1


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Tọa độ của vectơ và của điểm:
u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk
Cho 
 M = ( x; y; z ) ⇒ OM = u = xi + y j + zk
Nếu A = ( xA ; y A ; z A ), B = ( xB ; yB ; z B ) 
→ AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )
Vectơ bằng nhau. Tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu:
Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) .

u ± v = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 )
ku = (kx1 ; ky1 ; kz1 ), k ∈ ℝ
Khi đó

mu ± nv = (mx1 ± nx2 ; my1 ± ny2 ; mz1 ± nz2 ), m, n ∈ ℝ
u = x12 + y12 + z12 ; v = x22 + y22 + z22 
→ AB = ( xA − xB )2 + ( y A − yB ) 2 + ( z A − z B )2
 x1 = x2

u = v ⇔  y1 = y2
z = z
2

x + y12 + z12 x22 + y22 + z22
2
1


→ u ⊥ v ⇔ u.v = 0 ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0

Ví dụ 1: [ĐVH]. Trong hệ tọa độ Oxy cho: a = (1; −1;0), b = ( −1;1;2), c = i − 2 j − k , d = i
a) Xác định k để véctơ u = (2;2k − 1;0) cùng phương với a .
b) Xác định các số thực m, n, p để: d = ma − nb + pc
c) Tính a ; b ; a + 2b

Hướng dẫn giải:
1
−1
1
a) Để u cùng phương với a ⇔ =
⇔k =−
2 2k − 1
2
b) c = i − 2 j − k ⇒ c(1; −2; −1); d = i ⇒ d (1;0;0)

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

3

 p = −1




c) a = 12 + (−1)2 = 2; b = (−1)2 + 12 + 22 = 6
a + 2b = (1 − 2.1; −1 + 2.1;0 + 2.2) = (−1;1;4) 
→ a + 2b = (−1) 2 + 12 + 42 = 18 = 3 2

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(3; 0; 1), E(1; 2; 3).
a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD.
b) Tính cosin các góc của tam giác ABC.
c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có AB = DC = (1; −2;1) nên ABCD là hình bình hành
→ AB.BC ⇔ ABC = 900 . Vậy ABCD là hình chữ nhật
Lại có AB.BC = 1.2 − 2.1 + 0.1 = 0 
S ABCD = AB. BC = 12 + 12 + 22 . 22 + 12 = 30
b) Gọi góc giữa các cạnh của tam giác ABC là φ1; φ2; φ3
Ta có AB = (1; −2;1); BC = (2;1;0); AC = (3; −1;1)
Do góc giữa 2 đường thẳng không vượt quá 900 nên ta có:
1.2 − 2.1 + 1.0
=0
cos φ1 = cos AB; BC =
12 + 22 + 12 . 12 + 22
1.3 + 2.1 + 1.1
6
cos φ 2 = cos AB; AC =
=
2


c) Gọi điểm I thuộc Oy có tọa độ là I(0, y, 0) 
→ IA = (1; −1 − y;1), IB = (2; −3 − y;2)
I cách đều A và B khi IA = IB ⇔ IA2 = IB 2 ⇔ 12 + (1 + y ) 2 + 12 = 22 + (3 + y )2 + 22 ⇔ y =

−7
 −7 

→ I  0; ;0 
2
 2 

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho: a = ( 2; −5; 3) , b = ( 0; 2; −1) , c = (1; 7; 2 ) . Tìm toạ độ của các vectơ u với:
1
a) u = 4a − b + 3c
2

b) u = a − 4b − 2c

1
4
e) u = a − b − 2c
2
3
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = (1; −1;1) , b = ( 4; 0; −1) , c = ( 3; 2; −1) . Tìm:

d) u = 3a − b + 5c

b) a 2 ( b .c )


3045
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = (1; 3; 4 ) , b = ( 2; −1; −1) , c = ( 2m; m;1) . Tìm m để

c) cos a + b; b − 2c =

a) 2a + c = 74

(

)(

(Đ/s: m = 1)

)

b) b + 2c . 2a − c = 0

(Đ/s: m = –2)

