ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ XUÂN SANG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ XUÂN SANG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI


Quỹ tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Véc tơ và tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Véc tơ trong không gian . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . .

7

1.3 Sơ lược về các phép biến hình . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1

Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2

Phép vị tự và phép đồng dạng . . . . . . . . 11

1.3.3

2.3.2

Tìm quỹ tích nhờ tọa độ . . . . . . . . . . . 33

2.4 Phương pháp biến hình . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1

Ứng dụng các phép dời hình . . . . . . . . . 38

2.4.2

Ứng dụng phép vị tự và phép đồng dạng . . . 41

2.5 Một số bài toán quỹ tích nâng cao . . . . . . . . . . 44
2.5.1

Kết hợp các phương pháp giải . . . . . . . . 44

2.5.2

Một số cách giải đặc biệt . . . . . . . . . . . 49

Tài liệu tham khảo

59


3

Danh mục hình

2.4

Quỹ tích I,K,H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5

Bài toán A: Quỹ tích H, E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.6

Bài toán A: quỹ tích E, N, H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.7

Bài toán B: Quỹ tích hình chiếu H của A . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.8

Bài toán B: Quỹ tích hình chiếu N của A . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29


2.16 Quỹ tích A , B , C , G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.17 Hai phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.18 Quỹ tích S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.19 Quỹ tích A, B, C, D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.20 M nhìn mặt cầu dưới góc vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.21 Quỹ tích trọng tâm tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.22 Quỹ tích H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55


i

này muốn nghiên cứu một cách hệ thống các bài toán tìm quỹ tích điểm
trong không gian (đương nhiên có liên quan đến các quỹ tích trong mặt
phẳng). Ngoài cách phát biểu bài toán quỹ tích, nội dung chủ yếu của
luận văn là nêu các phương pháp hay dùng khi giải các bài toán quỹ
tích trong không gian. Đó là các phương pháp cơ bản và có hiệu quả
nếu biết sử dụng đúng chỗ.
Mục đích của đề tài là:
- Nghiên cứu bài toán quỹ tích trong hình học không gian và các
phương pháp giải.
- Trình bày cơ sở khoa học và các kỹ thuật áp dụng các phương pháp:
Phương pháp quỹ tích cơ bản, phương pháp quỹ tích phẳng trong không
gian, phương pháp véc tơ-tọa độ, phương pháp biến hình và một số vấn
đề liên quan.
- Các kiến thức về hình học không gian cũng như các kỹ thuật giải
toán hình học không gian được hệ thống và nâng cao qua các bài toán
quỹ tích hay và khó trong các kỳ thi học sinh giỏi.
- Người nghiên cứu có thêm kiến thức và năng lực bồi dưỡng học sinh
giỏi về các vấn đề khó của Hình học.

2. Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết
Trình bày hệ thống cách giải bài toán quỹ tích trong không gian.
Phần lý thuyết trình bày tóm tắt những cơ sở khoa học của các phương
pháp. Phần trọng tâm ở chương 2 nêu các kỹ thuật chi tiết khi áp dụng


2

các phương pháp giải. Đồng thời đưa ra các ví dụ điển hình để chứng
tỏ các phương pháp giải là thực sự hiệu quả.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Bài toán quỹ tích

Bài toán quỹ tích là bài toán khó không những đối với người học mà
ngay cả đối với người dạy bởi bản thân nó là bài toán về chuyển động,
bài toán về hàm trong hình học. Về bản chất đây là bài toán về tập
hợp: "Tìm tập hợp (hay dựng tập hợp) khi cho biết tính chất đặc trưng
của các phần tử của nó". Về thuật ngữ chúng tôi chọn thuật ngữ "quỹ
tích" để thể hiện rõ bài toán đang nghiên cứu là bài toán hình học mà
không dùng thuật ngữ chung chung là "tập hợp". Hơn nữa, ở đây chỉ
xét phương pháp giải các bài toán quỹ tích điểm, các quỹ tích khác sẽ
được nghiên cứu ở một đề tài khác.
1.1.1

