TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN
**********************

ĐẶNG THỊ THÙY

ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ
GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2012


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN
**********************

ĐẶNG THỊ THÙY

ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ
GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
Th.s NGUYỄN VĂN VẠN

MỤC LỤC
A-MỞ ĐẦU.............................................................................................................1
B-NỘI DUNG..........................................................................................................3
Chương 1: Cơ sở lý luận........................................................................................3
1.1. Đại cương về phép biến hình trong không gian............................................3
1.2. Phép biến hình afin.......................................................................................4
1.3. Phép đẳng cự................................................................................................5
1.4. Một số phép đẳng cự đặc biệt.......................................................................6
1.5. Phép đồng dạng............................................................................................9
Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong
hình học không gian..............................................................................................13
2.1. Bài toán quỹ tích..........................................................................................13
2.2. Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học
không gian...................................................................................................13
2.3. Một số ví dụ.................................................................................................14
2.4. Bài tập đề nghị.............................................................................................31
KẾT LUẬN............................................................................................................33
TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................................34


1

A – MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài
Hình học có một vị trí rất quan trọng trong Toán học. Nó là một môn học

có tính hệ thống, chặt chẽ, logic và trừu tượng hóa cao hơn các môn học khác
của Toán học. Do vậy, Hình học được coi là một môn học khó, đặc biệt là

Nghiên cứu về cơ sở lý luận và nội dung của phép đồng dạng trong

không gian.
Nghiên cứu về ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong
hình học không gian.
5.

Phương pháp nghiên cứu
Cơ sở lí luận, sách giáo khoa, sách giáo trình, sách tham khảo và một số

tài liệu liên quan.
6.

Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần kết luận, danh mục sách tham khảo cấu trúc khóa luận gồm:
Chương 1: Cơ sở lý luận.
Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong

hình học không gian.


B – NỘI DUNG
Chương 1:CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1.

Đại cương về phép biến hình trong không gian

1.1.1. Định nghĩa
Giả sử T(T  ) là tập hợp mọi điểm trong không gian. Một song ánh f:
T→T được gọi là một phép biến hình của tập T.

Định nghĩa: Phép biến hình f của tập T được gọi là phép biến hình đối
hợp nếu f 2 = Id, khi đó ta có f và phép biến hình nghịch đảo của f là 1
f
trùng nhau.
Định nghĩa: Phép biến hình f của tập T biến mọi điểm M trong không
gian thành chính nó được gọi là phép biến hình đồng nhất.
1.1.5. Điểm bất động (điểm kép), hình bất động, hình kép
Định nghĩa: Cho phép biến hình f của tập T. Điểm M của tập T được gọi
là điểm bất động (điểm kép) của phép biến hình f nếu f(M) = M.
Định nghĩa: Cho phép biến hình f của tập T. Hình H bộ phận của tập T
được gọi là hình kép của phép biến hình f nếu f(H) = H.
Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu ta có mọi
điểm của H bất động đối với f.
1.1.6. Hai hình trùng nhau
Ta nói hai hình không gian (F1) và (F2) trùng nhau nếu mọi điểm của
hình này đều thuộc hình kia và ngược lại. Hai hình trùng nhau được kí hiệu
là (F1) ≡ (F2). Nếu mọi điểm của (F1) đều thuộc (F2) thì ta nói (F1) là hình
con của (F2).
1.2.

Phép biến hình Afin

1.2.1. Định nghĩa:
Phép biến hình biến đường thẳng thành đường thẳng được gọi là phép
biến hình afin hay gọi tắt là phép afin.
1.2.2. Định lí:
Định lí 1.1: Một phép biến hình f của không gian được gọi là một phép
afin khi và chỉ khi nó biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và
biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng.
1.2.3. Tính chất:


Định lí 1.3: Trong không gian cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ bằng
nhau, khi đó tồn tại duy nhất một phép đẳng cự biến A, B, C, D lần lượt thành
A’, B’, C’, D’.
1.3.4. Phân loại phép đẳng cự
Định nghĩa: Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin
loại 1. Ngược lại, ta gọi phép đẳng cự là phép phản chiếu.
1.3.5. Định lí 1.5:
Tích hai phép dời hình là phép dời hình.
Tích hai phép phản chiếu là phép dời hình.
Tích hai phép dời hình và phản chiếu theo thứ tự nào cũng là một phép
phản chiếu. Phép đảo ngược của dời hình ( phản chiếu ) là phép dời hình (
phản chiếu ).
1.3.6. Hai hình bằng nhau, hai hình đối xứng
Định nghĩa: Hai hình là ảnh của nhau qua phép dời hình gọi là hai hình
bằng nhau. Hai hình là ảnh của nhau qua phép phản chiếu gọi là hai hình đối
xứng.
1.4.

Một số phép đẳng cự đặc biệt

1.4.1. Phép tịnh tiến


a) Định nghĩa: Trong không gian cho véc tơ v là một véc tơ hằng (tức là

véc tơ có hướng, phương, modun không đổi). Phép biến hình trong không
 
gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho MM '
được gọi là phép tịnh tiến

a) Định nghĩa: Trong không gian cho trước một điểm O. Phép biến hình


trong không gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho OM '
được gọi
OM
là phép đối xứng qua tâm O và kí hiệu

M  M ' , O được gọi là tâm đối

� :
xứng.
b) Tính chất:
Tính chất 1: Phép đối xứng Đ� là phép phản chiếu, là phép đối hợp và
có
O là điểm bất động duy nhất.
Tính chất 2: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua Đ�



A' B ' AB .

thì
Tính chất 3: Phép đối xứng Đ� biến bốn điểm cùng nằm trong một phẳng
thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng.
1.4.3. Phép đối xứng qua một đường thẳng
a) Định nghĩa: Trong không gian cho trước một đường thẳng (d). Phép
biến hình trong không gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho (d) là đường
trung trực của đoạn MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng và kí
hiệu

sao cho các điều kiện sau đây đồng thời xảy ra:
i) Các điểm M và M’ cùng nằm trong mặt phẳng (α) vuông góc với
đường thẳng (d) tại điểm O.
ii)OM = OM’.
iii)Nếu chiều dương của mặt phẳng (α) là chiều quay của vặn nút chai
 
tiến theo chiều dương của trục (d) thì (OM ',OM ) .
Thì gọi là phép quay trong không gian quanh trục (d), góc quay .
Kí hiệu: Q(d ,  ) hoặc


Q :

d

b) Tính chất:


M M'


Tính chất 1: Phép quay



Qd là phép dời hình và trục quay (d) là đường

thẳng bất động của phép quay.
thì phép quay là phép đối xứng qua (d).
Nếu


-

Phép đồng dạng Zk

biến mặt cầu thành mặt cầu.

c)Định lí xác định phép đồng dạng
Định lí 1.5: Nếu trong không gian cho hai hệ bốn điểm đồng phẳng
ABCD, A’B’C’D’ sao cho A' B ' B 'C ' C ' D ' D ' A'
 BC CD
DA
AB
k

(k > 0) thì tồn tai

duy nhất phép đồng dạng biến các điểm A, B, C, D tương ứng thành các điểm
A’, B’, C’, D’.
Chứng minh:
Trên tia A’B’, A’C’, A’D’ tương ứng lấy các điểm

B1 ,C1 , D1 sao cho


10

A' B1  AB, A'C1 AC, A' D1 AD, B1C1 BC, B1D1 BD,C1D1 CD . Suy ra

tứ diện ABCD bằng tứ diện A' B1C1D .


Zk được gọi là phép đồng dạng thuận hay nghịch nếu nó

là phép afin loại 1 hay loại 2.
1.5.2. Phép vị tự
a) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm O và số thực k 0 . Phép


OM
'
kOM
biến hình trong không gian biến mỗi M thành điểm M thỏa mãn
được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k và kí hiệu V (O,
k)
b) Tính chất:
-

Phép vị tự VO là phép đồng dạng .
k

-

Phép vị tự VO
k

-

có duy nhất O là điểm bất động.
bảo tồn phương của mặt phẳng.


gọi là phép co – dãn về (d). Kí hiệu C(d , k) : M  M '
Định nghĩa 2: Cho trước một mặt phẳng () và một số k 0 . Phép biến


hình trong không gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho HM ' k HM ,
trong đó H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống () được gọi là phép co –
dãn về () . Kí hiệu C(,
k) :

M M'

Nếu k 1 thì C(, k) , C(d , là một phép dãn.
Nếu k)
là một phép co.
Nếu k 1 thì C(, k) , C(d , là một phép đồng nhất.
k)
k 1 thì C(, k) , C(d ,
k)
Định lý 1.6: Trong không gian cho hai đường thẳng (d), (d’) và một số
k 0 . Khi đó, tích của hai phép co –
dãn

C(d , k)
và

C(d ',
k)

với hai trục (d),


k)

là một phép vị tự.

Chứng minh: tương tự định lý 1.6, bạn đọc tự chứng minh.
1.5.3. Dạng chính tắc của phép đồng dạng.


Định lí 1.7:
Trong không gian tích của một phép dời hình và một phép vị tự tỷ số
hoặc theo thứ tự ngược lại là một phép đồng dạng theo tỷ số k. Phép đồng
dạng là thuận hay nghịch tùy thuộc theo k âm hay dương.
Ngược lại, mọi phép đồng dạng tỷ số k trong không gian luôn có thể
được phân tích thành tích của một phép dời hình và một phép vị tự hoặc theo
thứ tự ngược lại mà tâm vị tự là tùy ý, tỷ số vị tự là k hoặc –k tùy theo phép
đồng dạng là thuận hay nghịch.
Chú ý: k>0 thì
Zk

thuận.

k
Sau khi chứng minh cả hai phần trên ta rút ra kết luận: Quỹ tích những
điểm M thỏa mãn tính chất T là hình (H).
2.2.

Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học

không gian.
Sử dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích là dựa vào các tính
chất cơ bản, các dạng chính tắc của phép đồng dạng để tìm mối liên hệ giữa
các yếu tố cố định, yếu tố không đổi với điều kiện cần tìm của quỹ tích.
Phương pháp chung: Để tìm quỹ tích của điểm M’, ta sử dụng phép đồng
dạng thích hợp Zk : M  M ' , mà điểm M thuộc hình (H) đã biết trước nên
điểm M’ thuộc hình (H’) là ảnh của hình (H) qua phép đồng dạng Zk .


Do phép đồng dạng là một phép biến hình nên khi giải bài toán quỹ tích,
phần mà sử dụng phép đồng dạng ta không cần phải chứng minh phần đảo của
nó.
2.3.

Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng (d) và (d’) chéo nhau và vuông

góc với nhau. Với mỗi điểm A thuộc (d) ta xác định hình chiếu B của
A trên (d’) và điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A và nằm
trong mặt phẳng (α) vuông góc với (d’). Tìm quỹ tích điểm C khi A
thay đổi trên (d).
_Lời giải_

Do (d ) (d ') tồn tại duy nhất mặt phẳng


hoặc

450

450

Qd ' : B’  C

Nên ta có:

(2)

Hoặc: Qd

: B’  C

'

Từ (1) và (2) suy ra :
Z
Mà A(d
)

2

450
(d ')

Q .

Trên (d) ta lấy điểm A. Hãy tìm quỹ tích điểm B trên (d2 và C trên
)
(O) sao cho tam giác ABC vuông cân tại B và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với
_Lời giải_

(d1 )


*)Quỹ tích điểm C
A (d1 )


Do (d1 ) ()  A(d1 ) ()

 A ()
(d1 ),
()

cố định A cố định

Ta có ABC vuông cân tại B AC  2 AB


Trên AB lấy B’ sao cho AB ' 2 AB

A

Vậy



hoặc

1

1

Từ (1) và (2)
Z

450

2

Q(d1 ) .
A

2

:B
C

hoặc
Z

450

2

Q(d1 ) .