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hai vectơ a , b . Tính X, Y khi biết
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 a = 4, b = 6
a) 
 X = a − b

 2 
Đ/s: C ( −2;0;0 )

Bài 4: [ĐVH]. Tìm điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC vuông tại B với A(2; −1;0), B (1; −1;1)

Đ/s: C ( 0;3;0 )

a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành.
c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA − 2 MB + MC = MD, với D(4; 3; 2)

Đ/s: S =

Bài 5: [ĐVH]. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng xOz sao cho M cách đều các điểm A(1;1;1), B (−1;1;0), C (3;1; −1)
7
5
Đ/s: M  ;0; − 
6
6

Bài 6: [ĐVH]. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A ( 4;2;1) , B ( −1;0;3) , C ( 2; −2;0 ) , D ( −3; 2;1)
a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng
b) Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A
c) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
Bài 7: [ĐVH]. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm: A ( 2;3;1) , B ( −1;2;0 ) , C (1;1; −2 )
a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC
b) Tìm tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
c) Giả sử G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh 3 điểm G, H, I thẳng hàng.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


→ u; v  = ( −6; −4;5)
v
=
(
−
2;3;0)

u = (−1;3;1)
b) 

→ u; v  = ( −7;0;5)
v = (−2;1; −2)
u = (2;0; −1)
c) 

→ u; v  = ( 2;4;4 )
v = (−2;2; −1)

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho u = (1;1;2 ) , v = ( −1; m; m − 2 ) . Tìm m để
a)  u; v  ⊥ a , với a = ( 3; −1; −2 ) .

(

)

c)  u; v  ; a = 600 , với a = ( −1;2;0 ) .

b)  u; v  = 4.
Hướng dẫn giải:

2

2

m = 1
= 4 ⇔ 5m + 6m + 5 = 4 ⇔ 5m + 6m − 11 = 0 ⇔ 
 m = − 11

5
2

2

)

1
m + 2 − 2m
1
c) u; v  ; a = 600 ⇔ cos u; v  ; a = ⇔
= ⇔ 2 ( 2 − m ) = 5. 5m2 + 6m + 5
2
2
5m + 6m + 5. 5 2

m ≤ 2
 2 − m ≥ 0
m ≤ 2
227 − 23

⇔

+) Ứng dụng 2: Tính diện tích tam giác.

Ta có S∆ABC =

1
1
1
 AB; AC  =  BC ; BA = CA; CB 





2
2
2

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Từ đó S∆ABC =

Facebook: LyHung95

 AB; AC 
 AB; AC 
1
1


⇒ thể tích khối hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' là V =  AB; AC  . AA '
Ví dụ 3: [ĐVH]. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Tính thể tích của tứ diện ABCD.
c) Tính đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Hướng dẫn giải:
a) AB = (−6;3;3), AC = (−4; 2;4), AD = (−2;3; −3)
 3 3 3 −6 −6 3 
Ta có  AB, AC  = 
;
;
 = (−18; −36;0)
 2 −4 −4 −4 −4 2 
⇒  AB, AC  . AD = −18.(−2) − 36.3 = −72 ≠ 0 nên ba vectơ AB, AC , AD không đồng phẳng.

Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện

b) VABCD =

1
1
 AB, AC  . AD = .72 = 12 (đvtt)


6
6

c) BC = (2; −1; −7), BD = (4;0; −6)
 −1 −7 −7 2 2 −1 

3
S BDC
77
77

d) AB = (−6;3;3), CD = (2;1;1)
Gọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là φ ta có: cos φ =

