1
B
`
AI T
ˆ
A
.
P PHU
.
O
.
NG TR
`
INH VI PH
ˆ
AN
1)
2xy

y” = y
2
− 1
HD gia
’
i: y

= p : 2xpp

= p
2
− 1

(C
1
x + 1)
3
2
+ C
2
2)
√
y.y” = y

HD gia
’
i: y

= p ⇒ y” = p
dp
dy
√
yp
dp
dy
= p
p = 0 dp =
dy
√
y
⇒ p = 2
√
y + C


+ 2y) = xyy

HD gia
’
i: a(xy

+ 2y) = xyy

⇒ x(a − y)y

= −2ay
y = 0
a − y
y
dy = −
2a
x
dx ⇔ x
2a
y
a
e
−y
= C
y = 0
4)
y” = y

e

dy
e
y
+ C
1
= dx
C
1
= 0

dy
e
y
+ C
1
=
1
C
1

e
y
+ C
1
− e
y
e
y
+ 1
dy =

1
=



−e
−y
nˆe
´
u C
1
= 0
1
C
1
(y −ln |e
y
+ C
1
|) nˆe
´
u C
1
= 0.
y = C :
5) xy

= y(1 + ln y −ln x) y(1) = e
www.VNMATH.com
2

+ y

HD gia
’
i: y

= z(y) ⇒ z

= z
dz
dy
dz
z + 1
=
dy
y + 1
⇒ z + 1 = C
1
(y + 1) ⇒ z = C
1
y + C
1
− 1 ⇔
dy
C
1
y + C
1
− 1
= dx (∗)

2
−
2
x
2
HD gia
’
i: x
2
y

= (xy)
2
− 2 (∗)
z = xy ⇒ z

= y + xy

(∗)
xz

= z
2
+ z −2 ⇔
dz
z
2
+ z −2
=
dx

2
= 1 +
C
1
y
2
⇒
dy
dx
= ±

1 +
C
1
y
2
⇔ ±

dy

1 +
C
1
y
2
= dx ⇒ y
2
+ C
1
= (x + C

y
=

3x + 4
2x(x + 1)
dx =

(
2
x
−
1
2(x + 1)
)dx ⇔ y =
Cx
2
√
x + 1
www.VNMATH.com
3
C

= −
1
x
2
⇒ C = −
1
x
+ ε.

z
2
2
=
e
2y
2
+ ε
y

(0) = y(0) = 0 ⇒ ε = −
1
2
. z
2
= e
2y
− 1.
z =
dy
dx
=
√
e
2y
− 1 ⇒

dy
√
e

i:
x(1 − y)y

= −2y y(−1) = 1 y ≡ 0
1 − y
y
dy = −2
dx
x
x
2
ye
−y
= C C =
1
e
x
2
ye
1−y
= 1
12) y = ux
xdy −ydx −

x
2
− y
2
dx = 0. (x > 0)
HD gia

i:
xy

=

x
2
− y
2
+ y ⇐⇒ y

=

1 −
y
2
x
2
+
y
x
u =
y
x
y = ux y

= xu

+ u
xu

sin x = y ln y ⇐⇒
dy
y ln y
=
dx
sin x
⇐⇒ ln y = C tan
x
2
⇐⇒ y = e
C tan
x
2
y(
π
2
) = e C = 1 y = e
tan
x
2
15)
(x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0
y(0) = 1
HD gia
’
i: x + y = z =⇒ dy = dz − dx
(2 −z)dx + (2z −1)dz = 0 x −2z −3 ln |z −2| = C
x + 2y + 3 ln |x + y − 2| = C
y(0) = 1 C = 2
16) y =

u
3
+ u
du = 0
⇐⇒ ln |x| + ln
u
2
+ 1
|u|
= ln C ⇐⇒
x(u
2
+ 1)
u
= C
u =
1
xy
1 + x
2
y
2
= Cy
17)
y