Khái niệm

Bài toán quỹ tích(điểm): Tìm tất cả những điểm (trên mặt phẳng hay
trong không gian) có chung tính chất α nào đó và chỉ những điểm ấy.
Nghiệm của bài toán là một hình (tập hợp điểm) gồm và chỉ gồm các
điểm có tính chất α. Nếu ta gọi H(α) là tập hợp tất cả các điểm M có
tính chất α, còn Φ là một hình nào đó. Ta nói hình Φ là nghiệm của bài
toán tức là ta phải chứng minh đẳng thức tập hợp

H(α) = Φ ⇐⇒ H(α) ⊆ Φ và Φ ⊆ H(α)
Mệnh đề "nếu M ∈ H(α) thì M ∈ Φ" được gọi là mệnh đề thuận; còn
mệnh đề "nếu M ∈ Φ thì M ∈ H(α)" được gọi là mệnh đề đảo. Hai
mệnh đề này được gọi là cặp thuận-đảo.


4


chứng minh bao hàm thức H(α) ⊆ Φ. Trên thực tế tính chất α là
hội của các tính chất, chẳng hạn α1 , α2 , α3 , trong phần đảo ta phải
lấy bất kỳ M ∈ Φ và thỏa mãn α1 , α2 rồi chứng minh M thỏa mãn
α3 . Chính vì thế sau khi lấy M ∈ Φ ta phải tiến hành bài toán dựng
hình. Ở đây cần đến kỹ thuật tách α thành các tính chất α1 , α2 , α3 .
Từ đó cũng thấy có nhiều cách lập mệnh đề đảo, nếu khéo léo ta
có thể nhận được phép chứng minh phần đảo đơn giản hơn.
Để bắt đầu với bài toán quỹ tích ta phải liệt kê các quỹ tích cơ bản
(Xem chi tiết [2]).


5

1.1.2

Quỹ tích cơ bản

Các quỹ tích sau (thường đã chứng minh trong các sách giáo khoa)
được gọi là các quỹ tích cơ bản. Sau này các quỹ tích phải tìm sẽ được
quy về các quỹ tích cơ bản.
a. Trong mặt phẳng:
Quỹ tích 1: Quỹ tích những điểm cách đều 2 điểm A, B cho trước là
đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Quỹ tích 2: Quỹ tích những điểm mà khoảng cách từ đó đến một đường
thẳng a cho trước bằng h không đổi là hai đường thẳng a , a song song
với a, cách a một khoảng bằng h.
Quỹ tích 3: Quỹ tích những điểm cách đều 2 cạnh của một góc là
đường phân giác của góc đó.
Quỹ tích 4: Quỹ tích những điểm mà hiệu bình phương khoảng cách
từ đó đến hai điểm A, B bằng k 2 là một đường thẳng vuông góc với AB

Quỹ tích 12: Quỹ tích những điểm mà hiệu bình phương khoảng cách
từ đó đến hai điểm A, B bằng k 2 là một mặt phẳng vuông góc với AB
k2
tại điểm H thỏa mãn: IH =
, với I là trung điểm của AB.
2AB
Quỹ tích 13: Quỹ tích những điểm cách đều một điểm O cho trước
một khoảng cách R là mặt cầu tâm O, bán kính R.
Quỹ tích 14: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc
vuông là mặt cầu đường kính AB.
Quỹ tích 15: Quỹ tích những điểm mà tổng bình phương khoảng cách
từ đó đến hai điểm A, B bằng k 2 là một mặt cầu tâm I, bán kính ρ với
1
I là trung điểm AB, ρ =
2k 2 − AB2 .
2
Quỹ tích 16: Quỹ tích những điểm mà tỷ số khoảng cách từ đó đến
hai điểm A, B bằng m là một mặt cầu đường kính CD sao cho C, D chia
điều hòa AB (Mặt cầu Apololiut).

