CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số
a. y =
3x 1
1 x
+
−
b. y = x³/3 + 3x² – 7x – 2 c. y = x
4
– 2x² + 3
d. y = –x
4
+ 3x² e. y =
1 x
x 2
−
+
f. y = –x³ + 12x
Bài 2: Chứng minh hàm số y =
2
9 x−
nghịch biến trên khoảng (0; 3) và đồng biến trên khoảng (–
3; 0).
Bài 3: Định m để hàm số
a. y = x³ – 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên R.
b. y = mx³ – (2m – 1)x² + (m – 2)x – 2 đồng biến trên R.
c. y = –mx³ + 3mx² – 3x nghịch biến trên R.
Bài 4. Định m để hàm số y = x³ – 3mx² + (m² – 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 5. Định m để hàm số y = x³ – 3x² + 3mx + 3m + 4 có cực đại và cực tiểu.
Bài 6. Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số y = x³ + 3x² + (m + 2)x.
a. Có cực đại và cực tiểu.

x
trên đoạn [1; e²]
f. y =
2
cos 2x + 4sin x trên đoạn [0, π/2]
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x)
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x³ – 2x + 2 có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết
a. Tiếp tuyến song song với (d): y = x + 1
b. Tiếp tuyến vuông góc với (d): y = –x + 1
GIẢI
a. Gọi M(x
o
; y
o
) là tiếp điểm. Tiếp tuyến song song với (d) nên có hệ số góc k = 1
<=> f’(x
o
) = 1 <=> 3
2
o
x
– 2 = 1 <=> x
o
= ±1
+ x
o
= 1 → y
o
= 1. Phương trình tiếp tuyến: y = x
+ x

4
– x² + 1 và đồ thị (D) có phương trình y =
g(x) = x² + m. Tìm m để (C) và (D) tiếp xúc với nhau.
Giải.
(C) và (D) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình
3
4 2 2
4x 2x 2x (1)
x x 1 x m (2)

− =


− + = +


có nghiệm.
(1) <=> 4x³ – 4x = 0 <=> x = 0 hoặc x = ±1
Nếu x = 0 từ (2) ta có m = 1;
Nếu x = ±1 từ (2) ta có m = 0.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2 có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x³ – 3x² – m = 0 (1)
Giải:
b. Phương trình (1) tương đương x³ – 3x² + 2 = m + 2
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m + 2
Dựa vào đồ thị ta thấy:
Nếu m < –2 hoặc m > 2: Phương trình có 1 nghiệm.
Nếu m = –2 hoặc m = 2: Phương trình có 2 nghiệm.
Nếu –2 < m < 2: Phương trình có 3 nghiệm.

Bài 7: Cho hàm số y = x³ – mx² + m – 1, với m là tham số thực.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng d: y = x/3 – 1
c. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2.
Bài 8: Cho hàm số y = –x³ + 3x² – 2, có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b. Viết phương trình tiếp tuyến Δ với (C) tại điểm A(0; –2)
c. Gọi d là đường thẳng qua K(1, 0) có hệ số góc m. Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt (C) tại 3
điểm phân biệt.
Bài 9: Cho hàm số: y = 2x³ – 3x² – 1, có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng d: y = x – 1
c. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x³ – 3x² – m = 0
Bài 10: Cho hàm số y =
1
3
x³ – x²
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số.
b. Chứng minh rằng đường thẳng d: y =
1
3
x – 1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, B trong đó
M là trung điểm của đoạn AB. Tính diện tích của tam giác OAB.
Bài 11: Cho hàm số y =
2x 1
x 1
+
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b. Tìm m để (C) cắt đường thẳng (d): y = m(x + 1) + 3 tại 2 điểm phân biệt A, B nhận I(–1; 3) làm

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Tìm điểm M trên Ox mà tiếp tuyến đi qua M song song với đường thẳng (D): y = –2x
Bài 16: Cho hàm số
2x
y
x 1
−
=
+
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2 cắt cả hai nhánh của đồ thị (H).
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
3
Bài 17: Cho hàm số
2x 3
y
1 x
−
=
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và haiờng thẳng x = 2; x = 4.
c. Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng: y = –x + 3 và tiếp xúc với đồ thị
(C).
Bài 18: Cho hàm số y = x
4
– 2x²
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Định m để phương trình: x
4