− xy = x + x
3
HD gia
’

x
= e
x
HD gia
’
i:
y =
C
x
+ e
x
−
e
x
x
20)
y

− y = y
3
.
HD gia
’
i:
C + x = ln |y| − arctgy.
21)
y

=
y

y
2x
= Cx; y(1) =
π
2
⇒ C = 1.
tg
y
2x
= x
22) (x − y cos
y
x
)dx + x cos
y
x
dy = 0
HD gia
’
i:
y
x
= z ⇒ y

= z

x + z
x cos z.z

+ 1 = 0 ⇔

4
+ y
4
)
2
⇒ y

1
=
y
2
x
2
; y

2
= −
x
2
y
2
.
y =
x
C
1
x + 1
; x
3
+ y

25)
(x + y −2)dx + (x −y + 4)dy = 0
y(1) = 0
HD gia
’
i:

x = u − 1
y = v + 3.
(u + v)du + (u −v)dv = 0
u
2
+ 2uv −v
2
= C
x
2
+ 2xy −y
2
− 4x + 8y = C
26)
(x + y −2)dx + (x −y + 4)dy = 0
HD gia
’
i:

x = X −1
y = Y + 3
(X + Y )dX + (X −Y )dY = 0
Y = uX

z
xz

=
z(1 + z
2
)
1 − z
2
(
1
z
−
2z
1 + z
2
)dz =
dx
x
z
1 + z
2
= Cx, C = 0.
x
2
+ y
2
= C
1
y, C

u + v
−u + v
v
2
− 2uv −v
2
= C.
y
2
− x
2
− 2xy −8y + 4x = C
1
.
30)
y

=
√
x − y.
(x
2
− y
2
)dy −2xydx = 0.
HD gia
’
i:
D = {(x, y) ∈ R
2

dx
x
z
1 + z
2
= Cx, C = 0.
x
2
+ y
2
= C
1
y, C
1
= 0.
31)
{e
2x
, xe
2x
, x
2
}
(x − y)dy −(x + y)dx = 0;
HD gia
’
i:
y

=

HD gia
’
i:
2 cos
2
2x + 2 sin
2
2x − 2 = 0
y

=
x + y
x − 2y + 1
.
u = x −
1
3
, v = y +
1
3
v

=
u + v
u − 2v
.
√
u
2
+ 2v

33)
y
2
+ x
2
y

= xyy

HD gia
’
i: y = zx → y

= z

x + z
z −1
z
dz =
dx
x
→ z −ln |z| = ln |x| + C
y
x
− ln |
y
x
| = ln |x| + C
34)
y

sin y = y

HD gia
’
i: y = C :
y = C y

= p ⇒ y” = p
dp
dy
y
dp
dy
cos y + p sin y = 1
p = C cos y.
C = y C
1
p =
dy
dx
= sin y + C
1
cos y ⇔
dy
sin y + C
1
cos y
= dx
1


2
1
+
1
C
1



= x + C
2
36) y

+
1
2x − y
2
= 0
HD gia
’
i: x = x(y) y y

=
1
x

www.VNMATH.com
9
1
x

+
1
4
e
2y
+ C
x = Ce
−2y
+
1
2
y
2
−
1
2
y +
1
4
37)
xy” = y

+ x
2
HD gia
’
i: y

= p
xp


(p = 0)
p
2
+ yp
dp
dy
= yp
⇔ p + y
dp
dy
= y y = 0
dp
dy
+
p
y
= 1
p =
C
y
⇒ C(y) =
y
2
2
+ C
1
p =
y
2

)

= yy

⇔ yy

= C
1
e
x
⇔ ydy = C
1
e
x
dx ⇔ y
2
= 2C
1
e
x
+ C
2
39) ye
y
= y

(y
3
+ 2xe
y

)
40) xy” = y

+ x
HD gia
’
i: y

= p;
p

−
1
x
p = 1
p = Cx C = ln |x| + C
1
www.VNMATH.com
10
⇒ p =
dy
dx
= (ln |x| + C
1
)x ⇒ y =

(ln |x| + C
1
)xdx + C
2

x
2
2
+ ε
y = εe
−
x
2
2
+ x
2
− 2.
42)
(x
2
− y)dx + xdy = 0
HD gia
’
i:
xy

−y = −x
2
xy

−y = 0
y = Cx
C = −x + ε
y = −x
2

1
x
; y(1) = 1 ⇒ ε = 2
y = 2x
2
−
1
x
44)
(x + 1)(y

+ y
2
) = −y
HD gia
’
i: y = 0,
y

+
1
x + 1
.y = −y
2
1
y
= z ⇒ y

= −
z

HD gia
’
i: y

+
1
2x
y =
1
2x(1 − x)
www.VNMATH.com
11
y =
C
√
x
C

(x) =
√
x
2x(1 − x)
⇒ C =
1
2
ln |
√
x + 1
√
x − 1

y = (C − cos x)x
47)
y

cos
2
x + y = tgx y(0) = 0
HD gia
’
i:
→ y = Ce
−tgx
;
y = tgx − 1
⇒ y = Ce
−tgx
+ tgx − 1
y(0) = 0 ⇒ C = 1 y = tgx − 1 + e
−tgx
.
48)
y

√
1 − x
2
+ y = arcsin x y(0) = 0
HD gia
’
i: y = Ce

2
⇐⇒ x

− 2x = −y
2
x = Ce
−2y
x = Ce
−2y
+
y
2
2
−
y
2
+
1
4
y(1) = 0 C =
3
4
x =
3
4
e
−2y
+
y
2

x
.
HD gia
’
i: y = zx
2
=⇒ y

=
z

x − 2z
x
3
; y

=
z

x
2
− 4z

x + 6z
x
4
z

+ z = e
x


(y
3
+ 2xe
y
)
y(0) = −1
HD gia
’
i: x y

=
1
x

x

−
2
y
x = y
2
e
−y
x =
C
y
C(y) = −e
−y
+ C x =

y

+ sin y + x cos y + x = 0 ⇐⇒ y

+ 2 sin
y
2
cos
y
2
+ x.2 cos
2
y
2
= 0
⇐⇒
y

2 cos
2
y
2
+ tan
y
2
+ x = 0
z = tan
y
2
=⇒ z

z = Ce
x
2
2
− 1
sin y = z = Ce
x
2
2
− 1
55)
y

− xy = x
HD gia
’
i:
y = Ce
1
2
x
2
− 1
56)
y

+
y
x
= x

x
4
.
58)
y

− y = y
2
.
HD gia
’
i:
y
2
=
1
Ce
−2x
− 1
.
59) y

+
y
x
= sin x
HD gia
’
i:
y =

’
i:
y = (C +
x
2
2
)e
−x
2
62)
y

− 4
y
x
= x
√
y.
HD gia
’
i:
√
y =
1
2
ln x + Cx
2
.
63)
y

x
2
2
.
y = −
1
2
+ x +
x
2
2
.
64) y

+ ytgx = cos x
HD gia
’
i:
y = (C + x) cos x.
www.VNMATH.com
15
65)
y

+
y
x
= x(
e
x

−
1
x + 1
p = −
x
x + 1
p
2
(∗)
z = p
−1
= 0
(∗)
z

+
1
1 + x
z =
x
x + 1
z =
C
x + 1
z =
x
2
+ C
1
2(x + 1)

C
1
+ C
2
nˆe
´
u C
1
> 0
ln |x
2
+ C
1
| +
1
√
−C
1
ln |
x −
√
−C
1
x +
√
−C
1
| + C
2
nˆe

−1
(y = 0) : −z

−
1
x
z =
1
x
2
.
z = Cx
C(x) = ε −
1
2x
2
. z = x(ε −
1
2x
2
)
y =
2x
εx
2
− 1
68) yy” − (y

