1


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

00. VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. CÁC QUY TẮC VÉC TƠ

Quy tắc véc tơ đối :
Với mọi hai điểm A, B cho trước ta luôn có AB = − BA ⇔ AB + BA = 0
Quy tắc cộng véc tơ :
Cho trước hai điểm A, B. Với mọi các điểm M1, M2...Mn ta luôn có hệ thức sau:
AB = AM1 + M1M 2 + M 2 M 3 + ... + M n B
Quy tắc trừ hai véc tơ :
Cho trước hai điểm A, B. Với mọi điểm M ta luôn có AB = MB − MA
Quy tắc hình bình hành :
AB + AD = AC
Cho hình bình hành ABCD, khi đó
AB = DC
Quy tắc trung tuyến:
Cho hai điểm A, B. Nếu M là trung điểm của AB thì ta có
 MA + MB = 0
hệ thức 
 AM + BM = 0
Quy tắc trung tuyến:
Cho tam giác ABC, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm
của BC và AC. Khi đó

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó AB + AC = 2AI
Gọi J là điểm đối xứng của A qua I, khi đó ta có
2AI = AJ 
→ AB + AC = AJ
Từ đó AB + AC + AD = AJ + AD = 2AE , với E là
trung điểm của DJ.
Theo bài, AM = AB + AC + AD = 2AE
Vậy M là điểm đối xứng của A qua E.
b) AN = AB + AC − AD
Theo a, ta có AB + AC = 2AI = AJ
Gọi J là điểm đối xứng của A qua I, khi đó ta có

→ AN = AB + AC − AD = AJ − AD = DJ
Vậy trong tam giác ADJ ta tạo ra hình bình hành
ADJN thì điểm N thỏa mãn yêu cầu này chính là
điểm cần tìm.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của MN và
G1 là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh các hệ thức sau:
1
1
a) AC + BD = AD + BC
b) MN = AC + BD = AD + BC
2
2
c) GA + GB + GC + GD = 0
d) NA + NB + NC + ND = 4NG, ∀N.

(


Theo quy tắc cộng ta có
BD = BM + MN + ND

(

) (
(

(

)

)

)

(


→ AC + BD = AM + BM + 2MN + NC + ND

)

AM + BM = 0
Theo quy tắc trung điểm ta lại có 
 NC + ND = 0
Từ đó ta được AC + BD = 2MN 
→ ( dpcm ) .

(

)

Mà G là trung điểm của MN nên GM + GN = 0 
→ GA + GB + GC + GD = 0.

d) NA + NB + NC + ND = 4NG, ∀N.
NA = NG + GA

Ta có

NB = NG + GB
NC = NG + GC

(

)


→ NA + NB + NC + ND = 4NG + GA + GB + GC + GD = 4NG
0

ND = NG + GD

e) AB + AC + AD = 3AG1
Sử dụng quy tắc trung tuyến cho ∆ACD ta được AC + AD = 2AN
Gọi I là điểm đối xứng của A qua N, khi đó 2AN = AI 
→ AC + AD = AI

(


2
2
1

→ SA = SO − AC
2
Phân tích SB :
1
SB = SO + OB = SO + OA + AB = SO − AC + AB
2
1

→ SB = SO − AC + AB
2
Phân tích SC :
1


SA + SC = 2SO 
→ SC = 2SO − SA = 2SO −  SO − AC 
2


1

→ SC = SO + AC
2
Phân tích SD :
1


theo hai hướng là BC và AD.
MN = MA + AD + DN
Ta có 
MN = MB + BC + CN

(

) (

) (


→ 2MN = MA + MB + BC + AD + DN + CN
0

)

0

(

)

1
Từ đó ta có MN = BC + AD , tức là ba véc tơ đồng
2
phẳng.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hình chóp tam giác S.ABC. Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS = −2MA và trên đoạn
1
BC lấy điểm N sao cho NB = − NC. Chứng minh rằng ba vectơ AB, MN, SC đồng phẳng.


