MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT


GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1. y ''+ 10 y '+ 25 y = 4e −5 x
2. y ''+ y =

1
cos x

3. y ''+ 4 y = cos 2 x
4. y ''+ 5 y '+ 6 y = 3
5. y ''− 6 y '+ 9 y = 25e x sin x
6. y ''+ y = x 2cos 2 x
7. y ''+ y = cos3 x
8. y ''− 3 y ' = e3 x − 18 x
9. y ''− 9 y '+ 20 y = x 2e 4 x
10. y ''+ 2 y '+ y = 3e − x x + 1
11. y ''+ 2 y '+ 5 y = e − x sin 2 x
12. y ''+ y '+ 2 y = 2sin x + cos x
13. y ''− y ' = e x
14. y ''− 2 y '− 3 y = e x x 2
15. y ''+ y = cos2 x
16. y ''− 3 y '+ 2 y = e x (3 − 4 x )
17. y ''− y ' = x + e 2 x
18. y ''+ y = 4 x sin x
19.

y ''+ y ' = 4 x 2e x



45.

y '' =

y'
x

LỜI GIẢI

1. Giải phương trình đặc trưng k 2 + 10k + 25 = 0 , k1 = k2 = −5
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = (C1 + C2 x)e −5 x .

α = −5 là một nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng y * của phương
trình không thuần nhất có dạng y * =Ax 2e −5 x . Tính y1 ', y1 '' thay vào phương trình (1) ta có
A = 2 do đó y * = 2 x 2e −5 x .
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y = (C1 + C2 x)e −5 x + 2 x 2e −5 x
2. Phương trình thuần nhất tương ứng
y = C1 cos x + C2 sin x

y′′ + y = 0 có nghiệm tổng quát là:


Coi C1 , C2 là các hàm số: y = C1 ( x) cos x + C2 ( x)sin x
Các hàm số C1 , C2 được xác định từ hệ:
C1′ cos x + C2′ sin x = 0




1
x sin 2 x
4

4. Giải phương trình đặc trưng k 2 + 5k + 6 = 0 , k1 = −2; k2 = −3
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = C1e −2 x + C2e −3 x .
Vì α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng y * của phương
trình không thuần nhất có dạng: y * = A . Tính y *′ ; y*′′ , thế vào phương trình đầu ta được:


1
1
6 A = 3 ⇔ A = . Do đó: y * = .
2
2
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
1
y = C1e −2 x + C2e −3 x + .
2
5. Giải phương trình đặc trưng k 2 − 6k + 9 = 0 , k1 = k2 = 3
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = (C1 + C2 x)e3 x .
Vì α = 1; β = 1 và số phức λ = 1 ± i không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên
nghiệm riêng y1 của phương trình không thuần nhất có dạng: y1 = e x ( A cos x + B sinx) .
Tính y1′; y1′′ , thế vào phương trình đầu ta được:
(3 A − 4 B) cos x + (4 A + 3B )sinx = 25sinx ⇔ A = 4; B = 3.
Do đó: y1 = e x (4cos x + 3sinx) .
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

9
 27 6 
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:


y = C1 cos x + C2 sinx +

 13 x 2 
x2
4 x sin 2 x
− 1 +  − ÷cos 2 x +
2
9
 27 6 

7. Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là:
y = C1 cos x + C2 sinx .
1
3
Vì cos3 x = cos 3 x + cos x . Nên ta phải tìm nghiệm riêng y1* của phương trình
4
4
1
3
y′′ + y = cos3 x và y2* của phương trình y′′ + y = cos x .
4
4
Ta tìm được: y * = y1* + y2* = −

3cos 3 x 3 x sinx



9. y ''− 9 y '+ 20 y = x 2e 4 x
Giải phương trình đặc trưng k 2 − 9k + 20 = 0 , k1 = k2 = 2
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = C1e 4 x + C2e5 x .

α = 4 là một nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng
y1 = x(Ax 2 +Bx+C)e 4 x . Tính y1 ', y1 '' thay vào phương trình (1) ta có
1
1

A = − ; B = −1; C = −2. do đó y1 = −  x 3 +x 2 + 2 x ÷e 4 x .
3
3

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
1

y = C1e 4 x + C2e5 x −  x 3 +x 2 + 2 x ÷e 4 x
3

10. Giải phương trình đặc trưng: k 2 + 2k + 1 = 0 ⇔ k1 = k2 = −1.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là: y = (C1 + C2 x)e − x . Coi
C1′e − x + C2′ xe − x = 0
C1 ; C2 là hàm của x. Xác định các hàm này từ hệ: 
−x
−x
−x
−x

Tìm nghiệm riêng. α = −1 + 2i là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng
có dạng y* = xe − x (Acos2 x + B sin 2 x) . Tính y * ', y * '' thay y * ', y * '', y * vào phương
trình đã cho ta xác định được A = 0, B =

1
1
do đó y* = xe − x sin 2 x .
4
4

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
y = (C1cos2 x + C2 sin 2 x)e − x +

1 −x
xe sin 2 x
4

12. y ''+ y '+ 2 y = 2sin x + cos x
1
7
Giải phương trình đặc trưng k 2 + k + 2 = 0 , k1,2 = − ± i
2
2
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
y=e

1
− x
2


7
7  1
3
x + C2 sin
x ÷− sin x + cos x
 C1cos
2
2  2
2


13. y ''− y ' = e x . Phương thuần nhất tương ứng có dạng
y ''− y ' = 0 , phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 0,1. Nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất là


y = C1 + C2e x . f ( x) = e x

α = 1 là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên nghiệm riêng có dạng y* = Axe x . Tính y * ', y * '' thay vào phương trình đã cho ta
có A = 1 do đó y* = xe x
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y = C1 + C2e x + xe x
14. y ''− 2 y '− 3 y = e x x 2
• Xét phương trình thuần nhất y ''− 2 y '− 3 y = 0 .
Phương trình đặc trưng k 2 − 2k − 3 = 0 , k1 = −1, k2 = 3
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:
y = C1e − x + C2 e3 x .
Vì α = 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng của phương trình
đã cho có dạng

3
3
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
1
y = C1 cos x + C2 sinx − cos2 x
3
16. y ''− 3 y '+ 2 y = e x (3 − 4 x)
Phương trình đặc trưng có dạng: k 2 − 3k + 2 = 0 ⇒ k1 = 1; k2 = 2
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: y = C1e x + C2e 2 x .
Vì α = 1 là một nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng y * của
*
x
x
2
phương trình đã cho dưới dạng: y = xe ( Ax + B ) = e ( Ax + Bx ) . Ta tính y *′ y *′′

Thay y * ; y*′ ; y *′′ vào phương trình đã cho và rút gọn ta được:
e x ( 2Ax + 2 A − B ) = e x ( 3 − 4 x ) hay − 2Ax + 2 A − B = 3 − 4 x
Đồng nhất thức hai vế ta có

−2 A = −4
⇒ A = 2; B = 1

2
A
−
B
=
3


α = 2 là không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng
y2 = Ae 2 x , Tính y2 ', y2 '' thay vào phương trình (2) ta có A =

1
1
do đó y2 = e 2 x
2
2

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
1
1
y = C1 + C2e x + x (− x-1) + e 2 x
2
2
18. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm k = ±i , do đó nghiệm tổng quát của phương
trình thuần nhất tương ứng là:
y = C1cosx + C2sinx. Mặt khác α ± iβ = ±i là nghiệm của phương trình đặc trưng nên
một nghiệm riêng của phương trình có dạng Y = x[(Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx].
Từ đó tính Y', Y'' thay vào phương trình đã cho ta được:
(4Cx + 2A + 2D)cosx + (– 4Ax – 2B + 2C)sinx = 4xsinx. Đồng nhất ta được:


 4C = 0
 A = −1
 2 A + 2D = 0
 B=0


⇔

= u + y 2 ⇔ u '− = y (*) . Giải
dy
y

u '−

dz
= z 2 + y 2 . Đặt u = z 2 ta có
dy

phương trình thuần nhất tương ứng

u
= 0 ta được nghiệm u = Cy , coi C là hàm số theo biến y tính u ' thay
y

vào phương trình (*) ta tìm được
trình (*) là

u = C1 y + y 2

C = C1 + y .

Nghiệm tổng quát của phương

nên ta có z 2 = C1 y + y 2

Hay y '2 = C1 y + y 2 . Nghiệm tổng quát của phương trình này là
ln y +


Với α = 0 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng của phương trình
đã cho có dạng
y* = x 2 ( A1 x 2 + A2 x + A3 ) tính y*’; y*’’;y*’’’ sau đó thế vào phương trình đã cho và đồng
nhất hai vế ta thu được: A1 = −1; A2 = −5; A3 = −15 . Nghiệm riêng của phương trình đã
cho là y* = x 2 (− x 2 − 5 x − 15) . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
y = C1 + C2 x + C3e x − x 4 − 5x 3 − 15x 2
23. Giải phương trình đặc trưng k 2 + 2k + 5 = 0 , k1,2 = −1 + 2i
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = (C1cos2 x + C2 sin 2 x)e − x , f ( x) = e − x sin 2 x .
Tìm nghiệm riêng. α = −1 + 2i là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng
có dạng y* = xe − x (Acos2 x + B sin 2 x) . Tính y * ', y * '' thay y * ', y * '', y * vào phương
trình đã cho ta xác định được A = 0, B =

1
1
do đó y* = xe − x sin 2 x .
4
4

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
y = (C1cos2 x + C2 sin 2 x)e − x +

1 −x
xe sin 2 x
4

p
= x( x − 1) (1) (phương trình tuyến tính cấp 1 hàm p). Giải
x −1
phương trình thuần nhất tương ứng


λ1 = 1; λ2 = i; λ3 = −i suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
y = C1e x + C2cosx + C3sinx
Vì α = 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm nghiệm riêng của
phương trình đã cho dưới dạng
y* = a1 x 2 + a2 x + a3 .Tính y*’,y*’’ sau đó thay y*, y*’,y*’’ vào phương trình đã cho ta
tìm được a1 = −1;a 2 = −3;a 3 = −1 , ⇒ y* = − x 2 − 3x − 1. Vậy nghiệm tổng quát của
phương trình đã cho là: y = C1e x + C2cosx + C3sinx-x 2 − 3x − 1
26. Đặt y '' = p ⇒ y ''' = p ' thay vào phương trình đã cho ta có phương trình
dp 2
1
+ p = 4 (phương trình tuyến tính cấp 1)
dx x
x
Giải phương trình thuần nhất tương ứng
Ta có nghiệm p =

dp 2
+ p=0
dx x

C
dp 2
1
+ p= 4
2 coi C = C(x) tính p'. Thay p, p' vào phương trình
x
dx x
x


trình đã cho có một nghiệm riêng
Y = x(Ax2 + Bx + C) = Ax3 + Bx2 + Cx. Từ đó tính Y', Y'' Thay vào
phương trình đã cho ta được, đồng nhất hóa các hệ số suy ra A = 1; B =


3
;
2

C=

7
4

và do đó Y = x3 +

3 2
x
2

+

7
x.
4

• Nghiệm tổng quát của phương

trình thuần nhất tương ứng với phương trình đã cho là: y = C1 + C2e4x.
• Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:


= 2 − 1 ⇒ du =  2 − 1÷dx ⇒ u = − − x + c2
dx x
x
x

Ta

chỉ

cần

lấy

một

nghiệm

riêng

u ( x ) ≠ const

nên

chọn

c2 = 0 ,

1
1


1
1
; C = . Nghiệm
20
10

1
1
.sin 2 x + .cos 2 x . Vậy nghiệm tổng
20
10

1 2x 1
1
.e +
.sin 2 x + .cos 2 x + y
4
20
10

30. Phương trình đặc trưng có một nghiệm kép k = 1 do đó nghiệm tổng quát của
phương trình thuần nhất là y = (C1 + C2 x)e x , α = 0 ≠ 1 , P(x) = 1 + x là đa thức bậc nhất.
Vậy nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng
Y = e0. x ( Ax + B ) , hay Y = Ax +
B thay Y', Y'' vào phương trình đã cho ta tìm được A = 1 và B – 2A = 1, suy ra A = 1,
B = 3 nên Y = x + 3. Từ đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
y = (C1 + C2 x)e x + x + 3
31. y ''− 3 y ' = 2 − 6 x . Giải phương trình thuần nhất tương ứng
y ''− 3 y ' = 0

xz '− z = 0. Tích phân phương trình này ta được z = C1 x,

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

vào

y = C2 e

C1 2
x
2

hay

y'
= C1 x.
y

.

y = 0 là nghiệm của phương trình (nhận được từ biểu thức tích phân tổng quát
với C2 = 0 ).
35. Tính đạo hàm:
Thay

y '1 = α cos xeα s inx
y ''1 = α 2 cos 2 xeα s inx − α sin xeα s inx

y ''1 , y '1 , y1 vào


PT có nghiệm riêng có dạng y1* = x(Acosx + B sin x) . Tính y *1 ', y *1 '' thay vào phương
1
1
do đó y1* = − xcosx . f 2 ( x) = cos 2 x , α ± iβ không là
2
2
nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y2 * = Acos2 x + B sin 2 x .
trình đã cho ta có A = 0, B = −