4
– 2x² + m = 0 (*) có bốn nghiệm phân biệt.
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRINH MŨ VÀ LOGARIT
Các công thức cần nhớ: 0 < a ≠ 1
a
0
= 1
m
n
n m
n
n
1
a a a
a
−
= =
Tính chất của lũy thừa: 0 < a ≠ 1
a
m
.a
n
= a
m+n
; (a
m
)
n
= a
m.n

n n n
a.b a. b=
;
n
n
n
a a
b
b
=
m
n
m
n
a a=
m
n mn
a a=
* Lôgarit: cho a, b > 0 và a ≠ 1: log
a
b = α <=> a
α
= b
* Tính chất logarit: log
a
1 = 0 log
a
a = 1 log
a
a

c
a a a
b
log log b log c
c
= −
log
a
b
α
= αlog
a
b
* Công thức đổi cơ số:
α
a
a
1
log b log b
α
=
a
b
1
log b
log a
=
a
b
a

(2 – x)² e.
5
2x 3
y
log (x 2)
−
=
−
Bài 2. Chứng minh hàm số sau thỏa hệ thức
a. y = (x + 1)e
x
thỏa y′ – y = e
x
.
b.
1
y ln
x 1
=
+
thỏa xy′ + 1 = e
y
.
c. y = e
4x
+ 2e
–x
thỏa y‴ – 13y′ – 12y = 0
Bài 3. Giải các phương trình
a)

x 5 x 17
x 7 x 3
1
32 .128
4
+ +
− −
=
g) 2
x
+ 2
x–1
+ 2
x–2
= 3
x
– 3
x–1
+ 3
x–2
. h)
x x
2 9 27
( ) .( )
3 8 64
=
k)
x 1 x x x 1
3 6 .2 .3
− − +

2x+4
– 4.3
2x+5
+ 27 = 0 f) 5
2x+4
– 110.5
x+1
– 75 = 0
g)
x x 1
5 2 8
2 0
2 5 5
+
   
− + =
 ÷  ÷
   
h)
x 3 x
5 5 20
−
− =
i)
x x
(4 15) (4 15) 2− + + =
j)
x x
( 5 2 6 ) ( 5 2 6 ) 10+ + − =
k)

e) log
4
x + log
2
x + 2log
16
x = 5 f)
3
log (x 2)−
log
5
x = 2log
3
(x – 2)
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
5
g) 2log
3
x = 2log
9
(4x + 5) + 1.
Bài 7. Giải các phương trình sau:
a)
2
2 4
log x 6log x 4+ =
b) log
3
(3
x

3
(3
x
– 8) = 2 – x
k) log
3
(4.3
x
– 1) = 2x + 1 m) log
3
[5 + 4log
3
(x – 1)] = 2.
Bài 8. Cho hàm số y = ln² x (x > 0). Giải phương trình: y – xy′ – 3 = 0
Bài 9. Giải các bất phương trình sau
a)
2x 3 x 7 3x 1
6 2 .3
+ + −
<
b)
2x 5
1
( ) 9
3
+
<
c)
2
4x 15x 4 3x 5

x
≤ 7.10
x
.
e) 2.16
x
– 2
4x
– 4
2x–2
> 15 f) 4
x+1
– 16
x
< 2log
4
8.
g) 3
x
– 3
2–x
+ 8 > 0 h) 5
x
– 3
x+1
> 2.5
x–1
– 2.3
x–2
.

3
2 3x
log
x
−
≥ –1
Bài 12. Giải các bất phương trình sau:
a)
2
1 1
3 3
log x 3log x 0+ >
b)
1 1
1
1 log x log x
+ >
−
c)
2
2 2
log x log 4x 4+ −
≥ 0 d)
2
log x 3log x 3
1
log x 1
− +
<
−

(α ≠ –1)
( )
α 1
α
1 (ax b)
(ax b) dx Cα 1,a 0
aα 1
+
+
+ = + ≠ − ≠
+
∫
dx
ln x C
x
= +
∫
dx 1
ln ax b C
ax b a
= + +
+
∫
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
6
∫e
x
dx = e
x
+ C ∫e