→ 3MN = 2AB + SC ⇔ MN = AB + SC
3
3
Vậy ba véc tơ AB, MN, SC đồng phẳng.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Cho các điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng
a) AB + DC = AC + BD
b) AB + CD + EF = AF + ED + CB
Bài 2: [ĐVH]. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh rằng
a) AB + AD + AA ' = AC '
b) A ' B ' + BC + D ' D = A ' C
c) Gọi O là tâm của hình hộp. Chứng minh rằng OA + OB + OC + OD + OA ' + OB ' + OC ' + OD ' = 0
Bài 3: [ĐVH]. Cho tứ diện S.ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Phân tích vectơ SG theo các ba véc tơ SA, SB, SC.
b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện S.ABC. Phân tích vectơ SD theo ba vectơ SA, SB, SC.

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 4: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có AA ' = a, AB = b , AC = c .
a) Hãy phân tích các vectơ B′C , BC ′ theo các vectơ a, b, c .
b) Gọi G′ là trọng tâm tam giác A′B′C′. Biểu diễn véc tơ AG ′ qua các véc tơ a, b, c .
Bài 5: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD có trung tuyến qua đỉnh A của tam giác ABC là AN. Lấy điểm M trên AN sao cho
AM 3


→ u.v = 0
v = 0

( ) (

)

(

( )
+) Khi u ↑↓ v 
→ ( u; v ) = 180

)

→ u ; v = 00
+) Khi u ↑↑ v 

0

+) Khi u ⊥ v ←→ u.v = 0

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.

(

)

a) Tính góc giữa hai véc tơ AB; BC .

)

AB.BA = AB.BA.cos AB.BA = a.a.cos1800 = −a 2
Mà

(

)

AB. AC = AB. AC.cos AB. AC = a.a.cos 600 =

a2
2

a2
a2
=− .
2
2
a2
−
1
→ AB; BC = 1200.
(1) ⇔ cos AB; BC = 22 = − 
2
a
Vậy AB; BC = 120o.

→ AB. BC = −a 2 +


)

(

)

a 3
CI . AC

→ cos CI ; AC = 2
, ( 2).
2
a 3
2

Ta có CI . AC = CI . AI + IC = CI . AI + CI . IC

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Do ∆ABC đều nên CI ⊥ AI ⇔ CI . AI = 0.

(

)



(

)

(

)

)

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của
AB.
a) Biểu diễn các véc tơ SM và BC theo các véc tơ SA; SB; SC .

(

)

b) Tính góc SM ; BC .
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta
1

 SA + SB = 2SM
 SM = SA + SB
2
được 
←
→


được AB = BC = a 2 
→
1
a 2
 SM = AB =

2
2

1
1
1
a2
Theo câu a, SM .BC = SA + SB . SC − SB =  SA.SC − SA.SB + SB.SC − SB.SB  = − SB 2 = −
2
2 0
2
2
0
0

2
a
−
SM . BC
1
2
Thay vào (1) ta được cos SM ; BC =
=


→ ( a;b ) = ( a ′;b′ )
 b// b′
Nhận xét:

( )

+) Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là u; v và u; v = φ.
Khi đó,

( a; b ) = φ ; 0o ≤ φ ≤ 90o
( a; b ) = 180o − φ ; 90o < φ ≤ 180o

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

+) Nếu a // b hoặc a ≡ b thì ( a; b ) = 0o.
Các xác định góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 1
(sử dụng định nghĩa)
a ′// a
Tạo ra các đường 

→ ( a, b ) = ( a ′, b′ )
 b′// b


SA
3
Xét ∆SAD: tan SDA =
=

→ SDA = 30o.
AD
3
Vậy ( SD; BC ) = 30o.
b) Tính góc giữa SB và CD
SBA
Tương tự, CD//AB 
→ ( SB;CD ) = ( SB;AB ) = 
180o − SBA
SA
Xét ∆SAB: tanSBA =
= 3 
→ SDA = 60o.
AB

