x

x3 +3  − x +  = a7 − 7a5 + 14a3 − 7a




1

1

C = x4 +

6

1 = a là một hằng số . Tính theo a các biểu thức :
x

Bài giải:

B = x6 +

;

3

2

= 7 . Chứng minh rằng x5 +

x

5

x

2

x 

x  

x

Bài 2: Cho x > 0 thỏa mãn 1

1

x2 +

x

2

Bài giải:
Ta có: x5

+1

là một số ngun. Tìm số ngun đó




5

1 


1 

1 

1

x



x 

x 

x

4

2

Nên



x

x 

1


1

2

 2

x3 +

3

x +

4

+2=7+2=9⇒x+

= x2 +

2

= x2 +

2

1

= 3 (do x > 0)

x +  − x +  = 7.3 − 3 = 18


+ 1 =+ 01⇒

z + 1 = 0
Vậy A = (−1)

2

+ (−1)



2

+ (−1)


2009

= −3

2009
2009

Bài 4: Cho
M=

a4 −16
a4 − 4a3 + 8a2 −16

. Tìm các giá trò nguyên của a để M có giá trò nguyên

x(x + 1)

(a − 2)(a − 2) (a2 + 4)
x x + 1=

−

Với a ≠ ±2 thì Aa + 2
=

a−2

Tìm a ∈  để A ∈ 
a+2

4

a−2

a−2

a − 2 = −4
a − 2 = 4

a = 3
a=1
a=0

a = −2
a = 6




Đối chiếu với điều kiện của a ta có đáp số là: a = 0;a = 1;a = 3;a = 4;a = 6

Bài 6: Chứng minh rằng:
1)

1

1

1

2)

1

3)

1

3  3x − 1

3x + 2

1
(x − 1) x (x + 1)

=

+
Áp dụng: Tính
2) Sn =

1

+1

+1... +

3) Sn = 1.2 +2.3

1

1

+
3.4

+n.(n
... ++1)

1

1
(3n − 1)(3n + 2)

2.5 5.8
1



9

+ 5x) − 36 ≥ −36

4

2

2
2

2

2

Dấu đẳng thức xảy ra khi 3 . Vậy min A = 7
x=

= (x−y

)

2−

+ 3 (x + y − 2

)

2



. Vậy min A = 2009



-------------------------------Hết--------------------------------

x2 + y2 + 4 + 2xy − 4x − 4y


Dấu đẳng thức xảy ra khi 
x + y − 2 = 0



y = 1


Chuyên đề 3:
BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC

I. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC CƠ BẢN:

Biến đổi căn thức bậc hai:
A

•

A


B

=

(B ≥ 0)

B

Chú ý:

A có nghóa khi A ≥ 0

Biến đổi căn thức bậc ba:
• 3 A3 = A
• 3A.B = 3 A.3 B
•

3

3
3

(B ≠ 0)

• 3 A3.B = A.3 B
Ví

1) Tính: A =



−

+

 a −1 a − a   a +1 a −1 
1) Rút gọn biểu thức K.
2) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2

2) Rút gọn biểu thức: B =   : a −1a −1 a +1


a −1
4a + 4
 14 − 7
1) A = 


Ví dụ 3: Cho biểu thức K = 

a +1
với a ≥ 0;a ≠ 1

15 − 5 
 :

  1
 : 

2 


=

2 3 + 5 −=(
6+ 2

2
3

23+

=1+

3
2
1+ 1+

3
2
1− 1−

=

)

1+

=

(

) 2

6+ 2

3
2
1−

2
2 3 + 3 −1 2 2 + 3
6+ 2

Bài 2: Chứng minh đẳng thư
ùc :

Bài giải:

1+

1−

6+ 2

6+ 2

= 1 (1)

+
3
2

3

4+23

2

2

4

4−23
4

1+

1−

=

2

+
2
1+

1−
3

3



(

4

1+

1−

2

1+
=

3)(3 + 3) 3 + 3 + 3 − 3

2

3
2
3 −1
4
2

6

)
2

1−

6

=

5 − 20 6

Bài giải:
4
=

=2 3

2

Bài 4: Cho a ≥ 0 . Chứng minh rằng :

=

=

−

2

4(5 + 2 6 2

2
2

+4(

Đặt ẩn phụ: a = x
Bài 5: Xét biểu thức 3a + 9a − 3 a − 2
P=
Hướng dẫn:
Đặt ẩn phụ: a = x

) 2

a+

a − 2 a −1

1
a+2

2


Bài 6: Rút gọn biểu thức :

5 − 3 − 29 −12 5

A=
Đáp số: A = 1

2+ 3+ 6+ 8+4

Bài 7: Thu gọn biểu thức :

2+ 3+


1x

x2 +

x

3

+ Thay x vào A sẽ được A = 32009
( 5 + 2) 17 5 − 38