1
Tính y *2 ', y *2 '' thay vào phương trình đã cho ta có A = − , B = 0 do đó
3


1
y2 * = − cos2 x . Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
3
1
1
y = C1 cos x + C2 sinx − cos2 x − xcosx
3
2
37. Tính đạo hàm: y '1 = α xα −1; y ''1 = α (α − 1) xα − 2 . Thay vào phương trình đẫ cho ta có
đồng nhất thức:
x 2 (ln x − 1)α (α − 1)x α − 2 − xα x α −1 + xα ≡ 0
α (α − 1) = 0
Suy ra: 
. Hệ có nghiệm duy nhất α = 1 . Vậy y1 = x là một nghiệm riêng.
2
1 − α = 0

phương

trình

có

y = C1 + C2e x + C3e − x , C1 , C2 , C3 : hằng số tùy ý
Ta tìm nghiệm riêng dạng:
y* = Ae 2x ; y ' = 2 Ae 2x ; y '' = 4 Ae 2x , y (3) = 8 Ae 2x
Khi đó 8 Ae 2x − 2 Ae 2x = e 2x ⇔ 6A = 1 ⇔ A =

1
6

e 2x
Vậy nghiệm riêng là y* =
và nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
6
e2 x
y = C1 + C2e + C3e +
6
x

−x

39. PT đặc trưng : k 3 + k = 0 ⇒ k1 = 0, k 2 = −i, k3 = i
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng :
y = C1 + C2cosx + C3sinx

nghiệm

sinx+1

Do đó nghiệm tổng quát
y = − ln cos x + 1 + sinx.ln

sinx − 1
+ C1 + C2cosx + C3sinx
sinx+1

40. Phương thuần nhất tương ứng có dạng
y ''− y ' = 0 , phương trình đặc trưng có 2 nghiệm 0,1. Nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất là
y = C1 + C2e x . f ( x) = x + e x
Tìm nghiệm riêng ứng với f1 ( x) : y ''− y ' = x (1)

α = 0 là nghiệm của phương trình đặc trưng
nên nghiệm riêng có dạng y1 = x(Ax+B) . Tính y1 ', y1 '' thay vào phương trình (1) ta có
1
1
A = − , B = −1 ⇒ y1 = x(− x-1)
2
2
Tìm nghiệm riêng ứng với f 2 ( x) : y ''− y ' = e x (2)


α = 1 là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng y2 = Axe x , Tính
y2 ', y2 '' thay vào phương trình (2) ta có A = 1 do đó y2 = xe x . Nghiệm tổng quát của
1
phương trình đã cho là y = C1 + C2e x + x (− x-1) + xe x
2

thuần nhất tương ứng xp' - p= 0 có nghiệm p = Cx, coi C = C(x) thay p, p' vào phương
trình trên ta tìm được C= ex+ C1 . Nghiệm tổng quát của phương trình (1) là p =xex+ C1 x
hay y'=xex+ C1 x suy ra y = ex(x-1)+ C1 .x2+ C2
43. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm k = ±i , do đó nghiệm tổng quát của phương
trình thuần nhất tương ứng là:
y = C1cosx + C2sinx.


Mặt khác α ± iβ = ±i là nghiệm của phương trình đặc trưng nên một nghiệm riêng của
phương trình có dạng Y = x[(Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx]. Từ đó tính Y', Y''
Thay vào phương trình đã cho ta được: (4Cx + 2A + 2D)cosx + (– 4Ax – 2B + 2C)sinx =
4xsinx. Đồng nhất ta được:
 4C = 0
 A = −1
 2 A + 2D = 0
 B=0


⇔


 −4 A = 4
C =0
−2 B + 2C = 0
 D = 1
Từ đó Y = x(– xcosx + sinx) và nghiệm tổng quát của phương trình là:
y = C1cosx + C2sinx + x(– xcosx + sinx)
44. Phương trình thuần nhất tương ứng

y ''− 6 y '+ 9 y = 0

)

y * '' = 9e3 x Ax 3 + Bx 2 + 6e3 x 3 Ax 2 + 2 Bx + e 3 x ( 6 Ax + 2 B )
Thế vào phương trình ta có


e3 x ( 6 A − 10 B ) x + 2 B  = xe 3 x

1

6 A − 10 B = 1  A =
⇒
⇔
6
B
=
0

 B = 0
x3 3x
Vậy nghiệm riêng y * ( x ) =
e
6
x 3 3x
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho y = ( C1 x + C2 ) e + e
6
3x

45. y '' =