−6.2 + 3.1 + 3.1
6 + 3 + 3 . 2 +1+1
2

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là φ sao cho cos φ =

2

2

2

=

6

1
= .
324 3

1
3

Làm tương tự A ' B ' = AB ⇒ B '(0; −1;2); B ' C ' = BC ⇒ C '(0; −3;1); AA ' = DD ' ⇒ A ' = (2;0; −2) , ;
 −1 4 4 −2 −2 −1 
b)  AB, AD  = 
;
;
 = (9; −2; 4) ⇒  AB, AD  . AA ' = 9.1 − 2.(−2) + 4.(−1) = 9
 −2 −1 −1 0 0 −2 
VABCD. A ' B ' C ' D ' =  AB, AD  . AA ' = 9 (đvtt)
1
1
3 V
c) VA '. ABC = VA. A ' B ' C ' = VABCD . A ' B ' C ' D ' = .9 = ⇒ ABCD. A ' B ' C ' D ' = 6
6
6
2
VA. A ' B ' C '

d) VABCDD ' = VD. ACD ' + VB. ACD ' =

9 9
+ = 3 (đvtt)
6 6

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho ba vectơ a = (1;1; 2 ) , b = ( 2; −1; 0 ) , c = ( m; m − 3; 2 ) . Tìm m để
a)  a; c  = 3 5

(Đ/s: m = 1)

b) b; c  = 2 5



(

)

b) a + b .c = 6

(Đ/s: m = 0)
(Đ/s: m = –1)

c)  a; b  .c = 0
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho ba vectô a , b , c . Tìm m, n biết c =  a , b  :
a) a = ( 3; −1; −2 ) , b = (1; 2; m ) , c = ( 5;1;7 )
b) a = ( 6; −2; m ) , b = ( 5; n; −3) , c = ( 6;33;10 )
c) a = ( 2;3;1) , b = ( 5;6;4 ) , c = ( m; n;1)
Ví dụ 11: [ĐVH]. Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ a , b , c cho dưới đây:
a) a = (1; −1;1) , b = ( 0;1;2 ) , c = ( 4;2;3)

b) a = ( 4;3;4 ) , b = ( 2; −1;2 ) , c = (1;2;1)

c) a = ( −3;1; −2 ) , b = (1;1;1) , c = ( −2;2;1)

d) a = ( 4;2;5) , b = ( 3;1;3) , c = ( 2;0;1)


Facebook: LyHung95

03. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1) Véc tơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng
n = ( A; B; C ) , A2 + B 2 + C 2 > 0 có phương vuông góc với (P) được gọi là véc tơ pháp tuyến của (P).
(P) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) thì có phương trình được viết dạng
(P) có véc tơ pháp tuyến

( P ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0.
n = ( A; B; C ) thì có phương trình tổng quát ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0.

(P) đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến nP =  AB; AC 
(P) đi qua điểm A và song song với (Q) thì ta chọn cho nP = nQ

nP ⊥ nα
(P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (α), (β) thì 

→ nP =  nα ; nβ 
n
⊥
n
 P
β
n ⊥ a
(P) đi qua điểm A và song song với hai véc tơ a; b thì  P

→ nP =  a; b 

= ( −3;6;12 ) = −3 (1; −2; −4 ) ⇒ nP = (1; −2; −4 )

2 3 − 1
nP ⊥ nR

Khi đó (P) có phương trình 1.( x − 3) − 2.( y + 1) − 4 z = 0 ⇔ x − 2 y − 4 z − 5 = 0
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ n (1; −1;5 ) làm vectơ pháp tuyến
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mặt phẳng đó là

a (1;2; −1) , b ( 2; −1;3)
c) Viết phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với đường thẳng AB.
d) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
e) Viết phương trình (ABC).
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho A(–1; 2; 1), B(1; –4; 3), C(–4; –1; –2).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua I(2; 1; 1) và song song với (ABC).

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

b) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với (P): 2x – y – 3z – 2 = 0.
c) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B và vuông góc với (Q): 2x – y + 2z – 2 = 0.
d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song với Oy và vuông góc với (R): 3x – y – 3z – 1 = 0.
e) Viết phương trình mặt phẳng qua C song song với (Oyz).
Ví dụ 4: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước,
với:

với mặt phẳng (R) cho trước, với:

a) ( P ) : 2 x + 3 y − 4 = 0, (Q ) : 2 y − 3z − 5 = 0, ( R ) : 2 x + y − 3z − 2 = 0
b) ( P ) : y + 2 z − 4 = 0, (Q ) : x + y − z + 3 = 0, ( R ) : x + y + z − 2 = 0
c) ( P ) : x + 2 y − z − 4 = 0, (Q ) : 2 x + y + z + 5 = 0, ( R ) : x − 2 y − 3z + 6 = 0
d) ( P ) : 3 x − y + z − 2 = 0, (Q ) : x + 4 y − 5 = 0, ( R ) : 2 x − z + 7 = 0
2) Một số dạng phương trình mặt phẳng đặc biệt
Mặt phẳng (xOy): véc tơ pháp tuyến là Oz và đi qua
gốc tạo độ nên có phương trình là z = 0.
Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxy) có phương trình
là z − a = 0.
Mặt phẳng (yOz): véc tơ pháp tuyến là Ox và đi qua
gốc tạo độ nên có phương trình là x = 0.
Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oyz) có phương trình
là x − a = 0.
Mặt phẳng (xOz): véc tơ pháp tuyến là Oy và đi qua
gốc tạo độ nên có phương trình là y = 0.
Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxz) có phương trình
là y − a = 0.
Mặt phẳng trung trực:
Cho hai điểm A, B. Khi đó mặt phẳng trung trực của AB
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

đi qua trung điểm I của AB và nhận AB làm véc tơ pháp
tuyến.

• Do M ∈ ( P ) 
a b c
a b c 2
1
Ta có OA = a; OB = b; OC = c 
→VOABC = abc
6
1 1 1
3
1
3
• Do a, b, c là ba số dương nên theo Côsi ta có + + ≥ 3
⇔ ≥3
⇔ 3 abc ≥ 6 ⇔ abc ≥ 216
a b c
2
abc
abc
1

→VOABC ≥ .216 = 36 ⇒ Vmin = 36 ⇔ a = b = c = 6 , từ đó ta được phương trình (P): x + y + z – 6 = 0
6

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Cho điểm A(1; 0; 0) và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc
với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6.
y z
± =1
2 2
Bài 2: [ĐVH]. Cho điểm A(2; 0; 0) và điểm M(2; 3; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, M sao cho (α) cắt

Facebook: LyHung95

Bài 5: [ĐVH]. Viết pt mp đi qua M(2; 1; 4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC.
Bài 6: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể
tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Bài 7: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1; 1; 1) cắt các tia Ox, Oy,Oz lần lược tại các điểm A, B, C sao
cho tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

04. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1) Véc tơ chỉ phương, các dạng phương trình đường thẳng
u = ( a; b; c ) , A2 + B 2 + C 2 > 0 có phương song song hoặc trùng với (d) được gọi là véc tơ chỉ phương của (d).
(d) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ chỉ phương u = ( a; b; c ) thì có phương trình
 x = x0 + at

+) Phương trình tham số ( d ) :  y = y0 + bt
 z = z + ct
0


+) Phương trình chính tắc ( d ) :


(d) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng ∆; song song mặt phẳng (P) thì 

→ ud = u∆ ; nP 
u
⊥
n
 d
P

Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP ud cho trước:
a) M (1;2; −3), ud = (−1;3;5)

b) M (0; −2;5), ud = (0;1;4)

c) M (1;3; −1), ud = (1;2; −1)

d) M (3; −1; −3), ud = (1; −2;0)

Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước:
a) A ( 2; 3; −1) , B (1; 2; 4 )

b) A (1; −1; 0 ) , B ( 0;1; 2 )

c) A ( 3;1; −5 ) , B ( 2;1; −1)

d) A ( 2;1; 0 ) , B ( 0;1; 2 )

Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng ∆ cho
trước:


(Q) : 3x − 5 y − 2 z − 1 = 0

( P ) : 2 x − 3y + 3z − 4 = 0
b) 
(Q) : x + 2 y − z + 3 = 0

( P ) : 3x + 3y − 4 z + 7 = 0
c) 
(Q) : x + 6 y + 2 z − 6 = 0

( P ) : 2 x + y − z + 3 = 0
d) 
(Q) : x + y + z − 1 = 0

Ví dụ 5: [ĐVH]. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2
cho trước:
 x = 1 + 2t
x = 1 − t


a) A(1; 0; 5), d1 :  y = 3 − 2t , d2 :  y = 2 + t
 z = 1 + t
 z = 1 − 3t

x = 1 + t
 x = 1 + 3t


b) A(2; −1;1), d1 :  y = −2 + t , d2 :  y = −2 + t
 z = 3

b) qua A(4; 4; 1) và song song với hai mặt phẳng (P): x + 2z – 4 = 0, (Q): x + y – z + 3 = 0
 x = 1 − 2t
x −1 y − 2 z +1

c) qua M(1; 1; 4) và vuông góc với hai đường thẳng d1 :  y = 3 + t và d 2 :
=
=
2
−1
3
 z = −t


d) qua M(2; 1; 0) và song song với (P): x + 2z = 0 đồng thời vuông góc với ( ∆ ) :

x −1 y z + 2
=
=
2
−3
1

2) Ứng dụng cơ bản của phương trình tham số
 x = x0 + at

Cho đường thẳng ( d ) :  y = y0 + bt , nếu điểm M thuộc d thì M ( x0 + at; y0 + bt ; z0 + ct ) .
 z = z + ct
0



2

2

2

t = −1 ⇒ M ( 0;2;0 )

= 13 ⇔ 9t + 2t − 7 = 0 ⇔  7
 16 14 23 
t = ⇒ M  ;− ; 
 9
9 9 
9
2

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Ta có MI = ( −1 − t ;1 + 2t ; −2t ) , IA = (1;1; −4 )
MI ⊥ IA ⇔ MI .IA = 0 ⇔ −1 − t + 1 + 2t + 8t = 0 ⇔ t = 0 ⇒ M (1;0;2 )

c) Ta có MA = (1 − t;1 + 2t ;1 − 2t ) , MB = ( −1 − t; −2 + 2t;1 − 2t )
Theo bài, MA = MB ⇔ MA2 = MB 2 ⇔ (1 − t )2 + (1 + 2t ) 2 + (1 − 2t )2 = (−1 − t ) 2 + (−2 + 2t )2 + (1 − 2t ) 2
⇔ 9t 2 − 2t + 3 = 9t 2 − 10t + 6 ⇔ 8t = 3 ⇔ t =

3
 11 3 11 
⇒ M  ; − ; .
8
8 4 4

⇒M
;−
;

 101
 101 101 101 
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm điểm M trên đường thẳng d :

x y + 2 z −1
=
=
thỏa mãn
1
2
−1

a) thuộc mặt phẳng (P): x – y + 2z + 2 = 0.

Đ/s: M(2; 2; –1)

b) tam giác MAB vuông tại A với A(3; 1; 0), B(2; –1; –3)
c) tam giác MAB cân tại M với A(1; 0; –1), B(4; –2; 3)
d) S MAB =

30
, với A(2; 3; 1) và B(1; –1; –2)
2


x = 1+ t

Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm điểm M trên đường thẳng d :  y = 2 − 3t thỏa mãn
z = t


a) thuộc mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0.

Đ/s: M(2; –1; 1)

b) xM2 + 2 yM2 − zM2 = 37.

Đ/s: M(2; –4; 2)

c) tam giác MAB vuông tại M với A(2; 1; 1), B(1; 1; –10)

Đ/s: M(0; 5; –1)

d) MA = 2 3, với A(3; 0; –2)

Đ/s: M(2; –1; 1)

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Tìm điểm M trên đường thẳng d :

x − 2 y −1 z
=
= thỏa mãn
−1
1

f) CA2 + CB2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

05. BÀI TOÁN XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
( P1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Cho hai mặt phẳng 
( P2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
A
B
C
D
( P1 ) / / ( P2 ) ⇔ 1 = 1 = 1 ≠ 1
A2 B2 C2 D2
A
B C
D
( P1 ) ≡ ( P2 ) ⇔ 1 = 1 = 1 = 1
A2 B2 C2 D2
 A1 B1
A ≠ B
( P1 ) ∩ ( P2 ) ⇔  2 2