1
sin(ax b) C
a
+ +
2
dx
tan x C
cos x
= +
∫
2
dx 1
tan(ax b) C
a
cos (ax b)
= + +
+
∫
2
dx
cot x C
sin x
= − +
∫
2
dx 1
cot(ax b) C
a
sin (ax b)
= − + +

+
∫
; b. ∫(3 + 2sin x)cos x dx; c.
2x
x
1
e (3 )dx
e
−
∫
d.
2
cos x sin 2x
dx
cos x
−
∫
Bài 7: Tính
a. ∫cos x sin³ x dx b.
cos xdx
3sin x 5+
∫
; c.
3
sin xdx
cos x
∫
d.
3sin x
e cos xdx

dx
x
∫
j.
3
(ln x 2)
dx
x
+
∫
k.
x 2x 1dx+
∫
l.
2
xdx
x 3+
∫
Bài 8: Tính
a. ∫2x cos x dx; b. ∫(x + 3)e
x
dx; c. ∫(4x + 1)sin x dx d. ∫3x² ln x dx;
e. ∫(x² + 2x)ln x dx f. ∫ln(x + 1)dx; g. ∫(1 + e
x
)xdx
TÍCH PHÂN
Định nghĩa:
b
b
a

b
α a
f[u(x)]u '(x)dx f (t)dt=
∫ ∫
Tính tích phân bằng phương pháp từng phần.
Công thức tổng quát:
b b
a a
b
udv (uv) vdu
a
= −
∫ ∫
Bài 1: Tính các tích phân sau:
0
π
(cos x sin x)dx
−
−
∫
0
2x
x
1
1
(e )dx
e
−
−
∫

2
1
dx
x(ln x 1)+
∫
d.
e
4
1
ln xdx
x
∫
e.
1
0
3x 1dx+
∫
; f.
19
3
2
0
xdx
x 8+
∫
; g.
π
tan x
4
2

3
0
(4sin x cos x 1)dx+
∫
b.
π
2
0
sin x
( 2x)dx
1 cos x
−
+
∫
; c.
2
0
(x 4x 1)dx− +
∫
d.
e
1
3ln x 1
( 1)dx
x
+
−
∫
e.
2

∫
Bài 4: Tính các tích phân sau
a.
5
0
x x 4dx+
∫
b.
π
2
0
sin x cos xdx
1 cos x+
∫
c.
e
1
ln xdx
(ln x 3)x+
∫
d.
π
2
0
sin x cos xdx
3sin x 1+
∫
Bài 5: Tính các tích phân sau:
a.
π

2
2
1
(x 2x)ln xdx+
∫
Bài 6: Tính các tích phân sau:
a.
0
x
1
(1 e )xdx
−
−
∫
b.
e
1
(1 ln x)dx+
∫
c.
π
0
x(2 cosx)dx+
∫
d.
π
0
x(sin x 2x)dx−
∫
e.

(x sin x cos x)dx−
∫
Bài 8: Tính các tích phân sau:
a.
e
2
1
x ln x 1
dx
x
+
∫
; b.
e
1
x(x ln x 2)dx+
∫
c.
1
x
x
0
2
e (x )dx
e
+
∫
d.
π
3

lại không cần chèn vào trong quá trình tính tích phân.
Bài 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = e
x
và các đường thẳng Ox, Oy, x = 2.
Bài 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x³ – 3x + 1 và (d): y = 2.
Bài 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x
4
– x² và Ox.
Bài 4. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = e
x
và các đường thẳng y = e, Oy.
Bài 5. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = e
x
– 1 và Ox, x = 2.
Bài 6. Cho đường cong (C): y = x³ – x. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục
hoành.
Bài 7. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = e
x
– e
–x
và Ox, x = 1.
Bài 8. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = ln x và Ox, x = e.
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
9
Bài 9. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = ln x, (d): y = 1 và x = 1.
Bài 10. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C):
y x x;Ox;x 4= =
.
Bài 11. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau: y = 1 – e
x

Số phức bằng nhau: a + bi = c + di <=>
a c
b d
=


=

Modul của số phức:
2 2
z a bi a b= + = +
.
Số phức liên hợp của z = a + bi là
z a bi a bi= + = −
2. Cộng, trừ và nhân số phức
Cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Trừ: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.
Nhân: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i.
3. Chia số phức
2 2
a bi (a bi)(c di)
c di
c d
+ + −
=
+
+
4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Căn bậc hai của số thực a < 0 là
i a±

Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
10
e.
2
2
(1 i) 1 i
1 i
(1 i)
+ +
+
−
−
f.
3 i
(1 2i)(1 i)
+
− +
g)
2 2
2 2
(1 i) (1 i)
(1 i) (2 i)
+ − −
+ − +
h)
3 i 2 i
1 i i
− −
−
+

g) z
4
– 2z² – 8 = 0 h) z
4
+ 2z² – 3 = 0
Bài 5: Tìm số phức z, biết
z 2 5=
và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó.
Bài 6: Tìm hai số phức, biết:
a) Tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4
b) Tổng của chúng bằng 6 và tích của chúng bằng 16
Bài 7: Tìm hai số thực x, y biết:
a. (3x – 2) + (2y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)i
b. (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y +2x + 1)i
c. x(1 + 2i) + y(2 – i) = 2x + y +2yi + ix
Bài 8: Trong mp phức, hãy tìm tập hợp điểm biễu diễn các số phức thỏa mãn hệ thức sau:
a) |z + i| = 2 b) |z + i| = |z + 2| c) Phần thực của z bằng 2.
PHẦN HÌNH HỌC
CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN
1. Khối lập phương:
V = a³, với a là cạnh của hình lập phương.
2. Khối hộp chữ nhật:
V = abc, với a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Đường chéo hình hộp chữ nhật cạnh a, b, c có độ dài d =
2 2 2
a b c+ +
3. Khối lăng trụ:
V = B.h, với B là diện tích đáy và h là chiều cao của lăng trụ.
4. Khối chóp:
1

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm SC, SD. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
Bài 5: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng
3
a 3
6
. Tính độ dài
cạnh bên của hình chóp.
Bài 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng
3
3a
8
, các mặt bên tạo với đáy (ABC)
một góc 60°. Tính độ dài cạnh đáy AB.
Bài 7: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông ogsc với mặt phẳng
(ABC), SA = AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60°.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
b) Gọi H là hình chiếu của A lên SC’. Tính thể tích khối chóp S.ABH.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với (ABC),
SA = a
6
, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60°. Gọi H là hình chiếu vuông góc của
A lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC theo a.
Bài 9: (TN 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC là 120°. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 10: (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa mp (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60°. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a.
Bài 11: (TN 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D với AD = CD =
a, AB = 3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 45°. Tính thể

CHƯƠNG II: KHỐI TRÒN XOAY
1. Khối nón:
S
xq
= πrℓ, với r là bán kính đáy và ℓ là độ dài đường sinh.
S
đ
= πr².
V =
1
3
πr²h, với h là chiều cao.
2. Khối trụ:
S
xq
= 2πrh, với r là bán kính đáy và h là độ dài đường sinh cũng là đường cao.
S
đ
= πr².
V = πr²h, với h là chiều cao.
3. Khối cầu:
S = 4πr², với r là bán kính.
V =
4
3
πr³, với r là bán kính.
CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH:
1. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của khối nón, khối trụ, khối cầu.
2. Tính diện tích thiết diện của khối tròn xoay tạo bởi một mặt phẳng:
+ Thiết diện của hình nón tạo bởi mặt phẳng chứa trục là tam giác cân.

thể tích của hình nón.
Bài 6: Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng a. Thiết diện qua đỉnh của hình nón hợp với đáy một
góc 30° có diện tích bằng 4a². Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón đó.
Bài 7: Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 2a. Một thiết diện qua đỉnh của hình nón cách tâm
của đường tròn đáy một khoảng bằng a/2 và cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng
2a.Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón đó.
Bài 8: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh
huyền bằng
a 2
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa
đáy hình nón một góc 60°. Tính diện tích của ΔSBC.
Bài 9:
a. Một khối nón đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2πa (đvdt). Tính thể tích khối
nón đã cho.
b. Một khối nón có góc ở đỉnh bằng 60° và diện tích đáy bằng 9π (đvdt). Tính thể tích khối nón đã
cho.
Bài 10: Cắt một hình nón có đỉnh S bởi mặt phẳng (P) đi qua trục của hình nón ta được thiết diện là
tam giác SAB vuông cân tại S và có cạnh huyền AB = a
2
(với A, B thuộc đường tròn đáy).
a) Tính diện tích xung quanh hình nón và thể tích khối nón tương ứng theo a.
b) Mặt phẳng (Q) đi qua S và cắt đường tròn đáy của hình nón tại điểm B, C và tạo với mặt phẳng
chứa đáy hình nón một góc 60°. Tính độ dài dây BC theo a.
Bài 11: Một khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy là a và cạnh bên bằng 2a. Gọi (O) là đường tròn
ngoại tiếp ΔABC. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh S, đáy là hình tròn
(O) theo a.
BÀI TẬP KHỐI TRỤ

