TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN
**********************

ĐẶNG THỊ THÙY

ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ
GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2012


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN
**********************

ĐẶNG THỊ THÙY

ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ
GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
Th.s NGUYỄN VĂN VẠN

MỤC LỤC
A-MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1
B-NỘI DUNG......................................................................................................... 3
Chương 1: Cơ sở lý luận ....................................................................................... 3
1.1. Đại cương về phép biến hình trong không gian .......................................... 3
1.2. Phép biến hình afin ..................................................................................... 4
1.3. Phép đẳng cự ............................................................................................... 5
1.4. Một số phép đẳng cự đặc biệt ..................................................................... 6
1.5. Phép đồng dạng ........................................................................................... 9
Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong
hình học không gian .............................................................................................. 13
2.1. Bài toán quỹ tích ......................................................................................... 13
2.2. Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học
không gian ................................................................................................... 13
2.3. Một số ví dụ ................................................................................................ 14
2.4. Bài tập đề nghị ............................................................................................ 31
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 34


1

A – MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài
Hình học có một vị trí rất quan trọng trong Toán học. Nó là một môn học

có tính hệ thống, chặt chẽ, logic và trừu tượng hóa cao hơn các môn học khác
của Toán học. Do vậy, Hình học được coi là một môn học khó, đặc biệt là

4.

Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về cơ sở lý luận và nội dung của phép đồng dạng trong

không gian.
Nghiên cứu về ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong
hình học không gian.

5.

Phương pháp nghiên cứu
Cơ sở lí luận, sách giáo khoa, sách giáo trình, sách tham khảo và một số

tài liệu liên quan.

6.

Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần kết luận, danh mục sách tham khảo cấu trúc khóa luận gồm:
Chương 1: Cơ sở lý luận.
Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong

hình học không gian.


3

B – NỘI DUNG
Chương 1:CƠ SỞ LÝ LUẬN

Định nghĩa: Cho phép biến hình f: M  M’. Nếu tồn tại một phép biến
hình g : M '  M thì ta nói g là phép biến hình đảo ngược của f.
1.1.4. Phép biến hình đối hợp, phép biến hình đồng nhất


4

Định nghĩa: Phép biến hình f của tập T được gọi là phép biến hình đối
hợp nếu f 2 = Id, khi đó ta có f và phép biến hình nghịch đảo của f là f −1
trùng nhau.
Định nghĩa: Phép biến hình f của tập T biến mọi điểm M trong không
gian thành chính nó được gọi là phép biến hình đồng nhất.
1.1.5. Điểm bất động (điểm kép), hình bất động, hình kép
Định nghĩa: Cho phép biến hình f của tập T. Điểm M của tập T được gọi
là điểm bất động (điểm kép) của phép biến hình f nếu f(M) = M.
Định nghĩa: Cho phép biến hình f của tập T. Hình H bộ phận của tập T
được gọi là hình kép của phép biến hình f nếu f(H) = H.
Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu ta có mọi
điểm của H bất động đối với f.
1.1.6. Hai hình trùng nhau
Ta nói hai hình không gian (F1) và (F2) trùng nhau nếu mọi điểm của
hình này đều thuộc hình kia và ngược lại. Hai hình trùng nhau được kí hiệu
là (F1) ≡ (F2). Nếu mọi điểm của (F1) đều thuộc (F2) thì ta nói (F1) là hình

con của (F2).

1.2.

Phép biến hình Afin


Phép đẳng cự

1.3.1. Định nghĩa :
Phép biến hình trong không gian bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm
được gọi là phép đẳng cự.
1.3.2. Tính chất:
Tính chất 1: Phép đẳng cự là phép afin.
Tính chất 2: Phép đẳng cự biến mặt cầu thành mặt cầu.
1.3.3. Định lí về sự xác định


6

Định lí 1.3: Trong không gian cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ bằng
nhau, khi đó tồn tại duy nhất một phép đẳng cự biến A, B, C, D lần lượt thành
A’, B’, C’, D’.
1.3.4. Phân loại phép đẳng cự
Định nghĩa: Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin
loại 1. Ngược lại, ta gọi phép đẳng cự là phép phản chiếu.
1.3.5. Định lí 1.5:
Tích hai phép dời hình là phép dời hình.
Tích hai phép phản chiếu là phép dời hình.
Tích hai phép dời hình và phản chiếu theo thứ tự nào cũng là một phép
phản chiếu. Phép đảo ngược của dời hình ( phản chiếu ) là phép dời hình (
phản chiếu ).
1.3.6. Hai hình bằng nhau, hai hình đối xứng
Định nghĩa: Hai hình là ảnh của nhau qua phép dời hình gọi là hai hình
bằng nhau. Hai hình là ảnh của nhau qua phép phản chiếu gọi là hai hình đối
xứng.


a) Định nghĩa: Trong không gian cho trước một điểm O. Phép biến hình


trong không gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho OM ' = −OM được gọi
là phép đối xứng qua tâm O và kí hiệu Đ𝑂 : M  M ' , O được gọi là tâm đối

xứng.

b) Tính chất:
Tính chất 1: Phép đối xứng Đ𝑂 là phép phản chiếu, là phép đối hợp và có

O là điểm bất động duy nhất.



Tính chất 2: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua Đ𝑂 thì A ' B ' = − AB .

Tính chất 3: Phép đối xứng Đ𝑂 biến bốn điểm cùng nằm trong một phẳng

thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng.
1.4.3. Phép đối xứng qua một đường thẳng

a) Định nghĩa: Trong không gian cho trước một đường thẳng (d). Phép
biến hình trong không gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho (d) là đường
trung trực của đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng và kí
hiệu Đ(𝑑) : M  M ' , đường thẳng (d) được gọi là trục đối xứng.
b) Tính chất:

Tính chất 1: Phép đối xứng Đ(𝑑) là phép dời hình, phép đối hợp và có một


a) Định nghĩa: Trong không gian cho đường thẳng (d) và góc phẳng
định hướng ϕ . Phép biến hình trong không gian biến điểm M thành điểm M’
sao cho các điều kiện sau đây đồng thời xảy ra:
i) Các điểm M và M’ cùng nằm trong mặt phẳng (α) vuông góc với
đường thẳng (d) tại điểm O.
ii)OM = OM’.
iii)Nếu chiều dương của mặt phẳng (α) là chiều quay của vặn nút chai
 
tiến theo chiều dương của trục (d) thì (OM ', OM ) = ϕ .
Thì gọi là phép quay trong không gian quanh trục (d), góc quay ϕ .
Kí hiệu: Q(d ,ϕ ) hoặc Qdϕ : M  M '
b) Tính chất:


9

Tính chất 1: Phép quay Qdϕ là phép dời hình và trục quay (d) là đường
thẳng bất động của phép quay.
Nếu ϕ = 1800 thì phép quay là phép đối xứng qua (d).
Tính chất 2: Phép quay quanh (d) là phép đối hợp khi và chỉ khi

ϕ = k .1800 .
Tính chất 3: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B trong Qdϕ thì A’B’=AB.
Tính chất 4: Phép quay quanh (d) biến bốn điểm cùng nằm trong một
phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng.
1.5.

Phép đồng dạng

1.5.1. Phép đồng dạng

=
, B1C1 BC
=
, B1D1 BD
=
, C1D1 CD . Suy ra

tứ diện ABCD bằng tứ diện A ' B1C1D .
Từ đó theo định lý về sự xác định phép dời hình, tồn tại duy nhất phép dời
g, sao cho g : A  A ', g : B  B1 , g : C  C1 , g : D  D1 .
Thực hiện tiếp phép vị tự tâm A’ tỉ số k, sao cho VAk' : A '  A ', VAk' : B1  B ',

VAk' : C1  C ',VAk' : D1  D ' . Từ đó

VAk' .g = Z k ,

Z k : A  A ', Z k : B  B ',

Z k : C  C ', Z k : D  D ' . Do phép dời hình là duy nhất, nên phép đồng dạng

là duy nhất.
d)Định nghĩa hai hình đồng dạng.
Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu tồn tại một phép đồng dạng
biến một trong hai hình thành hình còn lại.
e)Phân loại.
Phép đồng dạng Z k được gọi là phép đồng dạng thuận hay nghịch nếu nó
là phép afin loại 1 hay loại 2.
1.5.2. Phép vị tự
a) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm O và số thực k ≠ 0 . Phép


k > 0 . Khi đó, tích của hai phép co – dãn C (d , k ) và C (d ', k ) với hai trục (d),
(d’) vuông góc với nhau và cắt nhau tại O là một phép vị tự tâm O, tỉ số k.
Chứng minh:
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy mà đường thẳng (d), (d’) là các trục tọa độ.
Với mỗi điểm M(x, y), C (d , k ) biến M thành M 1 ( x, ky ) , C (d ', k ) biến
M 1 thành M 2 (kx, ky ) .

Vậy tích của hai phép co – dãn đó biến điểm M thành M 2 thỏa mãn điều


kiện OM 2 = kOM .
Định lý 1.7: Cho ba mặt phẳng ( P1 ),( P2 ),( P3 ) đôi một vuông góc với
nhau và một số k > 0 . Khi đó, tích của ba phép co – dãn C ( P1 , k ), C ( P2 , k ),
C ( P3 , k ) là một phép vị tự.

Chứng minh: tương tự định lý 1.6, bạn đọc tự chứng minh.
1.5.3. Dạng chính tắc của phép đồng dạng.


12

• Định lí 1.7:
Trong không gian tích của một phép dời hình và một phép vị tự tỷ số
hoặc theo thứ tự ngược lại là một phép đồng dạng theo tỷ số k. Phép đồng
dạng là thuận hay nghịch tùy thuộc theo k âm hay dương.
Ngược lại, mọi phép đồng dạng tỷ số k trong không gian luôn có thể
được phân tích thành tích của một phép dời hình và một phép vị tự hoặc theo
thứ tự ngược lại mà tâm vị tự là tùy ý, tỷ số vị tự là k hoặc –k tùy theo phép
đồng dạng là thuận hay nghịch.
Chú ý: k>0 thì Z k thuận.


Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học

không gian.
Sử dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích là dựa vào các tính
chất cơ bản, các dạng chính tắc của phép đồng dạng để tìm mối liên hệ giữa
các yếu tố cố định, yếu tố không đổi với điều kiện cần tìm của quỹ tích.
Phương pháp chung: Để tìm quỹ tích của điểm M’, ta sử dụng phép đồng
dạng thích hợp Z k : M  M ' , mà điểm M thuộc hình (H) đã biết trước nên
điểm M’ thuộc hình (H’) là ảnh của hình (H) qua phép đồng dạng Z k .


14

Do phép đồng dạng là một phép biến hình nên khi giải bài toán quỹ tích,
phần mà sử dụng phép đồng dạng ta không cần phải chứng minh phần đảo của
nó.
2.3. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng (d) và (d’) chéo nhau và vuông
góc với nhau. Với mỗi điểm A thuộc (d) ta xác định hình chiếu B của
A trên (d’) và điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A và nằm
trong mặt phẳng (α) vuông góc với (d’). Tìm quỹ tích điểm C khi A
thay đổi trên (d).
_Lời giải_

Do (d ) ⊥ (d ') ⇒ tồn tại duy nhất mặt phẳng (α ) chứa (d) và vuông góc
với (d’).
 A ∈ (d )
Ta có: 
(d ') ⊥ (α )


(2)

Hoặc: Qd−45
' : B’  C
0

Từ (1) và (2) suy ra :

Z

= Q(45d ') .VB 2 : A  C hoặc Z

2

= Q(−d45') .VB 2 : A  C
0

0

2

Mà A ∈ (d ) do đó quỹ tích điểm C là một trong hai đường thẳng
(d’’) là ảnh của (d) qua phép đồng dạng thuận Z 2 .
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng (d1 ) , (d 2 ) và một đường tròn (O).
Trên (d) ta lấy điểm A. Hãy tìm quỹ tích điểm B trên (d 2 ) và C trên
(O) sao cho tam giác ABC vuông cân tại B và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với (d1 )
_Lời giải_


⇒ Q(45d1 ) : B '  C (2)

Từ (1) và (2) ⇒ Z

(1)

hoặc

Q(−d451 ) : B '  C
0

= Q(45d1 ) .VA 2 : B  C hoặc Z
0

2

= Q(−d451 ) .VA 2 : B  C
0

2

Mà B∈ (d 2 ) nên C thuộc một trong hai đường thẳng (d’) là ảnh của (d 2 )
qua phép đồng dạng thuận Z 2 .
Mặt khác, C ∈ (O) . Do đó quỹ tích điểm C là giao điểm của (O) và một
trong hai đường thẳng (d’). Như vậy, bài toán chỉ có nghiệm khi (d’) và
đường tròn (O) có điểm chung.
*) Quỹ tích điểm B
Để tìm quỹ tích điểm B ta cần tiến hành làm ngược lại quá trình tìm C.
Bạn đọc tự giải.
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng (d) và (d’) chéo nhau và vuông

2 
2
BA1 =
BA . Mà B cố định nên VB : A  A1 . (1).
2


18

 BJ =

Do 
 B và J thuộc

Vậy:

hoặc

0

Q(45d ') : A1  J (2) hoặc Q(−d45') : A1  J
0

Từ (1) và (2) ⇒ Z

2
2

2
2

4
2
2

2

2

√5 �����⃗
Trên BA lấy M sao cho ������⃗
𝐵𝑀= . 𝐵𝐴
. Vì B cố định nên
2

√5
2

𝑉𝐵 : A⟼ 𝑀

(3)

�����⃗, 𝐵𝐾
� =(𝐵𝐴
������⃗ ) ( β không đổi)
Ta có: ∆ AKB vuông tại A, gọi β =𝐴𝐵𝐾
⟹ 𝑡𝑎𝑛 𝛽=

𝐴𝐾
𝐴𝐵



5
2

−β
( d ')

5
2

= Q .VB : A  K

Mà A thuộc (d), do đó quỹ tích điểm K là một trong hai đường
thẳng (c) là ảnh của (d) qua phép đồng dạng thuận 𝑍√5 .
2


19

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và
cạnh bên SA vuông góc với (ABCD). M là một điểm thuộc đường tròn
(O;R) nội tiếp ∆SBC. Gọi N là giao điểm của mặt phẳng (α) qua M và

vuông góc với BC, M’N là giao điểm của (ABCD) và (α) sao cho
∆MNM’ cân tại N. Tìm quỹ tích trung điểm AM’ khi M di động trên
đường tròn nội tiếp ∆SBC.
_Lời giải_

 AB BC (do ABCD là hình vuông)
Ta có: 


(λ không đổi)

Mà ∆NMM’ cân tại N ⟹ NM=NM’.

Mặt khác, M và M’ thuộc mặt phẳng (α) ⊥ BC.

Do đó, ta có: Q(λBC ) : M  M ' (3) hoặc

λ
Q(−BC
) :M  M '

1 ��������⃗
𝐴𝐼 = . 𝐴𝑀′
.
Gọi I là trung điểm của AM’ ⇒ ����⃗

Mặt khác A cố định nên ta có:

2

1
2

𝑉𝐴 : M’ ⟼ I. (4)
1
2

λ

∆ SBC , ta xác định M 1 là hình chiếu của M trên (ABCD) và M 2 là hình
chiếu của M 1 trên (SCD). Tìm quỹ tích điểm M 2 khi M biến thiên trên
(O;R).
_Lời giải_