SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình
học không gian tổng hợp
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán: Hình học lớp 11, 12 bậc THPT
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ tháng 8 năm 2014 đến tháng 5 năm
2015
4. Tác giả:
Họ và tên: Nguyễn Thị Huyền
Năm sinh: 1986
Nơi thường trú: Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định
Trình độ chuyên môn: Cử nhân
Chức vụ công tác: Giáo viên
Nơi làm việc:Trường THPT Xuân Trường
Địa chỉ liên hệ: Xóm 4 - Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam
Định
Điện thoại: 0944.347780
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường
Địa chỉ: Xã Xuân Hồng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định
Điện thoại: 03503.886.167

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

đối với quan hệ vuông góc, các tính chất có nhiều khác biệt, càng khó hơn khi
hình vẽ về sự vuông góc trong không gian hoàn toàn không giống như trong
hình học phẳng. Do vậy qua quan sát và để ý tìm hiểu của tôi, tôi nhận thấy
rằng học sinh còn những hạn chế sau:
+ Khả năng tưởng tượng không gian kém do vậy kĩ năng vẽ hình không gian
không tốt, đặc biệt các bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc
+ Chưa có kĩ năng vận dụng kiến thức linh hoạt trong giải bài tập
+ Chưa tự tổng quát được phương pháp giải bài tập sau mỗi dạng bài tập
Mà nguyên nhân của những hạn chế đó là:
+ Học sinh chưa quen với cách vẽ hình của hình học không gian, đặc biệt là
đối với các bài toán trong quan hệ vuông góc
+ Giáo viên chưa phân loại và đưa ra cách giải cụ thể, dễ hiểu cho học sinh
đối với từng dạng bài tập
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

+ Giáo viên chưa chú trọng rèn kĩ năng vẽ hình, kĩ năng tính toán, kĩ năng
tổng hợp vấn đề cho học sinh
+ Giờ học hình học không gian chưa thực sự hấp dẫn và lôi cuốn, còn rời rạc
và tẻ nhạt
Từ đó tôi thiết nghĩ cần phải giúp đỡ hướng dẫn các em ngay từ những
kiến thức đầu tiên. Trên cơ sở đó nếu thấy học sinh yếu phần nào ta có thể bổ
sung kịp thời cùng với sự hướng dẫn học sinh tham khảo tài liệu liên quan
đến bài học.

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Kí hiệu: d(a,).
d) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
e) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
+ Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với
mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b
+ Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt
tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau a và b
3. Một số công thức cần nhớ
a/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có:
b/ Định lí Cosin trong tam giác:
Trong tam giác ABC có
(Trong một tam giác bất kì bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình
phương độ dài hai cạnh còn lại trừ 2 lần tích hai cạnh đó với cosin góc xen
giữa)
c/ Các công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác ABC có đường cao AH = h, BC = a, AC = b, AB = a, nửa chu vi
là p, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, r là bán kính đường

b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM. Từ đó suy ra khoảng cách từ
S đến CM
Giải:
a) Trong tam giác SAC có I, O lần lượt là trung điểm của SC, AC nên
IO // SA
Mà nên
b) +/ Tính khoảng cách từ I tới CM
Gọi là trọng tâm
tam giác ABC
Trong tam giác ABC có
Gọi H là hình chiếu của I trên CM ta có:

+/ Tính khoảng cách từ S đến CM
Ví dụ 1.2 Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và vuông tại C với AB = 2a, . Gọi
M là 1 điểm di động trên cạnh AC, H là hình chiếu vuông góc của S trên BM.
a) Chứng minh rằng
b) Đặt AM = x với . Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x.
Tìm x để khoảng cách từ S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất?
Giải
a) Có
Mà
Vì
b) Vì
Trong tam giác vuông SAH có
Trong tam giác vuông ABC có
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường




BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1.1 Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, AC = 8cm. Trên đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy S sao cho SA = 4cm. Tính khoảng
cách từ S đến BC
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Bài 1.2 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông đường cao AB = a,
BC = 2a, SA = a và
a) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông
b) Tính độ dài AD
c) Gọi M thuộc đoạn thẳng SA sao cho AM = x, . Tính khoảng cách từ D đến
BM theo a và x. Tìm x để khoảng cách này lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 1.3 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình
thoi tâm O, . Tính
a) Khoảng cách từ O đến SC
b) Khoảng cách từ D đến SB
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Phương pháp chung: Để tính khoảng cách từ một điểm A đến mặt phẳng ta
có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1. (Tính trực tiếp) Xác định hình chiếu H của A trên
+Bước 1. Chọn trong một đường thẳng d rồi dựng mặt phẳng A qua vuông
góc với d (nên chọn d sao cho dễ dựng)