Vậy ( SB;CD ) = 60o.
c) Tính góc giữa SC và BD
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA.
 IOB
Trong ∆SAC có OI // SC 
→ ( SC; BD ) = ( OI; BD ) = 
180o − IOB
2

a 3


Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

13a 2 10a 2 7a 2
+
−
OI + OB − IB
4
4 = 8
Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được: cos IOB =
= 4
2.OI.OB
a 13 a 10
130
2.
.
2
2
 8 

→ IOB = arccos 
 = ( SC;BD ).
 130 
2


2

→ MPN = 120o ⇔ ( MP, NP ) = 60o
Vậy ( AB,CD ) = 60o.
Nhận xét:
Ngoài việc khởi tạo P như trên ta cũng có thể lấy điểm P là
trung điểm của BD, cách giải khi đó cũng tương tự.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc với
2 3a
AB và AD, SA =
. Tính góc của 2 đường thẳng
3
a) DC và SB.
b) SD và BC.
Hướng dẫn giải:

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a) Do DC // AB 
→ ( DC,SB ) = ( AB,SB ) = α
2a 3
SA
3
= 3 =

7a 2
2
Tam giác SAD vuông tại A nên SD = SA + AD = 
 + a =
3
 3 
2

2

2

Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác SDI ta được cosSDI =

SD 2 + DI 2 − SI2
=
2SD.DI

2a 2
3
=
a 21
42
2.
.a 2
3

 3 
Do cosSDI > 0 nên góc SDI là góc nhọn 
→ β = SDI = arccos 

2
Chứng minh IJ vuông góc với CD
Do các ∆ACD, ∆BCD đều nên CI = DI → IJ ⊥CD.
b) Áp dụng định lý Pitago cho ∆AIJ vuông tại I ta được
2

 a 2  a2 a
IJ = AJ − AI = 
=
 −
4 2
 2 
Vậy IJ = a/2.
2

2

Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và ASB = BSC = CSA.
Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB.
Hướng dẫn giải:

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Chứng minh: SA ⊥ BC.
Xét SA.BC = SA. SC − SB = SA.SC − SA.SB


AO.CD = AM + MO .CD = AM.CD + MO.CD
Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay
O là giao điểm của ba đường cao). Khi đó
AM.CD = 0
AM ⊥ CD
⇔

→ AO.CD = 0 ⇔ AO ⊥ CD.

MO ⊥ CD
MO.CD = 0
b) Xác định góc giữa BC và AM; AC và BM
Xác định góc giữa BC và AM:
Gọi I là trung điểm của BD → MI // BC.
 AMI
Từ đó ( BC;AM ) = ( MI; AM ) = 
180 − AMI
Áp dụng định lý hàm số cosin trong ∆AMI ta được
AM 2 + MI 2 − AI2
cos AMI =
, (1) .
2.AM.MI
a 3
Các ∆ABD, ∆ACD đều, có cạnh a nên AI = AM =
.
2
MI là đường trung bình nên MI = a/2.
2
2

 1 
Do đó, ∆AIM = ∆BJM 
→ AMI = BMJ = arccos 
.
2 3
 1 
Vậy ( AC;BM ) = arccos 
.
2 3

Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Đặt AB = a, AD = b, AA′ = c.
Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a) Tính góc giữa các đường thẳng: ( AB,B′C′ ); ( AC,B′C′ ); ( A′C′,B′C ).
b) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là một điểm sao cho OI = OA + OA′ + OB + OB′ +
+ OC + OC′ + OD + OD′. Tính khoảng cách từ O đến I theo a.
c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c. Từ đó, chứng tỏ rằng AC′ và BD vuông góc với nhau.
d) Trên cạnh DC và BB′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a).
Chứng minh rằng AC′ vuông góc với MN.
Hướng dẫn giải:
Nhận xét:
Để làm tốt các bài toán liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ một số tính chất cơ bản của hình lập phương:
Tất cả các đường chéo ở các mặt của hình lập phương đều bằng nhau và bằng a 2 (nếu hình lập phương cạnh a).
Các đoạn thẳng tạo bởi các kích thước của hình lập phương luôn vuông góc với nhau (dài, rộng, cao).



→ OI = 4OO′
OB′ + OD′ = 2OO′
Khoảng cách từ O đến I chính là độ dài véc tơ OI, từ đó ta được OI = 4OO′ = 4a.
c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c.

a.b = 0

Theo tính chất của hình lập phương ta dễ dàng có a.c = 0

b.c = 0
AC′ = AB + BC + CC′ = a + b + c
Phân tích:
BD = BA + AD = b − a
Chứng minh AC′ vuông góc với BD.

(

)(

)

2

2

2

2


0
0

  0



+  BN.AB + BN.BC + BN.CC′  = MC.AB + CB.BC + BN.CC′
0
 0


(

)(

)

MC.AB = MC.AB.cos0o = ( a − x ) a

Mà

CB.BC = CB.BC.cos180o = −a 2


→ MN.AC′ = ( a − x ) a − a 2 + ax = 0 ⇔ MN ⊥ AC′.

BN.CC′ = BN.CC′.cos0o = ax

BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2

c) SB và AC

d) SC và BD

Bài 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt
đáy là trung điểm H của AB, biết SH = a 3. Gọi I là trung điểm của SD. Tính góc giữa các đường thẳng:
a) SC và AB

b) SD và BC

c) CI và AB

d) BD và CI

Bài 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D với AB = 3a, AD = 2a, DC = a. Hình
chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là H thuộc AB với AH = 2HB, biết SH = 2a. Tính góc giữa

a) SB và CD

b) SB và AC

Bài 8: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH =

a) (SD; BC)

1
HB. Biết AB = 2a; AD = a 3; SH = a 2. Tính góc giữa
2


a) Tính góc giữa hai đường thẳng (AI; SC)
b) Gọi J là trung điểm của SB, N thuộc đoạn AB sao cho AN = 2NB. Tính góc giữa hai đường AC và JN.
Bài 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a; AD = a 3. Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S xuống (ABCD) là trung điểm H của OD, biết SH = 2a. Tính góc giữa

a) (SB; CD)
b) (AC; SD)
Bài 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 . Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S xuống (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH =
a) (SD; BC)

b) (SB; AC)

c) (SA; BD)

d) (SC; BD)

1
AB; SH = a 2. Tính góc giữa
4

Bài 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết AB = BC = a; AD
= 2a. Hình chiếu của S xuống (ABCD) là điểm H thuộc AC sao cho CH = 3AH; SH = a 3. Tính góc giữa

a) (SC; AB)
b) (SA; BD)
Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

d) (SB; MN), với M và N là trung điểm của BC; CD.
e) (SC; MN), với M, N như trên.
Bài 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S xuống
(ABC) là điểm H thuộc AB sao cho AH =

1
a2 3
AB. Biết diện tích tam giác SAB bằng
. Tính góc giữa
3
2

a) (SA; BC)
b) (SB; AC)
Đ/s: a ) cos ( SA; BC ) =

3
8 70

b) cos ( SB; AC ) =

1
31

Bài 8: [ĐVH]. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh C, CA = CB = a, SA vuông
góc với đáy ABC, SA = a 3 ; D là trung điểm của cạnh AB. Tìm góc giữa:

a) ( SD; AC )
Đ/s: a) ( SD; AC ) ≈ 105, 5o


MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao SA = 2a 3 đáy ABCD là hình vuông
tâm O cạnh 2a.
a) Chứng minh rằng: (SCD) (SAD).
b) Tính khoảng cách từ O và từ A tới mặt phẳng (SCD).
c) Tính tan của góc giữa SB và (SAC).
d) Xác định tâm, bán kính, và tính diện diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC, có đường cao SA, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB = a; AC = a 3 . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

a 3
. Tính thể tích khối chóp
4

S.ABCD và thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao SA, đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB = 2a; AD = 2a 3 . Gọi O là tâm đáy, biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng

a 3
.
2

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
Ví dụ 4: [ĐVH]. Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.