trụ là hình vuông.
Bài 7: Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao h = r
3
a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ tạo bởi hình trụ đã cho theo r
b. Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy của hình trụ sao cho góc giữa đường
thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30°. Tính khoảng cách giữa thẳng AB và trục của hình trụ theo
r.
BÀI TẬP MẶT CẦU
Bài 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. SA = 2a và vuông góc
với mặt phẳng (ABCD).
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S.
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) và SA = a.
a. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a.
b. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với (ABC), SA =
AB = 3a, BC = 4a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với đáy, SA = AB
= AC = a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy, SA = AB =
a, BC = 2a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 6: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
b) Tính diện tích mặt cầu, thể tích của khối cầu đó.
Bài 7: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và DA vuông góc với mặt phẳng (ABC), ΔABC vuông tại B
và AB = 3a, BC = 4a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD.
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
15
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu nêu trên.

i j k 1= = =
r r r
;
i.j j.k k.i 0= = =
rr r r rr
i
r
= (1; 0; 0),
j
r
= (0; 1; 0),
k
r
= (0; 0; 1)
M(x;y;z) OM xi yj zk⇔ = + +
uuuur
r r r
b) Cho
( )
1 2 3
a a ,a ,a=
r
,
( )
1 2 3
b b , b ,b=
r
1 1 2 2 3 3
a b (a b ,a b ,a b )± = ± ± ±
r r

)
B A B A B A
AB (x x ; y y ;z z )= − − −
uuur
2 2 2
B A B A B A
AB (x x ) (y y ) (z z )= − + − + −
+ Tọa độ M là trung điểm đoạn thẳng AB:
A B A B A B
x x y y z z
M( ; ; )
2 2 2
+ + +
+ Tọa độ G là trọng tâm tam giác ABC:
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G( ; ; )
3 3 3
+ + + + + +
d)
1 1 2 2 3 3
a.b a b a b a b= + +
r r
;
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r
1 1 2 2 3 3
a b a.b 0 a b a b a b 0⊥ ⇔ = ⇔ + + =

S AB,AC
2
 
=
 
uuur uuur
3. Điều kiện đồng phẳng
[a,b].c 0=
r
r r
4. Điều kiện 4 điểm A, B, C, D lập thành tứ diện là
AB,AC .AD 0
 
≠
 
uuur uuur uuur
.
5. Thể tích tứ diện ABCD:
ABCD
1
V AB,AC .AD
6
 
 
=
uuur uuur uuur
6. Thể tích khối hộp:
ABCD.A'B'C'D'
V AB,AD .AA'
 

r
r
Bài 3. Cho vectơ
a
r
= (1; 2; 3). Tìm tọa độ của vectơ
x
r
, biết rằng:
a)
a x 0+ =
r
r
r
b)
a x 4a
+ =
r r
r
Bài 4. Trong hệ tọa độ không gian Oxyz cho 3 điểm A(–1; –2; 3), B(0; 3; 1), C(4; 2; 2)
a. Tính tích vô hướng
AB.AC
uuuruuur
b. Tính cos BAC.
Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; –1; 1), C'(4; 5; –5). Tìm tọa độ các
đỉnh còn lại.
Bài 6. Cho 4 điểm A(0; 1; 1), B(–1; 0; 2), C(–1; 1; 0), D(2; 1; –2).
a. Chứng minh ABCD là một tứ diện.
b. Tính chu vi giác ABC.
c. Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A

r
= (A; B; C) có phương trình là
(α): A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
17
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng đi qua các điểm M(a; 0; 0), N(0; b; 0) và
P(0; 0; c) có phương trình dạng:
x y z
1
a b c
+ + =
với abc ≠ 0
Khoảng cách từ điểm M
o
(x
o
, y
o
, z
o
) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0
d(M
o
; α) =

o
, y
o
, z
o
) và có vectơ chỉ phương:
u
r
= (a; b; c) là
d:
o
o
o
x x at
y y bt (t R)
z z ct
= +