3 −2 5
2 3 −2
b) Ta có ≠ ≠
⇒ hai mặt phẳng cắt nhau.
3 4 −8
2 −2 4
5
c) Ta có =
= =
⇒ hai mặt phẳng đã cho trùng nhau.
25
5 −5 10
2
Ví dụ 2: [ĐVH]. Xác định m, n để các mặt phẳng sau đây song song, cắt nhau, trùng nhau?
 3 x − ( m − 3) y + 2 z − 5 = 0
3 x + my − 2 z − 7 = 0
5 x − 2 y + mz − 11 = 0
a)
b)
c) 
nx + 7 y − 6 z + 4 = 0
3 x + ny + z − 5 = 0
( m + 2) x − 2 y + mz − 10 = 0

{

{

Hướng dẫn giải:


=
⇒ hệ vô nghiệm.
n 7 −6 4
b)

{

5 x − 2 y + mz − 11 = 0
3x + ny + z − 5 = 0

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

6

n=−

5 −2 m −11

5
Hai mặt phẳng song song nhau khi =
= ≠
⇔
5
3 n
1

m −10

Hai mặt phẳng song song nhau khi
=
= ≠
⇔  −4 = m ( 3 − m ) ⇔  m 2 − 3m − 4 = 0 ⇒ vô nghiệm.
3
3− m 2
−5

m ≠ 4
m ≠ 4

m + 2 m
 3 ≠ 2
m ≠ 4
m ≠ 4
Hai mặt phẳng cắt nhau nhau khi 
⇔ 2
⇔
 −2 ≠ m
 m ≠ −1
 m − 3m − 4 ≠ 0
 3 − m 2
m = 4
 2m + 4 = 3m

m+2
−2
m −10

b) 
3 x − y + mz − 2 = 0
 nx − 6 y − 6 z + 2 = 0
3 x − y + mz − 9 = 0
c) 
 2 x + ny + 2 z − 3 = 0

 x + my − z + 2 = 0
d) 
 2 x + y + 4nz − 3 = 0

Ví dụ 5: [ĐVH]. Xác định m, n để các mặt phẳng sau đây vuông góc với nhau?
 2 x − 7 y + mz + 2 = 0
a) 
 3x + y − 2 z + 15 = 0
 mx + 2 y + mz − 12 = 0
c) 
 x + my + z + 7 = 0

(2m − 1) x − 3my + 2 z + 3 = 0
b) 
 mx + (m − 1) y + 4 z − 5 = 0
3 x − ( m − 3) y + 2 z − 5 = 0
d) 
(m + 2) x − 2 y + mz − 10 = 0

II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
x − x0 y − y0 z − z0

=

 n .u ≠ 0
 Aa + Bb + Cc = 0
⇔ P d
⇔
 Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0
 M 0 ∈ ( P )
 M 0 ∈ ( P )

( d ) ⊂ ( P ) ⇔ 

( d ) ∩ ( P ) ⇔ nP .ud

≠0

 x0 = ...
 x − x0 y − y0 z − z0
=
=


Khi đó, tọa độ giao điểm thỏa mãn hệ phương trình  a
→  y0 = ...
b
c 
 Ax + By + Cz + D = 0
 z = ...
 0

Kiểm tra ud .nP = 0



c) d :  y = −t
; (P): x + 2y − z − 3 = 0
 z = −2 + 3t

Hướng dẫn giải:
a) Đường thẳng d đi qua điểm M(−1; 3; 0) và có véc tơ chỉ phương ud = ( 2; 4;3) .
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = ( 3; −3; 2 ) .
Ta có ud .nP = ( 2;4;3)( 3; −3;2 ) = 6 − 12 + 6 = 0

Lại có, M ( −1;3;0 ) ∈ ( P ) ⇒ d / / ( P ) .

b) Đường thẳng d đi qua điểm M(9; 1; 3) và có véc tơ chỉ phương ud = ( 8;2;3) .
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (1;2; −4 ) .
Ta có ud .nP = ( 8;2;3)(1; 2; −4 ) = 8 + 4 − 12 = 0
Lại có, M ( 9;1;3) ∈ ( P ) ⇒ d ⊂ ( P ) .

c) Đường thẳng d đi qua điểm M(−1; 0; −2) và có véc tơ chỉ phương ud = (1; −1;3) .
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (1; 2; −1) .
Ta có ud .nP = (1; −1;3)(1;2; −1) = 1 − 2 − 3 = −4 ≠ 0 ⇒ d ∩ ( P ) = I

3

 x = −1 + t
x=−

 x = −1 + t
2
 y = −t




Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 3 1 7
⇒ I  − ; ; − .
 2 2 2

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm m để đường thẳng d :

x −1
y+2 z+3
và mặt phẳng ( P ) : x + 3 y − 2z − 5 = 0
=
=
m
2m − 1
2

a) cắt nhau
b) song song với nhau
c) vuông góc với nhau
d) (P) chứa d

Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; −3) và có véc tơ chỉ phương ud = ( m;2m − 1;2 ) .
Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (1;3; −2 ) .
Ta có ud .nP = ( m; 2m − 1; 2 )(1;3; −2 ) = m + 6m − 3 − 4 = 7m − 7

=
; ( P ) : 3 x + 5 y − z − 2 = 0.
4
3
1
x + 11 y − 3 z
b) d :
=
= ; ( P) : 3x − 3 y + 2 z − 5 = 0
2
4
3
x − 13 y − 1 z − 4
=
=
; ( P) : x + 2 y − 4 z + 1 = 0
c) d :
8
2
3
 x = 3t − 2

d) d :  y = 1 − 4t ; ( P ) : 4 x − 3 y − 6 z − 5 = 0
 z = 4t − 5

Ví dụ 4: [ĐVH]. Xác định m, n để các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau đây song song, cắt nhau, trùng nhau?
x + 1 y − 3 z −1
a) d :
=
=


x − x1 y − y1 z − z1

( d1 ) : a = b = c

 M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) ∈ d1 ; u1 = ( a1 ; b1 ; c1 )
1
1
1
Cho hai đường thẳng d1 và d2 với 

→
( d ) : x − x2 = y − y2 = z − z2
 M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) ∈ d 2 ; u2 = ( a2 ; b2 ; c2 )
 2
a2
b2
c2

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta thực hiện như sau:
d / / d2
Nếu u1 = ku2 
→ 1

=
=
d2 :
2
1
4
3
−2
1
Hướng dẫn giải:
u1 = (−2;1; −1), M 1 (1;3;0) ∈ d1
a) Ta có 
⇒ M 1M 2 = (−2; −3;2)
u2 = (−1;2; 2), M 2 (−1;0;2) ∈ d 2
Ta nhận thấy u1 ≠ ku2

Mặt khác u1 , u2  = (4;5; −3) ⇒ u1 , u2  .M 1M 2 = −29 ≠ 0 
→ hai đường thẳng chéo nhau
u = (2;1; 4), M 1 (1;7;3) ∈ d1
b) Ta có  1
⇒ M 1M 2 = (5; −8; −5)
u2 = (3; −2;1), M 2 (6; −1; −2) ∈ d 2
Ta nhận thấy u1 ≠ ku2
Mặt khác u1 , u2  = (9;10; −7) ⇒ u1 , u2  .M 1M 2 = (9;10; −7).(5; −8; −5) = 0 
→ hai đường thẳng cắt nhau.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Trong không gian cho bốn đường thẳng
x −1 y − 2 z
x−2 y−2 z
x y z −1
x − 2 y z −1

→
2
 d1 ≡ d 2

1− 2 2 − 2 0
=
=

→ vô lí.
2
4
−4
Vậy M1 ∉ d2 ⇒ hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.
Lại có, M1(1; 2; 0) ∈ d1, thay vào d2 ta có

Lập phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2
Do d1 // d2 nên n = u1 , M 1M 2  = (0; −2; −2) = −2(0;1;1)
Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng là (P) : y + z – 2 = 0
b) Ta có nP .u3 = 2 ≠ 0 ⇒ ( P ) ∩ d3
Gọi giao điểm của (P) và d3 là A.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

y + z − 2 = 0
 x = 2t


 x = −1 + t

d 2 :  y = −t
 z = −2 + 3t


 x = 3 + 2t '

d 2 :  y = −3 − t '
 z =1− t '


x −1 y − 2 z − 3
x −7 y −6 z −5
=
=
; d2 :
=
=
9
6
3
6
4
2
x
=
2
+

x − 2 y z +1
x−7 y−2 z
;
f) d1 :
=
=
d2 :
=
=
4
9
12
−6 −8
−6
Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau? Khi đó tìm tọa độ giao điểm của chúng?

e) d1 :

 x = 1 + mt

a) d1 :  y = t
;
 z = −1 + 2t


x = 1 − t '

d 2 :  y = 2 + 2t '
 z = 3−t'


(

)

Đặt α = ( ( P1 );( P2 ) ) ⇒ cos α = cos n1 ; n2 =

n1.n2
n1 . n2

=

A1 A2 + B1 B2 + C1C2
A12 + B12 + C12 . A22 + B22 + C22

Chú ý:
α = ( ( P1 );( P2 ) ) ⇒ 00 ≤ α ≤ 900

( P1 ) / / ( P2 ) ⇔ n1 = k n2 ⇒ α = 00
( P1 ) ⊥ ( P2 ) ⇔ n1.n2 = 0 ⇒ α = 900.
( P ) : x + 3 y + z − 1 = 0
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hai mặt phẳng 
(Q ) : (2m + 1) x + my − z + m + 3 = 0
Tìm m để

a) ( P ) ⊥ (Q)
b) ( ( P);(Q ) ) = α với cos α =

5
33


(2m − 1) x − 3my + 2 z + 3 = 0
a)  mx + (m − 1) y + 4 z − 5 = 0
α = 900


 mx + 2 y + mz − 12 = 0
b)  x + my + z + 7 = 0
α = 450


(m + 2) x + 2my − mz + 5 = 0

c)  mx + (m − 3) y + 2 z − 3 = 0
α = 900


 mx − y + mz + 3 = 0
d) (2m + 1) x + (m − 1) y + (m − 1) z − 6 = 0
α = 300


Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho đường thẳng d1 và d2 có véc tơ chỉ phương lần lượt là u1 = ( a1 ; b1 ; c1 ) , u2 = ( a2 ; b2 ; c2 ) .

−1
 z = 4 + mt

Tìm m để

a) d1 và d2 cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm tương ứng.

(Đ/s: m = 1)

165
15
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

b) ( d1 ; d 2 ) = α; sin α =
 x = 1 + 2t

a) d1 :  y = –1 + t
 z = 3 + 4t


x −1
=
2
x+3
=
c) d1 :
2

b) d1 :


α = 600


z = 2 + t
 z = 2 + mt
III. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là ud = ( a; b; c ) và mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = ( A; B; C ) .

(

)

Đặt γ = ( d ; P ) ⇒ sin γ = cos ud ; nP =

ud .nP
u d . nP

=

Aa + Bb + Cc
a + b + c . A2 + B 2 + C 2

Chú ý:
γ = ( d ; P ) ⇒ 00 ≤ γ ≤ 900
d / / ( P ) ⇔ ud .nP = 0 ⇔ Aa + Bb + Cc = 0
d ⊥ ( P ) ⇔ u d = k nP ⇔

a b c
= =
A B C


=
=
d :
3
1
a)  −2
( P ) : x − (2m + 1) y + mz − 3m + 1 = 0

 x = 2 − 2t

b) d :  y = 1 + 3t ; ( P ) : 2mx − (1 − m) y + z − 2m + 3 = 0
z = t


Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm m để đường thẳng d tạo với (P) góc 300
 x + 2 y z +1
=
=
d :
a) 
1
−2
1
( P ) : (m + 1) x + 2my + z − m = 0

x = 1 + t

b) d :  y = 2 − t ; ( P ) : x + (m + 2) y + mz + 5m − 3 = 0
 z = 3t

( P ) : 2 x + ( m + 3) y + (4m − 1) z + 1 = 0


Tìm giá trị của tham số m để
Đ/s: Không tồn tại m.

a) d // (P)
b) d tạo với (P) góc φ với sin φ =

8
406

Đ/s: m = 1

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!