)
2

p(y) = y.z(y)
dz
dy
=
1
z
⇒ z
2
= 2(y + C
1
) ⇔
dy
dx
= y

|2y + C|
y(0) = −
1
2
; y

(0) = 0 ⇒ C = 1
dy
dx
= y

|2y + 1| ⇒ ln




2y
√
x
cos
2
y
dy y(0) = π
HD gia
’
i: x

+
2
y
x =
2
cos
2
y
.x
1
2
(∗)
z = x
1
2
z

= x


⇒ C(y) = ytgy + ln |cos y| + ε
Z = tgy +
1
y
ln |cos y| +
ε
y
tgy +
1
y
ln |cos y| +
ε
y
=
√
x
y(0) = π ⇒ ε = 0 tgy +
1
y
ln |cos y| =
√
x
70)
xydy = (y
2
+ x)dx
HD gia
’
i: y = 0 xy
y

x
y =
1
√
x
.y
1
2
; x = 0
z = y
1
2
: z

−
1
2x
z =
1
√
x
z =
√
x(ln x + C)
y = x(ln x + C)
2
72)
xy

− 2x

x
4
.
73)
2x
2
y

= y
2
(2xy

− y)
HD gia
’
i: x y x

y
3
− 2xy
2
= −2x
2
z =
1
x
z

+
2z


+
1
x
z = −
1
x
2
z = Cx
C(x) = Cx −
1
2x
y =
2x
Cx
2
− 1
C =
1
2
y =
4x
x
2
− 1
75) y

− xy = −xy
3
HD gia

y
x
= x
√
y
www.VNMATH.com
18
HD gia
’
i:
z =
√
y
z

−
2
x
z =
x
2
z = x
2
(
1
2
ln |x| + C).
y = x
4
(

∂y
=
∂Q
∂x
= 2y
(1) ⇔ d(xy
2
+ 3y) = 0 xy
2
+ 3y = C
80)
e
x
(2 + 2x − y
2
)dx − ye
x
dy = 0
HD gia
’
i:
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
= −2ye
x
d


+ 1)
3
2
; Q = y
2
+ 3xy

1 + y
2
⇒
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
= 3y

1 + y
2
(∗)
(∗)
x

0
P (x, 0)dx +
y

0
Q(x, y)dy = C
⇔

)dx +
y

y
0
=0
Q(x, y)dy = C ⇔ y sin x −
y
2
2
cos
2
x = C
83)
(2x + 3x
2
y)dx = (3y
2
− x
3
)dy
HD gia
’
i:
x
2
+ x
3
y −y
3

π
2
)dx +
y

π
2
Q(x, y)dy = C ⇔
x
2
2
+ 2x −
(x
2
+ 1)
2
(
1
sin y
− 1) = C
85)
(y + e
x
sin y)dx + (x + e
x
cos y)dy = 0
HD gia
’
i: xy + e
x

)dy
HD gia
’
i:
x
3
(1 + ln y) − y
2
= C
89) (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0
HD gia
’
i: x
2
+ 2(x sin y −cos y) = C
www.VNMATH.com
20
90)

1
x
−
y
2
(x − y)
2

dx +

x

i: µ(x) =
1
x
2
x = Ce
y
2
x
93)
2xy ln ydx + (x
2
+ y
2

y
2
+ 1)dy = 0
HD gia
’
i: µ(y) =
1
y
x
2
ln y +
1
3
(y
2
+1)

+ x
2
)dx = 0
HD gia
’
i: µ(x) =
1
x
2
x
2
− y
2
= Cx.
www.VNMATH.com
21
96)
{e
2x
, e
−x
, cos x}

x
2
− ydy −2x(1 +

x
2
− y)dx = 0.