= + ∈


= +

2. Phương trình chính tắc của đường thẳng (d):
o o o
x x y y z z
a b c
− − −
= =

u,u ' .MM' 0

 
≠
 

 
=

 

r uur r
r uur uuuuur
d và d’ chéo nhau <=>
u,u ' .MM ' 0
 
≠
 
r uur uuuuur
4. Khoảng cách từ M
1
đến đường thẳng (Δ) đi qua M
o
và có vector chỉ phương
u
r
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
18
o 1
1

1 2
u,v .M M
d(Δ ,Δ )
u,v
 
 
 
 
=
uuuuuuur
ur ur
ur ur
6. Góc giữa hai đường thẳng: Cho (Δ
1
) có vector chỉ phương
u
r
= (a
1
; b
1
; c
1
) và (∆
2
) có vector chỉ
phương
v
r
= (a

n
r
=
(A; B; C). Nếu φ là góc giữa (Δ) và mặt phẳng (α) thì
2 2 2 2 2 2
n u
n u
.
Aa Bb Cc
sinφ
| |.| |
A B C a b c
+ +
= =
+ + + +
r r
r r
(0° ≤ φ ≤ 90°)
8. Góc giữa hai mặt phẳng: Cho mp (α
1
) có vector pháp tuyến
1
n
r
= (A
1
; B
1
; C
1

= =
+ + + +
uuruur
uur uur
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm A(1; 2; –3), B(0; 1; –2)
Bài 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; –2; 5) và ∆ vuông góc với mặt phẳng (α):
2x + 3y – 6z + 1 = 0
Bài 3. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; –2; 5) và ∆ song song với đường thẳng
x 1 y 3 z
d :
5 2 1
− +
= =
−
Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2) và đường thẳng (d) có phương trình tham số
là
x 1 2t
y 3 t
z 6 t
= +


= − +


= −

a. Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d).
b. Tìm tọa độ H hình chiếu vuông góc của M lên (d)
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; –2; –2) và mặt phẳng (P) có phương

x 5 2t
y 1 t
z 5 t
= +


= −


= −

và d’:
x 3 2t '
y 3 t '
z 1 t '
= +


= − −


= −

. Chứng minh: d//d’. Viết phương trình mặt phẳng chứa d
và d’.
Bài 9. Cho d:
x t
y 1 2t
z 6 3t
=



= +

và mp (P): 3x + 5y – z – 2 = 0.
a. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)
b. Viết ptmp (P’) qua M(1; 2; –1) và vuông góc với d. Tính khoảng cách từ M đến d.
c. Tính góc giữa d và (P).
Bài 11. Cho mặt phẳng (α): 6x + 3y + 2z – 6 = 0.
a. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm A(1; 1; 2) lên mặt phẳng (α)
b. Tìm tọa độ điểm đối xứng A’ của A qua (α)
CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Bài 1: (TN 2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có
phương trình là
x 1 y 2 z 3
2 1 1
+ − +
= =
−
a. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d
b. Tính khỏang cách từ A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.
Bài 2. (TN 2008, Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; –2;–2) và mặt phẳng
(P) có phương trình 2x – 2y + z – 1 = 0.
a. Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình của mặt phẳng (Q) sao cho
(Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm A đến (P).
Bài 3. (TN 2008, Lần 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M(1; –2; 0), N(–3; 4;
2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 2y + z – 7 = 0.
a. Viết phương trình đường thẳng MN.
b. Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mp (P).


= +

và mặt cầu
(S): (x – 2)² + (y + 1)² + (z – 3)² = 25.
1. Tìm tọa độ một vector chỉ phương của đường thẳng d. Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu
(S).
2. Viết phương trình mặt phẳng (α) vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 7. (TN 2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; –1), B(0; 1; 0) và mặt
phẳng (P): x + y + 2z – 7 = 0.
1. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
2. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P).
Bài 8. (TN 2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –1; 0) và mặt phẳng (P): 2x
– 2y + z – 1 = 0.
a. Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
b. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần khoảng
cách từ A đến (P).
Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014
21