SC
.
2

b) Cho SA = BC = a và AB = a 2 . Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK lần
lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC.

a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.
Ví dụ 12: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = a 7 và SA ⊥
(ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.

a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.

Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của
đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của AB, đường trung tuyến AM của ∆ACD có độ dài

b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai mặt phẳng (ACD) và
(BCD) vuông góc với nhau.

a) Chứng minh tam giác ACD vuông.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Đ/s: R =

a2
3a 2 − b 2

Ví dụ 6: [ĐVH]. Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a. Trên
nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng qua A vuông góc với
SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R.

a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. tính diện tích của mặt
cầu đó.

b) Cho SA = a 3 . Tính diện tích của tứ giác APQR.
Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hình chp S.ABC có đáy là tam giác ABC biết AB =5a ; BC = 4a và CA = 3a. Trên
đương vuông góc với (ABC) dựng từ A lấy một điểm S sao cho (SBC) tạo với đáy góc 450 . Xác định tâm
và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.
Pro – S năm 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95


2

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD có các mặt phẳng (ABC) và (BCD) vuông góc với nhau. Biết

BC = a; BAC = 600 ; BDC = 300 . Tính bán kính và thể tích khối cầu ngoại tiếp ABCD.
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có các mặt phẳng (ABC) và (SBC) vuông góc với nhau. Biết
AB = AC = SA = SB = a; SC = x . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho theo a và x.

Đ/s: R =

a2
3a 2 − x 2

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD =

2a 6
, mặt phẳng
3

(SAB) vuông góc với đáy và SA = SB = a. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối S.ABD theo a.

Đ/s: R = a

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và AB = BC = a. Cạnh SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 450. Gọi M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC. Tính thể tích khối đa diện M.ABC theo a.

Bài 2: [ĐVH]. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp trong hình trụ có bán kính đáy r; góc giữa BC’ và trục
của hình trụ bằng 300; đáy ABC là tam giác cân đỉnh B có ABC = 1200 . Gọi E, F, K lần lượt là trung



Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

02. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó
song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng.
a ⊂ ( P )
Viết dạng mệnh đề: d // ( P ) ⇔ 
d //a

Tính chất giao tuyến song song:
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai đường thẳng a, b
song song với nhau, thì giao tuyến nếu có của hai mặt
phẳng phải song song với a và b.
Viết dạng mệnh đề:
a ⊂ ( P ) ; b ⊂ ( Q ) ; ( P ) ∩ ( Q ) = ∆

→ ∆ // a // b

a // b

Tính chất để dựng thiết diện song song:



Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 a // ( P )
d ⊥ a
Viết dạng mệnh đề: 

→
d ⊥ ( P )
 a ⊂ ( P )

+ Hệ quả 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông góc
xuống (P) là d’; đường thẳng a nằm trong (P) vuông góc
với d khi và chỉ khi a vuông góc với d’.

Ví dụ 1. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy.
a) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC)
b) Gọi M, N là trung điểm của SC, SD. Chứng minh MN ⊥ (SAD)
c) Cho SA = a 3. Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CN.
Ví dụ 2. [ĐVH]: Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC cân tại A với AB = AC = a; BC =

6a
.
5

Gọi M là trung điểm của BC, kẻ AH ⊥ MD, với H thuộc MD.


OH
OA OB
OC 2

Ví dụ 5. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại A.
a) Chứng minh rằng tam giác SAC vuông.
b) Tính SA, SB, SC biết ACB = α; ACS = β; BC = a.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. [ĐVH]: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và ∆ABC vuông ở B. Chứng minh rằng
a) BC ⊥ (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh rằng AH ⊥ (SBC).

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 2. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB,
BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng
a) SO ⊥ (ABCD).
b) IJ ⊥ (SBD).
Bài 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD). Gọi H,
I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD.
a) Chứng minh rằng rằng CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC).
b) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK).
c) Chứng minh rằng HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI.
Bài 4. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và

b) Kẻ SN vuông CD tại N. Chứng minh rằng CD ⊥ (SAN).

Đăng kí Gói Pro – S 2016 môn Toán tại MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!