)dy −2xdx = 0.
HD gia
’
i:
µ(x) =
1
y
2x
2
+ y
3
= Cy.
98)
{e
x
, e
2x
, x
2
}
(x − y)dy + (x + y)dx = 0.
HD gia
’
i:
d(xy −
y
2
2
+
x

y = Cx − x
2
.
100) {e
2x
, e
x
, x}
(x − y)dx − (x + y)dy = 0.
HD gia
’
i:
www.VNMATH.com
22
x
2
+ y
2
− 2xy = C.
www.VNMATH.com
1
B
`
AI T
ˆ
A
.
P PHU
.
O

+ y
2
y
1
, y
2
y” + y

= x y” + y

= e
−x
• λ
1
= 0
y
1
= x(Ax + B)
y
1
=
1
2
x
2
− x
• λ
2
= −1
y

1
= 0, λ
2
= −
5
2
y = C
1
+ C
2
e
−
5x
2
±i
y = (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x
A = −2; B =
185
29
; C = −5; D = −
16
29
103)
y” − 2y

+ 5y = x sin 3x
HD gia
’
i: λ
2

4x
+ x
2
HD gia
’
i:
λ
2
− 2λ − 3 = 0 ⇔ λ
1
= −1; λ
2
= 3.
y = C
1
e
−x
+ C
2
e
3x
y = y
1
+ y
2
y
1
y” − 2y

− 3y = xe

= −
2
3
x
2
+
4
9
x −
14
27
.
y = C
1
e
−x
+ C
2
e
3x
+
e
4x
5
(x −
6
5
) −
1
3

p(x) = 0; q(x) = −
2
x
2
y
2
= y
1

1
y
2
1
e
−

p(x)dx
dx = x
2

dx
x
4
= −
1
3x
y = C
1
x
2

2x + C

2
(
1
3x
2
) = x cos x



C

1
=
cos x
3
⇒ C
1
=
sin x
3
+ K
1
C

2
= x
3
cos x ⇒ C

2
x
y

+ y =
cotgx
x
y
1
=
sin x
x
HD gia
’
i: p(x) =
x
2
, q(x) = 1, f(x) =
cotgx
x
y
2
= y
1

1
y
2
1
e

1
sin x
x
− C
2
cos x
x





C

1
sin x
x
+ C

2
(
cos x
x
) = 0
C

1
x cos x − sin x
x
2

2
x
sin x
dx + K
1
=

dx
sin x
−

sin xdx + K
1
= ln |tg
x
2
| + cos x + K
1
C

2
= cos x → C
2
= sin x + K
2
y = ···
107) y” − 2y

+ y = 1 +
e


1
(x).xe
x
+ α

2
(x).e
x
= 0
α

1
(x)(e
x
+ xe
x
) + α

2
(x).e
x
= 1 +
e
x
x
⇔




x
+ (xe
−x
+ e
−x
− x)e
x
y = e
x
(C
1
x + C
2
) + xe
x
ln |x| − xe
x
+ 1
108)
y” + y

= xe
−x
HD gia
’
i: λ
2
+ λ = 0 ⇔ λ
1
= 0; λ

’
i: λ
2
− 4λ + 5 = 0 ⇔ λ
1
= 2 − i; λ
2
= 2 + i
y = e
2x
(C
1
cos x + C
2
sin x)
y = y
1
+ y
2
y
1
= Ae
2x
; y
2
= A cos x + B sin y ⇒ y
1
=
e
2x

2
+ 4λ + 4 = 0 ⇔ λ = −2
y = e
−2x
(C
1
x + C
2
)
y = α
1
(x).xe
−2x
+ α
2
e
−2x
.

α

1
(x).xe
−2x
+ α

2
e
−2x
= 0

e
−2x
+ x ln |x| − x
α

2
= −x(e
−2x
+ ln x) → α
2
=
1
4
e
2x
+
x
2
4
−
1
2
xe
2x
−
x
2
2
ln x
⇒ ⇒