1.2

Véc tơ và tọa độ

1.2.1

Véc tơ trong không gian

Các phép toán:
−−→ −→ −−→

k ∈ R; (4) a.a = a2 , a.a = 0 ⇐⇒ a = 0.
Biểu diễn sự kiện hình học theo ngôn ngữ véc tơ
−−→ −→
−−→ −→ →
−−→ →
−
−
• M ≡ N ⇔ OM = ON ⇔ OM − ON = 0 ⇔ MN = 0 .

−
→ −
→
−
→ 1 −−→ −−→
• I-trung điểm AB ⇔ IA + IB = 0 ⇔ MI = (MA + MB), ∀M.
2
−→ −→ −→
• G-trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = 0
−−→ 1 −−→ −−→ −−→
⇔ MG = (MA + MB + MC), ∀M.
3
−→ −→ −→ −→
• G-trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC + GD = 0
−−→ 1 −−→ −−→ −−→ −−→
⇔ MG = (MA + MB + MC + MD), ∀M.
4
−→
−→
−→
−→

a ± b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ).
αa ± β b = (αa1 ± βb1 , αa2 ± βb2 , αa3 ± βb3 ).
b. Kỹ thuật chọn gốc tọa độ. Để giải bài toán hình học bằng phương
pháp tọa độ thì kỹ thuật chọn gốc tọa độ là kỹ thuật quan trọng nhất,
nó quyết định các tính toán về sau. Nhiều trường hợp bài giải khá dễ


8

dàng nếu ta chọn hệ toa độ phù hợp, các tính toán, các biểu diễn đơn
giản nhưng ta cũng sẽ gặp bế tắc trong tính toán và không xác định
được phương trình quỹ tích nếu ta chọn hệ tọa độ không phù hợp. Sau
đây là một số cách chọn hệ tọa độ khi đã có sẵn các hình không gian:
• Hình lập phương: Chọn hệ tọa độ sao cho A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0),
D(0,a,0), A (0, 0, a), B (a, 0, a), C (a, a, a), D (0, a, a). Tương tự cho hình
hộp chữ nhật. Tam diện vuông là một nửa hình hộp chữ nhật nên các
cạnh của tam diện cũng được chọn làm các trục tọa độ.
• Hình hộp đứng có đáy là hình thoi: Gốc tọa độ lấy trùng với giao
điểm O của hai đường chéo hình thoi ABCD. Trục Oz đi qua hai tâm
của đáy. Lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân cũng được đặt hệ tọa độ
tương tự.
• Hình chóp đều. Giả sử hình chóp S. ABC, AB=a, SH=h.
Cách 1. Chọn gốc O là trung điểm của BC, A∈ Ox, B∈ Oy.
Cách 2. Chọn gốc O là trực tâm H, Ox BC, A∈ Oy, S∈ Oz.
• Hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD), SA=h. Nếu đáy là hình chữ
nhật ta chọn A=O, B∈Ox, D∈Oy,S∈Oz. Nếu đáy là hình thoi ta chọn
O là tâm của đáy, B∈Ox, C∈Oy, Oz SA.
• Hình chóp S.ABCD có (SAB)⊥(ABC), đường cao ∆SAB là đường
cao của chóp. Nếu ∆ABC vuông tại A ta chọn hệ tọa độ mà A=O,
B∈Oy, C∈ Ox, Oz SH (đường cao chóp). Nếu vuông tại B ta chọn


2

a2 a3
a a
a a
+ 3 1 + 1 2 .
b2 b3
b3 b1
b1 b2

e. Phương trình mặt phẳng.
•
Phương trình tham số của mặt phẳng:

 x = x0 + a1 u + b1 v
y = y0 + a2 u + b2 v , cặp véc tơ chỉ phương a, b; ∀u, v ∈ R.

 z = z +a u+b v
0
3
3
• Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 = 0.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm, có cặp véc
tơ chỉ phương a, b:
a2 a3
a a
a a
(x − x0 ) + 3 1 (y − y0 ) + 1 2 (z − z0 ) = 0.

y = y 0 + a2 t

 z = z +a t
0
3
Phương trình chính tắc:

x − x0
y − y0
z − z0
=
=
a1
a2
a3
Phương trình tổng quát

∆:

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A21 + B21 + C21 = 0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, A22 + B22 + C22 = 0.

Tất cả các bài toán dạng lập phương trình đường thẳng, phương
trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu,... đều được coi là bài toán tìm
quỹ tích (tập hợp những điểm thỏa mãn phương trình hoặc hệ phương
trình). Trong chương 2 ta chỉ xét các bài toán quỹ tích trong hình học
không gian thuần túy được giải bằng phương pháp tọa độ.

1.3


-Phép quay xung quanh một trục. Cho trục X và một số α, phép
→
−
α
quay xung quanh trục X với góc quay α là phép biến hình Q→
− cho ứng
X
mỗi điểm M với điểm M trong không gian sao cho M nằm trong mặt
→
−
phẳng định hướng Π ⊥ X qua M và trong mặt phẳng định hướng Π,
→
−
M = QO
α , O = X ∩ Π.
Phép quay quanh một trục là một phép dời hình thuận. Dễ thấy
Sd = Qπd .
-Phép đối xứng qua mặt phẳng. Cho mặt phẳng P, phép đối xứng
qua P, ký hiệu là SP là phép biến hình biến M thành M trong không
gian sao cho: nếu M ∈ P thì M ≡ M, nếu M ∈
/ P thì P là mặt phẳng
trung trực của MM . Đây là một phép dời hình nghịch.
→
−
-Phép biến hình xoắn ốc. Phép biến hình xoắn ốc ký hiệu là X( X , α, v)
là tích giao hoán được của một phép quay QO
α và một phép tịnh tiến Tv
với phương tịnh tiến song song với trục quay:
→
−

−→
Oω = k Oω; R = |k|R. Ảnh của mặt cầu S(ω, R) qua HO
k là mặt
−−→
−→
cầu S (ω , R ) với Oω = k Oω; R = |k|R.


12

d. Tích hai phép vị tự
I
HO
k ◦ Hh =

HO
kh
Tv

nếu hk = 1
nếu hk = 1

Định nghĩa 1.3. Ánh xạ f biến M thành M được gọi là phép đồng
dạng nếu tỷ số giữa khoảng cách của hai điểm ảnh M , N với khoảng
cách của hai điểm tạo ảnh M, N là một hằng số k . Số k được gọi là tỷ
số đồng dạng của f .
Các phép dời hình hoặc vị tự đều là các phép đồng dạng. Tích của
phép dời hình (thuận, nghịch) với một phép vị tự là phép đồng dạng
(thuận, nghịch).
1.3.3

nên M cũng là trung điểm của EF.
Kết luận. Quỹ tích các điểm M là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.
Lời giải 2 (véc tơ). Lấy a, b là các véc tơ chỉ phương của a và b. Giả
−→
−→
sử AE = ea, BF = f b với a không song song b. Gọi O là trung điểm của
−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→
AB, ta có OE + OF = OA + AE + OB + BF = AE + BF = ea + f b với
mọi e, f ∈ R.
−→ −→
−
→
−
→
1 −
I là trung điểm của EF ⇐⇒ OE + OF = 2OI ⇐⇒ OI = (e.→
a +
2
→
−
f. b ) với mọi e, f ∈ R. Ta kết luận quỹ tích các điểm I là mặt phẳng
qua O, nhận a, b làm cặp chỉ phương. Với giả thiết AB là đường vuông
góc chung của a, b thì mặt phẳng đó chính là mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng AB.
Lời giải 3 (tọa độ). Chọn hệ tọa độ Oxyz với O là trung điểm AB,
Ox a, Oy b (hệ tọa độ affine). Đặt AB = a = const, Ta tính được
tọa độ các điểm E, F, I. Từ đó viết được phương trình mặt phẳng quỹ
tích điểm I.
Ví dụ 1.2. Cho tứ diện ABCD. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho



CD2 − AB2
CD2 − AB2
4
OH =
⇐⇒ IJ.OH =
8
2IJ

(O là trung điểm IJ).

Ví dụ 1.3. Cho điểm E cố định nằm trong mặt cầu S tâm O, bán kính
R. Một đường thẳng d luôn qua E cắt S tại hai điểm A, B. Tìm quỹ tích
trung điểm M của AB, trung điểm N của đoạn EA, trọng tâm G của
tam giác OEA.
Lời giải.
a. Vì M là trung điểm dây AB của mặt cầu S nên OM ⊥ AB. Điểm M
nhìn OE dưới một góc vuông nên M thuộc mặt cầu S1 đường kính OE
(quỹ tích 14).
Đảo lại, với mọi M ∈ S1 đường thẳng EM cắt S1 tại hai điểm A , B .
Ta có OM ⊥ A B nên M phải là trung điểm của A B .
Quỹ tích của M là mặt cầu S1 , đường kính OE.
b. Gọi I là trung điểm của OE. Tam giác OEA nhận IN là đường trung
1
R
R
bình nên IN = OA = . Vậy N thuộc mặt cầu S2 , tâm I bán kính .
2
2
2


16

Chương 2
Các phương pháp giải toán quỹ
tích trong không gian
2.1

Phương pháp quỹ tích cơ bản

Bài toán quỹ tích sẽ giải được nếu ta đưa quỹ tích cần tìm về các quỹ
tích cơ bản. Khi đó ta có ngay hình Φ nói trong phần đầu. Chủ yếu là
trong phần thuận ta tìm được mối quan hệ giữa điểm cần tìm quỹ tích
với các quỹ tích cơ bản.
Ví dụ 2.1. Cho M,N lần lượt chuyển động trên hai đường thẳng a
và b chéo nhau. Tìm quỹ tích những điểm I trên đoạn MN sao cho
IM
= k > 0.
IN
Lời giải.
Phần thuận. Gọi AB là đường vuông góc chung của a và b, C là điểm
CA
CA
IM
trên đoạn AB sao cho
= k . Khi đó C cố định. Vì
=
(= k)
CB
CB

= k . Mọi điểm của α đều thỏa mãn đề bài.
lét ta có:
IN
CB
Kết luận: Quỹ tích các điểm I là mặt phẳng α đi qua C, song song
với a và b.
Nhận xét 2.1. Khi k = 1, tức điểm I là trung điểm của MN, quỹ tích
của điểm I là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Ví dụ 2.2. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B.
Giả
√ sử AB=BC=a, AD=2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và có độ dài
a 2. Điểm M di động trên đoạn AB, α là mặt phẳng qua M, song song
với (SBC) cắt CD, SD, SA lần lượt tại N, P, Q.


18

a. Tìm quỹ tích điểm I = MQ ∩ NP.
b. Tìm quỹ tích hình chiếu H của A lên mặt phẳng α.
c. Tìm quỹ tích trung điểm E của MN và trung điểm F của IE.
Lời giải.

Hình 2.2: Quỹ tích I, H, E, F

a. Quỹ tích I.
Phần thuận. Gọi O là giao của AB và CD. Vì I ∈ MQ nên I∈ (SAB);
I∈ NP nên I∈ (SCD). Như thế I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng cố
định (SAB) và (SCD). Dễ thấy giao tuyến đó chính là đường thẳng SO.




Những bài toán quỹ tích tuy trong giả thiết có mang các yếu tố không
gian nhưng điểm cần tìm quỹ tích được xác định là luôn ở trong một
mặt phẳng cố định. Ta gọi đó là các quỹ tích phẳng trong không gian.
Để giải các bài toán như vậy ta phải thiết lập các bước
Bước 1. Xác định mặt phẳng α chứa điểm cần tìm quỹ tích.
Bước 2. Trên mặt phẳng α giải bài toán quỹ tích phẳng.
Ví dụ 2.3. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau, vuông góc với nhau
và cách nhau một khoảng bằng h. Các điểm M và N thứ tự chuyển động
trên a và b sao cho độ dài MN luôn bằng k không đổi. Tìm quỹ tích
trung điểm I của MN.