Lưu ý: Đối với các bài toán về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thì điểm
B thường xét là chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp xuống mặt phẳng
đáy.
Cách 3. Sử dụng công thức thể tích
Lưu ý: Đối với phương pháp này ta sử dụng kĩ thuật đổi đỉnh của khối chóp
để việc tính thể tích khối chóp dễ dàng hơn và hay sử dụng với khối chóp có
đáy là tam giác nhiều hơn.
Cách 4. Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian (Khi trong hình có
sẵn hoặc dựng được ba đường thẳng phân biệt đôi một vuông góc)
ĐẶC BIỆT:
Đối với bài toán tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song
và bài toán tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ta đều quy về bài
toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng
Ví dụ 2.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, ,
SA = a.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC)
b) I là trung điểm của AB, tính khoảng cách từ I đến mp(SBC)
c) G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng
(SBC)
Giải
a) Cách 1. (Tính trực tiếp)

Trong (SAB) kẻ AH SB,
Có
Hay
Trong tam giác vuông SAB có SA = AB = a

Cách 2. (Sử dụng công thức thể tích)

b) Vì nên

Ví dụ 2.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a
mặt phẳng (SAC) là tam giác cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với đáy (ABC), M và N lần lượt là trung điểm của của SA, BC, biết góc
giữa MN và (ABC) bằng . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a
Giải

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Cách 1. (Tính gián tiếp)
Gọi H là trung điểm của AC SH AC
Mà
Vì H, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên HN // AB mà AB BC nên
HN BC. Lại có BC SH nên suy ra BC (SHN)
Trong mp(SHN) kẻ HJ SN,
Hay
Mànên
Gọi I là trung điểm của AH MI // SH MI (ABC)
IN là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABC) góc tạo bởi MN và mp(ABC)
là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và IN bằng góc (gt)
Trong tam giác vuông ABC có AC =
Trong tam giác INC có:

Trong tam giác vuông MIN có:

Gọi I là trung điểm của AH MI // SH MI (ABC)
IN là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABC) góc tạo bởi MN và mp(ABC)
là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và IN bằng góc (gt)
Trong tam giác vuông ABC có AC =
Trong tam giác INC có:

Trong tam giác vuông MIN có:
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm
H, tia Ox trùng với tia HB, tia Oy trùng với tia HC, tia Oz trùng với tia HS.
Khi đó ta có:

Suy ra mặt phẳng (SBC) có một vec tơ pháp tuyến là
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là:

Ví dụ 2.4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 3a,
chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao
cho AB = 3AH, góc tạo bởi SC và (ABC) bằng . Tính khoảng cách từ A đến
mặt phẳng (SBC)
Giải

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Cách 1 (Tính gián tiếp)



SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Giải
a) Cách 1. (Tính trực tiếp)

Có
Trong
Hay
Trong tam giác vuông SAB có:

Cách 2. (Sử dụng công thức thể tích)
Thể tích khối chóp S.ABC là:

Cách 3. (Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian)
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz và hình chóp sao cho gốc O trùng với điểm A, tia Ox
trùng với AD, tia Oy trùng với AB, tia Oz trùng với AS( hình vẽ)
Khi đó ta có

Ta có:

Mặt phẳng (SBC) có vec tơ pháp
tuyến là
Phương trình mặt phẳng (SBC) là
Khoảng cách từ A đến mp(SBC) là

*Tính (Có thể tính theo 3 cách như câu a)

Gọi H là trung điểm của AB
Mà
Gọi I là trung điểm của CD
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp sao cho gốc tọa độ O trùng với H, tia
Ox trùng với đoạn tia HB, tia Oy trùng với tia HI, tia OZ trùng với tia HS
Khi đó ta có:

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

mặt phẳng (SCD) có một vec tơ pháp tuyến là
Phương trình mặt phẳng (SCD) là:
Ví dụ 2.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
AD = 2a, SA = a, và SA (ABCD). Gọi M là trung điểm của CD. Tính khoảng
cách từ:
a) A đến mặt phẳng (SBD)
b) A đến mặt phẳng (SBM)
Giải

Cách 1. (Tính trực tiếp)
a) Trong tam giác ABD kẻ
mà, trong (SAH) kẻ
hay


Khi đó ta có:

a)
b)

Phương trình mp(SBD) là:

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Phương trình mp(SBM) là:
Khoảng cách từ A đến (SBM) là:

Ví dụ 2.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA vuông góc
với đáy, , M là trung điểm của BC, . Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng
(SBC) theo a
Giải

Cách 1. (Tính gián tiếp)
Vì
Hình thoi ABCD có mà AB = BC
ABC đều. M là trung điểm của BC AM BC mà BC SA
Trong tam giác vuông SAM gọi H là trung điểm của SM, vì nên SAM vuông
cân tại A

Gọi E là trung điểm của AD
Tứ giác ABCE có: ABCE là hình vuông
CE = AE = a
Có
Trong mặt phẳng (SAC) kẻ AH SC
Khoảng cách từ A đến (SCD) là
Trong tam giác vuông SAC có:

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Cách 2. (Sử dụng công thức thể tích)
Thể tích khối chóp S.ABCD là
Thể tích khối chóp S.ABD là:
Thể tích khối chóp S.BCD là
Gọi E là trung điểm của AD
Tứ giác ABCE có: ABCE là hình vuông
CE = AE = a
Có hay tam giác SCD vuông tại C
Diện tích tam giác SCD là:

Cách 3. (Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian)
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm
A, tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS. Khi

Trong tam giác vuông A’HI có:
Cách 2. (Sử dụng công thức thể tích)
Gọi H là trung điểm của BC
Vì A’H (ABC) nên HC là hình chiếu vuông góc của A’C trên (ABC) suy ra
góc tạo bởi A’C và (ABC) là góc tạo bởi HC và A’C bằng góc

Gợi E là trung điểm của BC, I là trung điểm của EC
Mà AC A’H nên
Thể tích khối chóp A’.ABC là:
Cách 3. (Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian)
Gọi H là trung điểm của BC

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Vì A’H (ABC) nên HC là hình chiếu vuông góc của A’C trên (ABC) suy ra
góc tạo bởi A’C và (ABC) là góc tạo bởi HC và A’C bằng góc
Ta có HA’, HC, HA đôi một vuông góc nên gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình
lăng trụ sao cho gốc tọa độ O trùng với H, tia Ox trùng với tia HA, tia Oy
trùng với tia HC, tia Oz trùng với tia HA’
Khi đó ta có

Khoảng cách từ B đến mp (A’AC) bằng khoảng cách từ B đến (ACC’A’) là:
Ví dụ 2.11(Đại học 2009 khối D). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông
góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường
thẳng A’C và mặt đáy bằng . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’)
Bài 3.(CĐ 2014)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và
60°
mặt đáy bằng
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính thể tích khối
chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SMN)
Bài 4.(ĐH 2013A)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, , SBC là tam giác đều
cạnh a, mặt bên SBC vuông góc với đáy, tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)
Bài 5.(ĐH 2013B)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABCD và d(A,(SCD))
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Phương pháp chung: Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a và b ta quy về bài toán tìm khoảng cách từ điểm tới đường thẳng hoặc từ
điểm tới mặt phẳng. Cụ thể
Cách 1. (Thường sử dụng khi a và b chéo nhau nhưng vuông góc)
Dựng mặt phẳng chứa đường thẳng b
và vuông góc với a, cắt a tại điểm A.
Từ A kẻ AH b, H b thì d(a, b)= AH
III-

Cách 2.
Dựng mặt phẳng chứa b và song song với a.

phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng CD và SB
Giải
Gọi =
Có
AO là hình chiếu vuông góc của SA
trên mp(ABCD)

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

góc tạo bởi SA và mp(ABCD) là góc
tạo bởi hai đường thẳng SA và AO bằng
góc
Gọi E là trung điểm của BC
Ta có:
ADEB là hình vuông
Trong tam giác BCD có:
mà
Có
Trong tam giác kẻ ,
Gọi

suy ra

(ABC) bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN
Giải
Có

Có
góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng góc tạo bởi hai đường thẳng SB và AB và bằng góc (gt)
Từ giả thiết suy ra N là trung điểm của AC
Gọi là đường thẳng đi qua N và song song với AB
Trong tam giác SAI kẻ AJ SI, (J SI)
mà
Vì
Trong tam giác vuông có SA
Trong tam giác vuông có

Ví dụ 3.5 (Đại học 2008 D) – (Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
nhưng không vuông góc)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a,
AA’ = a, gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AM và B’C theo a.
Giải
Gọi E là trung điểm của BB’
ME // B’C
Mà ME (AME), B’C (AME)
B’C // (AME)

Trong tam giác vuông ABM

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền